概率论第二章习题解答
概率论第二章习题
1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；
2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法：
3554
1021
C ?=
=?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2
2335511
{3}10
C P X C C ====
若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法，
其概率为23335533
{4}10
C P X C C ====
若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法
其概率为 25335566
{5}10
C P X C C ====
一般地 3
5
21
)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，
X的取值为1,2，3,4，5,6，
最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11
{1}
36
P X==；
最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），
9
{2}
36
P X==；
最小点数为3的共有7种，
7 {3}
36
P X==；
最小点数为4的共有5种，
5 {4}
36 P X==；
最小点数为5的共有3种，
3 {5}
36
P X==；
最小点数为6的共有1种，
1 {6}
36 P X==
3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，
（1）求X的分布律；
（2）画出分布律的图形。
解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，
从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3
15151413
P=??，其概率为
若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3
13131211
P=??
其概率为
13121122 {0}
15141335 p X
??
===
??
若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为
112 3213321312
C C P=???
其概率为 32131212
{1}
15141335
p X ???===??
若取到的次品数为2，，其概率为
22121
{2}1{0}{1}1353535
p X p X p X ==-=-==-
-=。 于是其分布律为
（24 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为1q p =-（01p <<），
（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需要的试验次数，求X 的分布律。（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。）。 （2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需要的试验次数，求Y 的分布律。（此时称Y 服从以r ，p 为参数的巴斯卡分布或负二项分布。）
解 （1）X 的取值为1,2,,,n ，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为
(2)Y 的取值为,1,,,r r n + ，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为
5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律。
（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以
Y 表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求Y 的分布律。
（3）求试飞次数X 小于Y 的概率；求试飞次数Y 小于X 的概率。
解 （1）X 服从1
=
p 的几何分布，其分布律为
(2)Y 所有可能的取值为1,2，3.
方法一 3
1}1{=
=Y p 31
2132}2{=?==Y p
3
1
12132}3{=??==Y p
方法二 由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即 3
1
}3{}2{}1{======Y p Y p Y p 即Y 的分布律为
(3) }3,2{}3,1{}2,1{}{==+==+=== 319231313131?+?+?= 27 8 = }{}3,2{}3,1{}2,1{}{4 ∑∞ ==+==+==+=== 3 1 )32(31)32(3131)32(319231422?+??+??+?=∑∞=i i 81 38= 6.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 解 设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且各次试验相互独立，于是 )1.0,5(~B X （1）恰有2个设力被使用，即{2}X =：0729.0)1.01(1.0}2{3 2 2 5=-??==C X p （2）至少有3个设备被使用，即{3}X ≥： }5{}4{}3{}3{=+=+==≥X p X p X p X p 5 5 54 4 52 3 3 51.09.01.09.01.0?+??+??=C C C 00856.0= （3）至多有3个设备被使用，即{3}X ≤： }5{}4{1}3{=-=-=≤X p X p X p 55 5 4451.0)1.01(1.01C C --??-= 99954.0= （4）至少有一个设备被使用，即{1}X ≤ {1}1{0}p X p X ≥=-=500 5 )1.01(1.01-?