河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(四)——数学(理)
河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（四）
理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合M ＝{y ｜y ＝1－x 2}，N ＝{x ｜｜2x －1｜≥1－2x}，则M ∩N ＝
A ．（0，1]
B ．（0，
12） C ．（12，1] D ．（－∞，1]
2．若复数122i z a i
－＝＋＋（a ∈R ）在复平面内对应的点在第三象限，且｜z ，则a ＝ A ．2 B ．－12
C ．－1
D ．－2 3．已知非零向量a ，b 满足｜b ｜＝4｜a ｜且a ⊥（2a －b ），则a 与b 的夹角为
A ．3π
B ．2
π C ．23π D ．56π 4．已知2
36a －＝，1310b －＝，1log 255c －＝，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞b ＞a
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞a ＞c
5．已知函数()1112
x f x a ＝
－＋（a ＞0，且a ≠1），则f （x ）是 A ．偶函数，值域为（0，12） B ．非奇非偶函数，值域为（－12，12
） C ．奇函数，值域为（－12，12） D ．奇函数，值域为（0，12
） 6．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，1a ＝1，1a ＋3a ＝54．若n S ＝1116，则n 的值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．不存在
7．若函数()()3sin f x x ω?＝＋（ω＞0，0＜?＜
2
π）的图象过点M （23π，－3），直线
x ＝23π向右平移4
π个单位长度后恰好经过f （x ）上与点M 最近的零点，则f （x ）在 [－
2π，2
π]上的单调递增区间是 A ．[－2π，6π] B ．[－3π，3π] C ．[－3π，6π] D ．[－6π，6π] 8．已知双曲线22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，直线l 过F 点与一条渐近线垂直，原点到l 的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为
A B ．2 C ．5 D ．54
9．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区
间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系．其具体内容如下：若f （x ）在
[a ，b]上满足以下条件：①在[a ，b]上图象连续，②在（a ，b ）内导数存在，则在（a ，b ）内至少存在一点c ，使得f （b ）－f （a ）＝()()f c b a '－（()f x '为f （x ）的导函数）．则函数f （x ）＝xe x －1在[0，1]上这样的c 点的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．6名大学生响应国家号召，到西部边远地区A ，B ，C 三个学校支教，每个学校2人，根
据学校需要及所学的专业，甲不能到A 学校，乙、丙所学专业相同，不能安排到同一学校，则不同的安排方案有
A ．24种
B ．36种
C ．48种
D ．72种
11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，M ，N 为抛物线上的两点（与坐
标原点不重合），MA ⊥l 于A ，NB ⊥l 于B ，已知MN 的中点D 的坐标为（2，1）， △ABF 与△MNF 的面积比为2 ：1，则p 的值为
A ．4
B ．3
C ．1
D ．1或12
12．已知圆锥的底面圆心为O ，顶点为S ，A ，B 是
底面圆周上的两点，SB 与平面SOA 所成角的正弦值为
34，则SA 与OB 所成角的余弦值为
A B ．12 C ．34 D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖（大小忽略不计），
则飞镖落到阴影部分内的概率为__________．
14．执行如图所示的程序框图，输出的S ＝__________．
15．在平面四边形PACB 中，已知∠APB ＝120°，PA ＝
PB ＝23，AC ＝10，BC ＝8．沿对角线AB 折起得
到四面体P —ABC ，当PA 与平面ABC 所成的角最大
时，该四面体的外接球的半径为__________．
16．已知公差不为零的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足1a ，2a ，5a 成等比数列，
5S ＝23a ，数列{n b }满足()()11
211n n n n n a b a a ＋＋＋＝－，前n 项和为n T ，则5T ＋10T ＝__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
斜三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cosB －2cosA ＝－2sinBsinC ． （Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若△ABC 的面积为153，周长为15，求sin sin A B
的值．
18．（12分）
如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱A 1D 1的中点，E 是PD 的中点，AA 1＝ 3，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12
AD ＝1．
（Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；
（Ⅱ）若点M 在线段PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求线段BM 的长
度．
19．（12分）
国家对电器行业生产要求低碳、环保、节能，有利于回收．冰箱的生产质量用综合质量指标值H来衡量，当H≥85时，产品为一级品，当75≤H＜85时，产品为二级品，当70≤H＜75时，产品为三级品．某冰箱生产厂家，为满足国家要求，根据市场需求，研究开发一种新款冰箱，试生产50台，并初步测量了每台冰箱的H值，得到下面的结果：
将样本频率视为总体概率．
（Ⅰ）若从这批产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中恰有一件三级品”为事件W，求事件W发生的概率P（W）．
（Ⅱ）将这批产品报送主管部门进行质量检测，以取得产品生产许可证．主管部门的检测方案：先从这批产品中任取4件，若这4件产品都是一级品，再从这批产品中任取1件检测，若为一级品，则这批产品通过检测，并颁发生产许可证；若这4件产品有3件一级品，则再从这批产品中任取4件检测，若这4件产品都是一级品，则这批产品通过检测，并颁发生产许可证．其他情况下这批产品不能通过检测，且每件产品的检测相互独立．求该冰箱生产厂家取得生产许可证的概率．
（Ⅲ）若该冰箱生产厂家取得生产许可证，厂家投入生产，且已知生产一台冰箱的成本为600元，一件一级品的售价为1600元，一件二级品的售价为1400元，一件三级品的售价为200元，设一台冰箱的利润为Y元，求Y的分布列及数学期望．
20．（12分）
已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
＋＝（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，椭圆的右焦点与右顶点及上顶21
－．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知直线y＝k（x－1）与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为（7
4
，0），问：
是否存在k ，使得QA ·QB ＞1?若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数f （x ）＝xe x －1－ax ＋1，其中a ∈R ．
（Ⅰ）当a ＝2时，求f （x ）的极值点的个数；
（Ⅱ）当a ＝0时，证明：不等式()()
2ln f x x x f x －－
≥0在（0，＋∞）上恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1sin 24cos 2x t y t πσπσ??? ????????? ?????
＝＋＋，＝－－（其中t 为参数，σ为常
数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ＝＋，射线l 0的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜
4π），射线l 0与曲线C 交于O ，M 两点．
（Ⅰ）写出当σ＝π时l 的极坐标方程以及曲线C 的参数方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若射线l 0与直线l 交于点N ，求
OM ON 的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数()1232
f x x x ＝＋＋＋． （Ⅰ）求不等式f （x ）≤4x ＋7的最小整数解m ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意a ，b ∈（－m ，＋∞），若a ＋b ＝4，求22
11
b a W a b ＝＋－－ 的最小值．