新疆维吾尔自治区喀什地区2014-2015学年高二数学上学期10月月考试卷(含解析)

新疆维吾尔自治区喀什地区2014-2015学年高二上学期10月月考数学

试卷

一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则A∩（?U B）=（）

A．{4，5} B．{2，4，5，7} C．{1，6} D．{3}

2．（5分）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，0]上为递增，则（）

A．f（）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（） C． f（3）＜f （2）＜f（）D．f（3）＜f（）＜f（2）

3．（5分）两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法

（1）若r＞0，则x增大时，y也相应增大；

（2）若r＜0，则x增大时，y也相应增大；

（3）若r=1或r=﹣1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上．

其中正确的有（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

4．（5分）已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a （x+b）的图象可能为（）

A．B．C． D．

5．（5分）如图，正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P﹣ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的正视图的面积等于（）

A．3B．6C．12 D．24

6．（5分）sin15°+cos165°的值为（）

A．B．C．D．

7．（5分）任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形的概率是（）

A．B．C．D．

8．（5分）某球与一个120°的二面角的两个面相切于A、B两点，且A、B两点间的球面距离为π，则此球的表面积是（）

A．12πB．24πC．36πD．144π

9．（5分）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．（5分）已知函数f（x），x∈R，且f（2﹣x）=f（2+x），当x＞2时，f（x）是增函数，设a=f（1.20.8），b=f（0.81.2），c=f（log327），则a、b、c的大小顺序是（）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

11．（5分）若方程3|sinx|=sinx+a在[0，2π）上恰好由四个解，那么实数a的取值范围是（）

A．2＜a＜4 B．2≤a＜4 C．0≤a＜2 D．0＜a＜2

12．（5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为

（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件

产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（）

A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16

二、填空题：每小题5分，共20分．

13．（5分）cos36°cos24°﹣sin36°sin24°=．

14．（5分）已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围．

15．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是

．

16．（5分）已知函数f（x）=的定义域为A，2?A，则a的取值范围是．

三、解答题：共7小题，70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，b=，∠B=60°，c=1，求a和∠A、∠C．

18．（10分）已知函数f（x）=x+，且此函数图象过点（1，5）．

（1）求实数m的值；

（2）判断f（x）奇偶性．

19．（10分）已知圆C经过A（2，﹣1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l经过圆C内一点与圆C相交于A，B两点，当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

20．（10分）向量=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，﹣4sinβ），α、β∈R且α、β、（α+β均不等于+kπ，k∈Z）．

（1）求|+|的最大值；

（2）当∥，且⊥（﹣2）时，求tanα﹣tanβ的值．

21．（10分）定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈（0，1）时，f （x）=．

（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；

（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

22．（10分）已知向量，，A，B，C为锐角△ABC

的内角，其对应边为a，b，c．

（Ⅰ）当取得最大值时，求角A的大小；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，当a=时，求b2+c2的取值范围．

23．（10分）已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）?．

（1）求f（x）的最小正周期T；

（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

新疆维吾尔自治区喀什地区2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则A∩（?U B）=（）

A．{4，5} B．{2，4，5，7} C．{1，6} D．{3}

考点：补集及其运算；交集及其运算．

专题：计算题．

分析：根据补集的定义求得C U B，再根据两个集合的交集的定义求出A∩（C U B ）．

解答：解：C U B={2，4，5，7}，A∩（C U B）={3，4，5}∩{2，4，5，7}={4，5}，

故选 A．

点评：笨题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出C U B是解题的关键．

2．（5分）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，0]上为递增，则（）

A．f（）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（） C． f（3）＜f （2）＜f（）D．f（3）＜f（）＜f（2）

