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矩阵可对角化的判定条件及推广

数学与计算机科学学院数学与应用数学（S ）学号：2011031103 姓名：方守强指导教师：梁俊平

摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。

而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。

在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。

一、矩阵可对角化的概念

1 特征值、特征向量的概念

定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而

ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。

求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：

(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系

s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征

向量。

2 矩阵可对角化的概念

定义2 设A 是矩阵F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵

P ,使得AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。

任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i P 满足

i i i P AP λ=()n ,1,2,i

=，则这个方程可以写成 ()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =??

???

? ?

?n λλλ

, （1）我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-

引理1 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - 。引理2 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。证明设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为特征值

i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组

()0=-X I A i λ的基础解析所含向量的个数，

所以特征值()n s s ≤λλλ,,,21 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，

()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为

()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

引理3 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则

()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。

二、矩阵可对角化的充分必要条件

1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明

定理1 数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

证明（1）充分性假设n P P P ,,,21 是矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，

因此矩阵P 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()

n P P P P P P 12111,,,--- ，另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1-P ，则有

n I AP P =-1????????

?n λλλ 21=??

???

?? ??n λλλ 2

1，即充分性得证。

（2）必要性令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得

D AP P =-1,则有PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()T

n d d d D ,,,21 =则

PD AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P

d ,,,2211 )即有i i i P d AP =()n ,1,2,

i =,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知P 是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。定理2 设 n n P A ?=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内, (2)对A 的每个特征根λ,有，

()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。

条件(2) 也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。

条件(2)还可改述为：令有()[]n A n r

i i =-∑=1-E λ秩，即属于A 的不同特征根的

线性无关的特征向量总数是n 。

条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。

证明设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j jt j αα,,1 是齐次线性方程组()0=-X A E j λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量

rt r t t ααααα,,,,,,,,111111

一定线性无关。

如果n t t t r =+++ 21, 则A 有n 个线性无关的特征向量, 从而A 可以对角化。若A 可以对角化, 则属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n 。

若不然, 则由定理1可设A 的n 个线性无关的特征向量为n ηηη,,,21 ,设j η是属于特征根j λ的特征向量，则j η可由j t j j αα,,1 线性表出，从而可由向量组

rt r t t ααααα,,,,,,,,111111

线性表出，于是，

rank{n ηηη,,,21 }≤rank{t tr t r αααα,,,,,,11111 }=

n t t t r <+++ 21与n ηηη,,,21 线性无关矛盾。

定理3 设A 是n 阶复矩阵, 则A 与对角形矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式()λm 无重根。

证明充分性因())(λλn d m =无重根,由)(λi d |)(1λ+i d 知,A 的每个不变因子)(λi d 都不能有重根，从而特征矩阵A E -λ作为复数域上的λ矩阵,其初等因子全为一次式，故A 必与对角阵相似。

必要性因A 与对角阵相似,特征矩阵A E -λ的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子()λn d 也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式

())(λλn d m =无重根。

此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有: 定理4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，σ的矩阵可以对角化的充分必要条件是V 可以分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和。

证明 :必要性若σ可以对角化，则存在V 的一组基n ααα,,,21 使得σ在这

组基下的矩阵为??

???

?n λλλ

，令()()()n n L W L W L W ααα===,,,2211 ,则 n W W W V ⊕⊕⊕= 21，事实上：

（1）V ∈?η，则n n k k k αααη+++= 2211，

又i i i W k ∈α()n ,1,2,i =, n W W W +++∈ 21η，即n W W W V +++= 21。

（2）()n i i i W W W W W W ++++++∈?+- 1121ξ,()n ,1,2,i =，

i W ∈ξ且n i i W W W W W ++++++∈+- 1121ξ，

i ξξ=且n i i ξξξξξξ++++++=+- 1121,()n j W j j ,,2,1, =∈ξ ，

又j j W ∈ξ()n ,1,2,j =，j j j W L =ξ，()n ,1,2,j =,

i i n n i i i i L L L L L L ααααααξ=++++++=++-- 11112211,

即i i n n i i i i i i L L L L L L L ααααααα=+++-+++++-- 11112211又

n ααα,,,21 线性无关j L =0,()n ,1,2,j =,

即ξ=0。

充分性:若V 可分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和,即n W W W V +++= 21,设n W W W ,,,21 的基分别为n ηηη,,,21 则n ηηη,,,21 可构成V 的一组基。

令()()()n n n ηλησηλησηλησ===,,,222111 ，

σ在基n ηηη,,,21 下的矩阵为 ??

