河南省安阳市滑县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

2019~2020学年上学期期末考试高一数学

一、选择题： 1.已知集合{}0,2,4,6A =，集合{}215B x x =-<，则A

B =（ ）

A. {}0

B. {}0,2

C. {}4,6

D. {}0,2,4

【答案】B 【解析】 【分析】

先化简集合B ，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}

2153B x x x x =-<=<，{}0,2,4,6A =，

所以{}0,2A

B =.

故选：B.

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2.已知直线:31l y x =+，则直线l 的倾斜角为（ ）

A. 30

B. 45?

C. 60?

D. 90?

【答案】C 【解析】 【分析】

先设直线的l 的倾斜角为α，由直线方程得到tan 3α=，进而可求出结果. 【详解】设直线的l 的倾斜角为α，

由斜率的定义与直线方程，可得：tan 3α=， 解得：60α=?. 故选：C.

【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记斜率的定义即可，属于基础题型. 3.下列函数中，不是奇函数的是（ ） A. 2y x =-

B. 1y x x

=+

C. 1ln

1

x

y x -=+ D. 1

2

x y -=

【答案】D 【解析】 【分析】

根据函数奇偶性的概念，逐项判断，即可得出结果.

【详解】A 选项，因为2y x =-的定义域为R ，且2()(2)x x --=--，所以2y x =-是奇函数； B 选项，因为1y x x =+

的定义域为()(),00,-∞?+∞，且11?

?-+=-+ ?-?

?x x x x ，所以

1

y x x

=+

是奇函数； C 选项，由

101x

x ->+得11x -<<，即函数1ln 1

x y x -=+的定义域为()1,1-，又111ln

ln ln 111x x x x x x ++-==--+-+，所以1ln 1

x y x -=+是奇函数； D 选项，1

2x y -=的定义域为R ，但1122x x ---≠-，所以1

2

x y -=不是奇函数.

故选：D.

【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性，熟记函数奇偶性的概念即可，属于基础题型. 4.已知幂函数()()

2

3m

x m x f =-在()0,∞+上为减函数，则()3f =（ ）

A.

19

B. 9

C.

13

D. 3

【答案】A 【解析】 【分析】

根据幂函数的单调性，以及幂函数的定义，得到231

m m ?-=?

【详解】因为幂函数()()

2

3m

x m x f =-在()0,∞+上为减函数，

所以2310

m m ?-=?

f x x -=

所以()139

f =. 故选：A.

【点睛】本题主要考查求幂函数的值，熟记幂函数的单调性与幂函数的概念即可，属于基础题型.

5.设,αβ表示不同的平面，l 表示直线，,,A B C 表示不同的点，给出下列三个命题： ①若,,,A l A B B l αα∈∈∈∈，则l α?； ②若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈，则AB αβ?=； ③若,l A l α?∈，则A α?． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2

C. 3

D. 0

【答案】B 【解析】

试题分析：①正确，即公理一；②正确，即公理二；③错误，点A 可以是直线l 与平面α的交点．故选B

考点：直线与平面，点与平面的位置关系判断 6.已知

13

log 4a =，2

log 3b =，

0.32c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >>

D.

b c a >>

【答案】D 【解析】 【分析】

先由对数函数，以及指数函数的性质，确定a ，b ，c 的范围，进而可得出结果. 【详解】因为

113

3

log 4log 10a =<=，22

log 321log b =>=，

0.300221c -<=<=， 所以b c a >>. 故选：D.

【点睛】本题主要考查比较指数幂，以及对数的大小，熟记对数函数以及指数函数的性质即可，属于基础题型.

7.函数()2

e 2x

f x x --=的一个零点所在区间为（ ）

A. ()2,0-

B. ()1,0-

C. ()0,1

D. ()1,2

【答案】D 【解析】 【分析】

根据函数零点的存在性定理，直接判定即可.