考点：奇偶性与单调性的综合．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：f（x）满足f（x+2）=f（x），即函数是以2为周期的周期函数由偶函数f（x），且在[﹣1，0]上单调递增，根据偶函数的性质可得函数在[0，1]单调递减，而f（3）=f（1），f （）=f（2﹣），f（2）=f（0）且0＜2﹣＜1．结合函数在[0，1]上的单调性可比较．解答：解：f（x）满足f（x+2）=f（x）即函数是以2为周期的周期函数．

又定义在R上的偶函数f（x），且在[﹣1，0]上单调递增，

根据偶函数的性质可得函数在[0，1]单调递减．

而f（3）=f（1），f（）=f（2﹣），f（2）=f（0）且0＜2﹣＜1．

∴f（0）＞f（2﹣）＞f（1），即f（3）＜f（）＜f（2）．

故选D．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等函数性质的综合应用，要比较式子的大小，关键是先要根据周期性把所要比较的变量转化到一个单调区间，然后结合该区间的单调性进行比较．

3．（5分）两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法

（1）若r＞0，则x增大时，y也相应增大；

（2）若r＜0，则x增大时，y也相应增大；

（3）若r=1或r=﹣1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上．

其中正确的有（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

考点：相关系数．

专题：阅读型．

分析：处理本题时可根据线性回归中，相关系数的定义，利用相关系数r进行判断：而且|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱，当r为正数时，表示变量x，y正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；当r为负数时，表示两个变量x，y 负相关，即可得答案．

解答：解：根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：

当r为正数时，表示变量x，y正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；当r 为负数时，表示两个变量x，y负相关，|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱，故可知①③正确．

故选C．

点评：本题主要考查了相关系数．当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．

4．（5分）已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a （x+b）的图象可能为（）

A．B．C． D．

考点：对数函数的图像与性质；二次函数的图象．

专题：计算题．

分析：由a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）=log a （x+b）的图象是单调递增的，g（1）＞0，从而可得答案．

解答：解：由f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．

∴g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，

又g（1）=log a（1+b）＞log a1=0，可排除C，

故选B．

点评：本题考查对数函数的图象与性质，由由a＞b与函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象得到a＞1＞b＞0是关键，属于基础题．

5．（5分）如图，正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P﹣ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的正视图的面积等于（）

A．3B．6C．12 D．24

考点：简单空间图形的三视图．

专题：图表型．

分析：正视图是一个三角形，底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形，即可判断三角形的形状，然后求出面积即可．

解答：解：由题意可知：正视图是一个三角形，

底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形，

腰长l==4，高为h==，

又∵正四棱锥底面正方形的边长为：6，

正视图面积为：×=3．

故选A．

点评：本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

6．（5分）sin15°+cos165°的值为（）

A．B．C．D．

考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．

专题：计算题．

分析：利用诱导公式，把要求的式子化为sin15°﹣cos15°=sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°），再利用两角差的正弦、余弦公式，进一步展开运算求得结果．

解答：解：sin15°+cos165°=sin15°﹣cos15°=sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°

=﹣﹣﹣=，

故选B．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，以及诱导公式的应用，属于中档题．

7．（5分）任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形的概率是（）

A．B．C．D．

考点：几何概型．

专题：概率与统计．

分析：结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的．根据几何概率的求法：所投点落在第三个正方形的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．

解答：解：观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的，

则第三个正方形的面积为第一个三角形面积的，

故所投点落在第三个正方形的概率为P=，

故选：B．

点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

8．（5分）某球与一个120°的二面角的两个面相切于A、B两点，且A、B两点间的球面距离为π，则此球的表面积是（）

A．12πB．24πC．36πD．144π

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题．

分析：画出图形，圆O是球的一个大圆，∠MAN是二面角的平面角，AM、AN是圆O的切线，欲求两切点间的球面距离即求圆O中劣弧 MN^的长，将立体几何问题转化为平面几何问题解决．