???

?n λλλ

1，即σ可以对角化。

定理5 设A 是数域F 上的一个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若

n λλλ,,,21 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为n r r r ,,,21 ，则A 可对角化

的充要条件是秩()j j

i i r A I =-∑≠λ()k ,1,2,j =。

证明 :设A 可对角化，则存在可逆矩阵T ,使

{}n n I I I diag AT T λλλ,,,22111 =-这里右边是分块对角矩阵，i I 为i r 阶单位阵，于

是有

秩()?

??-∏≠j i i A I λ =秩()???? ?????? ??-∏≠-T A I T j

i i λ1

=秩()?

? ??-∏≠-j i i AT T I 1

λ =秩{}???

??-∏≠j i k k i

I I I diag I λλλλ,,,,2211 =秩()()(){}???

??---∏≠j i k k i i I I I diag λλλλλλ,,,22111 =秩()????

???????-∏≠j i j j i I diag 0,,0,,,0,0 λλ =j

r 。

反之，若秩()?

??-∏≠j i i A I λ=j r ，k ,1,2,j = 则反复用本文引理1可得：

()()n k A I r i j i j 2---≥∑≠λ秩

()()n k r n j i i 2---≥∑≠ =j j

i i r r n =-∑≠，

于是有()A -∑≠I i j

i λ秩=()∑-i r n 。

从而()A I i -λ =i r n -()k ,1,2,i =，这样A 可对角化。

定理6 设A 为n 阶方阵,则A 可以对角化的充要条件为存在两两互异的

s λλλ,,,21 使得()()()021=---I A I A I A s λλλ 。

证明必要性设n 阶方阵A 可以对角化,s λλλ,,,21 (n s ≤)为A 的所有互

异特征值,由引理2及定理1，从而A 有n 个线性无关的特征向量,即

()()()n I A r I A r I A r sn s =-------λλλ 21故

()()()()0121=---++-+-n s I A r I A r I A r s λλλ ，

再由引理3得()()()=---][21I A I A I A r s λλλ0，从而有()()()021=---I A I A I A s λλλ。

充分性设A 为n 阶方阵且存在两两互异的数s λλλ,,,21 使得

()()()021=---I A I A I A s λλλ，记为()A f =()()()I A I A I A s λλλ---21。

设λ为A 的特征值，则()()()()s f λλλλλλλ---= 21必为()A f 的特征值，从而()0=A f 。

所以()()()()021=---=s f λλλλλλλ ,因此矩阵A 的特征值的取值范围为s λλλ,,,21 ，显然当I A i λ-可逆时，i λ不是A 的特征值；当I A i λ-可逆时，i λ是A 的特征值。因为线性方程组()0=-X I A i λ的基础解系所含向量的个数()I A r n i λ--即为A 的特征值i λ()s ,1,2,i =的重数 (当I A i λ-可逆时,

i λ不是A 的特征值,此时()0=--I A r n i λ)。从而矩阵A 线性无关的特征向量的

最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。再由引理3，当()()()021=---I A I A I A s λλλ时

()()()()n s I A r I A r I A r s 121-=-++-+-λλλ ，

所以 ()()()n I A r I A r I A r sn s =-------λλλ 21，即n 阶方阵A 有n 个线性无关的特征向量,从而A 可以对角化。

2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤

具体步骤设n n P A ?∈，求可逆矩阵n n P X ?∈，使AX X 1-为对角矩阵的步骤是:

(1) 求矩阵A 的全部特征根；

(2) 如果A 的特征根都在数域P 内(否则A 不可对角化), 那么对每个特征根λ, 求出齐次线性方程组()0=-X A I λ的一个基础解系；

(3) 如果对每个特征根λ,()0=-X A I λ的基础解系所含解向量个数等于λ的重数(否则A 不可对角化), 那么A 可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得n 阶可逆阵X , 且AX X 1-是对角阵, 而对角线上的元素是A 的全部特征根。

参考文献

[1] 张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2007.