-=C 40951.0= 7 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.3，A 发生不少于3次时指示灯发出信号， （1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； （2）进行7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解 设A 发生的次数为X ，则(,0.3)X B n ，5,7n =，设B “指示灯发出信号” （1） 5 55 3(){3}(0.3)(0.7)k k k k P B P X C -==≥= ∑ 3 3 2 4 4 5 5 555(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)C C C =++ 100.2704950.00810.70.00243016308=??+??+= 或 2 5142 23220()1{}1(0.7)0.3(0.7)(0.3)(0.7)0.163k P B P X k C C ==-==--?-=∑ 同理可得 （2）7 75 3 (){3}(0.3)(0.7)0353k k k k P B P X C -==≥= =∑ 或 2 7162 25770 ()1{}1(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)0.353k P B P X k C C ==-==---=∑ 8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中的次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。 解 记甲投中的次数为X ，乙投中的次数为Y ，则)6.0,3(~B X ，)7.0,3(~B Y ， 0 3 3 3{0}(0.6)(0.4)(0.4)0.064p X C ==== 288.0)4.0)(6.0(}1{2 13===C X p 432.0)4.0()6.0(}2{2 23===C X p 3 3 3 3{3}(0.6)(0.4)(0.6)0.216p X C ==== 同理，027.0)3.0(}0{3 ===Y p 189.0)3.0)(7.0(}1{2 1 3===C Y p 441.0)3.0()7.0(}2{2 2 3===C Y p 343.0)7.0(}3{3===Y p 若记A 为事件“两人投中次数相等”，B 为事件“甲比乙投中的次数多”，则 }{}{},{)(3 30 i Y p i X p i Y i X p A p i i ====== ∑∑==32076.0= 0.0640.0270.2880.1890.4320.4410.2160.343=?+?+?+? 0.0017280.0544320.1905120.074088=+++32076.0= 又 {1,0}{1}{0}0.2880.0270.007776P X Y P X P Y ======?= {2,0}{2}{0}0.4320.0270.011664P X Y P X P Y ======?= {3,0}{3}{0}0.2160.0270.005832P X Y P X P Y ======?= {2,1}{2}{1}0.4320.1890.081648P X Y P X P Y ======?= {3,1}{3}{1}0.2160.1890.040824P X Y P X P Y ======?= {3,2}{3}{2}0.2160.4410.095256P X Y P X P Y ======?= 所以 }{)(Y X p B p >= }0,3{}0,2{}0,1{==+==+===Y X p Y X p Y X p {2,1}{3,p X Y p X Y +==+= ={3,2 p X Y +== 0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.095256=+++++ 0.243= 9.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品，接受这批产品，次品大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求 （1）这批产品经第一次检验就能接受的概率。 （2）需作第二次检验的概率。 （3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。 （4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。 （5）这批产品被接受的概率 解 设X 为“第一次检验出的次品数”，Y 为“第二次检验出的次品数”，则 )1.0,10(~B X ，)1.0,5(~B Y （1）这批产品第一次检验后接收，即没有发现次品，也就是X ＝0，而 349.0)9.0()9.0()1.0(}0{10900 10≈===C X p （2）需作第二次检验，即第一次检验发现次品数为1或2件：{12}X ≤≤ }2{}1{}21{=+==≤≤X p X p X p 2 10192 281010101 (0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)i i i i C C C -== =+∑581.0≈ （3）这批产品按第二次检验的标准接收，即在第二次取出的5件产品中没有次品： {0}Y = 5900 5)9.0()9.0()1.0(}0{===C Y p 590.0≈ （4） 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过，即： {0,12}Y X =≤≤ }21,0{≤≤=X Y p }21{}0{≤≤?==X p Y p （两事件相互独立） 581.0590.0?=343.0≈ （5）})21,0{}0({≤≤=?=X Y X p 343.0349.0+=692.0=. 10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的） 解 （1）可看作是古典概型问题，总挑法数为4 870C =，则成功一次的挑法为4 41C =，于是试验成功一次的概率的为4 811 70 p C = =. （2）设成功的次数为X ，则)70 1 , 10(~B X 4733 1010163.3)70 1 1()701( }3{-?≈-==C X p 因为能成功3次的概率特别小，所以可以认为他确有区分的能力。 