不等式的性质--算术平均数与几何平均数(1)
课 题：2.1不等式的性质--算术平均数与几何平均数（1） 教学目的：
1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理
2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力 教学重点：均值定理证明 教学难点：等号成立条件 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式a>b ，c 2．不等式的性质： 定理1：如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ?a+c>b+c 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac 推论1 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且 推论2 若0,1)a b n N n >>∈>且 二、讲解新课： 1．重要不等式： 如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 证明：∵2 22)(2b a ab b a -=-+, 当2 2 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以,0)(2≥-b a ，即.2)(2 2ab b a ≥+ 由上面的结论，我们又可得到 2．定理：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22a b b a ≥+ab b a 2≥+∴,即ab b a ≥+2 , 显然，当且仅当ab b a b a =+=2 ,时. 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2 为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ）ab b a ab b a ≥+≥+2 222 和 成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数， 而后者要求a,b 都是正数. ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件 3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ?=2 ， 即ab CD = 这个圆的半径为 2b a +，显然，它不小于CD ，即 ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立 三、讲解范例： 例1 已知x,y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P （2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值.4 12S 证明：因为x,y 都是正数，所以 xy y x ≥+2 （1）积xy 为定值P 时，有 P y x ≥+2 P y x 2≥+ ∴ 上式当且仅当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x + 有最小值（2）和x+y 为定值S ,2S 2 14 x y S ∴≤ 上式当且仅当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值2 4 1S 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ）等号成立条件必须存在 例2 已知：（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--y x b a b a y x 分析：本题结论中，注意 y x b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数经过变形，说明 y x b a b a y x ----与为正数开始证题 证明：∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx ∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0 ∴（a －b ）（x －y ）＞0，即a －b 与x －y 同号∴y x b a b a y x ----与均为正数 ∴ y x b a b a y x y x b a b a y x --? --≥--+--2＝2(当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝”号) ∴ y x b a b a y x --+ --≥2 点评：我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了“ ab b a ≥+2 ”时，必须使a 、b 满足同为正数本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断x y a b --与a b x y --是正还是负，是我们今后解题中常用的方法 四、课堂练习： 1已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理： ab b a ≥+2 （a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果 答案：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2ab ＞0；b ＋c ≥2bc ＞0；c ＋a ≥2ac ＞0 ∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 2已知x 、y 都是正数，求证：(1) y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 分析：在运用定理： ab b a ≥+2 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形 答案：∵x ，y 都是正数，∴y x ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1) x y y x x y y x ?