李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析

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第5章

复习与思考题

1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现

a的情况，这时消去法无法进行；即

kk

k时主元素0

和舍入

增长

a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重

kk

计

误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和

算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什

么条件？

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个

为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，?，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长

算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

对角占优的三对角方程组

6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53，符合3个运算法则。

正定性

齐次性

三角不等式

x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）

设

n

||x|||x|

1i

i1

1

n

22

||x||(x)

2i

i1

||x||max|x i|

1in

7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，

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||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？

向量范数定义见p162，需要满足四个条件。

正定条件

齐次条件

三角不等式

相容条件

矩阵的算子范数有

||A||

1

||A||

2

||A||

从定义可知，||A||1更容易计算。

8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？

答：设A为非奇异阵，称数 1

cond(A)v AA（v1,2,）为矩阵A的条件数

v

v

当cond(A)1时，方程是病态的。

9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？

（1）矩阵行列式的值很小。

（2）矩阵的范数小。

（3）矩阵的范数大。

（4）矩阵的条件数小。

（5）矩阵的元素绝对值小。

接近奇异阵的有

（1）、（2）

注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。

矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。

10、判断下列命题是否正确：

（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。

（2）对称正定的线性方程组总是良态的。

答：正确。

（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。

答：正确。

（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。

答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。

（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。

（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。

答：正确。

（7）奇异矩阵的范数一定是零。

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答：错误，可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则||A||1=||A||

∞。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（11）||A||1=||A T||

T||

∞。

答：根据范数的定义，正确。

（12）若A是nn的非奇异矩阵，则

cond(

1 A)cond(A)。

答：正确。A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

1cond(A)AA

根据条件数的定义有：

111111

cond(A)A(A)AAAA

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1、设A是对称阵且a0，经过高斯消去法一步后，A约化为

11

T

a

a

11

1

0A

2

，证明A是对

2

称矩阵。

证明：

aa...a

11121n

设对称矩阵 A a a...a

1222n2

............

，则经过1次高斯校区法后，

有

aa...a

1n2nnn

aa...a 11121n

(1) A

aa

121n 0aa...aa

2212n212

aa

1111 ............

aa

1n1n 0aa...aa

2n12nn12

aa

1111

aa...a

11121n

aa

1212 0aa...aa

2212n21n

aa

1111 ............

aa

1n1n 0aa...aa

n212nn1n

aa

1111

所以

T

a1[a12 (2)

n

aa

1212 aa...aa

2212n21n

aa

1111

A

2

.........

aa

1n1n

aa...aa

n212nn1n

aa

1111

所以A2为对称矩阵。

2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为()

Aa，其中A(a ij)n，

ijn

(2)

A2(a ij)n1；

证明：（1）A的对角元素a0(i1,2,,n)；（2）

ii

A是对称正定矩阵；

2

T

（1）依次取x i(0,0,,0,1,0,,0),i1,2,,n，则因为A是对称正定矩阵，

i

T所以有axAx0

ii。

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（2）

aa i11j

()ijn 2

A 中的元素满足a ij ,(,2,3,,)，又因为A 是对称正定

a

2ij

a 11

矩阵，满足a ij a,i,j1,2,,n ，所以

ji aaaa (2)i11j1ij1(2) a ij aaa ，

ijjiji

aa 1111

即 A 是对称矩阵。

2

3、设

L 为指标为k 的初等下三角矩阵（除第k 列对角元以下元素外，L k 和单位阵I 相同）， k 即

1

...

L k

1 m k1,k

1 ......

m

n,k

1

求证当i ,jk 时， L ILI 也是一个指标为k 的初等下三角矩阵，其中I ij 为初等置换

kijkij

矩阵。

4、试推导矩阵A 的Crout 分解A=LU 的计算公式，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角 矩阵。

本题不推导。参见书上例题。P147页。 5、设U xd ，其中U 为三角矩阵。

（1）就U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法 （2）计算解三角方程组Uxd 的乘除法次数 （3）设U 为非奇异矩阵，试推导求U 1

的计算公式

本题考查求解公式的一般方法，可从第n 个元素开始，逐步计算n-1,?1时对应的求解公式。 解法，略。 6、证明：

（1）如果A 是对称正定矩阵，则A 1

也是对称正定矩阵

（2）如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成AL T

L ，其中L 是具有正对角元的下 三角矩阵

均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。

7、用列主元消去法解线性方程

组

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12x3x3x15

123

18x3xx15

123

xxx

123

6

并求出系数矩阵A的行列式的值

1233

A1831

111

123315

A|b183115

1116

使用列主元消去法，有

123315

A|b183115

1116

183115

123315

1116

183115

7

015

3

0 71731 6186

183115

0 71731 6186

7

015

3 183115

0 71731 6186

00 6666 217

A的行列式为-66

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方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3

