初中数学方程与不等式之不等式与不等式组综合练习
初中数学方程与不等式之不等式与不等式组综合练习
一、选择题
1．如果关于x 的不等式组232x a x a >+??
<-?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2
B ．a ＞2
C ．a≥2
D ．a≤2 【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可．
【详解】
∵不等式组232x a x a +??
-?＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2． 故选D ．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．
2．若整数a 使得关于x 的方程3222a x x
-=--的解为非负数，且使得关于y 的不等式组32212203
y y y a --?+>???-?≤??至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ）． A ．17
B ．18
C ．22
D ．25
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a 的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出之和．
【详解】 解：32212203
y y y a --?+>???-????， 不等式组整理得：1y y a >-???
?， 由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y ≤a ，
解得：a ≥3，即整数a ＝3，4，5，6，…，
2－322a x x
=--， 去分母得：2（x －2）－3＝－a ，
解得：x ＝
72a -， ∵72a -≥0，且72
a -≠2， ∴a ≤7，且a ≠3，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a 为4，5，6，7，之和为22． 故选：C ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( )
A ．8a ≥
B ．8a ≤
C ．8a >
D ．8a < 【答案】A
【解析】
【分析】
先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可．
【详解】
解：由24x <可得：x ＜2；
由2(1)x x a ++<可得：x ＜
23a -； 由题意得：23
a -≥2，解得：a≥8； 故答案为A ．
【点睛】
本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识，根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键．
4．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）
A ．21090(18)2100x x +-≥
B ．90210(18)2100x x +-≤
C ．21090(18) 2.1x x +-≤
D ．21090(18) 2.1x x +->
【答案】A
【解析】
设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．
5．若m n >,则下列不等式中成立的是( )
A ．m+a B ．ma>nb C ．ma 2>na 2 D ．a-m 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断． 【详解】 A. 不等式两边加的数不同，错误； B. 不等式两边乘的数不同，错误； C. 当a =0时，错误； D. 不等式两边都乘?1，不等号的方向改变，都加a ，不等号的方向不变，正确； 故选D. 点睛：不等式的性质：(1)不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； (2)不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 6．若关于x 的不等式6234 x x a x x +<+???+>??有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．15＜a ≤18 B ．5＜a ≤6 C ．15≤a ＜18 D ．15≤a ≤18 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可． 【详解】 解不等式组得：23x a x >??? ，即2＜x ＜3a ， 由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5， ∴5＜3 a ≤6， 解得：15＜a≤18， 故选：A ． 【点睛】 此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键． 7．不等式组2201x x +>??-≥-? 的解在数轴上表示为( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 解不等式组求得不等式组的解集，再把其表示在数轴上即可解答. 【详解】 2201x x ①②+>??-≥-? ， 解不等式①得，x ＞-1； 解不等式②得，x ≤1； ∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤1. 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选D. 【点睛】 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解决问题的关键． 8．不等式组13x x -≤?? 的解集在数轴上可以表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分． 【详解】 由-x≤1，得x≥-1， 则不等式组的解集为-1≤x ＜3． 故选：B ． 此题考查在数轴上表示不等式的解集．解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方法，注意数轴的空心、实心的区别． 9．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（） A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0 C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况． 【详解】 ∵a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0， ∴a+c＝﹣2b， ∴a﹣2b+c＝（a+c）﹣2b＝﹣4b＜0， ∴b＞0， ∴b2﹣ac＝ 222 2 22 a c a ac c ac +++ ?? -= ? ?? ＝ 2 22 2 42 a ac c a c -+- ?? = ? ?? …， 即b＞0，b2﹣ac≥0， 故选：C． 【点睛】 此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b和b2-ac 的正负情况． 10．不等式组 30 213 x x + ? ? -> ? … 的解集为（） A．x＞1 B．x≥3C．x≥﹣3 D．x＞2【答案】D 【解析】 【分析】 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】 解： 30 213 x x +> ? ? -> ? ① ② ， 由①得，x≥﹣3， 由②得，x>2， 故此不等式组的解集为：x>2． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中． 