小波变换发展史
传统的信号理论,是建立在Fourier分析基础上的,而Fourier变换作为一种全局性的变化,其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进,小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支,它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域,特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域,它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比,是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺(Multiscale Analysis),解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析
1807年,法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示,开创了傅立分析。傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系,反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分,是研究信号的周期现象不可缺少的工具。建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力,但是它明显的缺点,那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系,即FT在时域没有任何分辨率,无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征,1946年,Gabor提出了短时傅立叶变换(Short Time Fourier Transform,STFT),但是STFT的窗口宽度是固定的(和频率无关),这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征,在分析时变信号时也有一定的局限性。另外,STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基,所以给数值计算带来了不便,这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。小波变换是以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷。小波变换不仅能够提供较精确的时域定位,还能提供较精确的频域定位。我们所面对的真实物理信号,更多的表现出非平稳的特性,小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。
与Fourier变换相比,小波变换是空间(时间)和频率的局部变换,因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为,小波分析是一个新的数学分支,它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶;信号和信息处理专家认为,小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术,它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。
2. 小波分析的发展
小波理论的兴起,得益于其对信号的时域和频域局域分析能力及其对一维有界函数的最优逼近性能,也得益于多分辨率分析概念,以及快速小波变换的实现方法。小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。
第一个正交小波基是由Haar在1910年提出的,它就是人们熟知的Haar正交基,Haar 正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。它具有最优的时(空)域分辨率,但是Haar小波基是非连续函数,因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。其后,1936年,Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论(L-P理论);1952年~1962年,Calderon等人将L-P理论推广到高维,建立了奇异积分算子理论;1965年,
Calderon发现了著名的再生公式,给出了抛物型空间上H1的原子分解;1974年,Coifman 实现了对一维空间和高维空间的原子分解;1976年,Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时,给出了Besov空间的一组基。
70年代末,法国地球物理学家Morlet试图改进依赖于窗体位置和频率分量的加窗傅立叶变换分析方法,采用一种窗函数的收缩与平移构造基函数变换,并成功的应用于油气勘探的非稳定性地震信号分析。1981年,Stromberg对Haar系进行了改进,证明了小波函数的存在性。1984年,Morlet在分析地震波数据的局部性质时,发现用傅立叶变换难以达到要求,因此引入小波的概念应用于信号分析中,并用一种无限支集的非正交小波分析地震数据,这是第一次真正意义上提出了小波的概念。随后,Grossman和Morlet一起提出了确定小波函数伸缩平移系的展开理论。1985年,法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。1986年,Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性(即光滑性)的正交小波基时,意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造的规范正交基(即Meyer基),从而证明了正交小波系的存在。1984年~1988年,Meyer、Battle和Lemarie 分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数:Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年,Meyer和Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中,提出了多分辨率分析的概念,统一了在此前的所有具体正交小波的构造方法,同时给出了将信号和图像分解为不同频率通道的分解和重构快速算法,即Mallat算法。Mallat算法在小波分析发展中具有里程碑的意义。1988年,Daubechies创立了支持离散小波的二进制小波理论,得出了二进小波的正则性与多项式表示的条件,并构造了具有有限支集的正交小波基。
1992年,Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。1992年,Daubechies和Feauveau 等构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。1992年,Coifman和Wickerhauser提出了小波包(Wavelet Packet,WP)分析。1992年,Zou等提出了多带小波(M-band Wavelet)理论,将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。基于“二带”小波变换的多分辨率分析中,尺度函数对应一个低通滤波器,而小波函数对应一个高通滤波器。“二带”小波变换把信号分解成不同的通道,而这些通道的带宽相对于尺度函数的对数是相同的,因此高频通道具有较宽的带宽,而低频通道具有较窄的带宽。1993年,Goodman 等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波(Multi-Wavelet)理论框架。1994年,Geronimo等提出了多小波变换(Multi-Wavelet Transform,MWT),将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。1995年,Sweldens提出构造第二代小波的提升方法,利用这种方法可以构造非欧空间中不允许的伸缩运算和平移运算,成为构造第二代小波的有力工具。
4.小波分析的应用
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在,它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域,它的重要方面是图象和信号处理。现今,信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分,信号处理的目的就是:准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看,信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号),在小波分析地许多分析的许多应用中,都可以归结为信号处理问题。现在,对于其性质随时间是稳定不变的信号(平稳随机过程),处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的(非平稳随机过程),而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