≥+2＝2即x y y x +≥2 (2)x ＋y ≥2xy ＞0；x 2＋y 2≥2 22y x ＞0；x 3＋y 3≥233y x ＞0 ∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·23 3y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3求证：2 2a b +?? ??? 2 22 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键答案：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2 ∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2 不等式两边同除以4，得222b a +≥22a b +?? ???，即2 2a b +?? ??? 222 五、小结 ：本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2 b a +），几何平均数（a b ）及它们的关系（ 2 b a +≥a b ）它们成立的条件不同，前者只要求a 、 b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 六、课后作业： (1)“a ＋b ≥2ab ”是“a ∈R ＋ ，b ∈R ＋ ”的(B ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D (2)设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则此四个数2 1 ，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是(A ) A b B 2＋b 2 Ｃ2ab D 2 1 (3)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( B ) A 1≤ab ≤222b a + B ab ＜1＜222b a + C ＜222b a +＜1 D 2 2 2b a +＜ab ＜1 (4)已知a ，b ∈R ＋ 且a ＋b ＝4，则下列各式恒成立的是(B ) A 21≥ab B b a 1 +≥1 ≥2 D 4 1 22≤+b a (5)若a ＞b ＞0，则下面不等式正确的是( C ) A ab b a b a <+<+2 B ab b a ab <+<22 C 2b a ab b a +<<+ 2 2b a b a ab +<+< (6)若a ，b ∈R 且a ≠b ，在下列式子中，恒成立的个数为（D ） ①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a ５ ＋b ５ ＞a 3b 2＋a 2b 3 ③a 2＋b 2≥2（a －b －1） ④ a b b a +＞2 A 4 B 3 Ｃ2 D 1 (7)已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：y x y x -+2 2≥ 证明：∵x ＞y ＞0，xy ＝1 ∴y x y x y x xy y x y x y x -+ -=-+-=-+2 )(2)(222 ≥2y x y x -?-2 )(＝22 ，即y x y x -+22≥22 附录3：切削加工常用计算公式 1. 切削速度Vc (m/min) 1000n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000 Vc n ?π?= 金属切除率Q (cm 3/min) Q = V c ×a p ×f 净功率P (KW) 3p 1060Kc f a Vc P ????= 每次纵走刀时间t (min) n f l t w ?= 以上公式中符号说明 D — 工件直径 (mm) ap — 背吃刀量（切削深度） (mm) f — 每转进给量 （mm/r ） lw — 工件长度 (mm) 铣削速度Vc (m/min) 1000n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000 Vc n ?π?= 每齿进给量fz (mm) z n Vf fz ?= 工作台进给速度Vf (mm/min) z n fz Vf ??= 金属去除率Q (cm 3/min) 1000Vf ae ap Q ??= 净功率P (KW) 61060Kc Vf ae ap P ????= 扭矩M (Nm) n 10 30P M 3 ?π??= 以上公式中符号说明 D — 实际切削深度处的铣刀直径 （mm ） Z — 铣刀齿数 a p — 轴向切深 (mm) a e — 径向切深 (mm) 切削速度Vc (m/min) 1000n d Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) d 1000 Vc n ?π?= 每转进给量f (mm/r) n Vf f = 进给速度Vf (mm/min) n f Vf ?= 金属切除率Q (cm 3/min) 4Vc f d Q ??= 净功率P (KW) 310240kc d Vc f P ????= 扭矩M (Nm) n 10 30P M 3?π??= 以上公式中符号说明： d — 钻头直径 (mm) kc1 — 为前角γo=0、切削厚度hm=1mm 、切削面积为1mm 2时所需的切 削力。 (N/mm 2) mc — 为切削厚度指数，表示切削厚度对切削力的影响程度，mc 值越 大表示切削厚度的变化对切削力的影响越大，反之，则越小 γo — 前角 （度） 您要打印的文件是：切削力计算的经验公式打印本文 切削力计算的经验公式 作者：佚名转贴自：本站原创 度压缩比有所下降，但切削力总趋势还是增大的。强度、硬度相近的材料，塑性大，则与刀面的摩擦系数μ也较大，故切削力增大。灰铸铁及其它脆性材料，切削时一般形成崩碎切屑，切屑与前刀面的接触长度短，摩擦小，故切削力较小。材料的高温强度高，切削力增大。 ⑵切削用量的影响 ①背吃刀量和进给量的影响背吃刀量ap或进给量f加大，均使切削力增大，但两者的影响程度不同。