八一中学、洪都中学、麻丘中学学年高二数学上学期1月联考试卷(含解析)

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学2014-2015学年高二上

学期1月联考数学试卷

一、选择题（共14小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设a∈R，且a≠0，则a＞1是的（）

A．既不充分也不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．充分但不必要条件

2．（5分）已知命题p：?x∈R，2x＞0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）

A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题

3．（5分）若f′（x0）=2，则等于（）

A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．

4．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）

A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2

5．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（）

A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9

C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10

6．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）

A．y=±2x B．C．D．

7．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（）

A．B．3 C．D．

8．（5分）设余弦曲线y=﹣cosx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）

A．[0，]∪[，π）B．[0，]∪[，] C． [0，π）D．[，]

9．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件

③命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0

④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．4

10．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（）

A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1

11．利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）

A．2k+1 B．C．D．

12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双

曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．2 D．3

13．（5分）已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）

A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣3

14．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）

A．2 B．﹣2 C．D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

15．（5分）若命题“?x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．

16．（5分）曲线y=在点M（，）处的切线斜率为．

17．（5分）已知圆C过点（0，1），且圆心在x轴负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为则圆C的标准方程为．

18．（5分）已知直线ax﹣by﹣3=0与f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线相互垂直，则=．

三、解答题（共9小题，满分70分）

19．（10分）（文）（1）设命题p：若a≥0，则x2+x﹣a=0有实根．试写出命题p的逆否命题并判断真假；

（2）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是真命题，求k的取值范围．

20．（理）（1）求证：当a＞2时，+＜2；

（2）已知x∈R，a=x2+，b=2﹣x，c=x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．

21．（10分）设命题 p：?x0∈R，x02+2ax0﹣a=0；命题q：?x∈R，ax2+4x+a≥﹣2x2+1．如果命题“p∨q为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

22．（12分）已知曲线y=x3+x﹣2在点P0处的切线l1平行直线4x﹣y﹣1=0，且点P0在第三象限，

（1）求P0的坐标；

（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

23．（12分）（文）已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．

（1）求导函数f′（x）；

（2）当k=﹣时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程．

24．（理）设函数f（x）=ae x lnx+，

（1）求导函数f′（x）

（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x﹣1）+2求a，b．

25．（12分）已知抛物线：y2=4x，

（1）直线l：y=kx+1与抛物线有且仅有一个公共点，求实数k的值；

（2）定点A（2，0），P为抛物线上任意一点，求线段长|PA|的最小值．

26．在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），

（1）求a2，a3，a4的值；

（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

27．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若?=﹣，求k的值．

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学2014-2015学年高二上学期1月联考数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共14小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设a∈R，且a≠0，则a＞1是的（）

A．既不充分也不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．充分但不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：规律型．

分析：结合不等式解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解：若a＞1，则0＜成立．

当a=﹣1时，满足，但a＞1不成立．

∴a＞1是的充分不必要条件．

故选：D．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．

2．（5分）已知命题p：?x∈R，2x＞0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）

A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题

考点：复合命题的真假．