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[8] 王志武.方阵可对角化的一个充要条件[J].山东农业大学学报,2008，04：3-5.

Matrix diagonalization of decision condition and promotion Fang Shou-qiang 2011031103 Advisor:Liang Jun-ping Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer

Science

【Abstract】Whether can matrix diagonalization, are the property of matrix a is very important. Sufficient and necessary conditions of similarity diagonalization of understanding, has always been a difficult problem in linear algebra. The diagonalization of matrix are given in this paper can be several necessary and sufficient condition and the corresponding certificate.

【Keywords】Square; Characteristic value; Feature vector; diagonalization

矩阵的判定条件

关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。关键词:正定矩阵；定义；性质；判定 Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix. Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination 1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些

矩阵的可对角化及其应用

附件：分类号O15 商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月

矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix

一般矩阵可逆的判定

一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231）摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。关键字：n阶方阵A；A≠0；r A=n；?λn≠0；AB=BA=I n 0 引言逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。 1 矩阵的概念 1.0矩阵的定义定义1：令F是一个数域，用F上的m×n个数a ij(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)排成m行n列的矩阵列，则称为m×n阵，也称为一个F上的矩阵，简记为A mn。 A=a11a12 a21a22 ?a1n ?a2n ?? a m1a m2 ?? ?a mn 1.1逆矩阵的定义定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得 AB=BA=I n 则称B是A的逆矩阵，记作：B=A?1。

04 矩阵的对角化

第四讲矩阵的对角化对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Ax b =时，将矩阵A 对角化后很容易得到方程的解。以前我们学习过相似变换对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征征值与特征向量 1. 定义：对n 阶方阵A ，若存在数λ，及非零向量（列向量）x ，使得Ax x λ=,则称λ为A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量。 ☆ 特征向量不唯一； ☆ 特征向量为非零向量； ☆ ()0I A x λ-=有非零解，则det()0I A λ-=，称

det()I A λ-为A 的特征多项式。例1 12 22122 2 1A ????=?????? ，求其特征值和特征向量。【解】1 22 det()2 122 21 I A λλλλ----=------ 2 (1)(5)λλ=+-，特征值为 121λλ==-，35λ=，对于特征值1λ=-，由 ()0I A x --=， 1232222220222ξξξ?? ??????=???????????? ， 1230ξξξ++= ， 312ξξξ=-- ，

可取基础解系为 1101x ?? ??=?? ??-?? ，2011x ????=????-??，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 1122k x k x + ，其中12,k k 为不全为零的数. 对于特征值5λ=，由 (5)0I A x -=， 1234222420224ξξξ--?? ??????--=????????--???? ， 123ξξξ== ，可取基础解系为 3111x ?? ??=?????? ，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 33k x ，其中3k 为非零的数. 2. 矩阵的迹与行列式

实对称矩阵的正交对角化

实对称矩阵的正交对角化摘要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。 Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。

下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A- λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。 Ii：αi1，αi2，…，αini 则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。令P1=（I1，I2，…，Ik），则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。 Ji：ei1，ei2，…，eini 则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini 正交化得：

矩阵可对角化的判定条件开题报告

矩阵可对角化的判定条件开题报告开题报告矩阵可对角化的判定条件选题的背景、意义矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论

进行应用和举例,给出算法。特别给出了解题时方法的选择。矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论. 文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,