加大ap 时，切削厚度压缩比不变，切削力成正比例增大；加大f加大时，有所下降，故切削力不成正比例增大。在车削力的经验公式中，加工各种材料的ap指数xFc≈1，而f的指数yFc=0.75～0.9，即当ap加大一倍时，Fc也增大一倍；而f加大一倍时，Fc只增大68%～86%。因此，切削加工中，如从切削力和切削功率角度考虑，加大进给量比加大背吃刀量有利。 ②切削速度的影响在图3-15的实验条件下加工塑性金属，切削速度vc＞27m/min 时，积屑瘤消失，切削力一般随切削速度的增大而减小。这主要是因为随着vc的增大，切削温度升高，μ下降，从而使ξ减小。在vc＜27m/min时，切削力是受积屑瘤影响而变化的。约在vc=5m/min时已出现积屑瘤，随切削速度的提高，积屑瘤逐渐增大，刀具的实际前角加大，故切削力逐渐减小；约在vc=17m/min处，积屑瘤最大，切削力最小；当切削速度超过vc=17m/min，一直到vc=27m/min时，由于积屑瘤减小，使切削力逐步增大。 图3-15 切削速度对切削力的影响 切削脆性金属(灰铸铁、铅黄铜等)时，因金属的塑性变形很小，切屑与前刀面的摩擦也很小，所以切削速度对切削力没有显著的影响。 ⑶刀具几何参数的影响 ①前角的影响前角γo加大，被切削金属的变形减小，切削厚度压缩比值减小，刀具与切屑间的摩擦力和正应力也相应下降。因此，切削力减小。但前角增大对塑性大的材料(如铝合金、紫铜等)影响显著，即材料的塑性变形、加工硬化程度明显减小，切削力降低较多；而加工脆性材料(灰铸铁、脆铜等)，因切削时塑性变形很小，故前角变化对切削力影响不大。 ②负倒棱的影响前刀面上的负倒棱(如图3-16a)，可以提高刃区的强度， 【最新整理，下载后即可编辑】 附录3：切削加工常用计算公式 1. 车削加工 切削速度Vc (m/min) 1000 n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000Vc n ?π?= 金属切除率Q (cm 3/min) Q = Vc ×a p ×f 净功率P (KW) 3p 1060Kc f a V c P ????= 每次纵走刀时间t (min) n f l t w ?= 以上公式中符号说明 D — 工件直径 (mm) ap — 背吃刀量（切削深度） (mm) f — 每转进给量 （mm/r ） lw — 工件长度 (mm) 2. 铣削加工 铣削速度Vc (m/min) 1000 n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000Vc n ?π?= 每齿进给量fz (mm) z n Vf fz ?= 工作台进给速度Vf (mm/min) z n fz Vf ??= 金属去除率Q (cm 3/min) 1000Vf ae ap Q ??= 净功率P (KW) 610 60Kc Vf ae ap P ????= 扭矩M (Nm) n 1030P M 3 ?π??= 以上公式中符号说明 D — 实际切削深度处的铣刀直径 （mm ） Z — 铣刀齿数 ap — 轴向切深 (mm) ae — 径向切深 (mm) 3. 钻削加工 切削速度Vc (m/min) 1000 n d Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) d 1000Vc n ?π?= 每转进给量f (mm/r) n Vf f = 进给速度Vf (mm/min) n f Vf ?= 金属切除率Q (cm 3/min) 切削力计算的经验公式 通过试验的方法，测出各种影响因素变化时的切削力数据，加以处理得到的反映各因素与切削力关系的表达式，称为切削力计算的经验公式。在实际中使用切削力的经验公式有两种：一是指数公式，二是单位切削力。 1 ．指数公式 主切削力(2-4) 背向力(2-5) 进给力(2-6) 式中F c————主切削力（ N）； F p————背向力（ N）； F f————进给力（ N）； C fc、 C fp、 C ff————系数，可查表 2-1； x fc、 y fc、 n fc、 x fp、 y fp、 n fp、 x ff、 y ff、 n ff------ 指数，可查表 2-1。 K Fc、 K Fp、 K Ff---- 修正系数，可查表 2-5，表 2-6。 2 ．单位切削力 单位切削力是指单位切削面积上的主切削力，用 kc表示，见表 2-2。 kc=Fc/A d=Fc/(a p·f)=F c/(b d·h d) (2-7) 式中A D -------切削面积（ mm 2）； a p ------- 背吃刀量（ mm）； f - ------- 进给量（ mm/r）； h d -------- 切削厚度（ mm ）； b d -------- 切削宽度（ mm）。 已知单位切削力 k c ,求主切削力 F c F c=k c·a p·f=k c·h d·b d (2-8) 式 2-8中的 k c是指 f = 0.3mm/r 时的单位切削力，当实际进给量 f大于或小于 0.3mm /r时，需乘以修正系数K fkc，见表 2-3。 表 2-3 进给量?对单位切削力或单位切削功率的修正系数 K fkc， K fps 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 附录3：切削加工常用计算公式 1. 切削速度Vc (m/min) 1000 n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000 Vc n ?π?= 金属切除率Q (cm 3/min) Q = V c ×a p ×f 净功率P (KW) 3 p 10 60Kc f a V c P ????= 每次纵走刀时间t (min) n f l t w ?= 以上公式中符号说明 D — 工件直径 (mm) ap — 背吃刀量（切削深度） (mm) f — 每转进给量 （mm/r ） lw — 工件长度 (mm) 2. 铣削加工 铣削速度Vc (m/min) 1000 n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000 Vc n ?π?= 每齿进给量fz (mm) z n Vf fz ?= 工作台进给速度Vf (mm/min) z n fz Vf ??= 金属去除率Q (cm 3/min) 1000 Vf ae ap Q ??= 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 净功率P (KW) 6 10 60Kc Vf ae ap P ????