趣味数学

趣味数学（2）简单年龄问题
知识要点：小朋友,你知道吗?今年你6岁,明年你几岁?妈妈今年30岁,比你大24岁, 明年妈妈比你大几岁呢?这些年龄问题在解答时要记住:每过一年,每人年龄都要长大一岁.今年妈妈比你大几岁,再过些年, 妈妈还是比你大几岁.
[ 例1 ] 夏华今年7岁,他比爸爸小28岁,去年他比爸爸小多少岁?
分析：根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小28岁.那么去年, 夏华与爸爸同时减去一岁, 夏华仍然比爸爸小28岁.
[ 例2 ] 弟弟今年4岁,哥哥今年12岁,10年后,哥哥比弟弟大几岁?
分析：根据题意，今年哥哥12岁, 弟弟4岁,那么我们知道哥哥比弟弟大12－4=8(岁). 10年后,哥哥的岁数是12＋10=22岁. 10年后,弟弟的岁数是4＋10=14岁.因此10年后,哥哥比弟弟大22－14=8岁.
[ 例3 ] 小青说: “3年后,妈妈比我大25岁.”妈妈问: “5年前,你比妈妈小多少岁?”
分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大8岁, 10年后,哥哥还是比弟弟大8岁.由此我们可以这样想:既然3年后,妈妈比我大25岁,那么, 5年前, 妈妈仍然比我大25岁,也就是我比妈妈小25岁.
[ 例4 ] 小林今年6岁, 小红今年10岁, 当小林的年龄和小红今年的年龄一样大时, 小红几岁?
分析：我们知道，小林今年6岁, 要想使小林的年龄和小红今年的年龄一样大, 那么小林就要再过4年才能和小红一样大. 小林过4年,小红也要过4年,即长大4岁, 那么小红就是10＋4=14岁.
[ 例5] 小芳今年5岁, 3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,李老师今年多少岁?
分析：我们知道，3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,那么3年前,小芳幼儿园的李老师还是比小芳大20岁,又因为小芳今年5岁, 李老师今年就是20＋5=25岁.
趣味数学（3）一半问题
知识要点：小朋友,你知道吗?一些物体分成同样多的两份，其中一份就是总数的一半。已知一半求总数，只要用一半数再加一半数就是总数。当出现连续几次一半，要仔细分辨，正确计算总数。
[ 例1 ] 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6个，爸爸买了多少个草莓？
分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下6个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是6个。因而原来一共有6+6=12（个）。

所以，爸爸买了12个草莓。
[ 例2] 妈妈有14颗奶糖，分给小星和小丹各一半，他们各得多少颗糖？
分析：根据题意，妈妈把14颗奶糖，分给小星和小丹各一半,说明小星和小丹分到的同样多,我们把14可以分成7和7,因此小星和小丹每人分到的都是7颗糖。
[ 例3 ] 妈妈分给小静8块巧克力，剩下的分给小英。小静分得的块数正好是小英的一半

，分给小英几块巧克力？
分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和小静一样多，小英的一半是8块巧克力，那么小英就有两个一半，即8+8=16（块）。
[ 例4 ] 一根铁丝长20米，对折以后，再对折，这时每折长几米？ 例


分析：根据题意，把一根铁丝对折以后，也就是分成了两半，即把20分成10和10。这时绳长10米。再对折，即把10分成5和5。这时绳长也就是5米。
[ 例5 ] 一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个。篮里原来有几个苹果？
分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3个，爸爸也就得3个，妈妈和爸爸一共6个。又因为小明拿走一半，妈妈和爸爸拿走另一半，说明妈妈和爸爸拿走的与小明拿走的一样多。所以小明拿走的是6个苹果，小明拿走的与妈妈和爸爸拿走的和起来就是篮里原来一共有的苹果，6+6=12（个），篮里原来有12个苹果。





趣味数学（4）火柴棒问题之一
小朋友，火柴棒是我们家家都有的生活用品，用火柴棒做游戏简便易学。
用火柴棒可以摆成下列数字和运算符号：








大家喜欢这样的游戏吗？在这一讲里，我们要用火柴棒去探索变化无穷的数字世界，在有趣的游戏中，变得更聪明。
典型例题
例 1 下面是用火柴棒摆成的算式，但这个算式是不成立的。只要移动1根火柴棒，算式就成立了。你会移动吗？


分析 在这个算式中，左边的计算结果是20，右边的结果多了20，我们可以让左边的两个加数的和减少10，让减数增加10，这样一共减少了10，等式就相等了。
解法一 可以这样移动：





解法二 也可以这样想：从左边拿出多的一个10放到右边：





例 2 用4根火柴棒可以分别表示一些加减运算符号，然后把这4根火柴棒放到数字1至9中间去，使最终的计算结果等于100。



分析 我们可以这样想：用4根火柴棒可以组成2个“＋”号、4个“－”号，或者1个“＋”号、或者1个“＋”和2个“－”号；再看结果100，它可能是和或者是差。经推理，只能用4个火柴棒组成1个“＋”和2个“－”号，才能使结果等于100。
解