解答：解：画出图形，如图，在四边形OMNA中，AM、AN是球的大圆的切线，

∴AM⊥OM，AN⊥ON，

∵∠MAN=120°∴∠MON=60°

∴两切点间的球面距离是 MN^=×OM=π．

∴OM=3，则此球的表面积是36π

故选C．

点评：空间几何体的主要元素往往集中在某一特征截面上，这个特征截面是一个平面图，从而将立体几何问题转化为平面几何问题．从特征截面入手加以剖析，实现转化是解题的关键．

9．（5分）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）

A．0 B．1 C．2 D．3

考点：对数的运算性质．

专题：计算题．

分析：由题设条件知，lg2=b，故2a+b=．

解答：解：∵100a=5，10b=2，

∴，lg2=b，

∴2a+b=．

故选B．

点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．

10．（5分）已知函数f（x），x∈R，且f（2﹣x）=f（2+x），当x＞2时，f（x）是增函数，设a=f（1.20.8），b=f（0.81.2），c=f（log327），则a、b、c的大小顺序是（）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

考点：函数单调性的性质；对数值大小的比较．

专题：计算题．

分析：由已知中，函数f（x），当x∈R，且f（2﹣x）=f（2+x），我们可以判断出函数的图象为轴对称图形，又由当x＞2时，f（x）是增函数，我们可以得到当x＜2时，f（x）是减函数，将a=f（1.20.8），b=f（0.81.2），c=f（log327），中的自变量转化为同一单调区间后，即可根据函数单调性判断出三个数的大小．

解答：解：∵f（2﹣x）=f（2+x），恒成立

即函数的图象关于x=2对称，

又∵当x＞2时，f（x）是增函数，

∴当x＜2时，f（x）是减函数，

∴1＜1.20.8＜2

0.81.2＜1

log327=3

∴a=f（1.20.8）＜f（1）=c=f（log327）＜b=f（0.81.2），

故选B

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，对数值大小的比较，其中根据已知条件，判断函数的单调性是解答本题的关键．

11．（5分）若方程3|sinx|=sinx+a在[0，2π）上恰好由四个解，那么实数a的取值范围是（）

A．2＜a＜4 B．2≤a＜4 C．0≤a＜2 D．0＜a＜2

考点：正弦函数的图象．

专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．

分析：首先对函数进行分类讨论，进一步画出函数的图象，根据函数的图象求的结果．

解答：解：方程3|sinx|=sinx+a在[0，2π）上恰好由四个解，

则：设y1=3|sinx|﹣sinx，y2=a

当0≤x≤π，y1=3|sinx|﹣sinx=2sinx

当π＜x≤2π，y1=3|sinx|﹣sinx=，﹣4sinx

根据函数的图象：当0＜a＜2时，方程3|sinx|=sinx+a在[0，2π）上恰好由四个解．

故选：D

点评：本题考查的知识要点：正弦型函数的函数图象，绝对值在函数运算中的应用．12．（5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为

（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件

产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（）

A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16

考点：函数解析式的求解及常用方法．

专题：函数的性质及应用．

分析：首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、A的值．

解答：解：由题意可得：f（A）==15，

所以c=15

而f（4）==30，可得出=30

故=4，可得A=16

从而c=15=60

故答案为D

点评：分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．

二、填空题：每小题5分，共20分．

13．（5分）cos36°cos24°﹣sin36°sin24°=．

考点：两角和与差的余弦函数．

专题：计算题．

分析：由题设中cos36°cos24°﹣sin36°sin24°的形式知，应该先用余弦的和角公式化简，再利用特殊角求值

解答：解：由题意cos36°cos24°﹣sin36°sin24°=cos60°=

故答案为

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，解答本题的关键是熟记两角和与差的余弦函数公式，及特殊角的三角函数值，本题是基本公式考查题．