【详解】因为函数()2

e 2x

f x x --=在定义域内是连续的函数，

又()2

42e 20f ----<=，()2

e 02100

f --=-<=，()1

11e 20f --=--<，

()e 12301e f --=-<=，()22e 42e 260f =--->=，

所以(1)(2)0f f ?<，

因此函数()2

e 2x

f x x --=的一个零点所在区间为()1,2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查判断函数零点所在区间，熟记函数零点的存在性定理即可，属于常考题型.

8.若圆1O ：()()2

2

3425x y -+-=和圆2O ：()()22

212x y r -+-=（05r <<）相切，则r 等于（ ）

A. 5-

B. 5-

C. 5

D. 5【答案】A 【解析】 【分析】

先由圆的方程，得两圆的圆心坐标与半径，求出圆心距，确定两圆内切，进而可求出结果. 【详解】因为圆1O ：()()2

2

3425x y -+-=的圆心坐标为1(3,4)O ，半径为5R =， 圆2O ：()()2

2

212x y r -+-=的圆心坐标为2(1,2)O ，半径为r ；

所以圆心距为：125O O =

=<，

又两圆相切，所以只能内切，

因此12O O R r =-，所以5r =-故选：A.

【点睛】本题主要考查由两圆内切求半径的问题，熟记圆与圆位置关系即可，属于常考题型.

9.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为( )

A. 1

5

B.

1

4

C.

1

3

D.

1

2

【答案】C

【解析】

分析：连接AC交BQ于N，交BD于O，说明PA ∥平面MQB，利用PA∥MN，根据三角形相似，即可得到结论.

详解：连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图，

则O为BD的中点．

又∵BQ为△ABD边AD上的中线，

∴N为正三角形的中心．

令菱形ABCD的边长为a，则AN＝a，AC＝a.

∵PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，

∴PA∥MN，∴PM∶PC＝AN∶AC，即PM＝PC，t＝. 故选C.点睛：本题考查了线面平行的性质定理的运用，关键是将线面平行转化为线线平行，利用平行线分线段成比例解答. 10.若函数()()()21,2log1,2a a x x f x x x?--≤?=?->??（0a>且1a≠）对任意的12x x≠，恒有

()()1212

0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A. ()2,+∞

B. 52,2

?? ???

C. 5,2??+∞

???

D. 5,42??

????

【答案】B 【解析】 【分析】

先由题意，确定函数是

增函数，再由函数解析式，根据函数单调性，列出不等式组求解，即可得出结果.

【详解】因为函数()f x 对任意的12x x ≠，恒有()()1212

0f x f x x x ->-成立，

所以函数()f x 在定义域上单调递增；

因此()2012(2)1log 21a a a a ?->?>??--≤-?

，即2125

a a a >??>??≤?，解得：522a <≤.

故选：B.

【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数的问题，熟记函数单调性的定义，以及分段函数的性质即可，属于常考题型. 11.设函数()1

23

x f x x -=+，()22g x x a =+-，若在区间()0,3上，()f x 的图象在()g x 的

图象的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()1,+∞ B. ()2,+∞

C. ()3,+∞

D. ()4,+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

先由题意，得到12322x a x x -+>-++在区间

()

0,3上恒成立，分别令

1

()3

,(0,3)x u x a x -=+∈，2()22,(0,3)v x x x x =-++∈，根据函数单调性求出min ()u x ，

max ()v x ，只需min max ()()u x v x >即可求出结果.

【详解】因为在区间()0,3上，()1

23

x f x x -=+的图象在()22g x x a =+-的图象的上方，

所以()()1

23

220x f x g x x x a --=+--+>在区间()0,3上恒成立，

即12322x a x x -+>-++在区间()0,3上恒成立， 令1

()3,(0,3)x u x a x -=+∈，2()22,(0,3)v x x x x =-++∈，

则11

13,13()3

3,01

x x x a x u x a a x ---?+<<=+=?+<

又2

()22v x x x =-++是开口向下，对称轴为1x =的二次函数， 因此max ()(1)1223v x v ==-++=，

为使12322x a x x -+>-++在区间()0,3上恒成立，只需min max ()()u x v x >， 所以13a +>，解得：2a >. 故选：B.