11．如图，不等式组315215x x --??- ?的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可. 【详解】 由题意可知：不等式组315215x x ①②--??- ?，不等式①的解集为2x ≥-，不等式②的解集为3x <，不等式组的解集为23x -≤<，在数轴上表示应为 . 故选C . 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键. 12．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ） A ．1x >- B ．3x ≤ C ．13x -≤≤ D ．13x -<≤ 【答案】D 【解析】 【分析】 数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3， 故选D ． 【点睛】 考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解 集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 13．不等式组32110x x - +≥?的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】 32110 x x - 解不等式①得，1x <， 解不等式②得，1x ≥- 所以，不等式组的解集为：-11x ≤<， 在数轴上表示为： 故选D. 【点睛】 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几 个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 14．若a b <，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．a b -<- B ．11a b -<- C ．33a b > D ．ac bc < 【答案】B 【解析】 【分析】 关键不等式性质求解. 【详解】 ∵a ＜b ， ∴a b ->-，11a b -<-， 33 a b <， ∵c 的符号未知 ∴,ac bc 大小不能确定. 【点睛】 考核知识点：不等式性质.理解不等式性质是关键. 15．已知不等式组122x a x b +>?? + B ．2019 C ．1 D ．-2019 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式组的解集即可得出关于a 、b 的方程组，解方程组即可得出a 、b 值，将其代入计算可得． 【详解】 解不等式x +a ＞1，得：x ＞1﹣a ， 解不等式2x +b ＜2，得：x ＜22 b -， 所以不等式组的解集为1﹣a ＜x ＜ 22b -． ∵不等式组的解集为﹣2＜x ＜3， ∴1﹣a =﹣2， 22 b -=3， 解得：a =3，b =﹣4， ∴201920192019()(34)(1)a b +=-=-=﹣1． 故选：A ． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是求出a、b值．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据不等式组的解集求出未知数的值是关键． 16．根据不等式的性质，下列变形正确的是（） A．由a＞b得ac2＞bc2B．由ac2＞bc2得a＞b C．由–1 2 a＞2得a<2 D．由2x+1＞x得x<–1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，逐一判定即可得出答案. 【详解】 解：A、a＞b，c=0时，ac2=bc2，故A错误； B、不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，而且式子右边没乘以﹣2，故C错误； D、不等式两边同时加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了不等式的性质，熟练应用不等式的性质进行推断是解题的关键. 17．不等式组 3 54 x x ≤ ? ? +> ? 的最小整数解为（） A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B 【解析】 【分析】 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解求最小值.【详解】 解： 3 54 x x ≤ ? ? +> ? ① ② 解①得x≤3， 解②得x＞-1． 则不等式组的解集是-1＜x≤3． ∴不等式组整数解是0，1，2，3，最小值是0． 故选：B. 【点睛】 本题考查一元一次不等式组的整数解，确定x的范围是本题的关键． 18．关于x 的不等式组1132 x a x -?≤???- A ．3a < B ．23a <≤ C ．23a ≤< D ．23a << 【答案】C 【解析】 【分析】 此题可先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组1132 x a x -?≤???- 四个整数解，求出实数a 的取值范围． 【详解】 解：由不等式 113 x -≤，可得：x ≤4， 由不等式a ﹣x ＜2，可得：x ＞a ﹣2， 由以上可得不等式组的解集为：a ﹣2＜x ≤4， 因为不等式组1132 x a x -?≤???- 所以可得：0≤a ﹣2＜1， 解得：2≤a ＜3， 故选C ． 【点睛】 本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a 的不等式是解答本题的关键． 19． 9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤ B ．37x ≤≤ C ．36x ≤≤ D ．17x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】 先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解． 【详解】 9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤， 当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾； 当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合； 当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合； 当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合； 当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾； 综上，x 取值范围为：26x ≤≤， 故选：A ． 【点睛】 本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则． 20．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（ ） A ．0米5x <≤米 B ．103x ≥米 C ．0米103 x <≤米 D ．103米5x ≤≤米 【答案】D 【解析】 【分析】 设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可． 【详解】 解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得： 4032540330x x -≥??-≤? ， 解得：103 ≤x≤5； 故选：D ． 【点睛】 此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．