状态转移矩阵判定条件小论文

摘要：状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性控制系统的运动分析中起着重要的作用。分别对连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统以及离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行了研究。根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，以及如何求出其对应的系统矩阵的方法。状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念,在线性控制系统的运动分析中起着重要的作用。文献[1-8] 对线性系统的状态转移矩阵(包括连续时间线性定常系统、连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统、离散时间线性时变系统)进行了详细而深人的介绍。通常情况下，判断矩阵函数是某一连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵的充要条件会在之前的工作中给出。本文对连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统、离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行了进一步的研究。根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件,并求出了其对应的系统矩阵。 1预备知识考虑连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统和时变系统，它们的齐次状态方程分别为：其中差分方程部分如下：为了给出判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件,需要用到下面的引理。引理1状态转移矩阵是下列矩阵微分方程初值问题的解,且解是唯一的[5]：引理2状态转移矩阵是下列矩阵差分方程初值问题的解：

引理3状态转移矩阵是下列矩阵差分方程初值问题的解: 2.1判定结果

2.2讨论定理1 ~3给出了判定矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，也给出了计算其对应的系统矩阵的公式。由状态转移矩阵的性质可知对连续系统，定理1的条件也是必要的;但对于离散系统，由于状态转移矩阵不能保证必为非奇异[2]，所以定理2和定理3的条件不是必要的。但对于连续时间线性系统的时间离散化系统，无论其为时不变或时变系统，状态转移矩阵必为非奇异[2]，此时定理2和定理3 的条件是充分必要的。定理1 ~3给出的条件是非常容易验证的，可使用比较流行的Matlab工具进行验证，因而这些充分条件是有效的。 3结束语本文对线性系统的状态转移矩阵进行了进一步的讨论,针对连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统和离散时间线性时变系统，分别给出了函数矩阵是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件。这些条件是非常容易验证的,因而是有效的,并通过例子说明了结论的正确性。参考文献 [1 ]王高雄,周之铭,朱思铭,等.常徽分方程[M].2版.北京:高等《自动化仪表》 [2] 郑大钟.线性系统理论[M].2版.北京:清华大学出版社，2002. [3] 刘豹,唐万生.现代控制理论[M].2版.北京:机械工业出版社， 2005. [4] 施颂椒,陈学中,杜秀华.现代控制理论基础[M].北京:高等教育出版社，2007. [5] 王孝武.现代控制理论基础[M].2版.北京:机械工业出版社， 2006. [6] 白素英四种计算方法的比较[J].数学的实践与认识，2008 , 38(2) ：156-158. [7] 徐进.常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解[J].江汉大学学报：自然科学版,2005,33(4): 17-19. [8] 黄承绪.矩阵指数函数的一些性质[J].武汉理工大学学报:交通科学与工程版,2001,25(2) ；147 -149.

专题4------实对称矩阵的对角化

专题：实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的定义：如果矩阵A 满足：①A 是对称矩阵，即T A A =；②矩阵A 中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如a bi +，0b ≠就是虚数）组成复数集）。那么，称矩阵A 就是实对称矩阵。注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。二、实对称矩阵的性质： ① 实对称矩阵必可对角化。（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372 页说的很清楚） ② 特征值全是实数，特征向量都是实向量。（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质提出来的） ③ 不同特征值的特征向量相互正交。（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。注意向量正交的定义：设12,a a 为n 维列向量，1212211212,(,)0,T T a a a a a a a a a a ?===?正交线性无关） ④ 假设i λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，那么对应于特征值i λ必有k 个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=的基础解系的向量个数为k ，()i n r E A k λ--=。（对于一般矩阵，若i λ是该矩阵（非实对称矩阵）的k 重特征值，那么对应于特征值i λ的线性无关向量最多为k 个，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=（这里的A 为非实对称矩阵）的基础解系的向量个数最多为k 个，即()i n r E A k λ--≤）三、基本情况说明：考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即A 为n 阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。 A 为4阶矩阵，其特征值为1λ、2λ、3λ（3λ为二重特征值）。特征值1λ对应的特征向量为1a ，即111Aa a λ=，明显11k a （10k ≠）也为1λ对应的特征向量；

