5)(5()
5)(5(log 55log 55log )()(2121221121-++-=+--+-=-x x x x x x x x x f x f a a a
, ∵ (x 1-5)(x 2+5)-(x 1+5)(x 2-5)=10(x 1-x 2)<0
又 (x 1-5)(x 2+5)>0 且(x 1+5)(x 2-5)>0 1)
5)(5()
5)(5(02121<-++-<
x x x x ,
∴ 当a>1时，f(x 1)-f(x 2)<0, ∴ f(x)单调递增， 当00,∴f(x)单调递减。 (II)若f(x)=g(x)有实根，即：)3(log 15
5
log -+=+-x x x a a
。
∴ .50
3055
>????
??>->+-x x x x
∴ 即方程：)3(55
-=+-x a x x 有大于5的实根。
（法1）)
105)(25()
5()5)(3(5+-+--=+--=x x x x x x a （∵ x>5）
16
5
320
212112)
5(20
)5(1
20
)5(12)5(5
2
-=
+≤
+-+
-=+-+--=
x x x x x ∴ ]16
5
3,
0(-∈a . （法2）（实根分布）)3(5
5
-=+-x a x x (1)有大于5的实根，
方程(1)化为：ax 2
+(2a-1)x-15a+5=0.
∵ a>0, ∴Δ=64a 2
-24a+1≥0. ①有一根大于5 φ???
?<≥0
)5(5
f ?.
②两根均大于]16
5
3,
0(52210
)5(0-∈?????
???
>->≥a a
a f ?. 小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x 轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。
小结：
函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。
练习：
已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n ∈[-1,1]，m+n ≠0时,有
0)
()(>++n
m n f m f 。
<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。
<2>若f(x)≤t 2
-2at+1对所有x ∈[-1,1]，a ∈[-1,1]恒成立，求实数t 的取值范围。 参考答案：
(2)|t|≥2或t=0.
2006年高三数学第三轮总复习排列与组合押题针对训练
授课内容：复习排列与组合
考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。
考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。
试题安排：一般情况下，排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题（大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合）。
重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。
知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理
两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式；分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d}，从A 到B 建立映射，问可建立多少个不同的映射？
分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应。”
因A 中有3个元素，则必须将这3个元素都在B 中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。
2．排列数与组合数的两个公式
排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。
连乘积的形式 阶乘形式
P n m
=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =
)!
m n (!
n -
C n m =)!
(!!123)1()1()2)(1(m n m n m m m n n n n -=??-+---
例3．求证：P n m +mP n m-1=P n+1m
证明：左边=
)!
1(!
)!(!+-+-m n n m m n n
右边
==-++=+-?++-=
+m 1n P ]!
m )1n [()!
1n ()!1m n (!
n m !n )1m n (
∴ 等式成立。
评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质。 n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。
例4．解方程3
412140x z P P =+.
解：原方程可化为：
? ????
???--=--+∈≥≥+)2x )(1x (x 140)2x 2)(1x 2(x 2)1x 2(N x 3x 41x 2
? ??
?
??-=-+∈≥)2(35)12)(12(3x x x N x x
? ??
?
??=+-∈≥06935432x x N x x 解得x=3.
评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。
3．排列与组合的应用题
历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。
一般方法有：直接法和间接法
（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。
（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A ∪A =I 且A ∩A =?的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。
特殊方法：
（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。 （2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
（4）其它方法。
例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。 （1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻； （4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排； （6）甲，乙，丙两两不相邻。 解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×6
6P =720种不同排法。
（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有1
5P 种，其余6人可任意排列有6
6P 种，故共有1
5P ·6
6P =3600种不同排法。
（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有6
6P ·2
2P =1400种不同的排法。
（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列7
7P 中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有
2
17
7P =2520种。 （5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有5
5P ·3
3P =720种不同排法。