11 尽管在几何教科书已经讲过仅用直尺和园规三等分任意角是还可能的，但是每一年总是有一些“发明者”撰写关于仅用园规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数X 服从参数为6的泊松分布，求明年没有此类文章的概率。 解 泊松分布 {},0,1,2, ! k e P X k k k λ λ-= = = 当6λ=时，明年没有此类文章，即0k =，于是明年没有此类文章的概率 06 66{0}0.002478750.00250! e P X e --====≈ 12 一电话总机每分钟收到的呼唤次数X 服从参数为4的泊松分布。求 （1）某一分钟恰有8次的概率。 （2）某一分钟呼唤次数大于3的概率。 解 （1）当4λ=，8k =时，某一分钟恰有8次的概率 844655360.01831199.3088 {8}0.029748!4032040320 e P X -?===== （2）当4λ=时，某一分钟呼唤次数大于3的概率 {3}1{0}{1}{2}P X P X P X P X P X >= -=-=-=-= 04142434 444410!1!2!3! e e e e ----=---- 4 321(148)3 e -=-+++ 71 1.2993 10.0183110.43310.566933 =-?=-=-= 13.某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为2 t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。 （1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）求某一天中午2时至下午5时至少收到1次紧急的概率。 解 因为2 t λ= ，所以 （1）某一天中午12时至下午3时，即3t =，则5.12 3 == λ，对应的泊松分布为 ! )5.1(}{5 .1k e k X p k -==， ,2,1,0=k ， 从而某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率 2231.0}0{5 .1===-e X p （2）求某一天中午2时至下午5时，即5t =，5.22 5 == λ，对应的泊松分布为 ! )5.2(}{5 .2k e k X p k -==， ,2,1,0=k ， 从而某一天中午2时至下午5时至少收到1次紧急的概率 918 .0!)5.2(}1{1 5 .2查表∑∞ =-=≥k k k e X p （查表 2.5,0k λ==时{0}0.0821P X ≤=），于是 {1}1{0}10.08210.9179P X P X ≥=-≤=-= 方法二 918 .01}0{1}1{5 .2===≥-e X p X p －＝－. 14 某人家中在时间间隔t （小时）内接到电话的次数服从参数为2t 的泊松分布。 （1）若他外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？ （2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长的时间是 多少？ 解 （1）若他外出计划用时10分钟，则16t =，123 t λ== 其间有电话铃响一次的概率 1 3 0.333313{1}0.3330.3330.71680.23881! e P X e --?==≈?=?= （2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，即2t λ=，0k =时 02(2)0.50! t t e p -= =，即 20.5t e -=，2ln 0.5t -= 11 ln 0.5(6931)0.346522 t =- =-?-=， 或 0.34656020.79t =?=（min ） 15 保险公司承保了5000张相同年龄，为期一年的保险单每人一份。在合同的有效期内若投保人死亡，则需赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡是相互独立。求保险公司对这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率（利用泊松定理计算。） 解 设在合同有效期内死亡的投保人为随机变量X ，根据题设条件知死亡的投保人不超过10人，即10X ≤，因此这可以看作是5000n =，0.0015p =的二项分布，其概率 为 10 105000 {10}(0.0015)(0.9985)k k k k P X C -=≤= ∑ 应用泊松定理，此时50000.00157.5np λ==?=， 107.5 7.5{10}!! k e e P X k k λ λ--≤= = （查表得）＝0.8622。 16 有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001，在某天的该时间段内有1000辆汽车通过，问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算） 解 设在该时间段内出事故的汽车数为随机变量X ，则这可以看作是1000n =， 0.0001p =的二项分布，其概率为 {2}1{1}P X P X ≥=-≤ 设10000.00010.1np λ==?=，泊松定理，{1}0.9953P X ≤=（查表：0.1λ=，1k =） {2}1{1}P X P X ≥=-≤＝0.0047。 17 （1）设X 服从（0－1）分布，其分布律为1{}(1)k k P X k p p -==-（0,1k =）， 求X 的分布函数并作图形。 （2）求第2题（1）中随机变量的分布函数。 解 （1） 当0x <时，()0F x =； 当01x ≤<时，{0}1P X p ==-，则()1F x p =-； 当 1x ≥，{0}1P X p ==-，{1}P X p ==，则 (){0}{1}(1)1F x P X P X p p ==+==-+= 即 0, 0()1,011,1x F x p x x （图形略）。 （2）第2题（1）“在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5X 的分布律为 其分布函数为0, 31 ,3410 ()4,45101,5x x F x x x 18 在区间[0,]a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标。