8、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解 111

xxx 123 456

9 111

xxx 123 345

8 1 2

xx2x8 123

本题考查LU 分解。 解：

111 456 A 111 345

1 2

12 100

L

1 3 10

1 2

11 111 456 U0 1113 6090

00

957 540

9、用追赶法解三对角方程组Axb ，其中

210001 121000

A01210，b0。

001210 000120

解：追赶法实际为LU 分解的特殊形式。设U 为、单位上三角矩阵。有 （1）计算

i

的递推公式

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1c1/b11/20.5

2c2/(b2a21)1/(2(1)(0.5))2/3

3c3/(b3a32)1/(2(1)(2/3))3/4

4c4/(b4a43)1/(2(1)(3/4))4/5

（2）解Ly=f

y1f1/b11/2

y2(f2a2y1)/(b2a21)(0(1)(1/2))/(2(1)(0.5))1/3

y3(f3a3y2)/(b3a32)(0(1)(1/3))/(2(1)(2/3))1/4

y4(f4a4y3)/(b4a43)(0(1)(1/4))/(2(1)(3/4))1/5

y5(f5a5y4)/(b5a54)(0(1)(1/5))/(2(1)(4/5))1/6

（3）解UX=y

x5y51/6

x4y44x51/5(4/5)1/61/3

x3y33x41/4(3/4)1/31/2

x2y22x31/3(2/3)1/22/3

x1y11x22(1/2)2/35/6

10、用改进的平方根法解方程组

4

211 x

1

123 x

5。

2

6

131 x

3

本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157

10723

x1,x,x。

23

999

11、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。

123111126

A241，B221，C2515。

46733161546

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LU分解存在的条件

一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。

即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。

解：

因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三

角阵的乘积，但换行后可以。

因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的

乘积。

因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的

乘积，并且分解是唯一的。

12、设

0.60.5

A，

0.10.3

计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。

本题考查的是矩阵范数的定义及求法

行范数0.6+0.5=1.1

列范数0.5+0.3=0.8

2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。

T

AA的最大特征值为0.3690

所以2-范数为0.6074

F-范数0.8426

13、求证：

（a）xxnx

1

；

（b）

1

n A FAA

2 F

。

根据定义求证。

n xmaxxxxnmaxx i nx。

ii

1

1in1in

i1

n11

22

Aa

ij

F

nn

i,j1

2

T

A2(AA)

max

14、设

nn

P且非奇异，又设x为

R

n

R上一向量范数，定义x p Px。试证明x p是

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R上向量的一种范数。

根据向量范数的定义来证明：

要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。

显然x p Px0，cx p PcxcPxcx p、

x1x2(12)121212，从而

pPxxPxPxPxPxxx

pp x是

p

n

R

上向量的一种范数。

15、设nn

AR为对称正定，定义

1

2

x(Ax,x)

，

A

试证明x是

A

n

R上向量的一种范数。

根据向量范数的定义来证明：

要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。

1 显然T

xAxxxAx

(,)20

A

，

11

2T

cx(Acx,cx)2c(xAx)c(Ax,x)2cx

AA

1

T xx(A(xx),(xx))(x x)A(xx)

2

1212121212

A

TT

xAxxAxxx

112212

AA

16、设A为非奇异矩阵，求证

1

min

10

A

y

A y

y

。

因为

A 1

max

x0

A

1

x

x

max

x0

A

AA

1

x

1

x

y

y

1

max

1，

AyAy

Ax0

min

y0

y 所以得证

1

min

10

A

y A y y

17、矩阵第一行乘以一数，成为

2

A，证明当

11

2

3

时，cond(A)有最小值。

本题考查条件数的计算

1

cond(A)AA

首先计算A的逆阵

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1

1

A

1

2

A

2|3|2

|3||3|2 ，当2

3，取得最小值为2

A 11

||

2

，当

||

取值越大，则最小值为2

从而

11 cond(A)AA(2)max3,2，

又当2

3

时，

13

cond(A)(2)max3,2(2)27。

2

当2

3

时，

11

cond(A)(2)max3,2(2)3367。

综上所述，cond(A)7时最小，这时2

3

，即

2

3

。

18、设

10099

A，计算A的条件数cond(A)v(v2,) 9998

由10099

A可知，

9998

9899

1

A，从而

99100

(A

989998991940519602 1T A，

1

)()

99100991001960219801

1940519602 1T A2，

1

由I(A)()3920610

1960219801

李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社

第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q

最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1

第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1

第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所 给的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；

数值分析第五版_李庆扬

数值分析第五版_李庆扬 一、课程基本信息 课程中文名称： 数值分析 课程英文名称： Numerical Analysis 课程类别： 专业基础课 开课学期： 秋 适用专业： 信息与计算科学；应用数学 总学时： 86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时） 总学分： 5（理论课3学分；上机实习2学分） 预修课程（编号）： 数学分析，高等代数，常微分方程 课程简介： 本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。是应用数学的重要分支之一。 建议教材： 《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书： [1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年； [2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年； [3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年 [4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年 [5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司2003 6、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。 二、理论课程教育目标 通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。 三、理论教学内容与要求（含学时） 第一章：计算方法的一般概念（4学时） 本章教学内容： 理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。 第二章：解线性方程组的直接法（8学时）

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社.