（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有44P ·3
5P =1440种不同的排法。
例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数； （4）不含数字0，且1，2不相邻的数。 解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有1
3P 种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有1
4P 种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个
数的位置上，由乘法原理共有1
3P 1
4P 3
4P =388（个）。
（2）5的倍数：按0作不作个位来分类 第一类：0作个位，则有4
5P =120。
第二类：0不作个位即5作个位，则14P 3
4P =96。 则共有这样的数为：4
5P +14P 3
4P =216（个）。 （3）比20300大的数的五位数可分为三类： 第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx 有34
5P 个；
第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的43
4P 个；
第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有323P 个，因此，比20300大的五位数共有： 34
5P +434P +32
3P =474（个）。
（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排
成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有4
433P P =72个不含数字0，
且1和2不相邻的五位数。
例7．直线与圆相离，直线上六点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，圆上四点B 1，B 2，B 3，B 4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为1416C C =24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为2
4C =6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N 1=1
41
6C C +2
4C +1=31（条）。
所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：
N 2=N 1-22
4C =31-12=19（条）。
2006年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练 内容：三角函数的定义与三角变换 重点：任意角的三角函数定义 难点：三角变换公式的应用 内容安排说明及分析：
本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。
由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。
知识要点及典型例题分析： 一、三角函数的定义 1．角的概念
（1）角的定义及正角，负角与零角 （2）象限角与轴上角的表达 （3）终边相同的角 （4）角度制 （5）弧度制
2．任意角的三角函数定义
任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：
（1）三角函数的定义域
（2）三角函数值在四个象限中的符号 （3）同角三角函数的关系
（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。
3．诱导公式
总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。
“奇变”是指所涉及的轴上角为
2π的奇数倍时（包括4组：2
π
±α，23π±α）函数名称
变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”
公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：sin α-icos α=cos(
23π+α)+isin(2
3π
+α)。 “偶不变”是指所涉及的轴上角为
2
π
的偶数倍时（包括5组：2k π+α, π±α, 2π-α, -α）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。
二、典型例题分析：
例1．（1）已知-
2π<α<β<2
π
, 求α+β与α-β的范围。 （2）已知α的终边在第二象限，确定π-α所在象限。 解：（1）∵-
2π<α<β<2
π
, ∴-π<α+β<π，-π<α-β<0. （2）有两种思路：其一是先把α的终边关于x 轴对称放到-α的终边（在第三象限），再
将-α的终边按逆时方向旋转π放到π-α的终边即-α的终边的反向延长线，此时π-α的终边也在第二象限。
思路2：是先把α的终边（第二象限）按顺时针方向旋转π，得到α+(-π)（第四象限），
再将它关于x 轴对称得到-(α-π)=π-α的终边，此时也在第一象限。
例2．若A={x|x=
4πk , k ∈Z}, B={x|x=2πk +4π, k ∈Z}, 则A _____B 。 解：由B 中的x=2πk +4π=4)12(π+k 可视为4π
的奇数倍所构成的集合。
而A 中的x=4πk 是4
π
的所有奇数倍，因此A ?B 。
例3．设0<θ<2π, 问5θ与角θ终边相同，求θ。
解：由已知 5θ=2k π+θ, k ∈Z, 有θ=2
π
k ，
∵ 0<θ<2π, ∴k=1时，θ=23；k=2时，θ=π；k=3时，θ=2
3π
.
例4．若θ
θ
cos 1cos 1+-=ctg θ-csc θ，求θ取值范围。
解：先看一看右边=ctg θ-csc θ=θθsin cos -θsin 1=θ
θsin 1
cos -，这样就决定了左边的变形方向。
θθ
cos 1cos 1+-=θ
θ22cos 1)cos 1(--=θθ22sin )cos 1(-，
∵θθ22sin )cos 1(-=θθsin 1cos -， ∴ ??
?>≥-0sin 01cos θθ??
??>=0sin 1cos θθ?θ无解， ∴ 不存在这样的θ使所给等式成立。
例5．已知sin(π-α)-cos(π+α)=32, 2
π
<α<π.
求：（1）sin α-cos α的值 （2）sin 3
(
2π+α)+cos 3(2
π+α)的值
解：（1）由已知，得sin α+cos α=32,平方得：1+2sin αcos α=9
2
,
∴ 2sin αcos α=-9
7
,
∵ 2
π
<α<π,
∴ sin α-cos α=2)cos (sin αα-=ααcos sin 21-=3
4
.
（2）sin 3(2π+α)+cos 3(2
π+α)=cos 3α-sin 3
α
=(cos α-sin α)(cos 2α+sin αcos α+sin 2
α)
=-
34(1-187) =-27
22. 例6．已知sin(α-π)=2cos(α-2π),求下列三角函数的值：
（1）)
2
cos()23sin(3)2cos(5)sin(απαπαπαπ+---++ （2）1+cos2α-25sin2α.
解：由已知：-sin α=2cos α，有 tg α=-2, 则
（1）原式=
ααααsin cos 3cos 5sin +-+-=ααtg tg +-+-35=-5
7
。 （2）1+cos 2
α-2
5sin2α
=α
αααα2
222cos sin 2sin 25
cos 2sin +-+=1225222+?-+αα
αtg tg tg =1
)2()2(52)2(22+---+-=516
.