例 3 请在下面算式上再加上一根火柴棒，使它成立。



分析 左边的结果是90，右边是96，相差6，将15改为16，结果就增加了6，正好相等。
解


例 4 下面方格里的数字，都是用火柴棒组成的。请你移动其中的1根火柴，使每一横行和竖行里的数字相加的和都相等。






分析 3个横行的数字和分别是10，16，10

，3个竖行的数字和分别是8，18，10，相等的和上10，那么肯定要将第2行的前两个数字进行调整。、





小结 用火柴棒拼成算式，要根据火柴棒组成的数的特点和算式的特点来做。我们可以根据算式中给出的数的特点，从火柴棒排成的数字拿走或添上火柴棒，变成另一个数，或改变一个运算符号，就可以使算式成立。
趣味数学（5）火柴棒问题之二
在上一讲我们学习了用火柴棒来摆数学算式，从中也发现了很多规律和乐趣，这讲我们又来学学用火柴棒来摆摆各种图形。如果拿掉或者移动火柴，就可以变成其他图形，非常有趣。我们一起来试一试。
典型例题
例[1] 用6根火柴，照右图摆成1个三角形。
要把这个三角形变成六角形，只准移动4根火柴，
应该怎样移动？
分析 下图中三角形的每条边上有两根火柴棒，要将三角形变成六边形，每边上只能有1根火柴棒，所以应该这样移动：




例[2] 请你只移动3根火柴把3个三角形变成5个三角形。



分析 3个三角形用了9根火柴，要变成5个三角形，需要用到15根火柴，这样少了6根火柴。因此，变成的三角形中一定要使6根火柴重复使用。
解 可以这样移动：





例[3] 用24根火柴棒能组成右边的图形。拿掉几根火柴棒可以变成新的图形。





（1）拿掉8根火柴，使它只留下2个正方形。







（2）拿掉6根火柴，使它只留下3个正方形。







例[4] 右图是由4个小正方形组成的正方形。现在要移动3根火柴，使它变成3个相等的正方形，应该怎样移动？




分析 可以这样想：4个小正方形一共有12根火柴棒组成，要使它变成3个相等的正方形，那么每个正方形就应该有4根火柴棒组成，并且没有重复。
解 见右图。



小结 从给出的火柴棒组成的图形中拿掉几根火柴，变成新的图形。如果图形变少了，我们可以直接拿掉多余的几根火柴；如果图形增加了，我们要考虑让火柴重复使用，这样可以增加图形的个数。
练习：
1．有3个正方形都是由8根火柴组成。现在只有把这3个正方形的位置变化一下，就可以多出4个小正方形。应该如何移动？



2．用9根火柴，怎样摆放，才能摆出6个正方形来？



3．下图是用18根火柴组成的6个相等的正方形，拿掉其中的2根火柴，使它留下4个同样的正方形。





4．下图是由15根火柴组成的图形。请你移动2根火柴，使它变成5个同样的正方形。




解答：
1． 2。






3． 4。




趣味数学（6）拼拼摆摆
知识要点：用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒

的移动、增减，会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。
[ 例1 ] 搭一个三角形要用3根火柴，你能用5根火柴搭出两个三角形吗？
分析：搭一个三角形要用3根火柴，那么搭两个三角形要用6根火柴，现在只有5根火柴，少了一根，那么应把两个三角形搭在一起，如图：





[ 例2 ] 用12根火柴摆成一个田字形：


（1） 拿去两根火柴棒，变成两个正方形；
（2） 移动三根火柴棒，变成三个正方形。
分析：（1）原来12根火柴棒，拿走两根后剩10根火柴棒，不可能拼成大小相同的两个正方形，只能是一大一小。只要保留外边的大正方形，拿去里面2根，使里面四个正方形变成1个就可以了。如图：




（2）移动三根火柴棒，那么总根数仍然是12根，12根组成3个正方形，每个正方形4根火柴棒，只移动3根，原来就有一根不变，把另3根和它组成正方形即可。如图：




[ 例3 ] 下图是用 8 根火柴棒摆成的一条鱼，请你移动 3根火柴，使鱼头向右，应该怎样移动？


分析：要把鱼头朝右，需要把左边的“鱼头”拆掉，变成“鱼尾”。如果简单的去掉“鱼头”的两根火柴，3根火柴不够用，因此必须保持一根火柴不变，可这样移动：



[ 例4 ] 用火柴棒搭成小猪图，你能移动火柴棒使猪头、猪尾正好换一个方向吗？你移动了几根火柴棒？

分析：要把猪头朝右，需要把左边的“猪头”拆掉，变成“猪尾”。为了使火柴棒的根数最少，可移动猪头下面的一根，变成猪尾。


[ 例5 ] 左边是用6根火柴排成的金字塔，右边是用6根火柴排成的倒立的金字塔，能不能只移动2 根火柴棍，就把左边的金字塔变成右边的倒立的金安塔？

分析：我们发现第二排是一样的，不同的是第一排和第三排，要想只移动2根，我们就把第一排两边的两根移到第三排去，如图：



趣味数学（7）算得快的奥妙
计算是数学的基础，在计算中，我们既要做到正确合理，还要做到快速、巧妙。这样不仅能节省时间，还能提高分析问题的能力，促进智力发展。首先，我们来学习加、减法中的一些简便运算的方法。


用简便方法计算下面各题：
（1） 9898＋203；
（2） 1302－（308－149）；
（3） （4256+125+825）－256。
可以这样想：
加减法简便运算的基本思路是“凑整”，即将能通

过加减运算后得到整十、整百、整千……的数，先运用性质计算它们的结果。
（1） 9898＋203＝9898＋102＋101

＝1000＋101＝10101

（2） 1308－（308－149）

＝1308－308＋149

＝1000＋149＝1149

（3）（4256＋125＋825）－256

＝（4256－256）＋（125＋825）
＝ 4000＋950
＝4950
拍脑袋提醒:
遇到这类题目，我们首先应该想到的就是能否通过拆数、先算某个部分等加减运算方法来得到整十、整百、整千……的数。