【点睛】本题考查函数性质的综合应用，熟记函数的单调性，最值等，灵活运用转化与化归的思想即可求解，属于常考题型.

12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（ ） A. 90? B. 30

C. 45?

D. 60?

【答案】D 【解析】 【分析】

先取11C D ，1DD ，1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ，根据题意，证明P ，Q ，R ，G ，F ，E 六点共面，即为过P ，Q ，R 的截面；得到EP 即

为直线m ，FQ 即为直线l ；连接1AB ，1AD ，11B D ，根据异面直线所成角的概念，得到11

B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，根据题中条件，即可得出结果.

【详解】因为，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，

取11C D ，1DD ，1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ， 根据正方体的

特征，易知，若连接PG ，EF ，RQ ，则这三条线必相交于正方体的中心， 又////GR EF QP ，所以P ，Q ，R ，G ，F ，E 六点必共面，即为过P ，Q ，R 的截面； 所以EP 即为直线m ，FQ 即为直线l ； 连接1AB ，1AD ，11B D ， 因为1//EP AB ，1//FQ AD ，

所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，

又因为正方体的各面对角线都相等，所以11AB D 为等边三角形， 因此1160B AD ∠=?. 故选： D.

【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的概念，会用几何法作出异面直线所成角即可，属于常考题型. 二、填空题：

13.3log 272log 3-=______. 【答案】2 【解析】 【分析】

根据对数运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】33333log 272log 3log log 33123-=-=-=.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则即可，属于基础题型. 14.已知点()1,1,2-关于y 轴对称点为A ，点()3,2,1B -，则AB =______.

【解析】 【分析】

先由题意，求出A 点坐标，再由两点间距离公式，即可求出结果. 【详解】因为点A 与点()1,1,2-关于y 轴对称，所以()1,1,2A ---， 又()3,2,1B -， 所以

AB =

==.

【点睛】本题主要考查求空间中两点间的距离，熟记公式即可，属于基础题型.

15.已知直线20mx y m

--=与函数()20,

22,0,x f x x x -≤≤=->??

的图象有两个交点，则实

数m 的取值范围是______. 【答案】[]1,0-

【解析】 【分析】

先画出函数()20,

22,0,

x f x x x -≤≤=->??的图像，再由直线20mx y m --=得到直线过定

点(2,0)，根据函数图像，即可得出结果.

【详解】画出函数()20,

22,0,

x f x x x -≤≤=->??的图像如下，

由20mx y m --=得(2)0m x y --=，若20x -=则0y =， 所以直线20mx y m --=过定点(2,0)M ，

又直线20mx y m --=与函数()2

4,20,

22,0,

x x f x x x ??-+-≤≤=?->??的图象有两个交点，

由图像可得：只需20

0102

MA m k -≥≥==--， 即10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-

【点睛】本题主要考查由函数交点个数求参数的问题，以及直线过定点的问题，熟记直线过定点的求法，灵活运用数形结合的方法，即可求解，属于常考题型.

16.在三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，1BC A B ⊥，11AA =，2AC =，则该三棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】5π 【解析】 【分析】

先由题意，得到可将该三棱锥看成长方体的一部分，将其补成一个长方体，则长方体外接球的球心即为该三棱锥外接球的球心，根据题中数据，求出半径，即可得出结果. 【详解】因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA BC ⊥，1AA AC ⊥， 又1BC A B ⊥，所以可将该三棱锥看成长方体的一部分，将其补成一个长方体如下图， 则该三棱锥外接球的球心，即为长方体外接球的球心，即体对角线的中点，即1A C 的中点，记作O ，

因为11AA =，2AC =，所以21125AC AA AC =+=，

因此外接球的半径为

115

2A C =

， 所以，该三棱锥的外接球的表面积为2

5452S ππ??

=?= ? ???

. 故答案为：5π.