设这个质点落在区间上[0,]a 上中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X 的分布函数。 解 当0x <时，()0F x =； 当0x a ≤<时，()F x kx =，其中k 为常数， 特别地当x a =时，质点落在区间上[0,]a 上中任意小区间内的概率为1，所以1ka =，即 1k a = ，所以当0x a ≤<时， ()x F x a =； 当x a ≥时，()1F x =，综合得 0, ,(),,1, .x a x F x a x a a x a =≤ 的分布函数是 ???<>-=-0 ,00 ,1)(4.0x x e x F x x 求下述概率： （1）p {至多3分钟}；（2）p {至少4分钟}；（3）p {3分钟至4分钟}；（4）p {至多3分钟或至少4分钟}；（5）p {恰好2.5分钟}。 解 （1）2.13 4.011)3(}3{-?--=-==≤e e F X p （2）6.16 .1)1(1)4(1}4{--=--=-=≥e e F X p （3）)3()4(}43{F F X p -=<≤ 6.12.12.16 .1)1()1(-----=---=e e e e （4）})4{}3({≥?≤X X p }43{1<<-=X p 6.12 .11--+-=e e （5）0}5.2{==X p 20 设随机变量X 的分布函数为0, 1,()ln ,1,1,.x F x x x e x e =≤ （1）求{2}P X <，{03}P X <≤，5 {2}2 P X <≤； （2）求概率密度。 解 （1）注意对连续型随机变量而言，{}0P X a =≡，其中a 是任意实数。 {2}{2}(2)ln 2P X P X F <=≤== {03}(3)(0)1P X F F <≤=-= 5555 {2}()(2)ln ln 2ln 52ln 2ln 2224 P X F F <≤=-=-=-= （2）因为()()F x f x '=，应用分段函数求导数的方法，得概率密度为 1 ,1,()0, x e f x x ?< 21 设随机变量的分布函数为 （1）212(1),12, ()0, x f x x ? -≤≤?=???其它. （2）, 01,()2,12,0,x x f x x x ≤ =-≤ 其它. 求X 的分布函数()F x ，并画出（2）中()f x 和()F x 的图形。 解 （1）当1x <时，()()00x x F x f x dx dx -∞ -∞ ==?=? ?； 当12x ≤<时， 012111()()02(1)2()x x x F x f t dt dx dt t t t -∞-∞==?+- =+? ??1 2(2)x x =+-； 同理， 当2x ≥时，22121115 ()2(1)2()2(2)12F x dt t t t =-=+=-=? 所以 0, 1,1() 2(2),12, 1, 2, x F x x x x x =+- ≤ ?? （2）同理可得 202 1010,0,,012()13(2)[(2)],12 222 1,2x x x x xdx x F x x xdx x dx x x x ?? =≤ =??+-=+--≤ ≥????， 即 22 0,0,,012 ()21,12,21, 2.x x x F x x x x x ??≤ ≥? 22.（1）由统计物理学知，分子运动的速度的绝对值X 服从马克斯韦尔（Maxwall ） 分布，其概率密度为 ?????>=-其它,0 0,)(2 2x e Ax x f b x 其中，kT m b 2=，k 为Boltzmann 常数，T 为绝对温度，m 是分子的质量。试确定常数A 。 （2）研究了英格兰在1875～1951年间，在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间T （以日计）服从指数分布，其概率密度为 ?????>=-其它,0 0,2411)(241t e n f t T 求分布函数)(t F T ，并求概率}10050{< 1)(=? +∞ ∞ -dx x f 有 ? ? ∞ +- ∞ +∞ -=0 22 )(dx e Ax dx x f b x ?∞ +-- =0)(22b x e xd Ab ]|[2 022?∞ +-∞+--- =dx e xe Ab b x b x ?∞ +- = 22dx e Ab b x ? ∞ +-??=0 )2(21)2( 212 222 x b d e b Ab x b π π 12 1222=???= b Ab π （注意：2 1212 02 = - ∞ +?du e u π ） 故 π b b A 4= . （2）当0 ?∞ -t T dt t F 当0≥t 时， 241241241 241 001()()()1241241 t t t t t t t t T t F t f t dt e dt e d e e ---- -∞ ===--=-=-? ??. 故 ?????≥-=-其它 ,00,1241t e F t T 。 }50{}100{}10050{≤-<=< )50()100(T T -= 241100241 50 - - -=e e 或 241100 24150 241 100 50 100 50 241 1)(}10050{----=== < ? e e dt e dt t f T p t . 23 某种型号的器件的寿命X （以小时计）具有概率密度 21000 ,1000,()0, x f x x ?>? =???其它. 现有一大批这种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只 的寿命大于1500小时的概率是多少？ 解 （ⅰ）先求这种器件的寿命大于1500小时的概率： 1500 21500 150010001000 2{1500}()3 P X f x dx dx x x +∞ +∞ +∞ ≥= ==- = ? ? 。 （ⅱ）求任取5只，至少有2件的寿命大于1500小时的概率 设Y ＝“器件的寿命大于1500小时”，则2 (5,)3 Y B 。 {2}1{0}{1} P Y P Y P Y ≥=-=-= 005 145521*********()()()()13333243243243 C C =--=--= 。 24.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （min ）服从指数分布，其概率密度为 ?????