用简便方法计算下面各题：
（1）9＋99＋999＋9999＋99999；
（2）1－2＋3－4＋5－6＋...-1992+1993。
可以这样想：
(1) 在涉及所有数字都是9的计算中，常使用“添1 凑整法”。如将999看成（1000－1）去计算。这是小学数学中常用的一种计算技巧。
9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100－1）＋（1000－1）＋ （10000－1）＋（100000－1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000－5
＝111110－5＝111105
（2）通过观察可以发现：这个算式的加号和减号是间隔出现。所以，我们可以将除1以外的所有数，每两个数分为一组，而每组的结果都是1。
1－2＋3－4＋5－6＋......+1991-1992+1993
=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+......+(1991-1990)+(1993-1992)
=1+1×996
=997


趣味数学（8）复杂年龄问题
年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确解答这类题，首先要明白：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄方面的问题。
典型例题
例[1] 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈两人各多少岁？
分析 5年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸爸、妈妈的年龄差是6岁，它是一个不变量。因此，爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁。这样原问题就归结为“已知爸爸、妈妈的年龄和是82岁，他们的年龄差是6岁，求两人各是几岁”的和差问题。
解 爸爸年龄：（82＋6）÷2=44（岁）
妈妈年龄：44－6=38（岁）
答：爸爸的年龄是44岁，妈妈的年龄是38岁。

例[2] 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍？
分析 无论小红多少岁时，妈妈的年龄都比小红大（35－7）岁。所以当妈妈的年龄是小红的3倍时，也就是妈妈年龄比小红大（3－1）倍时，妈妈仍比小红大（35－7）岁，这个差是不变的。由这个（35

－7）岁的差和对应的这个（3－1）倍，就可以算出小红的年龄，即差倍问题中的差÷（倍数－1）=较小数。
解 妈妈现在比小红大的岁数：
35－7=28（岁）
妈妈年龄是小红的3倍时，比小红大的倍数是：
3－1=2（倍）
妈妈年龄是小红的3倍时，小红的年龄是：
28÷2=14（岁）
答：小红14岁时，妈妈年龄正好是小红的3倍。


例[3] 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁？
分析 6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2=66（岁）。6 年前母子年龄和是66－6×2=54（岁）。又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。
解 母子今年年龄和：78－6×2=66（岁）
母子6年前年龄和：66－6×2=54（岁）
母亲6年前的年龄：54÷（5＋1）×5=45（岁）
母亲今年的年龄：45＋6=51（岁）
答：母亲今年是51岁。

例[4] 小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时，两个各是多少岁？
分析 小强和小军的年龄差为13－9=4（岁），这是一个不变量。当两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差（4岁），这是一个不变量。当两人的年龄和是40岁时，小强比小军还是大4岁。
如果从两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差（4岁）可，得到的就是两个小军的年龄，由此可求出小军的年龄。再由小军的年龄求出小强的年龄。
解法一 小强比小军大的年龄：13－9=4（岁）
当两人的年龄和是40岁时，小军年龄的2倍是：
40－4=36（岁）
当两人的年龄和是40岁时，小军的年龄是：
36÷2=18（岁）
小强的年龄是：
40－18=22（岁）

解法二 如果给两人的年龄和40岁再加上两人的年龄差4岁，将得到小强年龄的2倍，由此可以求出小强的年龄以及小军的年龄。
小强和小军的年龄差：13－9=4（岁）
小强年龄的2倍：40＋4=44（岁）
当两人的年龄是40岁时，小强的年龄：44÷2=22（岁）
当两人的年龄和是40岁时，小军的年龄：40－22=18（岁）
答：小强、小军的年龄分别是22岁、18岁。


例[5] 甲、乙两人的年龄和正好是100岁。当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？
分析 由“乙的年龄正好是甲年龄的一半”可知：甲、乙两人的年龄如下图所示：



再结合“当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出，甲的年龄要和乙现在的年龄相等，甲要减少几岁，乙要增加相同的岁数，且这个年龄相当于乙的1倍，这样甲、乙两人的年龄关系为：





从上图可以看出：现在乙

的年龄如果有2份，甲的年龄就有这样的3份，甲、乙两人的年龄共有2＋2＋1=5（份）。5份对应着两人的年龄和100岁。这样就很容易求出甲、乙两人各自的年龄。
解 甲、乙两人年龄的份数和是多少？
2＋2＋1=5（份）
每份是多少？
100÷5=20（岁）
乙的年龄是多少岁？
20×2=40（岁）
甲的年龄是多少岁？
20×（2＋1）=60（岁）
综合算式是：100÷（2＋2＋1）×2=40（岁）
100÷（2＋2＋1）×（2＋1）=60（岁）
答：甲今年60岁，乙今年40岁。
小结 年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住“差不变”这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件解答这类应用题。
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差
趣味数学（9）新定义运算
小朋友们，你们见过除了＋、－、×、÷这些运算符号之外的其他运算符号吗？在这一讲里，我们会一起来看看很多有趣的运算符号。
定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。
典型例题
例【1】 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
解 由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝26×12
＝312

例【2】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
分析 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
解 由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；
6△（3△4）
＝6△1
＝（6＋1）÷1
＝7

例【3】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
分析 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
解 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
例【4】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]
分析 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]
＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]
＝6×5
＝30

例

【5】 如果1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算：（3※2）×5。
分析 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。
解 （5※3）×5。
＝（5＋55＋555）×5
＝3075