事实上小波分析的应用领域十分广泛,它包括:数学领域的许多学科;信号分析、图象处理;量子力学、理论物理;军事电子对抗与武器的智能化;计算机分类与识别;音乐与语言的人工合成;医学成像与诊断;地震勘探数据处理;大型机械的故障诊断等方面;例如,在数学方面,它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制
论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断,去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间,提高分辨率等。
(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高,压缩速度快,压缩后能保持信号与图象的特征不变,且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多,比较成功的有小波包最好基方法,小波域纹理模型方法,小波变换零树压缩,小波变换向量压缩等。
(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
从图像处理的角度看,小波变换存在以下几个优点:
(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)
(2)小波变换通过选取合适的滤波器,可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性
(3)小波变换具有“变焦”特性,在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口),在高频段,可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)
(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)
5. 小波分析的局限性
虽然小波变换有着很多的优点,解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题,被誉为“数学显微镜”,但是它在一维时所具有的优异特性并不能简单推广到二维或更高维。对于二维图像信号,常用的二维小波是一维小波的张量积,它只有有限的方向,即水平、垂直、对角,方向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像本身的几何正则性,不能最优表示含“线”或者“面”奇异的高维函数。也就是说,小波是以“点”为单位捕捉图像的特征。但事实上,高维空间中最为普遍的还是具有“线”或“面”奇异的函数,自然物体光滑边界使得自然图像的主要组成单位并不是“点”,而是“线”和“面”,从而小波分析在处理二维图像时表现出很大的局限性。
基于小波变换的人脸识别 近年来,小波变换在科技界备受重视,不仅形成了一个新的数学分支,而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性,且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长,从而达到聚焦对象任意细节的目的,这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性,小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面,小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号,从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换,第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性,通过将复杂的时间信号转换到频率域中,使很多在时域中模糊不清的问题,在频域中一目了然。在早期的信号处理领域,傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞,+∞)内绝对可积的一个连续函数,则(t)f 的傅立叶变换定义如下: ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为: ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出,式(4-1)通过无限的时间量来实现对单个频率
的频谱计算,该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见,式(4-1)和(4-2)只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征,从而分别从时域和频域对信号进行分析,但却无法将两者有效地结合起来,因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中,如地震信号分析、核医学图像信号分析等,研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率,或是某个频率出现在哪个时段上,即信号的时频局部化特征,傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具:可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱,描述和分析其时频联合特征,这就是所谓的时频局部化分析方法,即时频分析法。1964年,Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t),改进了傅立叶变换的不足,形成窗口化傅立叶变换,又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零,用函数(t )g -τ乘以(t)f ,其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口,即: ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式(4-3)即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知,信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为: ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息,且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移,符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号,长期以来,因非平稳信号处理的理论不健全,只好将其作为平稳信号来处理,其处理结果当然不满意。近年来,随着科学技术的发展和进步,国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上,其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中,戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来,这些方法既可以处理平稳信号过程,也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语,并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形,其振幅正负相间变化,平均值为零,是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解(变换)或重构(反变换)时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率,同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的,小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的,只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数,而小波分析中的基函数是小波,是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质,较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾,对于信号的低频成分采用宽时窗,对高频成分采用窄时窗。