>=-其它 ,00 ,51)(5 x e x f x X 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次。以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求}1{≥Y p 。 解 (ⅰ)该顾客在窗口未等到服务而离开的概率为 ? ? ∞ +-∞ +== 10 5 10 5 1)(dx e dx x f p x 25 1010 5 |-- ∞+- ==-=e e e x (ⅱ)顾客未行到服务而离开银行的次数的概率 由已知条件可知，),5(~2 -e B Y ，故 k k k e e C k Y p ----==5225)1)((}{，5,4,3,2,1=k 5167.0)1(1}0{1}1{5 2=--==-=≥-e Y P Y p . 25 设K 在区间（0,5）服从均匀分布，求x 的方程2 4420x Kx K +++=有实根的概率。 解 因为K 的分布密度为 1 ,05 ()50, .k f k ?< 而方程2 4420x Kx K +++=有实根，即其判别式 2 2 2 41616(2)16(2)0b ac K K K K ?=-=-+=--> 即 (2)(1)0K K -+>，解得 2K >或1K <-。 因为K 在（0，5）内服从均匀分布，所以只有2K >在区间（0，5）内，所以所给 方程有实根的概率为 5 5 2 212 (25)10.655 5 P K dk K <<= ==- =?。 26.设)2,3(~2N X ，求（1）}52{≤ }3{>X p ；（2）确定c 使得}{}{c X p c X p ≤=>。 解 （1）)2 3 2()235(}52{-Φ--Φ=≤ )2 1 ()1(-Φ-Φ=5328.0= )23 4()2310(}104{--Φ--Φ=≤<-X p )27 ()27(-Φ-Φ= 9396.01)2 7 (2=-Φ= }22{1}2|{|≤<--=>X p X p )23 2()232( 1--Φ+-Φ-= )25 ()21(1-Φ+-Φ-= 6977.0)2 5 ()21(1=Φ-Φ+= 2 1 )0(1)233(1}3{1}3{=Φ-=-Φ-=≤-=>X p X p . （2）因为}{1}{c X p c X p ≤-=>，由}{}{c X p c X p ≤=>得 2 1 }{= ≤c X p 即 2 1 )23(}{=-Φ=≤c c X p 所以 3=c 。 27.某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm -Hg 计）服从)12,110(2 N 。在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X （1）求}105{≤X p ，}120100{≤ N X )417.0()12 110 105(}105{-Φ=-Φ=≤X p )417.0(1Φ-= 3372.06628.01=-= )12 110 100()12110120(}120100{-Φ--Φ=< )83.0()83.0(-Φ-Φ= 5934.01)83.0(2=-Φ= （2）要使05.0}{≤≥x X p ，必须05.0}{1≤≤-x X p ，即 95.005.01}{=-≥≤x X p ， 亦即 95.0)12 110 (≥-Φx 故 645.112 110 ≥-x ，或74.129≥x ， 即最小的x 值为129.74。 28 由某机器生产的螺栓的长度（）cm 服从参数10.05μ=，0.06σ=的正态分布。 规定长度在10.05±0.12内为合格品，求一为不合格品的概率。 解 （方法一）设的长度为X ，则2 (1 .05,.06)X N ，一个螺栓不合格，即10.17X > 或9.93X <。其概率为 {9.93}{10.17}P X P X <+>，而 9.9310.050.12{9.93}( )()(2)1(2)0.060.06 P X -<=Φ=Φ-=Φ-=-Φ 10.97720.0228=-= 10.1710.05 {10.17}1{10.17}1()1(2)0.06 P X P X ->=-≤=-Φ=-Φ 10.97720.0228=-= 所以 {9.93}P X <{10.17}0.456P X +>= （方法二） 设A ＝“螺栓合格”，则 10.1710.059.9310.05 (){9.9310.17}()() 0.060.06 P A P X --=<<=Φ-Φ (2)(2)2(2)1=Φ-Φ-=Φ-20.97721 1.954410.9544=?-=-= 所以不合格的概率为 ()1{9.3310.17}10.95440.0456P A P X =-<<=-=。 29 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，σ的正态分布，若要求80.0}200120{≥≤ 解 )160120()160 200( }200120{σ σ -Φ--Φ=≤ 80.01)40 (2≥-Φ=σ 得 90.0)40 ( ≥Φσ ，查表知)28.1()40 ( Φ≥Φσ 所以，σ最大为31.25。 30 设在一电路中，电阻两端的电压V 服从2 (120,2)N ，今独立测量了5次，试确定有2次测量值落在区间［118，122］之外的概率。 解 （ⅰ）求测量值落在区间［118，122］之外的概率 设A ＝“测量值X 落在区间［118，122］之内”则 122120118120 {118122}( )()22 P X --<<=Φ-Φ (1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=?-= 所以测量值落在区间［118，122］的概率为 10.682603174p =-= （2）求在5次独立测量中有2次测量值区间［118，122］之外的概率 设测量值落在区间之外的次数为Y ，则(5,0.3174)Y B 故所求的概率为 225{2}(0.3174)(0.6826)3100.10070.31810.3203P Y C ===??= 31 某人上班，自家中去办公楼要经过一交通指示灯。这一指示灯有80%的时间亮红灯， 此时他在指示灯旁等待直到绿灯亮，等待时间在区间［0，30］（秒）服从均匀分布。 