小结
解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。



趣味数学（10）合理分组
知识要点：小朋友们已学习了加、减运算。有些题目，已经列好算式，要求你把所给的几个数合理分组，填入式子中，使等式成立。解这类题目，小朋友要仔细观察，找出题中的规律，并能大胆进行尝试。
[ 例1 ] 把2、3、4、5分别填入□中，（每个数只能用一次）： □＋□－□=□
分析：根据2+5=3+4，可以有以下几种填法：
2+5-3=4； 3+4-5=2；
2+5-4=3； 3+4-2=5；
5+2-3=4； 4+3-5=2；
5+2-4=3； 4+3-2=5.
[ 例2 ] 把2、6、7、8、9和14分别填入括号中，（每个数只能用一次），使两个算式都成立：
①（ ）+ （ ）=（ ）；
②（ ）－（ ）=（ ）.
分析：通过观察，发现2、6、7、8、9和14这六个数可以分成下面两组:第一组:2、7、9；第二组:6、8、14 .每一组中,最大的数等于其余两个数的和,因此, 根据加、减法之间的关系，有以下4种填法：
⑴①（ 2 ）+ （ 7 ）=（ 9 ）；
②（14 ）－（ 6 ）=（ 8 ）.
⑵①（ 7 ）+ （ 2 ）=（ 9 ）；
②（14 ）－（ 8 ）=（ 6 ）.
⑶①（ 6 ）+ （ 8 ）=（14 ）；
②（ 9 ）－（ 2 ）=（ 7 ）.
⑷①（ 8 ）+ （ 6 ）=（14 ）；
②（ 9 ）－（ 7 ）=（ 2 ）
[ 例3 ] 在1、2、3、4、5之间添上加号（相邻的两个数字可以组成一个数），使他们的和等于60。
分析：我们发现要想得到60，这里最大的两个数是4、5，合起来是45，再添上15等于60，剩下1、2、3之间只有12＋3=15，因此答案是：12＋3＋45=60。
[ 例4 ] 请你把下面钟面用两条直线分成三份，使每份数相加的和都相等：




分析：我们发现钟面上1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12排列有规律：1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7。这12个数可以分成下面三组:第一组:1、2、11、12；第二组:3、4、9、10 ；第三组:5、6、7、8 。




[ 例5 ] 把0、1、2、3、7、8、9分别填入□中，使算式成立：
□＋□=□□－□=□□
分析：通过观察，发现要想得到一个两位数，有可能是12、13、17、18、19。0、1、2

、3、7、8、9这7个数中，要想两数相加得13、18、19不可能，那么只剩下9＋3=12，8＋9=17。如果9＋3=12，剩下0、7、8不可能组成一个两位数减一位数等于12的算式。如果8＋9=17，剩下0、2、3刚好组成20－3=17。因此：8＋9=20－3=17。
趣味数学（11）植树问题
小军家住在5楼，每上1层楼梯要1分钟。他从1楼走到5楼要用几分钟呢？
如果你的答案是5分钟就错了，正确的答案应该是3分钟，为什么？
这就是我们这一讲所要解决的问题——间隔、分段问题，具体来说包括有楼梯问题、植树问题等等。
典型例题
例[1] 把1根木头锯断，要2分钟。把这根木头锯成4段，要几分钟？
分析 这样想：把1根木头锯断，也就是锯1次要用2分钟。而把这根木头锯成4段，需要锯几次？


只要锯3次，也就是需要3个2分钟。
解 2×（4－1）=6（分）
答：锯成4段，需要6分钟。

例[2] 某人到一座高层楼的8楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从1楼走到4楼用了48秒。用同样的速度走到8楼，还要多长时间？
分析

可以先求出上1层楼梯要多少秒，从图中知道，48秒上了3层楼梯，上1层楼梯用的时间是48÷（4－1）=16（秒）。
再求出从4楼到8楼用的时间，从图中也可以知道，要上4层楼梯，也就是4个16秒。
解 48÷（4－1）=16（秒）
16×（8－4）=64（秒）
答：还要64秒。

例[3] 时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么6电钟敲6下，几秒钟敲完？
分析


时钟敲４下，经过了３个时间间隔，每个时间间隔是１２÷（４－１）＝４（秒）。
解 １２÷（４－１）＝４（秒）
４×（６－１）＝２０（秒）
答：２０秒敲完。
例［４］ 同学们上体育课，有１０个男生排成一排，相临两个男生相隔１米。问这排男生排列的长度有多少米？
分析 １０个男生排成一排，有几个间隔？和前面一样，应有９个间隔，也就是９个１米。
解 １×（１０－１）＝９（米）
答：这排男生排列的长度排有９米。
例［５］ 有一条路长１００米。在路的一侧从头到尾每隔１０米栽一棵树。共栽多少棵树？
分析
以１０米为一段，１００米可以分成１０段。由于头尾都栽，所以栽的棵树比分成的段数多１。
解 １００÷１０＋１＝１１（棵）
答：共栽１１棵树。
例［６］ 一个圆形的花坛，周长是１８０米。每隔６米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？
分析 1. 花坛的一周以6米为一段，可以分成180÷6=30（段）。由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数=棵树，也就是种30棵芍药花。
2．每两棵芍药花之间种两棵

月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵。
解 芍药花的棵树：180÷6=30（棵）
月季花的棵树：2×30=60（棵）
答：可以栽30棵芍药花、60棵月季花。
小结 解上楼梯问题就是考虑有几个间隔（或几次），解植树问题就是考虑有几段。
一、 锯木头的时间、排队伍的长度、时钟敲的时间等，实际上都是上楼梯问题，就是台阶总数=每层楼梯的台阶数（所达到的层数－起点的层数）。
二、 解植树问题就要弄清有几段。如：100米的长度，每10米载一棵树，就分成10段。如果排成一排，栽的棵树=段数＋1，即100÷10＋1=11（棵）。如果围城圆形，栽的棵树=段数，即100÷10=10（棵）。

趣味数学（12）数图形
晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。小小一看，立即回答：“窗户上一共有6个正方形。”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。

典型例题
例【1】 下图中有多少条线段？

分析 我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE 4条；
由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE 3条；
由3条基本线段构成的线段有AD、BE 2条；
由4条基本线段构成的线段有AE 1条。

另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：
以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE 4条；
以B为左端点的线段有BC、BD、BE 3条；
以C为左端点的线段有CD、CE 2条；
以D为左端点的线段有DE 1条。