【点睛】本题主要考查几何体与球外接的问题，熟记几何体的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型. 三、解答题： 17.设函数()42x f x =

-A ，集合{}11B x a x a =-<<+.

（1）若2a =，求A B ；

（2）若(

)R

A

B R =，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）{}

3A B x x ?=<（2）1a ≤ 【解析】 【分析】

（1）先解不等式，得到集合A ；由2a =，得到{}

13B x x =<<，再由并集的概念，即可得出结果. （2）先求出

B R

，再根据(

)R

A

B R =，即可得出结果.

【详解】（1）由420x -≥，得2x ≤， ∴(],2A =-∞；

2a =，则{}13B x x =<<.

∴{}

3A B x x ?=<.

（2）{}

11B x a x a =-<<+， ∴

{1R

B x x a =≤-或}1x a ≥+，

又(

)R

A

B R =，(],2A =-∞，

∴12a +≤， ∴1a ≤.

【点睛】本题主要考查求集合的并集，以及由集合并集与补集的运算结果求参数，熟记并集与补集的概念，会求具体函数的定义域即可，属于常考题型. 18.已知直线l 过点()1,2A -. （1）若直线l 与直线1

12

y x =

-垂直，求直线l 的方程； （2）若直线l 与直线430x y b -+=平行，且两条平行线间的距离为2，求b . 【答案】（1）2y x =-（2）0b =或20 【解析】 【分析】

（1）先由题意，设直线l 的方程为2y x m =-+，再由直线过点()1,2A -，即可求出结果； （2）先由题意，设直线l 的方程为430x y n -+=，再由直线过点()1,2A -，求出10n =，根据两平行线间的距离公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为直线l 与直线1

12

y x =-垂直，所以设所求直线l 的方程为2y x m =-+， ∵直线l 过点()1,2A -， ∴22m =+，即0m =. 所以l 的方程为：2y x =-；

（2）因为直线l 与直线430x y b -+=平行， 所以可设所求的直线l 的方程为430x y n -+=，

因为直线l 过点()1,2A -，则有460n --+=，得10n =.

又l 与直线340x y b -+=间的距离为2，

∴

10

25

b -=，解得0b =或20. 【点睛】本题主要考查求直线的方程，以及由两平行线间的距离求参数的问题，熟记直线的斜截式与一般式，以及两平行线间的距离公式即可，属于常考题型.

19.已知函数()2

2

ax f x b x =+，且()112f =，()

425f =.

（1）求实数a ，b 的值； （2）求()()1112(3)2019232019f f f f f f ??

????

++++++

? ? ???????

.

【答案】（1）1a b ==（2）2018 【解析】 【分析】

（1）先由题意，列出方程组112

4445a

b a b ?=??+??=?+?，求解，即可得出结果；

（2）先由（1）得到()2

2

1x f x x

=+，求出()11f x f x ??

+= ???

，进而可求出结果. 【详解】（1）由()1

12f =

，()425

f =， 得112

4445a

b a b ?=??+??=?+?，解得1a b ==.

（2）由（1）知()22

1x f x x =+，

则()2

222222

111111111x x x f x x x x f x x ?? ?????+=+=+= ?+++????

+ ???

，

∴()()()111320192322019f f f f f f ??

????

++++++

? ? ???????

()12018201822f f ?

?

??=?+

= ???????

. 【点睛】本题主要考查求函数解析式，以及求函数值的问题，熟记待定系数法求解析式即可，属于常考题型.

20.已知圆O ：2

2

4x y +=和点()1,M a .

（1）若4a =，求过点M 作圆O 的切线的切线长；

（2）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程.

【答案】（12）a =a =40x +-=或40x --=

【解析】 【分析】

（1）根据题中条件，先求点到圆心的距离，再由几何法即可求出切线长；

（2）先由题意，得到点M 在圆O 上，求出a =分别研究a =a =求出对应的切线方程即可.

【详解】（1）若4a =，则点()1,4M .