14．（5分）已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围．

考点：二次函数的性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．

解答：解：由题意得，函数的定义域是R，

且f（﹣x）=（﹣x）3+3（﹣x）=﹣（x3+3x）=﹣f（x），

所以f（x）是奇函数，

又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，

所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），

由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，

则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，

等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，

所以，解得﹣2＜x＜，

即x的取值范围是，

故答案为：．

点评：本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．

15．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是

3π．

考点：由三视图求面积、体积．

专题：计算题．

分析：由正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，我们可以把它看成一个棱长为1的正方体的一角，故其外接球即为棱长为1的正方体的外接球．

解答：解：由正视图、侧视图、俯视图均为直角边长为1等腰直角三角形，

故其外接球即为棱长为1的正方体的外接球

则2R=

∴外接球的表面积S=4πR2=3π

故答案为：3π

点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中利用补足法，将该几何体的外接球，转化为棱长为1的正方体的外接球，是解答的关键．

16．（5分）已知函数f（x）=的定义域为A，2?A，则a的取值范围是1＜a＜3．

考点：函数的定义域及其求法．

分析：根据根式有意义的条件求函数的定义域．

解答：解：∵函数f（x）=的定义域为A，

∴x2﹣2ax+a2﹣1≥0，

∴△≤0，

∴4a2﹣4（a2﹣1）≤0，

∴a∈R，

∵2?A，

∴4﹣4a+a2﹣1＜0

∴1＜a＜3，

故答案为1＜a＜3．

点评：此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件，是一道基础题．

三、解答题：共7小题，70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，b=，∠B=60°，c=1，求a和∠A、∠C．

考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：由b，cosB，以及c的值，利用余弦定理即可求出a的值；由a，sinB以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，利用特殊角的三角函数值即可确定出A的值，进而求出C的度数．

解答：解：∵在△ABC中，b=，∠B=60°，c=1，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得：3=a2+1﹣a，

解得：a=2或a=﹣1（舍去），

∴由正弦定理=得：sinA===1，

∴∠A=90°，∠C=30°．

点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

18．（10分）已知函数f（x）=x+，且此函数图象过点（1，5）．

（1）求实数m的值；

（2）判断f（x）奇偶性．

考点：函数的图象；函数奇偶性的判断．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：（1）由题意可得1+m=5，从而求m；

（2）由题意求函数的定义域及f（﹣x）与f（x）的关系及可．

解答：解：（1）∵函数图象过点（1，5），

∴1+m=5，

∴m=4；

（2）f（x）=x+的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

且f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），

故f（x）为奇函数．

点评：本题考查了参数的求法及函数奇偶性的判断，属于中档题．

19．（10分）已知圆C经过A（2，﹣1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l经过圆C内一点与圆C相交于A，B两点，当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

考点：直线与圆的位置关系．

专题：计算题．

分析：（Ⅰ）根据条件设圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2，则由

求解．

（Ⅱ）易知CP⊥AB，由，得到，从而得直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，设圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2，（1分）

∴（4分）

∴a=1，．（6分）

所以（x﹣1）2+（y+2）2=2．（7分）

（Ⅱ）由题意得CP⊥AB，而，所以，（10分）

从而得直线AB的方程为．（12分）

所以直线AB的方程为2x+4y+11=0．（14分）

点评：本题主要考查圆的标准方程的求法及直线与圆的位置关系，属中档题．

20．（10分）向量=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，﹣4sinβ），α、β∈R且α、β、（α+β均不等于+kπ，k∈Z）．

（1）求|+|的最大值；

（2）当∥，且⊥（﹣2）时，求tanα﹣tanβ的值．

考点：平面向量的综合题．

专题：平面向量及应用．

分析：（1）利用向量坐标运算及求模公式解得即可；

（2）利用向量的坐标运算由=0可得到sin（α+β）=2cos（α+β），从而可得tan（α+β）的值．

解答：解：（1）=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），

∴=≤=4，当且仅当β=﹣（k∈Z）时取等号，故最大值为4．

（2）?16cosαcosβ=sinαsinβ?tanαtanβ=16，

由=0得，sin（α+β）=2cos（α+β），

联立以上两式得tan（α+β）=﹣30．

点评：本题主要考查向量的坐标运算及求模公式、向量垂直的条件等知识，属于中档题．

21．（10分）定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈（0，1）时，f （x）=．

（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；

（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

考点：函数的周期性；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．

专题：综合题．

分析：（Ⅰ）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），由f（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x）=，故，x∈（﹣1，0）．由奇函数得f（0）=0．由此能求出