解 4＋3＋2＋1＝10（条）
所以图中有10条线段。


例【2】 下面图形中有几个角？

分析 我们把图中的 ∠AOB、 ∠ BOC、 ∠COD看作基本角，那么：
由1个基本角构成的角有 ∠AOB、 ∠BOC、 ∠ COD 3个；
由2个基本角构成的角有 ∠AOC、 ∠BOD 2个；
由3个基本角构成的角有 ∠ AOD 1个。

我们也可以从角的两条边出发来数：
以OA为一边的角有 ∠AOB、 ∠ AOC、 ∠AOD 3个；
以OB为一边的角有 ∠BOC、 ∠BOD 2个；
以OC为一边的角有 ∠ COD 1个。

解 3＋2＋1＝6（个）
所以图中有6个角。

例【3】 下图中共有多少个三角形？

分析 我们把图中 △ABC、 △ACD、 △ ADE看作基本三角形，那么：
由1个基本三角形构成的三角形有 △ABC、 △ ACD、 △ ADE；
由2个基本三角形构成的三角形有 △ ABD、 △ ACE；
由3个基本三角形构成的三角形有 △ ABE。

解 3＋2＋1＝6（个）
所以图中有6

个三角形。

例【4】 下图中有多少个正方形？

分析 我们把最短的一条线段如AB看作基本线段，那么：
边长为1条基本线段的正方形有9个；
边长为2条基本线段的正方形有4个；
边长为3条基本线段的正方形有1个。
解 9＋4＋1＝14（个）
所以图中有14个正方形。

例【5】 数一数图中共有多少个三角形？

分析 我们可以将图形分成上面三个部分来数：
在图1中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形；
在图2中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形；
在图3中，一共有5个三角形。

解 15＋15＋5＝35（个）
所以图中一共有35个三角形。
小结 要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：
（1） 弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个。
（2） 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少。
（3） 有些图形被分成乐几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和。
趣味数学（13）图形分与合
把一个几何图形按照某种要求分成几何图形，就叫做图形的分割。反过来，按照一定的要也可以把几个图形拼成一个完整的图形，就叫做图形的拼合，在日常生活和生产实际中，经常会碰到一些图形分割或拼合的问题。当你感到分割或拼合图形有困难时，请记住：最好的方法是动画一画，剪一剪，拼一拼。
典型例题
例[1] 把一个正方形分成形状，大小相等的4份，该怎样分呢？
分析 把一个图平均分，首先要考虑找到这个图形的对称轴。另外，还要考虑把图形分成形状，大小相同的不规则图形，而这些不规则的部分又要恰好能拼合为原图。
解


例[2] 如下图，把一块地分给4个小组种植，形状大小要相同（每一块有相同的点数），怎么分？

分析 图中共有20个点子，把它分成形状大小相同的4块时，每块应有5个点子。每一竖行最多有4个点子，而最右端的4个点子又是呈正方形排列的，因此，可以想到选择含有4个呈正方形点子，另加1个点子的图形作为单位进行分割。
解


例[3] 下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？怎样拼？

分析 这副拼板共有25个小正方形，如果能拼成一个大正方形，那么这个大正方形每边就有5个小正方形。根据图形的凹凸情况，可以考虑把①和③拼在一起；再根据凹凸情况，依次拼上④、⑤、②。
解



例[4]

从上面6块图形中选用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块吗？请你用虚线表示出拼的方法，并标上所选图形的编号。

分析 在给

出的6块图形中，先找到哪两块图形可以拼成三角形、梯形，哪三块可以拼成三角形、梯形、平行四边形、正方形，再结合要拼成图形的形状、大小来选取小图形拼合。
解


例[5] 你能把一个等边三角形分成大小、形状都相等的3个、4个、6个、8个、9个、12个三角形吗？请用虚线将分法表示出来。

分析 等边三角形是一个轴对称的图形，它的3条边都相等，因此只要连接每边中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形。
解 分法见下图(分法不唯一)




小结 无论是图形的分割还是拼合，都要结合所提供图形的特点来思考。
根据要求可以找出图形的对称点、对称轴等等，分割或拼合之后，检验整体与部分的联系，看是否符合要求。同时，在进行图形分割和拼合过程中，要学会动手剪剪、拼拼、画画、分分、动脑筋想想。




趣味数学（14）格点与面积
在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
典型例题
例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。它们的面积分别是多少？
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（1） （2） （3） （4）

分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。
解 图（1）是正方形，边长是2，它的面积是2×2=4。
图（2）是长方形，长是4，宽是2，它的面积是4×2=8。
图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边，使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是3×2=6。
图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。三角形ABC的面积是长方形AFBC面积的一半，三角形ACD的面积是长方形ACDE面积的一半，所以三角形ABD的面积是
（3×2）÷2
=6÷2
=3

例[2] 求下图中各图的面积。



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（1）
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（2）
分析 我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算。由上图可以看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形。可以利用例[1]所介绍的方法来计算这个三角形的面积。或者将这个图形转化成一个大的长方形，如图（2）。所求的图形面积就等于大长方形面积的一半。
解法一 如图（1），左边长方形的面积是4×3=12，右边三角形的面积是（4×3）÷2=6，整个图形的面积是12＋6=18。
解法二 如图（2），大长方形的面积是（8＋4）×3=36，所求图形的面积是：36÷2=18。


例[3] 求下列左图的面积。
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分析 和例[2]的思考方法一样，先要将所给图形切分成我们已经学会计算面积的图形，这样就可以计算出所给图形的面积。
解 将图形ABCD分成三角形ABD和三角形BCD（上右图），又三角形ABD的面积等于长方形BDFE的面积的一半，所以三角形ABD的面积为（4×3）÷2=6，则图形ABCD的面积为6×2=12。