因而,小波分析特别适合处理非平稳时变信号,在语音分析和图象处理中有广泛的应用,在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段,逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用,并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比,小波变换取得了质的飞跃,在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理,用于语音信号的分析、变换和综合,还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析: (1)在图6-2中,逼近信号a7是一个三角波。 (2)在图6-3中细节信号d1和d2是与噪声相关的,而d3(特别是d4)与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1.工程中,有用信号一般是一些比较平稳的信号,噪声通常表现为高频信号。2.消躁处理的方法:首先对信号进行小波分解,由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中,我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理,然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法: (1)默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值,然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 (2)给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中,阈值往往可通过经验公式获得,且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 (3)强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0,即滤掉所有高频部分,然后对信号进行小波重构。方法简单,消躁后信号比较平滑,但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3.信号降噪的准则: 1.光滑性:在大部分情况下,降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
MATLAB小波变换指令及其功能介绍 1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1) dwt函数 功能:一维离散小波变换 格式:[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和 N 维DFT 说明:[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号X 进行分解,cA、cD 分别为近似分量和细节分量; [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信 号进行分解。 (2) idwt 函数 功能:一维离散小波反变换 格式:X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数 fft、fft2 和 fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明:X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经 小波反变换重构原始信号 X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。 2 二维小波变换的 Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 函数名函数功能
--------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换 waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量 upwlev2 二维小波分解的单层重构 dwtpet2 二维周期小波变换 idwtper2 二维周期小波反变换 ----------------------------------------------------------- (1) wcodemat 函数 功能:对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分 格式:Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y=wcodemat(X,NB,OPT) Y=wcodemat(X,NB) Y=wcodemat(X) 说明:Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵 Y ;NB 伪编码的最大值,即编码范围为 0~NB,缺省值 NB=16; OPT 指定了编码的方式(缺省值为 'mat'),即:别可以实现 一维、二维和 N 维 DFT OPT='row' ,按行编码 OPT='col' ,按列编码
第三章 离散小波变换 3.1 尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数?? ? ??-= a t a t a τψψτ1)(,的 τ,a 限定在一些离散点上取值。 1. 尺度离散化:一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化, 即取m m a a 0=(m 为整数,10≠a ,一般取20=a )。如果采用对数坐标,则尺度a 的离散取值如图3.1 所示。 图3.1 尺度与位移离散方法 2. 位移的离散化:当120==a 时,()τψψτ-=t t a )(,。 (1)通常对τ进行均匀离散取值,以覆盖整个时间轴。 (2)要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理,即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。 3. )(,t a τψ=? 当m 增加1时,尺度增加一倍,对应的频带减小一半(见图2.2),可见采样频率可以降低一半,即采样间隔可以增大一倍。因此,如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ,则在尺度为m 2时,间隔可取s m T 2。此时)(,t a τψ可表示为 );(2212221 ,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作??? ???-=??? ? ???- Z n m ∈, 为简化起见,往往把t 轴用s T 归一化,这样上式就变为
()n t t m m n m -=-- 22)(2 ,ψψ (3.1) 4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为 ??=R n m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ (3.2) DWT 与CWT 不同,在尺度—位移相平面上,它对应一些如图3.1所示的离散的点,因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化,显然引出两个问题: (1)离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息,或者说,能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。 (2)是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和 ∑∈= Z n m n m n m t C t f ,,,)()(ψ?如果可以,系数n m C ,如何求? 上述两个问题可以归结为一个。假设条件(1)满足,可合理的选择ψ,并对τ,a 进行适当的离散(即适当的选择s T a ,0),那么一定存在与小波序列n m ,ψ对 应的n m ,~ψ序列,使得问题(1)的重建简单地表示为 ∑∈><= Z n m n m n m f t f ,,,~,)(ψψ (3.3) n m ,~ψ称为n m ,ψ的对偶,它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得: () n t t m m n m -=--2~2)(~2,ψψ 由上式,若存在)()(2R L t g ∈,则有 ∑>><<=><>=小波变换与傅里叶变换的对比异同