高一数学竞赛班选拔考试初稿
高一数学竞赛班选拔考
试初稿
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10年高一数学竞赛班选拔考试
考试时间： 试卷总分：120 班级： 姓名： 学号：
一．填空题（每小题8分，共80分） 1. 化简：53-535-3
的结果是 .
2. 在凸n(n 3)≥边形的所有内角中，锐角的个数最多是 个.
3. 设0a 1,0b 1<<<<，则
22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++-+-++-+- 22
（填“≥” ，“≤” ，“＞” ，“＜” ，“=” ）.
4. 如下图Rt ABC ?中，C ∠为直角，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知
tan b B a =，则tan 2
B
= （用a b c 、、表示）.
5. 已知：11
1
(20102010)2
n n x -=-（n 是自然数），那么
n x x )1(2+-= .
6. 已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，0120QPO ∠=，且
P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 . 7. 一个一次函数图象与直线5
4
y x =
平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，并且过点(7,25)--，则在线段AB 上（包括端点A B 、），横、纵坐标都是整数的点有 个.
8. 如图，在平行四边形ABCD 中，过A B C 、、三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若4,5AB BE ==，则ED 的长为 .
9. 已知锐角ABC ?的顶点A 到垂心H 的距离等于其外接圆半径，则A ∠的度数是 .
10．已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A B 、，与y 轴的交点为C .设ABC ?的外接圆的圆心为点P ，它与轴的另一个交点为D .如果AB 恰好为P 的直径且2ABC S =，则b = ,c = .
二．解答题（第11题15分，第12题25分，共40分） 11. 求证方程 3311x y += 没有正整数解.
12.已知a b c 、、都是正整数，抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A B 、,
若A B 、到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．
10年高一数学竞赛班选拔考试参考答案一．填空题
1. 15
3
解：
5(151)
53-5515 35-33(151)3
-
===
-
2. 3
解：由于任何凸多边形的外角之和都是0
360，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中
锐角最多不超过3个.
3. ≥
解: 借助下图
知题中22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++-+-++-+-
||||||||OD CD AD BD =+++
(||||)(||||)||||22OD BD CD AD OB AC =+++≥+=
4.
b
a c
+ 解：如图，延长CB ，以B 为圆心，以c 为半径作圆交CB 的延长线于D ，如下图
故在Rt DCA ?中，2B D ∠∠=，tan tan 2B AC b
D CD a c
===+ 5. 1(1)2010n --?
解： 22
2
1(201022010)4
n n
x -=-+
∴ 2211
2
211
1(201022010)(20102010)44
n n n n x --+=++=+
∴ 1111
2111
(1)[(20102010)(20102010)](1)201022
n
n n n n n n x x ---+=--+=-?
6. (3,2)3,2或(-)
解：借助平面直角坐标系我们知道，Q 点有两个：图中12Q Q 与，它们关于y 轴对称
如图，01120,||2Q PO PQ ∠== ∴ 0130Q PN ∠=，11Q N =，3PN = ∴ 1(3,2)Q ，2(3,2)Q -
7. 4
解：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是74,255x N y N =-+=-+，（N
是
整数）,在线段AB 上这样的点应满足7402550N N -+≥-+≤且 ∴
7
54
N ≤≤ 即 2345N =，，， 8.
165
解： 如图连结AC 、CE
由AE ∥BC ，知四边形ABCE 是等腰梯形。故AC ＝BE ＝5 又因为DC ∥AB ，DC 与圆相切，所以，∠BAC ＝∠ACD ＝∠ABC 则AC ＝BC ＝AD ＝5，DC ＝AB ＝4
因为2
DC AD DE =?，故216
5
DC DE AD ==
9. 060
解: 锐角ABC ?的垂心在三角形内部
如图，设ABC ?的外心为O ，D 为BC 的中点,BO 的延长线交⊙O 于点
E
连CE 、AE
则CE //AH ，AE //CH 则OD CE AH OB 2===
∴ 0030,60OBD BOD ∠=∠=
所以060A BEC ∠=∠= 设P 与y 轴的另一个交点为由于AB CD 、是P 的两条相交弦，它们的交点为点所以 O A OB OC OD ??，，所以点C 在y
恰好为P 的直径，则所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-.
ABC
S
=
二．解答题
11. 证： 由原方程得 22()()11y x y xy x -++= 11是质数
又因为要验证方程是否有正整数解，故只需考察x,y ∈Z +的情况
故应有 22
11
1y x y xy x -=??++=? ① 或 22
1
11y x y xy x -=??++=?
② 考察第①式：
,x y Z +∈ ∴11y >
∴2211y xy x ++> 故①式没解 对于第②式：把1y x =+代入 22311y xy x ++=
得到2331330x x +=，但3不整除1330 所以也没有正整数解 命题最后得证。
12. 解: 据题意，方程20ax bx c ++=有两个相异根，都在(1,0)-中
故 (1)0f a b c -=-+> ,
1c
a
< 且 240b ac ?=-> ① 可见 1a b c -+≥ ② 且 a c > ③
∴ 11a c b +≥+> 即得 21>
由③知1>
∴ 4a >
又4b >≥>
现分别取a b c 、、的最小整数5、5、1 经检验，符合题意
∴ 11a b c ++=最小