= 扭矩M (Nm) n M ?π= 以上公式中符号说明 D — 实际切削深度处的铣刀直径 （mm ） Z — 铣刀齿数 a p — 轴向切深 (mm) a e — 径向切深 (mm) 3. 钻削加工 切削速度Vc (m/min) 1000 n d Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) d 1000 Vc n ?π?= 每转进给量f (mm/r) n Vf f = 进给速度Vf (mm/min) n f Vf ?= 金属切除率Q (cm 3/min) 4 Vc f d Q ??= 净功率P (KW) 3 10240kc d Vc f P ????= 扭矩M (Nm) 1. 车削加工 切削速度Vc (m/min) 1000n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000 Vc n ?π?= 金属切除率Q (cm 3/min) Q = Vc ×a p ×f 净功率P (KW) 3p 1060Kc f a V c P ????= 每次纵走刀时间t (min) n f l t w ?= 以上公式中符号说明 D — 工件直径 (mm) ap — 背吃刀量（切削深度） (mm) f — 每转进给量 （mm/r ） lw — 工件长度 (mm) 2. 铣削加工 铣削速度Vc (m/min) 1000 n D Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) D 1000Vc n ?π?= 每齿进给量fz (mm) z n Vf fz ?= 工作台进给速度Vf (mm/min) z n fz Vf ??= 金属去除率Q (cm 3/min) 1000Vf ae ap Q ??= 净功率P (KW) 61060Kc Vf ae ap P ????= 扭矩M (Nm) n 1030P M 3 ?π??= 以上公式中符号说明 D — 实际切削深度处的铣刀直径 （mm ） Z — 铣刀齿数 a p — 轴向切深 (mm) a e — 径向切深 (mm) 3. 钻削加工 切削速度Vc (m/min) 1000 n d Vc ?π?= 主轴转速n (r/min) d 1000Vc n ?π?= 每转进给量f (mm/r) n Vf f = 进给速度Vf (mm/min) n f Vf ?= 金属切除率Q (cm 3/min) 4Vc f d Q ??= 净功率P (KW) 310240kc d Vc f P ????= 常用切削速度計算公式 一、三角函數計算 1.tanθ=b/a θ=tan-1b/a 2.Sinθ=b/c Cos=a/c 二、切削刃上选定点相对于工件的主运动的瞬时速度。 2.1 铣床切削速度的計算 Ｖc＝(π*Ｄ*Ｓ)／１０００ Vc：線速度(m/min) π：圓周率(3.14159) D：刀具直徑(mm) 例題. 使用Φ25的銑刀Vc為(m/min)25 求S=?rpm Vc=πds/1000 25=π*25*S/1000 S=1000*25/ π*25 S=320rpm 2.2 车床切削速度的計算计算公式如下v c=( π d w n )/1000 (1-1) 式中 v c ——切削速度 (m/s) ； dw ——工件待加工表面直径（ mm ）； n ——工件转速（ r/s ）。 S：轉速(rpm) 三、進給量(F值)的計算 Ｆ＝Ｓ＊Ｚ＊Ｆz F：進給量(mm/min) S：轉速(rpm) Z：刃數 Ｆz：(實際每刃進給) 例題.一標準2刃立銑刀以2000rpm)速度切削工件，求進給量(F 值)為多少？(Ｆz=0.25mm) Ｆ＝Ｓ＊Ｚ＊Ｆz Ｆ＝2000*2*0.25 Ｆ＝1000(mm/min) 四、殘料高的計算 Scallop＝（ae＊ae）／8R Scallop：殘料高(mm) ae：XY pitch(mm) R刀具半徑(mm) 例題. Φ20R10精修2枚刃，預殘料高0.002mm，求Pitch為多 少？mm Scallop=ae2/8R 0.002=ae2/8*10 ae=0.4mm 五、逃料孔的計算 Φ＝√２Ｒ2 Ｘ、Ｙ＝Ｄ／４ Φ：逃料孔直徑(mm) R刀具半徑(mm) D：刀具直徑(mm) 例題. 已知一模穴須逃角加工(如圖)， 所用銑刀為ψ10；請問逃角孔最小 為多少？圓心座標多少？ Φ=√２Ｒ2 Φ=√２＊５２ Φ=7.1(mm) Ｘ、Ｙ＝Ｄ／４ Ｘ、Ｙ＝１０／４ 切削力的经验公式 目前，人们已经积累了大量的切削力实验数据，对于一般加工方法，如车削、孔加工和铣削等已建立起了可直接利用的经验公式。 测力实验的方法有单因素法和多因素法，通常采用单因素法。即固定其它实验条件，在切削时分别改变背吃刀量ap和进给量f，并从测力仪上读出对应切削力数值，然后经过数据整理求出它们之间的函数关系式。 通过切削力实验建立的车削力实验公式，其一般形式为： 注意：切削力实验公式是在特定的实验条件下求出来的。在计算切削力时，如果切削条件与实验条件不符，需乘一个修正系数KF，它是包括了许多因素的修正系数乘积。修正系数也是用实验方法求出。 三、单位切削力、切削功率和单位切削功率 1、单位切削力p：是指切除单位切削层面积所产生的主切削力。可用下式表示： 上式表明，单位切削力p与进给量f有关，它随着进给量f增大而减小。单位切削力p 不受背吃刀量ap的影响。 单位切削力p可查手册，利用单位切削力P来计算主切削力Fz较为简易直观。 2、切削功率Pm：消耗在切削过程中的功率称为切削功率Pm(国标为Po)。 切削功率为力Fz和Fx所消耗的功率之和，因Fy方向没有位移，所以不消耗功率。于是 Pm=(FzVc+Fxnwf/1000)×10-3 其中：Pm—切削功率（KW）； Fz—切削力（N）； Vc—切削速度（m/s）； Fx—进给力（N）； nw—工件转速（r/s）； f—进给量（mm/s）。 式中等号右侧的第二项是消耗在进给运动中的功率，它占总功率5%左右，可以略去不计，于是 Pm=FzVc×10-3 按上式求得切削功率后，如要计算机床电动机的功率（PE）以便选择机床电动机时，切削加工常用计算公式
切削力计算的经验公式.-切削力计算
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切削力计算的经验公式
切削加工常用计算公式
切削加工常用计算公式
常用切削速度计算公式
切削力的经验公式