2019-2020学年上海复旦附中高二上学期数学期末试卷
复旦附中高二期末数学试卷 2020.01 一. 填空题 1. 一个方向向量为(1,3)d =的直线的倾斜角的大小是
2. 抛物线24y x =的焦点到其准线的距离为
3. 已知复数1i z =+，则z z
= 4. 已知复数(3i)(12i)a ++是纯虚数，则实数a 的值为
5. 若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则b =
6. 曲线4cos 3sin x y θθ=??=?
（θ为参数，[0,2)θπ∈）的焦距等于 7. 直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于
8. 如图所示，在△ABC 中，90A ∠=?，3tan 4
B =， 以A 、B 为焦点的椭圆经过点
C ，若该椭圆的焦距
为4，则其短轴的长为
9. 已知双曲线2
2
13y x -=的左顶点为1A ，右焦点为 2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ?的最小值为
10. 若复数z 满足0|||3i |4z z z -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模 的取值范围是
11. 已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若||6MD =，则抛物线的方程是
12. 已知点(0,2)P ，椭圆22
1168
x y +=上两点11(,)A x y 、22(,)B x y 满足AP PB λ=（λ∈R ）， 则1122|2312||2312|x y x y +-++-的最大值为
二. 选择题
13. 双曲线22
124
x y -=的两条渐近线的夹角的大小为（ ） A. arctan 2 B. 2arctan 2 C. arctan 2π- D. 2arctan 2π-
14. 在复数范围内，下列命题中为假命题的是（ ）
A. 复数z ∈R 的充要条件是z z =
B. 若||z z =-，则z ∈R
C. 若1z z
=，则1z =±或i z =± D. 22||||z z =对任意z ∈C 都成立 15. 集合{|(i)(i)20,,,}A z a b z a b z a b z =++-+=∈∈R C ，{|||1,}B z z z ==∈C ，若A B =?，则a 、b 之间的关系是（ ）
A. 221a b +>
B. 221a b +<
C. 1a b +>
D. 1a b +<
16. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，△ABC 有（ ）
A. 2个
B. 4个
C. 有限个，但多于4个
D. 无限多个
三. 解答题
17. 已知关于x 的一元二次方程2230x kx k +-=（k ∈R ）的虚根为1x 、2x .
（1）求k 的取值范围，并解该方程；
（2）若123i 3||2|||
|1i
x x =++，求k 的值.
18. 学校科技小组在计算机模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图，航天器运行（按顺时 针方向）的轨迹方程为22
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x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回 的轨迹是以y 轴为对称轴，64(0,)7
M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为(8,0)D ，观测 点(4,0)A 、(6,0)B 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测到A 、B 测得
航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
19. 设z 是虚数，1w z z
=+是实数，且12w -<<. （1）求||z 的值及Re z 的取值范围；
（2）若2z z z z
++为纯虚数，求z .
20. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）长轴长是短轴长的2
倍，1)2
M 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若过椭圆的左焦点的直线l 与椭圆C 相交所得弦长为2，求直线l 的斜率；
（3）过点(1,0)P 的任意直线与椭圆C 交于A 、B 两点，设点A 、B 到直线00:l x x = （02x >）的距离分别为A d 、B d ，若
||||A B d PA d PB =，求0x 的值.
21. 已知动圆P 过点2(2,0)F ，并且与圆221:(2)4F x y ++=相外切，设动圆的圆心P 的轨迹为C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过动点P 作直线与曲线2230x y -=交于A 、B 两点，当P 为AB 的中点时，求 ||||OA OB ?的值；
（3）过点2F 的直线1l 与曲线C 交于E 、F 两点，设直线1:2
l x =
，点(1,0)D -，直线ED 交l 于点M ，求证：直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案
一. 填空题 1. 3
π 2. 2 3. i - 4. 6
5. 2-
6.
7.
8.
9. 2- 10. [0,7) 11. 2y = 12. 18+
二. 选择题
13. D 14. C 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）30k -<<，x k =-±（2）32
k =-.
18.（1）216477
y x =-+
；（2）观测到A 、B 测得航天器的距离分别为、4时，应向航天器发出变轨指令.
19.（1）||1z =，1
(,1)2-；（2）122
z =±.
20.（1）2
214
x y +=；（2）2k =±；（3）04x =. 21.（1）2
2
13y x -=（0x >）（1x ≥）；（2）||||4OA OB ?=；（3）(1,0)，证明略.