矩阵可对角化的总结

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矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生 21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～ B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4 2

3 定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[]1[]2[]3[]4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[]2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[]1[]2[]3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[]1[]2[]3[]4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 121n P AP λλλ-??????=??????即12n AP P λλλ??????=?????? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,, ,n P P P 即

可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。 1.求方阵的高次幂例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110?? ?-?? ，试计算k A 。解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里 ()()121211,,12-?? ηη=εε ? -?? ，且 σ 在 12 ,ηη下的矩阵为 1 112 1112 12 11111121012111 01 2 1 ----?????????? ?? ??== ? ??? ????? ?----- ????????? ?????显然 1 10 10 1k k ??? ? = ? ? ?? ?? ，再利用上面得到的关系1 1121111112101201---???????? = ? ??? ?---???????? 我们可以得到 1 21111111111211 101201121201111k k k k k k k ----+????????????????=== ? ??? ? ????? ? ------+???????????????? 2.利用特征值求行列式的值。例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因

为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X λ-λ=，因为X ≠0，所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使 1 00 0r E P AP -??= ??? =B ，其中 r E 是r 阶单位矩阵，从而 1102220 2r n r n r E E A PP PBP E B E -----=-=-= =2 3由特征值与特征向量反求矩阵。若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则例设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为 () 123,,T P X X X =，它应与特征向量 1 P 正交，即 []1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为 ()() 231,0,0,0,1,1T T P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。取 ()123010100,,101,010101001P P P P B -???? ? ? === ? ? ? ?-???? ，则 1P A P B -=，于是1110 010******* 210101010 0011010011 1010022A PBP -? ? ?-?????? ? ??? ?===- ? ??? ? ??? ? ?--??????- ??? 4判断矩阵是否相似

矩阵可对角化的条件.

第二节矩阵可对角化的条件定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。例1设，则有：，即。从而可对角化。定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得将按列分块得，从而有

因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，则有。令，则是一个可逆矩阵且有：因此有，即，也就是矩阵可对角化。注若，则，对按列分块得，于是有，即，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设 (1) 成立。则有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得，再由两两互不相同可得 ,将其代入(1)式得，因此有，从而线性无关。推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且。定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。

证明：设，记，，则有，且或是的属于特征值的特征向量。若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知，矛盾。因此有，,又由已知得 ,,因此向量组线性无关。定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个基础解系,且假设,则有。现将扩充为一个维线性无关向量组,其中未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而可由向量组线性表示，即：因而有：

矩阵可对角化的充分必要条件论文

学号 20080501050116 密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋指导教师：李旭东二○一二年五月

BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College : Mathematics Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Lian Lifeng Directed by : Li Xudong May 2012

郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名 : 日期 :

摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

ABSTRACT Matrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given． Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization

矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4

定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有

不可约M-矩阵的一种判别法

不可约M-矩阵的一种判别法许晓玲 (闽江学院数学系，福建，福州350108) 关晋瑞 (厦门大学数学科学学院，福建，厦门361005) 摘要：本文中我们提出了一个判定不可约M-矩阵的实用算法，给出了相应的理论分析，并用数值算例展示了该算法的有效性和优越性。关键词：M-矩阵；判别法；不可约中图分类号：O151.21 1 引言 M-矩阵是一类很重要的特殊矩阵，自1937年由Ostrowski 提出之后，由于它的重要性和优美的性质，得到了深入的研究和广泛的应用。从那时起，新的性质和等价条件不断被发现，1977年Plemmons 在[11]中总结的非奇异M-矩阵的等价条件已有40个，在后来的专著 [2]中又扩充到多达50个。另一方面，M-矩阵的应用十分广泛，数学上应用在矩阵理论，微分方程数值解，Markov 链，线性互补问题，线性方程组迭代法等问题中，其他学科如物理，生物，经济中也有着广泛的应用。这方面的详细内容可参考[2][7][8][15]。下面我们给出M-矩阵的定义及一些基本性质，主要来自[2] [15]。记{}()|0,n n n ij ij A a a i j ?==∈≤?≠。对任意的n A ∈，我们总可以将A 表示为A cI B =-，其中0c ≥为常数，0B ≥是一个非负矩阵。若()c B ρ≥，我们称A 是一个M-矩阵。特别的，当()c B ρ>时称A 是一个非奇异M-矩阵，当()c B ρ=时称A 是一个奇异M-矩阵。关于非奇异M-矩阵我们有下面几个常见的等价条件。定理1.1 设n A ∈，则下列各条件等价： (1) A 是一个非奇异的M-矩阵； (2) A 可逆，且1 0A -≥； (3) 存在0x >，使得0Ax >； (4) A 的任意特征值都有正实部；

