必修 5 第一章《解三角形》练习题
1.△ ABC 中, D 在边 BC 上,且 BD = 2, DC= 1,∠ B= 60o,∠ ADC = 150o,求 AC 的长及△ ABC 的面积.
A ,
B ,
C 的对边分别为a,b, c,且bcosB+ ccosC=acosA,试判2.在△ ABC 中,已知角
断△ ABC 的形状.
3. 如图,海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见
小岛 B 在北偏东 75°,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰行的
方向继续前进,问此舰有没有角礁的危险?
4.如图,货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水
平角 )为 152o的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为122o.半小
时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为32o.求此时货轮与灯塔之间的距离.
北
o
152o 122
B
北
A
32 o
C
5.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为
180km(千米) /h (小时)飞机先看到山顶的俯角为150,经过 4 秒)后又看到山顶的俯角为450,求山顶的海拔高度(取 2 =1.4, 3 =1.7).
B D
1545A
C
图1图2
6.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南2
(cos)方向 300km 的海面 P 处,并以 /h 的速度向西偏北45°方向移动,台风
侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?
西
北
东O
θ
东45
°
P
参考答案
1.在△ ABC 中,∠ BAD = 150o - 60o = 90o ,∴ AD = 2sin60o = 3 . A
在△ ACD 中, AD 2= ( 3 )2+ 12 -2× 3 ×1×cos150o = 7,∴ AC = 7 .
∴AB = 2cos60o = 1. S △ ABC =
1
B
2D1C
×1×3×sin60o
= 3
3 .
2
4
2.∵ bcosB + ccosC = acosA ,由正弦定理得:
sinBcosB + sinCcosC = sinAcosA ,
即 sin2B + sin2C =2sinAcosA ,∴ 2sin(B + C)cos(B - C)= 2sinAcosA .∵ A + B +C = π, ∴sin(B +C)= sinA .而 sinA ≠0,∴ cos(B -C)= cosA ,即 cos(B -C)+ cos(B + C)= 0,
∴2cosBcosC = 0.∵ 0< B < π , 0<C < π,∴ B =
或 C = ,即△ ABC 是直角三角形.
2
2
3、解:如 , 点 B 作 BD ⊥ AE 交 AE 于 D
由已知, AC=8 ,∠ ABD=75 °,∠ CBD=60 °
在 Rt △ ABD 中,
AD=BD · tan ∠ABD=BD · tan 75° 在 Rt △ CBD 中,
CD=BD · tan ∠ CBD=BD ·tan60°
∴ AD - CD=BD ( tan75°- tan60°)=AC=8, ?9 分∴ BD
8 4 3.8
tan750
tan600
∴ 没有触礁的危 。
4.在△ ABC 中,∠ B = 152o - 122o = 30o ,∠ C = 180o - 152o + 32o = 60o ,∠ A =180o - 30o - 60o =90o
, BC =
35
,∴ AC =
35
sin30o
=
35
.
2
2
4
答:船与灯塔 的距离
35 n mile . 4
5. 解:如
∵A 150 DBC
450 ∴ ACB
300,
AB= 180km (千米) /h (小 )
4 秒)
= 21000(m )
∴在
ABC 中
∴ BC
AB
sin A
sin ACB
∴ BC
21000 sin150
10500( 6
2)
1
2 A
B D
∵ CD AD ,
∴ CD
BC sin CBD
BC sin 450
2 = 10500( 6
2)
2
C
= 10500 ( 3 1) = 10500(1.7 1)
=7350
山顶的海拔高度=10000-7350=2650( 米 )
6.解:设经过 t 小时台风中心移动到Q 点时,台风边沿恰经过O 城,
北由题意可得: OP=300, PQ=OQ=r(t)=60+10t
2724东
因为 cos,α=θ -45° ,所以sin, cos O
10105
东
222
θ由余弦定理可得: OQ =OP +PQ -2·OP·PQ·cos
即 (60+10t) 2=3002+(2 -2· 300·
4
5
即 t 236t 288 0 ,
解得 t112 ,t224
t2t112西
45°
P
答: 12 小时后该城市开始受到台风气侵袭,受到台风的侵袭的时间有12 小时?
(I)求 (II)若,求. 2.(2013四川)在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3.(2013山东)设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4.(2013湖北)在 中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5.(2013新课标)△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6.(2013新课标1)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7.(2013江西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C
(I)求 (II)若,求. 【答案】 4.(2013年高考四川卷(理))在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =-
三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知
高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .2
解三角形大题专练 1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1 7. (1)求∠A ; (2)求AC 边上的高. 解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1 7, 所以sin B =1-cos 2 B =43 7 . 由正弦定理得sin A = a sin B b =3 2 . 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π 2, 所以∠A =π 3. (2)在△ABC 中, 因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33 14 , 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33 2 . 2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3 7 a . ①求sin C 的值; ②若a =7,求△ABC 的面积. [解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3 7a , 所以由正弦定理得sin C = c sin A a =37×32=33 14 . ②因为a =7,所以c =3 7 ×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32 -2b ×3×12, 解得b =8或b =-5(舍). 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3 2 =6 3.
3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2 B 2 . ①求cos B ; ②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2 B 2, ∴sin B =8sin 2 B 2,即2sin B 2·cos B 2=8sin 2 B 2, ∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B 2 , ∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517 . 解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2 B 2,故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2 B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15 17 . ②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4 17ac . 又S △ABC =2,则ac =17 2. 由余弦定理及a +c =6得, b 2=a 2+ c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B ) =36-17×32 17 =4,∴b =2. 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3. 【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=