正弦定理和余弦定理试题答案
正弦定理和余弦定理试题答案
资阳中学
一、选择题：(本大题共12小题，每小题6分，共60分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63
D.63
解析：依题意得0°
，cos B ＝1－sin 2B ＝
6
3
，选D. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 2
2bc ＝
3
2
，于是A ＝30°，故选A. 3．(2010·江西)E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.16
27
B.23
C.3
3
D.3
4
解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝2
3，由余弦定理得CE ＝CF ＝
AE 2
＋AC 2
－2AC ·AE cos45°＝5
3，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45
，
所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF
cos ∠ECF
＝
1－????45245
＝3
4
. 答案：D 4．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈????0，π
2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 22.∴a c ＝sin B ＝2
2.
∵B ∈????0，π2，∴B ＝π4，由c ＝2a ， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 2－b 222a 2＝22. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . 答案：D
5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B
＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )
A ．1＋ 3
B ．3＋ 3 C.3＋3
3
D ．2＋ 3
解析：2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12?ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·3
2?b 2＝
4＋233?b ＝3＋3
3
. 答案：C
6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝1
2
，则( )
A ．b ＋c ＝2a
B ．b ＋c <2a
C ．b ＋c ≤2a
D ．b ＋c ≥2a
解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－1
2， 又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C
＝120°. 所以b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C
2sin A
＝
2sin
B ＋
C 2cos B －C
23
＝cos B －C
2≤1，b ＋c ≤2a . 答案：C
7、若ABC ?的内角
A 满足2
sin 23
A =
，则sin cos A A +=
．．53 D ．53-
解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25
(sin
cos )1sin 23
A A A +=+=
，故选A 8、如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形
解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC ?是锐角三角形，若222A B C ?是锐角三角形，由
211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???==-???==-??，得212121222A A B B C C πππ?=-??
?
=-???
=-??
，那么，2222A B C π++=，所以222
A B C ?是钝角三角形。故选D 。
9、ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =--
,若
//p q
,则角C 的大小为
(A)
6π (B)3π (C) 2
π (D) 23π
【
解析】222
//()()()p q a c c a b b a b a c ab
?+-=-?+-= ，利用余弦定理可得
2cos 1C =，即1cos 23
C C π
=
?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。
10、已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（
）
解：
依题意，结合图形可得tan 2A =
，故222tan
2tan 71tan 2A
A A ===-，选D 11、ABC ?的内角A 、
B 、
C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c
a =，则cos B =
A ．
1
4
B ．
34
C
．
4
D
．
3
解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，
222cos 2a c b B ac +-==2222
423
44
a a a a +-=，选B.
12、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =
3
π
,a =
3,b =1，则c =
(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3
解：由正弦定理得sinB ＝
12
，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30?，所以C ＝90?，故c ＝2，选B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题后的横线上．) 13、在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.
解： sin
:sin :sin 5:7:8A B C =?a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k 由余弦定理可解得B ∠的
大小为3
π.
14、在?ABC 中，已知4
3
3=
a
，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝ .
解：由正弦定理易得结论sinB ＝
2
。 15、在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识
【正确解答】由正弦定理得，
sin 45sin 60AC BC
=
解得
AC =【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理
16、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长
为 ．
解析: 由ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3
B
π
∠=
AD 为边BC 上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得
AD 。
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 三、解答题：(17-21题12分，22题14分，写出证明过程或推演步骤．)
17。、已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a 1tan A ＋b 1
tan B ，求内角C .
解：由a ＋b ＝a 1tan A ＋b 1
tan B 及正弦定理得 sin A ＋sin B ＝cos A ＋cos B ，
即sin A －cos A ＝cos B －sin B ， 从而sin A cos π4－cos A sin π4＝cos B sin π4－sin B cos π
4，
即sin ????A －π4＝sin ????π4－B . 又0 2. 18、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－1 2，又A ∈(0，π)，故A ＝120°. (2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝1 2. 因为0° 19、如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长． 解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得 cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6 ＝－12， ∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10× 322 2 ＝ 5 6. 20、已知ABC △ 1，且s i n s i n 2A B C +=．（I ）求边 AB 的长；（II ）若ABC △的面积为 1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得 1AB BC AC ++=，BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积 11sin sin 26BC AC C C = ，得1 3 BC AC = ，由余弦定理，得 222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= = ，所以60C = ． 21、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.4 3cos = B （Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设3 2 BA BC ?= ，求a ＋c 的值. 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等． 解：（Ⅰ）由 , 4 7 )43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由 b 2=ac 及正弦定理得 .s i n s i n s i n 2 C A B = 则B C A C A A C A C C C A A C A C A 2sin ) sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1cot cot +=+=+=+= + .774 sin 1sin sin 2=== B B B （Ⅱ）由32BA B C ?= ，得ca ?cos B ＝32，由ㄋB ＝34 ，可得ac ＝2，即b 2 ＝2． 由余弦定理 b 2=a 2+ c 2 －2a c+cosB ，得 a 2+c 2= b 2+2a c ·cosB=5. 3, 9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a 22、 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东?60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东?30，海轮改为北偏东?60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离． 解：如图，在△ABP 中，AB = 30×60 40 = 20， ∠APB =?30，∠BAP =?120， 由正弦定理，得： BPA AB ∠sin = BAP BP ∠sin ，即 2120=2 3BP ，解得BP =320． 在△BPC 中，BC = 30× 60 80= 40， 由已知∠PBC =?90，∴PC =2 2BC PB += 2220)320(+=720 (海里)． 所以P 、C 间的距离为720 海里． 评析：上述两例是在准确理解方位角的前提下，合理运用正弦定理把问题解决，因此，用正弦定理解有关应用问题时，要注意问题中的一些名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等． 余弦定理 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边： 余弦定理 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( )A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3ac ， 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2 8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________． 