2012年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛6年级
2012年“陈省身”国际青少年数学邀请赛
六年级
1、在做工程计算中，我们常常需进行单位换算，那么0.54立方米/小时＝ 毫升/秒。 分析：0.54立方米/小时＝150毫升/秒。
2、甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变。如果两人同时从同地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇。已知甲跑一周、需6分钟，那么乙跑一周需 分钟。
分析：1÷（
41－6
1）＝12(分钟)。 3、已知a 、b 、c 是三个不同的质数，并且2a ＋3b ＋6c ＝42，则a ＋b ＋c ＝ 。
分析：a ＋b ＋c ＝3＋2＋5＝10。
4、如图，其中正方形的面积为50cm 2，则阴影部分的面积是 cm 2。(本题中π取3)
分析：
4
1×3×（50×2）－50＝25(平方厘米)。 5、一种商品的进价为600元，出售时标价为900元。后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证之后出售的每件商品在售出时的利润率均不低于5％，则最多可以打 折。
分析：600×（1＋5％）＝630(元)，630÷900＝70％，所以最多可以打七折。
6、计算：（1＋51）×[82÷（221－37）＋11]×（51＋6
1）＝ 。
分析：原式＝
56×（82÷61＋11）×301＝56×503×30
1＝20.12。 7、如图，一个尺寸为2厘米×3厘米×5厘米的长方体，被切下一块后，新得到的几何体的表面积比原长方体的表面积增加了 平方厘米。
分析：1×2×2－1×1×2＝2(平方厘米)。
8、用0、1、2三个数字可以组成很多的自然数，将其从小到大依次排列起来，分别是：0，1，2，10，11，…，则2012是其中的第 个数。 分析：一位数：3个；两位数：2×3＝6(个)；三位数：2×3×3＝18(个)；千位是1的四位数：3×3×3＝27(个)，千位是2的四位数：2000、2001、2002、2010、2011、2012，6个；所以2012是其中的第3＋6＋18＋27＋6＝60(个)数。
9、小明买了一本故事书，第一天看了这本书的51，第二天看了余下的3
1多10页，已知剩下的比第一天看的多35页，那么这本故事书一共有页 。
分析：1－
51－（1－51）×31＝158，（35＋10）÷（158－5
1）＝135（页）。 10、一个盒子里有100张卡片，每张上面写有一个数，已知写“1”有1张，写“2”的有2张，写“3”的有3张，……，写“9”的有9张，剩下的全写“0”。那么在盒子中至少拿出 张卡片才能保证一定有5张卡片上面写的数相同。
分析：1＋2＋3＋4＋4×6＋1＝35(张)。
11、计算：312213++
×4
13314--×514415++×615516--×……×201112010201012011++×201212011201112012-- ＝ 。
分析：原式＝31322132+?+?×4
1
433143+?-?×515441
54+?+?×61655165-?-?×……×20111201120102010120112010+?+?×2012
12012201120111
20112012-?-?＝23×34×45×56×……×20102011×2011
2012＝1006
12、如果在下图竖式中的“数”、“学”、“好”3个汉字分别代表3个不同的数字，则由它们组成的三位数“数学好”是 。
分析：286×826＝236236。
13、一个长方体表面积是4000cm 2，如果这个长方体可以被平均切成两块一样的正
方体。那么把两个这样的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最多是 cm 2。
分析：4000÷10＝400(平方厘米)，4000×2—400×2＝7200(平方厘米)。
14、甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，他们计划在全程的处(距离A