概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 第二章练习题(答案) 一、单项选择题 1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为 3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1] 4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C ) 5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是 (A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p? (c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2 6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C ) F(x) = o, kx+b 、 x<0 0 < x< x> 则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0 龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 (A ) z 7 fl -cosx ； 2 0, f sinx, A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0); B. f (x) 1, x < 0 [cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负 D. f (x)在(-叫+00)内连续 A. P {X 概率论第二章习题 1 考虑为期一年的一保险单，若投保人在投保一年意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大为4，则为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为 S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为 112 3213321312 C C P=??? 第二章随机变量及其分布 2.1 随机变量 习题1 随机变量的特征是什么？ 解答： ①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数. ②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. ③随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题2 试述随机变量的分类. 解答： ①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量. ②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量. 习题3 盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,?,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率. 解答： 分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下： X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3 则X取每个值的概率为 P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10, P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10, P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10. 2.2 离散型随机变量及其概率分布 习题1 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ. 解答： 由P{X=1}=P{X=2},得 λe-λ=λ22e-λ, 解得 λ=2. 习题2 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5, 试求 (1)P{12 解答： (1)P{12 《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p 一、选择题 1、离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,k P X k b k λ===L ，则λ为（ ）。 (A)0λ>的任意实数 (B)1b λ=+ (C)11b λ=+ (D)1 1 b λ=- 2、设随机变量X 的分布律为()! k P X k ak λ== (λ>0，k=1，2，3，…)，则a = ( )。 (A)e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1e λ- 3、离散型随机变量X 的分布律为{},0,1,2,3! k A P X k k k ===L 则常数A 应为( )。 (A) 3 1e (B) 3 1-e (C) 3 -e (D) 3 e 4、离散型随机变量X ，则{||2|0}P X X ≤≥为（ ）。 (A) 2129 (B)2229 (C)23 (D)1 3 5、随机变量X 服从0-1分布，又知X 取1的概率为它取0的概率的一半,则(1)P X =为( )。 (A) 1 3 (B) 0 (C) 12 (D) 1 6、设随机变量X 的分布律为： 012 0.250.350.4 X P ，而{}()F x P X x =≤，则 =)2( F ( )。 (A) 0.6 (B) 0.35 (C) 0.25 (D) 0 7、已知离散型随机变量的分布律为 101 0.250.50.25 X P -，则以下各分布律正确的是( )。 (A) 22020.510.5X P - (B) 21113 0.250.250.5 X P +- (C) 20 1 0.50.25X P (D) 201 0.50.5 X P 8、随机变量,X Y 都服从二项分布：~(2, ), ~(4, )X B p Y B p ，01p <<，已知 {}5 19 P X ≥= ，则{}1P Y ≥=( )。 (A) 6581 (B) 5681 (C) 80 81 (D) 1 9、随机变量X 的方差()3D X =，则(25)D X -等于( )。 (A) 6 (B) 7 (C) 12 (D) 17 10、随机变量X 的分布律为：1 ()(),1,2,2(1) P X n P X n n n n ===-= =+L ， 则()E X =（ ）。 (A)0 (B)1 (C)0.5 (D)不存在 11、具有下面分布律的随机变量中数学期望不存在的是( )。 (A) 32 ,1,2,...3k k P X k k ??===???? (B) {},0,0,1,2,...!k P X k e k k λλλ-==>= (C) {}1,1,2,...2k P X k k ??=== ??? (D) {}()11,01,0,1.k k P X k p p p k -==-<<= 12、设随机变量X 服从λ=2的泊松分布。则随机变量2Y X =的方差()Var Y =( )。 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 16 13、随机变量X 服从泊松分布，参数4=λ，则2 ()X E =( )。 (A) 16 (B) 20 (C) 4 (D) 12 14、如果（ ），则X 一定服从普哇松分布。 (A) ()()E X Var X = (B)2()()E X E X = (C)X 取一切非负整数值 (D) X 是有限个相互独立且都服从参数为λ的普哇松分布的随机变量的和。 15、设随机变量X 服从参数为λ的普哇松分布，又1()1x f x x ?=?-? 为偶数 为奇数，()Y f X =, 则(1)P Y ==（ ）。 (A)212e λ-+ (B) 212 e λ -- (C) 22e λ- (D)以上都不对 两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: 概率论第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为，因其它原因死亡的概率为，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为；； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为 112 3213321312 C C P=??? 第二章习题与答案 同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！ 标红表示正确答案标蓝表示解析 1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。 A普查 B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】 C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】 D统计报表 2、人口普查规定标准时间是为了（）。 A确定调查对象和调查单位 B避免资料的重复和遗漏。 C使不同时间的资料具有可比性 D便于登记资料 【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】 3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。 A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查 4、分布数列反映( )。 A总体单位标志值在各组的分布状况 B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】 C总体单位标志值的差异情况 D总体单位的差异情况 5、与直方图比较，茎叶图( )。 A没有保留原始数据的信息 B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。课本P38】 C更适合描述分类数据 D不能很好反映数据的分布特征 6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。 A大于该组上限的次数是多少 B大于该组下限的次数是多少 C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。课本P33】 D小于该组下限的次数是多少 7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。 A. 200 B. 250 C. 500 D. 300 【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】 8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。 A条形图B直方图 C线图 D饼图 概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 ?? ? ??≥<≤<=1 1105 .000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数. 解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3 因此分布律由下表所示 ξ 0 1 P 1/3 2/3 而分布函数为 ?? ? ??>=<≤<=1 1103 /100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ?? ?≥<=a x a x x F 1 0)(, 它的图形为 a x 1 0 F (x ) 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1) P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1 解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为 )3,2,1(27 1)(3=?= =-i i P i ξ 或列表如下: ξ 1 2 3 P 4/7 2/7 1/7 5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律. 