例[4] 求下图中图形的面积。

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分析 看到这样不规则的图形，我们首先想到的是将它分割成几个我们学习过的基本图形。这样，上图可以分割成一个三角形、一个正方形和一个长方形，可以别计算它们的面积。
解 图中三角形ABK的面积是（2×3）÷2=3，正方形BCHK的面积是2×2=4，长方形DEFG的面积是4×1=4，则所求组合图形的面积是3＋4＋4=11。


小结 在行间距都相等的格点图中，可以连结若干个小正方形面积单位，利用这些面积单位可以计算出很多图形的面积。如果是一个规则图形，可以运用公式直接计算面积。当所给图形是一个组合图形或不规则的图形时，需要开动脑筋，将它分割成我们熟悉的基本图形。在计算每一个部分面积时，要充分利用格点图的特点，准确地找出所需数据。
趣味数学（15）等量代换
小朋友们一定都知道曹冲（曹操的儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。
为

什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样。只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，船才会被淹没得一样深。
“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。
解决数学题，经常会用到这种思考方法。

典型例题
例[1] ◎＋◎＋□=25 ……（1）
□=◎＋◎＋◎ ……（2）
◎=？ □=？
分析 把两个算式编号为（1）式、（2）式。把（1）式中的□用（2）式中的三个◎代换，可得
◎＋◎＋◎＋◎＋◎=25
也就是 ◎×5=25
解 ◎=25÷（2＋3）=5
□=5＋5＋5=15

例[2] 根据下图，求最大的球的克数。







分析 先比较上图（1）中天平两端，容易看出：1个小黑求的重量恰好等于砝码的重量48克。由图（2）可知，3 =2 。这样可求出小白球的重量。算出小白球的重量后，由图（3）又可以算出最大球的重量。
解 由于 =48和3 =2 ，可算出 =48×3÷2=32（克）。
答：最大球的重量为：32×4=128（克）

例[3] 百货店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？
分析 根据“2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求出每个纸箱装多少双鞋，也就能求出一个木箱能装多少双鞋。
解 300÷（2×2＋6）
=300÷10
=30（双）
30×2=60（双）
答：每个纸箱里装30双球鞋，每个木箱里装60双球鞋。


例[4] 如下图，淡黄色部分是正方形，求出最大的长方形的周长。

















分析
因为图的中间是正方形，正方形的4边相等，所以DF=FE=BE=BD……（1）
长方形ABCD的周长为7×2=14（厘米），长方形EHGF的周长为5×2=10（厘米），又因为最大的长方形AHGC的周长等于：
AB＋AC＋CD＋DF＋FG＋GH＋EH＋BE……（2）
根据（1）对（2）式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形ABCD的周长加上长方形EHGF的周长。
解 7×2＋5×2=24（厘米）
答：图中最大长方形的周长是24厘米。


例[5] 如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。问这条鱼有多少千克？
分析 依题意列出下列等式：
尾=4 ……（1）
头=尾＋身÷2

……（2）
身=头＋尾 ……（3）
由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等，所以把（2）式两边同乘以2得：
2头=2尾＋身 ……（4）
把（3）式代入（4）式得：
2头=2尾+头+尾

解 头=3尾=3×4=12（千克）
身=头＋尾=12＋4=16（千克）、
全鱼=头＋身＋尾=12＋16＋4=32（千克）
答：这条鱼有32千克。

小结 在进行等量代换时，我们通常要把题目中的等量关系或图中的相等关系（天平平衡就是一种等量关系）转化为等式，并把这些等式按顺序编号，再互相代换。







趣味数学（16）分类枚举
小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就数好了。
小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧！
典型例题
例[1] 下图中有多少个三角形？



分析 我们可以根据图形特征将它分成3类：
第1类： 有6个；


第2类： 有6个；


第3类： 有3个；


解 6+6+3=15（个）
图中有15个三角形。
例[2] 下图中有多少个正方形？






分析 根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。
第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；
第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；
第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4个；
第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。
解 24+13+4+1=42。 图中有42个正方形。
例[3] 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？
分析 根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：
第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550；
第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200；
第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。
解 可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。

例[4] 用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
分析 根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：
第1类：百位上的数字为7，有789，798；
第2类：百位上的数字为8，有879，897；
第3类：百位上的数字为9，有978，987。
解 可以组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。

例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？
分析 我们可以根据

列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪）：
在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。
第1类：从宁出发：宁 常，宁 锡，宁 苏，宁 沪，4种；
第2类：从常出发：常 锡，常 苏，常 沪，3种；
第3类：从锡出发：锡 苏，锡 沪，2种；
第4类：从苏出发：苏 沪，1种。
我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，聪明的小朋友可能已经想到了，它的种数与第一大类完全相同。
解 （4+3+2=1）×2=20（种）
铁路部门要准备20种车票。

小结 分类枚举的关键是正确分类，为此，必须注意两点：
一、 分类要全、枚举要清。分类不全，就会造成遗漏。如上面例1中，如果一不小心，把第3类丢了，就会造成差错。当分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来。
二、 分类要清。因为如果分不清，使第1类中有第2类，第2类中有第3类，互相包含，那么就会有重复。这样结果也就很难正确了。
趣味数学（17）简单的倍数问题
小朋友们，你见过关于倍数的问题吗？那么，你知道什么是倍数问题吗？倍数问题是指已知一个数或者几个数的和（差）及相互之间的倍数关系，求其中一个数或者几个数的问题。它包括求1倍数或几倍数问题、和倍问题、差倍问题等。现在我们就来学习这三类比较简单的倍数问题。
典型例题
一、 求1倍数或几倍数
例【1】 果园有苹果树1200棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。梨树有多少棵？ 分析 根据题意，可以画出线段图：