第一章 绪论 1设x 0,x 的相对误差为 ，求In x 的误差 进而有(In x*) 2.设x 的相对误差为2%，求x n 的相对误差。 xf '(x) 解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | | f(x) n 1 x nx n 1 又Q f '(x) nx , C p | | n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*) 且 e r (x*)为 2 r ((x*)n ) 0.02 n 3?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x ； 1.1021,x 2 0.031 , x 3 385.6, x 4 56.430,x ； 7 1.0. 解：x * 1.1021是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； X 3 385.6是四位有效数字； x 4 56.430是五位有效数字； x ； 7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： ⑴X ； X ； X ；,(2) x ；x ；x ；,(3) X ；/X 4. 其中x ；,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。 解: 解：近似值x *的相对误差为 e* x* x x* x* 而In x 的误差为e In x* In x* Inx 1 x* e*

* 1 4 (X 1) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 2) 2 10 * 1 1 (X 3) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 4) 2 10 * 1 1 (X 5) 10 2 (2) (x ；x ；x ；) * * * X 1X 2 (X 3) 0.215 ⑶(X ；/X ；) * I * * * X 2I (X 4) X 4 (X 2) n & 4 3 解：球体体积为V - R 3 则何种函数的条件数为 C P r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*) (1) (X 1 * (X 1) 1 10 2 1.05 10 X 2 X 4) * (X 2) 4 1 2 3 10 (X 4) 3 1.1021 0.031 101 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.6 10 0.031 1 3 1 3 10 3 56.430 10 3 2 2 10 5 56.430 56.430 5计算球体积要使相对误差限为 X 2X 3 * * * X 1X 3 (x 2) 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? Rg/' V

(完整版)数值分析第五版答案

第一章 绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数， 即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x 1* 1.1021 , x 2* 0.031 , x 3 385.6 , x 4 56.430 ,x 5 7 1.0. 解： x 1 1.1021 是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； x 3 385.6 是四位有效数字； x 4 56.430 是五位有效数 字； x 5 7 1.0. 是二位有效数字。 4．利用公式 (2.3)求下列各近似值的误差限： (1) x 1 x 2 x 4,(2) x 1 x 2 x 3 ,(3) x 2/ x 4. 其中 x 1* , x *2, x 3* , x 4* 均为第 3题所给的数。 解： (x 1*) (x * 2) (x *3) (x * 4) (x 5) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 10 10 10 10 10 (1) (x 1 (x 1*) 1 10 2 1.05 10 x 2 x 4) (x * 2) 1 2 3 10 (x *4) 1 10 3 2 (2) (x 1*x *2x 3*) x 1x 2 (x 3) x 2x 3 (x 1) x 1x 3 (x 2) 1 1.1021 0.031 10 1 0.031 385.6 1 10 4 1.1021 385.6 1 10 3 0.215

又Q r (V*) 计算到 Y 100 。若取 783 27.982 （ 5 位有效数字） 有 Y 100 Y 0 100 1 783 100 0 100 (3) (x *2/ x 4*) x 2* (x *4) x *4 (x 2*) *2 x 4* 1 3 1 3 0.031 10 3 56.430 10 3 22 56.430 56.430 10 5 5 计算球体积要使相对误差限为 1 ， 43 解：球体体积为 V R 3 3 则何种函数的条件数为 问度量半径 R 时允许的相对误差限是多 少？ C p RgV ' Rg4 R 2 4 R 3 3 r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*) 故度量半径 R 时允许的相对误差限 为 6．设 Y 0 28，按递推公式 Y n Y n 1 3 1 783 100 r (R*) 1 0.33 n=1,2,?) 1 解：QY n Y n 1 783 n n 1 100 Y 100 Y 99 1 783 100 99 100 1 783 100 1 783 100 Y 99 Y 98 Y 1 Y 98 Y 97 Y 0 1010 783 即 Y 100 Y 0 783， 若取 783 27.982 , Y 100 Y 0 27.982 ，试问计算 Y 100 将有多大误差？ 依次代入后，

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版 社 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位 的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,* 20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) *** 123x x x ,(3) ** 24/x x .

其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为