2018年苏教版数学选修2-2第1章 1.1.2 瞬时变化率——导数
1.1.2瞬时变化率——导数
1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)
2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)
3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1曲线上一点处的切线
阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
判断正误：
(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()
(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．()
【答案】(1)×(2)×
教材整理2瞬时速度与瞬时加速度
阅读教材P11～P12，完成下列问题．
(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0)
Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
1．判断正误：
(1)自变量的改变量Δx 是一个较小的量，Δx 可正可负但不能为零．( )
(2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( )
【答案】 (1)√ (2)×
2．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．
【解析】 Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt
＝18＋3Δt ， 当Δt →0时，Δs Δt ＝18＋3×0＝18.
∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18.
【答案】 18
教材整理3 导数
阅读教材P 13～P 14，完成下列问题．
1．函数在一点处的导数及其几何意义
(1)导数
设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．
(2)导数的几何意义
导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．
2．导函数
若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．
1．判断正误：
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．()
(3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．()
(4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．()
【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．
【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√
2．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．
【解析】Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx，
∴Δy
Δx＝2，∴f′(2)＝2.
【答案】 2
3．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.
【解析】由导数的几何意义，f′(4)＝－2.
又f(4)＝－2×4＋9＝1.
故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.
【答案】－1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12
gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是__________．
【精彩点拨】 先求出Δs Δt ，再求瞬时速度．
【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－? ??
??v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g (Δt )2，
∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，
∴当Δt →0时，Δs Δt →v 0－gt 0，即t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.
(2)∵当t ＝1时，Δs ＝2(1＋Δt )3－2×13
＝2[1＋(Δt )3＋3Δt ＋3(Δt )2]－2
＝2＋2(Δt )3＋6Δt ＋6(Δt )2－2 ＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt ，
∴Δs Δt ＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt Δt
＝2(Δt )2＋6Δt ＋6， ∴当Δt →0时，Δs Δt →6，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是6.
【答案】 (1)v 0－gt 0 (2)6
求运动物体瞬时速度的三个步骤：