大学物理学习题答案
习题一答案 习题一
1.1 简要回答下列问题:
(1) 位移和路程有何区别?在什么情况下二者的量值相等?在什么情况下二者的量值不相
等?
(2) 平均速度和平均速率有何区别?在什么情况下二者的量值相等?
(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么?瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什
么?
(4) 质点的位矢方向不变,它是否一定做直线运动?质点做直线运动,其位矢的方向是否一
定保持不变? (5) r ?和r ?有区别吗?v ?和v ?有区别吗?
0dv
dt =和0d v dt
=各代表什么运动? (6) 设质点的运动方程为:()x x t =,()y y t =,在计算质点的速度和加速度时,有人先求
出22r x y =
+
dr
v dt
= 及 22d r a dt =
而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即
v = 及 a =你认为两种方法哪一种正确?两者区别何在?
(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的,那么,该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的?
(8) “物体做曲线运动时,速度方向一定在运动轨道的切线方向,法向分速度恒为零,因此
其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗?
(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧,为什么?
(10) 质点沿圆周运动,且速率随时间均匀增大,n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变? (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子,此石子能否落回他的手中?如果石子抛出后,火车以恒定加速度前进,结果又如何?
1.2 一质点沿x 轴运动,坐标与时间的变化关系为224t t x -=,式中t x ,分别以m 、s 为单位,试计算:(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度;(2)s 1末到s 3末的平均加速度;(3)s 3末的瞬时加速度。
解:
(1) 最初s 2内的位移为为: (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为: 0
0(/)2
ave x v m s t ?=
==? t 时刻的瞬时速度为:()44dx
v t t dt
=
=- s 2末的瞬时速度为:(2)4424/v m s =-?=-
(2) s 1末到s 3末的平均加速度为:2(3)(1)804/22
ave v v v a m s t ?---=
===-? (3) s 3末的瞬时加速度为:2(44)
4(/)dv d t a m s dt dt
-===-。
1.3 质点作直线运动,初速度为零,初始加速度为0a ,质点出发后,每经过τ时间,加速度均匀增加b 。求经过t 时间后,质点的速度和位移。
解: 由题意知,加速度和时间的关系为
0b
a a t τ
=+
利用dv adt =,并取积分得
000v t
b dv a t dv τ?
?=+ ??
???,202b v a t t τ=+ 再利用dx vdt =,并取积分[设0t =时00x =]得
x
t
x dx vdt =??,23
0126b x a t t τ
?=
+ 1.4 一质点从位矢为(0)4r j =的位置以初速度(0)4v i =开始运动,其加速度与时间的关系为(3)2a t i j =-.所有的长度以米计,时间以秒计.求:
(1)经过多长时间质点到达x 轴;
(2)到达x 轴时的位置。 解: 20
3()(0)()4(2)2t v t v a t dt t i t j ?
?=+
=+- ??
?? ()()320
1()(0)442t
r t r v t dt t t i t j ?
?=+
=++- ??
?? (1) 当2
40t -=,即2t s =时,到达x 轴。 (2) 2t s =时到达x 轴的位矢为 :(2)12r i =
即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。
1.5 一质点沿x 轴运动,其加速度与坐标的关系为2
a x ω=-,式中ω为常数,设0=t 时刻的质点坐标为0x 、速度为0v ,求质点的速度与坐标的关系。
解:按题意 222d x
x dt
ω=- 由此有 dx dv
v dt dx dx dv dt dv dt
x d x ====-2
22
ω, 即 xdx vdv 2
ω-=, 两边取积分 ??
-=x
x v
v xdx vdv 0
2ω,
得
20221
2221202122
1
x x v v ωω+-=-
由此给出 v =±,2
02
02x v A +??
? ??=ω
1.6 一质点的运动方程为k t j t i t r
++=2
4)(,式中r ,t 分别以m 、s 为单位。试求:
(1) 质点的速度与加速度;(2) 质点的轨迹方程。
解:(1) 速度和加速度分别为: (8)dr v t j k dt ==+, j dt
v
d a 8==
(2) 令k z j y i x t r ++=)(,与所给条件比较可知 1=x ,2
4t y =,t z =
所以轨迹方程为:21,4x y z ==。
1.7 已知质点作直线运动,其速度为2
1
3()v t t ms -=-,求质点在0~4s 时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意:在0~4s 时间内,速度有时大于零,有时小于零,因而运动出
现往返。如果计算积分4
vdt ?,则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分4
v dt ?
。
令2
30v t t =-=,解得3t s =。由此可知:3t ,v v =; 3t =s 时,0v =;而3t >s 时,0v <,v v =-。因而质点在0~4s 时间内的路程为 ()()4
3
4
3
4
2
2
3
3
()33s v dt vdt v dt t t dt t t dt =
=+-=---?????