地)相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为 米/秒。
分析：35：（1－53）＝3：2，36÷2×3＝54(米)，（36＋54）÷15＝6(米/秒) 15、将1～9这九个数字填入到如图所示的3×3方格后，求出其三行、三列以及一条对角线上三个数字之和，分别记为A ～G 。如果这七个数能构成一个等差数列，则其中对角线上三个数之和G ＝ 。
分析：45×2＋G ＝中间数×7，（1）G ＝8，中间数＝14；（2）G ＝15，
中间数＝15；（3）G ＝22，中间数＝16，经试验G ；15是符合题目要求
的。
16、如图，在三角形ABC 中，已知E 是BC 边上的中点，D 是BE 的中点，F 是AC 边
上的三等分点，而且图中阴影部分的面积为1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米。
分析：AEF ODE S S ??＝3
141
,而OEF ODE S S ??＝AEF
ADE S S ??,则ODE S ?:OEF S ?＝3:4；61DEF S ?＝2
141
,DEF S ?＝121，OEF S ?＝121÷（3＋4）×4＝211， ABC S ?＝1÷21
1＝21（平方厘米）
17、2012盏灯排成一排，开始都亮着，小明第一次从左边第一盏灯开始，每隔一盏灯拉一下开关(即拉左数第1，3，5，…，2009，2011盏)。他第二次从右边第一盏灯开始，每隔两盏灯拉一下开关，第三次时他又从左边第一盏灯开始，每隔三盏灯拉一下开关。那么三次都拉到的灯有 盏，亮着的灯还有 盏。
分析：第一次：2k＋1（是≥0），1、3、5、7、…、2009、2011；
第二次：3m＋2（m≥0），2、5、8、11、…、2009、2012
第三次：4n＋1（n≥0），1、5、9、13、…、2005、2009
（1）第5盏灯是三次都拉到的灯中的第一盏。第一次每2盏灯开一次，第二次每3盏灯开一次，第三次每4盏灯开一次。[2，3，4]＝12，所以每12盏灯有一盏三次都被拉到。（2012－5）÷12＝167……3，167＋1＝168。三次都拉到的灯共有168盏。
（2）2012盏灯开始时都亮着，拉奇数次开关的灯最终会熄灭。其中拉3次开关的灯已求出有168盏，拉1次开关的灯有：
编号为偶数的灯只在第二次拉到过，第一盏为2号，此后每6盏灯都是一个被拉到的偶数，共有（2012－2）÷6＋1＝336(盏)；由于第一次拉过了所有奇数号灯的开关，所以第二次和第三次没有拉到的奇数号灯的开关，最终只拉过一次。其中第二次拉到的奇数号灯有：（2012－5）÷6＝334……3，334＋1＝335(盏)；第三次拉到的奇数号灯有：（2009－1）÷4＋1＝503(盏)。其中重复的灯都是被拉过3次开关的，所以第二次和第三次拉到的奇数号灯的开关有335＋503－168＝670(盏)，没有被拉到的奇数号灯有2012÷2－670＝336(盏)。
所以被拉过一次开关的灯有336＋336＝672(盏)，再加上被拉到过3次的168盏灯，共计672＋168＝840(盏)灯最终被关上，亮着的灯有2012－840＝1172(盏)。
18、牧民老张家和老王家各有一块牧场，老王家牧场的面积是老张家牧场面积的2倍。现在要在牧场上放养1群野马，如果在老王家的牧场上放养能比在老张家的牧场上多放养9个月。而若要是把这群野马放在两家的牧场上一起放养，则此时牧场上的草恰好永远不会减少。那么这群野马能在老王家的牧场上放养个月就会将牧草吃光。(假设最初两家牧场上草的厚度一样，草长的速度也一样)
分析：已知老王家牧场的面积是老张家牧场面积的2倍，而把整群野马放在两家的牧场上一起放养，牧场上的草恰好永远不会减少，所以整群野马每个月的吃草量相当于张、王两家牧场每月的生长量。
设老张家牧场每月的生长量为1份，则老王家牧场每月的生长量为2份，整群野马每个月的吃草量为1＋2＝3份。根据整群野马在两家牧场分别吃草的情况：
（1）在老张家牧场，放养n个月，吃草量为3n份，相当于1块草地的原有草量加上1块草地n 个月的生长量，等同于1块草地的原有草量加上额外生长出的n份草量；
（2）在老王家牧场，放养n＋9个月，吃草量为3（n＋9）＝3n＋27份，相当于2块草地的原有草量加上2块草地n＋9个月的生长量，等同于2块草地的原有草量加上2（n＋9）＝2n＋18份的草量。