解: 基本事件总数为4 20C n =, 有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为i i i C C n -=4155, 则 001 .017 3191 1718192051234)4(031.017195 2121545171819201234)3(2167.017181914 15231212141545171819201234)2(4696.017181913 14151231314155171819201234)1(2817 .0171913 7123412131415171819201234)0(420454 20 1 15354 202 15254 203 1515420415=??=???????====??=??????????====?????=?????????????====????=????????????====??=?????????????===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ ξ 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.001 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有 ),3,2,1(1331310)(1 =? ? ? ???===-i pq i P i i ξ 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已 习题2-2 1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0 没有成功的概率是 278. 即278)1(3 =-p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有103 5 =C 种取法. {X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =10 1 ; {X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=10 3 3523=C C ; {X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=5 3 3524=C C . X 的分布律是 1. 设X 求分布函数解 (1) F (x )=0, 1,0.15,10,0.35,01,1, 1. x x x x <-??- For personal use only in study and research; not for commercial use 《概率论》第二章 练习答案 螂 一、填空题: "2x 莁 1 .设随机变量X 的密度函数为f(x)=丿 1 的观察中事件(XW —)出现的次数，则 P (Y = 2)= ___________________ 2 P(X J)「￡xdx 二 2 0 2 1 2 3 1 9 袇 P —F (3)2 螃 2.设连续型随机变量的概率密度函数为: -ax+b 0 莇 DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则E （4： 10） 羀 D (4 10)=16D # =16 E 2 (E )2 32 100 r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 二 4E 10 =22 蒇 5.已知X 的密度为（X ）二 ax + b 广 0 c x < 1 其他，且 1 1 P ( X 二)=P(X>-) , r (x ) dx=1 1 ax b ) dx 二 /ax b ) 3 联立解得: dx 肇 6?若f （x ）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 J 「f （x ）dx= _1 ~ |*"^0 羆 7.设连续型随机变量旳布函数F （X ）=X 2/； 丨1, x ：： 0 0 乞 x ：：： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ：： ：： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X ）= 第二章 事件与概率 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则 42)(,52)(121== A A P A P ，2 1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。 利用乘法公式，所求的概率为 ()()()() 12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30 1 121314252=????= 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P （B|A ），则 ()7 6 8/78/6)()(=== A P A B P A B P . 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废 品}，显然B A ?，则 () 1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 2 2/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 21 /)(/2 2112 2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ?，则 () ,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2 11/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 2/)(/2 1122 11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=( ) ) 1() 12(/2 2 11---= +-M M m M m C C C C M m m M m .概率论与数理统计第四版第二章习题答案
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