11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. 12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2 4 ，则角C＝________. 14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长． 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正弦定理、余弦定理 命题人申占宝 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示） 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA ) ( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，=== ? 解：∵21 3 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+= c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，=== ? 解：2 3 245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小. 《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a . 第三章第6讲《正弦定理和余弦定理》学案 班别：姓名：座位号： 考纲要求： 1. 利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题 2. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 要点梳理: 2.三角形面积公式： 1 1 1 S A ABC=2ah=2absin C = 2acsin B= _ 思考：在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.判断一下结论是否正确，说明理由 ⑴ a:b:c sin A:sin B:sinC a —L b + c ⑵sin A+sin B+sin C= 2R (R为三角形的外接圆半径) (3) a>b ? sin A>sin B ? A>B ； (4) sin A=sin B ? A=B?三角形为等腰三角形 (5) sin 2A= sin 2B? A = B?三角形为等腰三角形； 题组一：直接用正、余弦定理解三角形及求面积 1. （知两角和一边）在厶ABC中，A=30 °，B=45°, a 2求b 2. （知两边和一边对角）在厶ABC中，求B （1） b 10,c 5.6,C 60o （2） a 10,b 20, A 60o （3） a 2 3,b 6, A 30o 3. （知三边）在厶ABC中，a 3,b 3,c 3.3，求C 4. （知两边和夹角）在厶ABC中，b 3,c .、3,A 30°，求a 5. （求面积）在厶ABC 中，a 5,b 7,C 120°，求S ABC 6. （综合应用）（2011天津高考题改编）在厶ABC中，D为边AC上的一点，满足 BD=1, AB=AD= sinC 学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： §5.9正弦定理、余弦定理 目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点： 重点： 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点： （1）正弦定理、余弦定理的推导过程； （2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 ［学法指导］ 学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90°时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R 为ΔABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。 【例题分析】 正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ） 高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1） 班级 姓名 1．在ABC ?中，?=∠?=∠=15,30,3B A a ，则=c ( ) A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3 2．在ABC ?中，若 B b sin 2=，则∠A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 3．在ABC ?中，?=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 4．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则 B A A 2cos cos sin +＝( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 5.在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中，已知 45,1,2=== B c b ，则a 等于 （ ） A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 8．在ABC ?中，?===30,3,1A b a ，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．无解 9.在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（ ） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则 =++++C B A c b a sin sin sin （ ） A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11．在ABC ?中，已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ，则AC ＝________； 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+= 第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦 定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×? ?? ??－12＝3a 2， ∴AB ＝3a . 答案B 2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．2 2 km B ．3 2 km C ．3 3 km D ．2 3 km 解析 如图，由条件知AB ＝24×15 60＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin45°sin30°＝3 2. 答案B 3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( ) A ．35海里 B ．352海里 C ．353海里 D ．70海里 解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°， EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120° ＝ 502＋302－2×50×30cos120°＝70. 答案D 4．(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为() A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35， 设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可． 正弦定理、余弦定理 一、选择题 1．在△ABC 中，已知,30,10,25?===A c a 则B= （ ） （A ）105° （B ）60° （C ）15° （D ）105°或15° 2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是 （ ） （A ） 7 21 （B ） 19 57 （C ） 383 （D ）19 57- 3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是 （ ） （A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）以上都有可能 4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是 （ ） （A ）一解 （B ）二解 （C ）无解 （D ）无法确定 5．在△ABC 中，中，若2 cos sin sin 2 A C B =，则△ABC 是 （ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 6．在△ABC 中，已知13 5 cos ,53sin == B A ，则 C cos 等于 （ ） （A ） 6556 （B ） 65 16 （C ） 6516或65 56 （D ） 65 33 7．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是 （ ） （A ）2 （B ）1 （C ） 2 2 （D ）12- 8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(2 2 2 2 2 2 c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图 象是 （ ） （A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方 （C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点 二、填空题 9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ． 10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形 面积为 ． 11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是 ． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为 ． 三、解答题 13．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＜B ＜C ，B=60°，且满足 ).13(2 1 )2cos 1)(2cos 1(-= ++C A 求：（1）A 、B 、C 的大小； （2）c b a 2+的值． 1.1．2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形； 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。 难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识，即当∠C=90时，有c=a+b。作为一般的情况，当∠C≠90时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝1 2 ， C ＝π6 ，则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6× 2 2 ＝3，∴b sin A 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2 D ．2＜x ＜23 (2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×2 2 ＜1， 可得x ＜22， ∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2 －2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1. 高频考点二 和三角形面积有关的问题 例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π 4 ， b 2－a 2＝12 c 2. (1)求tan C 的值； (2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2 ＝12 c 2及正弦定理得余弦定理知识点+经典题(有答案)
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