f（x）在[﹣1，1]上的解析式．

（Ⅱ）由x∈（0，1），知m=1﹣，故2x∈（1，2），．由此能求

出当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解．

解答：解：（Ⅰ）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），

由f（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x）==，

∴，x∈（﹣1，0）．…（3分）

又由奇函数得f（0）=0．

∵f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣1）=f（1），

∴f（﹣1）=0，f（1）=0．…（5分）

∴．…（7分）

（Ⅱ）∵x∈（0，1），

m===1﹣，…（10分）

∴2x∈（1，2），

∴．

即m．…（13分）

点评：本题考查求f（x）在[﹣1，1]上的解析式和当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解．解题时要认真审题，注意函数的奇偶性的灵活运用．

22．（10分）已知向量，，A，B，C为锐角△ABC 的内角，其对应边为a，b，c．

（Ⅰ）当取得最大值时，求角A的大小；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，当a=时，求b2+c2的取值范围．

考点：余弦定理；数量积的坐标表达式．

专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．

分析：（I）根据向量数量积的公式，化简得=cosA+2sin，结合二倍角的余弦公式化简得=﹣2（sin﹣）2+，利用二次函数的性质可得取得最大值时，sin=，结合A为三角形的内角算出A=；

（II）由A=且a=，利用余弦定理化简得b2+c2﹣bc=3，根据基本不等式bc≤（b2+c2），算出b2+c2≤6．在根据三角形中b+c＞a，即可得出b2+c2的取值范围．

解答：解：（I）∵向量，，

∴=2sin﹣cos（B+C）

=cosA+2sin=﹣2sin2+2sin+1=﹣2（sin﹣）2+

因此，当取得最大值时，sin=，

结合A为三角形的内角，可得=，得A=；

（II）在（Ⅰ）成立的条件下，A=

∵a=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2+c2﹣bc=3

因此，b2+c2﹣3=bc≤（b2+c2），可得b2+c2≤6

当且仅当b=c=时，等号成立

又∵△ABC中，b+c＞a

∴3＜b2+c2≤6，即b2+c2的取值范围（3，6]．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求角A的大小并求b2+c2的取值范围，着重考查了向量数量积的坐标公式、余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．

23．（10分）已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）?．

（1）求f（x）的最小正周期T；

（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

分析：（1）由向量的数量积的坐标运算结合三角函数的降次公式、辅助角公式，将函数化简整理得f（x）=sin（2x﹣）+2，由此不难用三角函数的周期公式，求出f（x）的最小正周期T；

（2）根据正弦函数的单调性与最值，得到f（x）在x=时取得最大值，从而得到A=，在

△ABC内用余弦定理列出关于边b的方程，解之即得b的值，最后用面积正弦定理的公式可求出△ABC的面积S．

解答：解：∵（1）向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），

∴+=（sinx+cosx，﹣），

由此可得f（x）=（+）?=sinx（sinx+cosx）+=sin2x+sinxcosx+

∵sin2x=，sinxcosx=sin2x

∴f（x）=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2

根据三角函数的周期公式，得周期T==π；

（2）f（A）=sin（2A﹣）+2，当A∈[0，]时，f（A）的最大值为f（）=3

∴锐角A=，根据余弦定理，得cosA==，可得b2+c2﹣a2=bc

∵a=2，c=4，

∴b2+16﹣12=4b，解之得b=2

根据正弦定理，得△ABC的面积为：S=bcsinA=×2×4si n=2．

点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了三角函数的降次公式、辅助角公式和用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．