由“梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵”可知：苹果树的棵数是1倍数（1200棵），梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵，先求出苹果树棵数的2倍（1200棵×2＝2400棵），再求比它多80棵的数。
解 1200×2＋80
＝2400＋80
＝2480（棵）
答：梨树有2480棵。
例【2】 果园有梨树2480棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。苹果树有多少棵？ 分析 根据题意，可以画出线段图：






由“梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵”可知，苹果树的棵数是1倍数，梨树是2480棵，减去多的80棵，正好是苹果树棵数的2倍。求1倍数用除法，由此可以求出苹果树的棵数。
解 （2480－80）÷2
＝2400÷2
＝1200（棵）
答：苹果树有1200棵。

小结 解答求1倍数或几倍数的问题时，特别要注意分清是属于求几倍数的题，还是求1倍数的题。求几倍多几或几倍少的量，都要先求出几倍数，然后再加或减，即先乘再加或减。反之，已知几倍多几或几倍少几的量，而求1倍数，应先

减或加，求出几倍的对应量，再除以倍数。

二、 和倍问题
例【3】 学校图书馆有科技书和文艺书共2400本，文艺书的本数是科技书的4倍。两种书各有多少本？
分析 根据题意，可以画出下面线段图：







从图中可以看出，把科技书的本数作为1倍数，文艺书的本数就是它的4倍，那么2400本就相当于科技书本数的（1＋4）倍，由此可以先求出科技书的本数，然后再求出文艺书的本数。
解 科技书的本数：
2400÷（1＋4）
＝2400÷5
＝480（本）
文艺书的本数：
480×4＝1920（本）
或2500－480＝1920（本）
以上解答对不对呢？可以检验吗？
检验：1920＋480＝2400（本）……和
1920÷480＝4……倍数
答：科技书有480本，文艺书有1920本。

例【4】 体育室有足球和篮球共76只，足球的只数比篮球的3倍还多4只，足球和篮球各有多少只？
分析 把篮球的只数看作1份，那么足球的只数就相当于篮球的3份还多4只。足球和篮球共76只，可以看作篮球的4份就是76－4＝72（只），这样篮球的只数是;
（76－4）÷（3＋1）＝18（只）
足球的只数有两种方法求得：
一种方法是知道足球和篮球共76只，篮球18只。可求出足球的只数：76－18＝58（只）
另一种方法是知道足球的只数比篮球的3倍多4只，篮球18只，可求出足球的只数：18×3＋4＝58（只）

例【5】 两箱鸡蛋共重72千克，如果从第一箱取出13千克放入第二箱，那么第二箱鸡蛋的重量是第一箱的2倍。原来第一箱和第二箱各有鸡蛋多少千克？
分析 不管是从第一箱取出鸡蛋放入第二箱，还是从第二箱取出鸡蛋放入第一箱，两箱鸡蛋的总重量为72千克，当从第一箱取出13千克放入第二箱后，第二箱鸡蛋的重量是第一箱的2倍时，第一箱鸡蛋的重量是72÷（2＋1）＝24千克，原来第一箱鸡蛋重量就是：72÷（2＋1）＋13＝37（千克）
原来第二箱鸡蛋的重量就是：72－37＝35（千克）

小结 “和倍问题”的特点是：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求两个数各是多少。解答时，我们采用代换的思路，用1倍数去代替几倍数，看和相当于1倍数的几倍，即除以几，先求出1倍数，然后再求出几倍数。解题公式是：
和÷（倍数＋1）＝1倍数 1倍数×几倍＝几倍数 或 和－1倍数＝几倍数
趣味数学（18）填符号 组算式
小朋友们，你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗？他写得一手好字。有一次过年，一个人请祝枝山写了一张条幅：“今年正好晦气全无财帛进门。”主人一看：“今年正好晦气，全无财帛进门。”差一点气昏过去，大骂祝枝山是个“大混蛋”。祝枝山不慌不忙，笑嘻嘻地说：“

你听我念：‘今年正好，晦气全无，财帛进门。’这是多么好的好彩。”主人一听，马上转怒为喜。
古人的断句，体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发挥类似的作用。

例【1】 在下面4个4中间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），组成3个不同的算式，使得数都是2。
4 4 4 4 ＝ 2
4 4 4 4 ＝ 2
4 4 4 4 ＝ 2

分析 由题意，可以在4之间添加运算符号和括号，而题中没有一个运算符号，而只能采用逐一试验的方法，找到正确答案。
解 如果在第1个4后面添＋号，后3个4不能得到2；如果第1个4后面是一号，4－2＝2，很容易想到：（4＋4）÷4＝2。所以4－（4＋4）÷4＝2。
如果第1个4后面是×号，4×4＝16，由于16÷8＝2。容易想到：4×4÷（4＋4）＝2。
如果第1个4后面是÷号，4÷4＝1，由于1＋1＝2，容易得到：4÷4＋4÷4＝2。


例【2】 在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但结果是正确的。请你给小明的算式添上括号：
4＋28÷4－2×3－1＝4
分析 根据题意，错误的算式是丢了括号。只能按先乘除，再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义的，所添的括号要能够改变运算顺序。所以，括号应添在含有加减运算的两边。
解 从左往右看，在4＋28两侧试添括号，计算得32，再除以4得8。小明的算式就变为8－2×3－1＝4。如果把括号加在8－2的两侧，计算结果大于4，只能把括号加在3－1的两侧。很容易得到：8－2×（3－1）＝4。正确的算式应为：
（4＋28）÷4－2×（3－1）＝4