（2）比（1）多吃了9个月，多吃掉了（3n＋27）－3n＝27份的草，相当于2－1＝1块草地的原有草量以及多生长出的（2n＋18）－n＝n＋18份草量，所以1块草地的原有草量加上n个月的生长量，共有27－18＝9份草量，即（1）中的总吃草量。那么n＝9÷3＝3，吃掉老王家牧场的草需要n＋9＝3＋9＝12个月。
由于这群马在两家的牧场上一起放养，草恰好永远不会减少，则说明两家牧场每月长的草恰好够这群马吃。假设老张家牧场每月新长出看成1份，老王家的每天就长2份，那么这群牛吃老张家牧场的草时，每月吃的原有草就是2份。这群牛吃老王家牧场的草时，每月吃的原有草就是1份。说明这群马吃光老张家牧场的时间是吃光老王家的1/2÷2＝1/4。
所以吃光老王家牧场上的草需要的时间是9÷（1－1/4）＝12月。
19、在1～2012这2012个数中，有个数的数字和能被4整除。(如2012，它的数字和是2＋0＋1＋2＝5)
分析：把0～9的数字按照被4除的余数分为以下几组：A组（被4整除）：{0，4，8}；B组（被4除余1）：{1，5，9}；C组（被4除余2）：{2，6}；D组（被4除余3）：{3，7}。
当千位数字为0（即不足四位数）时，后三位数字可以是：
（1）AAA每个数字都可以从A组的3个数字中选择一个，但要排除所有数字均为0的情况，所以共有3×3×3－1＝26(种)；
（2）ABD从A、B、D三组中每组任取一个数字，共有3×3×2＝18(种)种选择方法；再考虑排
A＝3×2×1＝6种排列顺序，所以共有18×6＝108(种)；
列顺序问题，3个不同的数字共3
3
A＝（3）ACC一个数字来自于A组，两个数字来自于C组，共有3×2×2＝12(种)选择方法，1
3
3种排列顺序，所以共有12×3＝36(种)；
A＝（4）BBC两个数字来自于B组，一个数字来自于C组，共有3×3×2＝18(种)选择方法，1
3
3种排列顺序，所以共有18×3＝54(种)；
A＝3（5）CDD一个数字来自于C组，两个数字来自于D组，共有2×2×2＝8(种)选择方法，1
3
种排列顺序，所以共有12×3＝36(种)；
综上，当千位数字为0时，共有26＋108＋36＋54＋24＝248(个)自然数满足条件。
当千位数字为1时，后三位数字可以是：
A＝3种，共有18×3＝54(种)；
（1）AAD选择方法有3×3×2＝18(种)，排列顺序有1
3
A＝3×2×1＝6种，共有18×6＝108(种)；（2）ABC选择方法有3×3×2＝18(种)，排列顺序有3
3
（3）BBB共有3×3×3＝27(种)；
A＝3种，共有12×3＝36(种)；
（4）BDD选择方法有3×2×2＝12(种)，排列顺序有1
3
A＝3种，共有8×3＝24(种)；
（5）CCD选择方法有2×2×2＝8(种)，排列顺序有1
3
综上，当千位数字为1时，共有54＋108＋27＋36＋24＝249(个)自然数满足条件。当千位数字为2时，只有2002、2006、2011这3个数满足条件。所以从1～2012的自然数中，共有248＋249＋3＝500(个)自然数的数字和能被4整除。
20、甲、乙、丙三人同时从A点出发，按逆时针方向沿着构成正方形ABCD的4条街道跑步。已知三个人的速度分别为每秒5米、4米和3米。在甲第一次看到乙、丙与他在同一条街后，又过了7分钟，三个人第一次到达同一点。那么四条街道的总长是米。
分析：甲、乙、丙三人的速度比为5：4：3，当三个人到达同一点时，甲比乙、乙比丙应多跑整数圈。由于题目中要求是三个人第一次到达同一点，所以多跑的圈数最小为1。所以甲跑了5圈，乙跑了4圈，丙跑了3圈，即同时回到出发点A。
又知甲是第一次看到乙、丙在同一条街，所以此时甲应该在正方形的某一顶点处；此后又用了7分钟三人同时到达A点，所以此时甲与乙的距离为（5－4）×（60×7）＝420(米)，乙与丙的距离为（4－3）×（60×7）＝420(米)，此时甲与A点的距离为5×60×7＝2100(米)。一条街的长度应大于或等于420×2＝840(米)，否则在间距为420米的情况下，不可能三人位于同一条边上；且应小于840÷3×5＝1400(米)，否则在前一条边上已经会出现三人位于同一条边上的情况。所以2100米是2条街的长度，所以四条街道的总长是2100÷2×4＝4200(米)。