34
2323033
13116()2
3233t t t t m ????=---=????????。
1.8 在离船的高度为h 的岸边,一人以恒定的速率0v 收绳,求当船头与岸的水平距离为x 时,船的速度和加速度。
解: 建立坐标系如题1.8图所示,船沿X 轴方向作直线运动,欲求速度,应先建立运动方程,由图题1.8,可得出
习题1.8图
222x r h =-
两边求微分,则有
22dx dr x
r dt dt = 船速为
dx r dr
v dt x dt
=
=
按题意
0dr
v dt
=-(负号表示绳随时间t 缩短),所以船速为 0v =
负号表明船速与x 轴正向反向,船速与x 有关,说明船作变速运动。将上式对时间求导,可得船的加速度为
2203h v dv
a dt x
==-
负号表明船的加速度与x 轴正方向相反,与船速方向相同,加速度与x 有关,说明船作变加
速运动。
1.9 一质点沿半径为10cm 的圆周运动,其角坐标θ(以弧度rad 计)可用下式表示
324t θ=+
其中t 的单位是秒(s )试问:(1)在2t s =时,它的法向加速度和切向加速度各是多少? (2)当θ等于多少时其总加速度与半径成45角 ?
解:(1) 利用 324t θ=+,2/12d dt t ωθ==,/24d dt t αω==,
得到法向加速度和切向加速度的表达式
24
144n a r rt ω==,24t a r rt α==
在2t s =时,法向加速度和切向加速度为:
442
1441440.12230.4()n a rt m s -==??=?,
224240.12 4.8()t a rt m s -==??=?
(2) 要使总加速度与半径成45角,必须有n t a a =,即414424rt rt = 解得 31/6t =,此时 67.2423=+=t θrad
1.10 甲乙两船,甲以10/km h 的速度向东行驶,乙以15/km h 的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来,甲船的速度如何?坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何?
解:以地球为参照系,设i 、j
分别代表正东和正北方向,则甲乙两船速度分别为
h km i v /101 =,h km j v /152
-=
根据伽利略变换,当以乙船为参照物时,甲船速度为
h km j i v v v /)1510(21
+=-=
h km v /1.18151022=+=
, 31.5610
15==arctg θ
即在乙船上看,甲船速度为18.1/km h ,方向为东偏北 31.56
同理,在甲船上看,乙船速度为18.1/km h ,方向为西偏南 31.56。
1.11 有一水平飞行的飞机,速率为0v ,在飞机上安置一门大炮,炮弹以水平速度v 向前射
击。略去空气阻力,
(1) 以地球为参照系,求炮弹的轨迹方程; (2) 以飞机为参照系,求炮弹的轨迹方程;
(3) 以炮弹为参照系,飞机的轨迹如何?
解:(1) 以地球为参照系时,炮弹的初速度为01v v v +=,而t v x 1=,2
5.0gt y -= 消去时间参数t ,得到轨迹方程为:
2
02
)
(2v v gx y +-=(若以竖直向下为y 轴正方向,则负号去掉,下同) (2) 以飞机为参照系时,炮弹的初速度为v ,同上可得轨迹方程为22
2v
gx y -=
(3) 以炮弹为参照系,只需在(2)的求解过程中用x -代替x ,y -代替y ,可得 2
2
2v gx y =.
1.12如题1.12图,一条船平行于平直的海岸线航行,离岸的距离为D ,速率为v ,一艘速率为u v <的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明:如果快艇在尽可能最迟的时
刻出发,那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x u
=;快艇截
住这条船所需的时间为t =
。
D 港口
习题1.12图
证明:在如图所示的坐标系中,船与快艇的运动方程分别为 11x vt
y D =??=? 和
22
cos sin x x u t
y u t θθ=+???
=?? 拦截条件为:
??
?==2
12
1y y x x 即 cos sin vt x u t
D u t
θθ=+???
=?? 所以
()
cos sin D v u x u θθ
-=
,
x 取最大值的条件为:0/=θd dx ,由此得到cos /u v θ=,相应地sin θ=。
因此x 的最大值为
x =
x 取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为
sin D t u θ=
=
x
习题二答案 习题二
2.1 简要回答下列问题:
(1) 有人说:牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例,因而它是多余的.你的看法如何?
(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同?
(3) 物体受到了几个力的作用,是否一定产生加速度? (4) 物体运动的速率不变,所受合外力是否一定为零? (5) 物体速度很大,所受到的合外力是否也很大?
(6) 为什么重力势能有正负,弹性势能只有正值,而引力势能只有负值?
(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量,而其中某一分力做的功,能否大于物体动能的增量?
(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关?功是否与惯性系有关?质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关?请举例说明. (9)判断下列说法是否正确,并说明理由:
(a)不受外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒.
(b)内力都是保守力的系统,当它所受的合外力为零时,其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒.
(10) 在弹性碰撞中,有哪些量保持不变,在非弹性碰撞中,又有哪些量保持不变? (11) 放焰火时,一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何?为什么在空中焰火总是以球形
逐渐扩大?(忽略空气阻力)
2.2 质量为m 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力F kv =-(k 为常数)作用,
0t =时质点的速度为0v ,证明:
(1)t 时刻的速度为0kt v v e
-=;
(2)由0到t 的时间内经过的距离为0()[1]kt m
x mv k e
-=?-; (3)停止运动前经过的距离为0mv k 。
证明: (1) 由 dv ma m
F kv dt ===- 分离变量得 dv k dt v m
=-,积分得 00v
t v dv
k dt v m =-?? ,0ln v k t v m
=-,0kt m v v e -= (2) //0
00
(1)t
kt m kt m mv x vdt v e dt e k
--==
=
-??
(3) 质点停止运动时速度为零,即t →∞,故有/0
00
kt m
mv x v e dt k
∞-'==
?。