例【3】 在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ＝6

分析 由题意，有8个地方要添运算符号，用逐一试验的方法很难找到答案。分析写成的结果，由于60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10，因此可以把算式中的数分成两个部分，使两个部分的乘积等于60。在分的过程中，应先考虑较大的数，再考虑较小的数。
解 把7□8□9分成一组，在它们之间添加号和减号，可得7＋8－9＝6。剩下的1□2□3□4□5□6为一组，添上运算符号，结果要得10。再看较大的数4□5□6，可得4＋5－6＝3。于是得到1＋2×3＋4＋5－6＝10。所以正确算式为（11＋2×3＋4×5－6）×（7＋8－9）＝60。
想一想：如果把6□7□8□9分成一组呢？

例【4】 在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。
8 8 8 8 8 8 8 8 ＝ 1000

分析 在8个8之间的适当的地方添上加号，运算符号是确定的，关键要选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近1000的数是888，再考虑余下的5个8怎样安排就

行了。
解 8 8 8 8 8＋888＝1000，余下的5个8可以拿出2个8组成88，得到8 8 8＋88＋888＝1000。
因为1000－（88＋888）＝24，剩下的8 8 8只要再相加就行了，答案是：8＋8＋8＋88＋888＝1000。


例【5】 在下面式子的适当地方添上＋、－、×，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8＝1

分析 这题等号左边的数字较多，而等号右边的得数是最小的自然数1。可以考虑在等号左边最后一个数字8前面添“一”号，这时等1 2 3 4 5 6 7－8＝1；再考虑式应为1 2 3 4 5 6 7＝9；可考虑在7前面添＋号，等式应为1 2 3 4 5 6＋7＝9；用前面的方法，只要让1 2 3 4 5 6＝2，考虑1 2 3 4 5－6＝2；这时让1 2 3 4 5＝8就行了，考虑1 2 3 5＋5＝8。则只需1 2 3 4＝3即可，1＋2×3－4＝3。
解 1＋2×3－4＋5－6＋7－8＝1

根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验法、凑整法、逆推法。如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，找到答案，如例1、例2；如果题中结果较大，可以把数字先分组，然后每组再试验，如例3。
凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，即增加或减少，使等式成立，如例4、例5。


趣味数学（19）单数和双数
知识要点：1、3、5、7、9…叫做单数，2、4、6、8、10…叫做双数。一个数2个、2个地分，正好分完，这个数就是双数。2个、2个地分完之后，还多1个，这个数就是单数。
单数与双数相加、减有如下特点：
⑴双数与双数相加、减，结果为双数；
⑵单数与单数相加、减，结果为双数；
⑶单数与双数相加、减，结果为单数。
[ 例1] 前十个自然数：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的和是单数还是双数？
分析：由题可知道5个单数1＋3＋5＋7＋9相加，等于单数；5个双数2＋4＋6＋8＋10相加，等于双数。单数＋双数=单数，所以前十个自然数的和是单数。
[ 例2 ] 晚上小华在灯下写作业，突然停电。小华去拉了两下开关，这时爸爸回来后，又到小华房间拉了三下开关。等来电后，小华房间的灯是亮的还是不亮的?
分析：我们画一个表来找规律。
原来灯 拉1下 拉2下 拉3下 拉4下
亮 不亮 亮 不亮 亮
从上看出：拉单数次，灯不亮。拉双数次，灯亮。所以一共拉了2+3=5（下），灯不亮。
[ 例3 ] 一只小青蛙在小河的两岸来回的游，从一岸游到另一岸叫游一次。请回答下面问题：
⑴如果小青蛙在左岸，游若干次之后，又回到了左岸，那么这只小青蛙游的次

数是单数还是双数？
⑵如果小青蛙在右岸，来回共游101次，小青蛙最后到了左岸还是到了右岸？




分析：⑴如果小青蛙又回到了左岸，那么这只小青蛙游的次数是双数。因为游一个“来回”即游两次，是双数，游若干个“来回”就是若干个双数相加，所以游的次数是双数。
⑵来回共游101次，说明小青蛙游的次数是单数次，那么小青蛙就应由右岸到了左岸。
[ 例4 ] 9个小朋友做运球游戏。第一个小朋友把球从操场东边运到西边，第二个小朋友接着把球从西边运到东边，第三个小朋友又接着运下去……最后球在东边还是在西边？
分析：由题可知道第一个小朋友的球运到西边，第二个小朋友的球运到东边，这说明单数次在西边，双数次在东边。那么9个小朋友是单数，所以最后球在西边。
[ 例5 ] 3张连着的单号电影票，座位数目相加是27，这3张电影票的座位分别是几号？
分析：由题可知道3张连着的单号电影票，座位数目相加是27，我们可以把他们当成3张相同的电影票，那么9＋9＋9=27。又由于3张是连着的单号电影票，因此9－2=7，9＋2=11，这3张电影票的座位分别是7号、9号、11号。


趣味数学（20）循环问题
小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些问题时，我们不仅要判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，而更重要的是看它的余数。如1999年元旦是星期五，2000年元旦是星期几？因为1999年是平年，有365天，365÷7=52……1，所以2000年的元旦是星期六。这就是根据365除以7所得的余数来判定的。那么，就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题。
典型例题
例[1] 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白……像这样继续下去，到第2003个小球该涂什么颜色？

分析 小木球涂色的次序是：“5红，4黄，3绿，2黑，1白”，也就是每涂过“5红，4黄，3绿，2黑，1白”循环一次，给小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15，根据余数就可以判断球的颜色。
解 2003÷15=133……8
这就是说，第1999个小木球出现在上面所列一个周期中的第8个，所以第2003个小球涂的是黄色。

例[2] 有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…
（1） 第81个数是多少？
（2） 这81个数相加的和是多少？

分析 （1） 从排列可以看出这组数是按7，0，2