矩阵可对角化的判定条件及推广

矩阵可对角化的判定条件及推广数学与计算机科学学院数学与应用数学（S ）学号：2011031103 姓名：方守强指导教师：梁俊平摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。一、矩阵可对角化的概念 1 特征值、特征向量的概念定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而 ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。求方阵A 的特征值与特征向量的步骤： (1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

对角占优矩阵的判定条件

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/8118088105.html, 对角占优矩阵的判定条件作者：田素霞来源：《科技视界》2014年第26期【摘要】本文介绍了α-对角占优矩阵的概念，给出了广义严格对角占优矩阵新的判定条件，改进和推广了先前有关文献的相应的结果. 【关键词】广义对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;判定条件对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件，改进和推广了文1-3的结果。设A=（a■）∈C■，N={1，2，…n}=N■∪N■，N■∩N■=Φ，记∧■（A）=■a■，Si（A）=■aji 定义1 设A=（a■）∈C■，若aii>∧■（A）（？坌■∈N），则称A为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵. 定义2 设A=（a■）∈C■，若存在α∈（0，1]使aii>α∧■（A）+（1-α）S■（A）（？坌■∈N），则称A为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵. 定义3 设A=（a■）∈Z■=（a■）│a■≤0，i≠j;i，j∈N，若A=sI-B，s>ρ（B），其中：B为非负矩阵，ρ（B）为B的谱半径，则称A为非奇异M-矩阵;若A的比较矩阵M（A）=（mij）为非奇异M-矩阵，则称A为非奇异H-矩阵，其中：设A=（a■）∈C■，把A分块为：这里A■（1≤i≤k）为ni阶方阵，■n■=n 定义4 设A=（a■）∈C■，分块如（1），若A■（1≤i≤k）均非奇异，且：则称A为块对角占优矩阵;如果（2）的所有不等号为严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为块严格对角占优矩阵，则称A为广义块对角占优矩阵. 设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如下：引理1[1] 设A=（a■）∈C■，若A为严格α-对角占优矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵.

矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为 =diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和 P都有，则称为V的一个线性变换

定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。二〃矩阵对角化条件常用的充要条件（1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量；（2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为；（3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的；（4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5] 三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法设是实对称矩阵，求正交矩阵使的问题，一般方法可简述为：（1）求特征值；（2）求对应的特征向量；（3）将特征向量正交标准化；（4）写出及.

矩阵可对角化的判定条件及推广

矩阵的判定条件

矩阵的可对角化及其应用

一般矩阵可逆的判定

04 矩阵的对角化

实对称矩阵的正交对角化

矩阵可对角化的判定条件开题报告

状态转移矩阵判定条件小论文

专题4------实对称矩阵的对角化

矩阵可对角化的总结

最新对角化矩阵的应用本科

可对角化矩阵的应用

矩阵可对角化的条件.

矩阵可对角化的充分必要条件论文

矩阵可对角化的总结

不可约M-矩阵的一种判别法

矩阵可对角化的判定条件及推广

对角占优矩阵的判定条件

矩阵的对角化的应用