点()1,4M 与圆心()0,0O 的距离为4OM ==>，

所以切线长为l =

=

=（2）因为过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，所以点M 在圆O 上，

所以2214a +=，解得a =.

当a =

(M ，则OM k =，所以切线斜率为1OM

k k =-

=

因此，所求切线方程

：1)y x -=-，即4x +=；

当a =(1,M ，则OM k =，所以切线斜率为13

OM

k k =-

=

，

因此，所求切线方程为：3

3(1)y x -=

-，即34x y -=； 因此，所求的切线方程为340x y +-=或340x y --=.

【点睛】本题主要考查求切线长，以及圆的切线方程的问题，熟记直线与圆位置关系，以及几何法求弦长即可，属于常考题型.

21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，13AB AA ==，4AC =，5BC =，

M ，N 分别为11B C 、1AA 的中点.

（1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ；

（2）求证：//MN 平面1ABC ，并求M 到平面1ABC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，6

5

【解析】 【分析】

（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AB ⊥平面11AAC C ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）取1BB 中点D ，由线面平行的判定定理，证明//MN 平面1ABC ，得到N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离，过N 作1NH AC ⊥于H ，由题意，得到NH ⊥平面

1ABC ，进而可由题中数据，求出结果.

【详解】（1）因为222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，

又1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AB ⊥， 又1AC AA A =∩，所以AB ⊥平面11AAC C ， 因为AB

平面1ABC ，

所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ；

（2）取1BB 中点D ，因为M 为11B C 中点，所以1//MD BC ， 又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形， 所以//DN AB ， 又MD

DN D =，所以平面//MND 平面1ABC .

因为MN ?平面MND ，所以//MN 平面1ABC .

所以N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离. 过N 作1NH AC ⊥于H ， 因为平面1ABC ⊥平面11AAC C ， 所以NH ⊥平面1ABC ，

所以

111

1

113462255

AA AC NH AC ??=?=?=. ∴M 到平面1ABC 的距离为

6

5

.

【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求点到面的距离，熟记面面垂直的判定定理，以

及几何法求点到面的距离即可，属于常考题型.

22.已知函数()e e x x x a

f b

+=+（ 2.718e ≈）在R 上是奇函数.

（1）求实数a ，b 的值；

（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；

（3）求满足不等式121log log 404m

f f ??

?

?+< ? ???

??

的m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，1b =-（2）函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析（3）()10,1,2??+∞ ???

【解析】 【分析】

（1）根据奇函数的性质，先求出1b =-；再由()()f x f x -=-，求出1a =；

（2）设1x ，2x 为任意两个实数，且12x x <，作差比较()1f x 与()2f x 的大小，根据函数单调性的定义，即可得出结果；

（3）根据函数奇偶性，将原不等式化为()1log 24m

f f ?

?< ???，再由函数单调性得到1log 24

m <，分别讨论1m ，01m <<两种情况，即可求出结果. 【详解】（1）因为函数()f x 在R 上是奇函数， ∴()00f =，解得1b =-.

又()()f x f x -=-，∴e 1e 1

e e x x x x

a a

----=-++，化简后得22a =，即1a =. （2）设1x ，2x 为任意两个实数，且12x x <，则12x x e e <，

所以()()()()()

12121

21

2122e e e 1e 1

0e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x f x f x ----=-=<++++， 即()()12f x f x <，

因此，函数()f x 在R 上为增函数； （3）因为函数()f x 为奇函数，

所以()12211log log 40log log 4044m m f f f f ???

??

?+

?????

()()11log 20log 244m m

f f f f ???

?

-

?

， 又函数()f x 在R 上单调递增， 所以1

log 24

m

<. 当1m 时，2

14

m >

，解得1

2m >，所以1m ；

当01m <<时，2

14

m <

，解得102m <<，所以102m <<；

综上m 的取值范围为()10,

1,2??

+∞ ??

?

.

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，由函数单调性的定义判断函数单调性，以及由单调性与奇偶性解不等式，熟记函数的奇偶性与单调性即可，属于常考题型.