评述：对于形如α
αα
αcos sin cos sin d c b a ++为关于sin α与cos α的一次分式齐次式，处理的方法，
就是将分子与分母同除以cos α，即可化为只含tg α的式子。而对于1+cos 2
α-2
5sin2α属于
关于sin α与cos α的二次齐次式。即sin 2α+2cos 2
α-5sin αcos α. 此时若能将分母的“1”用sin 2α+cos 2
α表示的话，这样就构成了关于sin α与cos α的二次分式齐次式，分子分母同除以cos 2
α即可化为只含有tg α的分式形式。
例7．求函数y=225x -+log sinx (2sinx-1)的定义域。
解：使函数有意义的不等式为：??
?????>-≠>≥-0
1sin 21sin 0
sin 0252
x x x x ? ????
??
???
∈+≠∈+
<<+≤≤-)(22)(6526255Z k k x Z k k x k x ππππππ 将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x ∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即
∴因此函数的定义域为：
[-5,-
23π)∪(-23π,-67π)∪(2,6ππ)∪(6
5,2ππ)。
例8．求证：1sec 1sec +-++ααααtg tg =α
α
cos sin 1+.
证法一（左边化弦后再证等价命题）
左边=1cos sin cos 11
cos sin cos 1+-++α
αααα
α=ααααcos sin 1cos sin 1+-++
要证 ααααcos sin 1cos sin 1+-++=α
αcos sin 1+
只需证：(1+sin α+cos α)cos α=(1-sin α+cos α)(1+sin α)
左边=cos α+sin αcos α+cos 2
α
右边=1-sin 2α+cos α+cos αsin α=cos 2
α+cos α+sin αcos α ∵左边=右边，∴原等式成立。
或证等价命题：ααααcos sin 1cos sin 1+-++-α
α
cos sin 1+=0
证法二（利用化“1”的技巧）
左边=1
sec )(sec sec 22+--++ααααααtg tg tg
=
()1
sec )sec 1(sec +--++ααααααtg tg tg =sec α+tg α=α
αcos sin 1+=右边。
证法三（利用同角关系及比例的性质）
由公式 sec 2α-tg 2
α=1
?(sec α-tg α)(sec α+tg α)=1 ?1
sec ααtg +=ααtg -sec 1.
由等比定理有：
ααααtg tg -+++sec 11sec =sec α+tg α=α
α
cos sin 1+.
证法四（利用三角函数定义）
证sec α=x r , tg α=x y , sin α=r
y , cos α=r x
.
然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。 其证明过程同学自己尝试一下。
评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：
(1)若A=B ，B=C 则A=C （传递性） (2)A=B ?A-B=0
(3)A=B ?B A
=1 (B ≠0)
(4)B A =D
C
? AD=BC (BD ≠0)
(5)比例：一些性质，如等比定理：
若11b a =22b a
=……=n n b a ，则n n b b b a a a ++++++ 2121=11b a =22b a =……=n
n b a 。
1．如果θ是第二象限角，则2
θ
所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第一或第三象限 C 、第二象限 D 、第二或第四象
限
2．在下列表示中正确的是（ ）
A 、终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2k π+
2
π
, k ∈Z} B 、终边在y=x 的直线上的角的集合是{α|α=k π+4
π
, k ∈Z}
C 、与(-3π)的终边相同的角的集合是{α|α=k π-3
π
, k ∈Z}
D 、终边在y=-x 的直线上的角的集合是{α|α=2k π-4
π
, k ∈Z}
3．若π<θ<2
3π, 则θ
sin log 22等于（ ）
A 、sin(θ-π)
B 、-sin θ
C 、cos(π-θ)
D 、-csc θ
4．函数y=2sin(
6
2π
+x )在[π，2π]上的最小值是（ ） A 、2 B 、1 C 、-1 D 、-2
5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A 、它的定义域是[-1，1] B 、它是奇函数； C 、它的值域是[0, 1] D 、它是周期为π的函数 6．设04
π
，下列关系中正确的是（ ） A 、sin(sinx)2θ=53，cos 2
θ
=-54，则θ∈[0, 2π]，终边在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）
A 、sin 21
B 、6
π
C 、2
1sin 1 D 、2sin 21
9．化简三角函数式tg(2
12+k π+76
π) (k ∈Z), 结果是（ ） A 、tg 7π B 、ctg 7π C 、ctg 76π D 、-tg 7
π
10．设α∈(0,
2
π)，()ααsin cos -=A ，()α
αtg B sec =的大小是（ ） A 、A>B B 、A ≥B C 、A
答案: B B D C D A D C B C
正、余弦函数的有界性在解题中的作用
正、余弦函存在着有界性，即1sin ≤x ，1cos ≤x ，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。
例1．若实数x 满足3sin 2log 2=+θx ，求322-+-x x 的值。 解：原方程可化为2
log 3sin 2x
-=
θ， 因为1sin 1≤≤-θ，所以12
log 312≤-≤
-x
， 所以5log 12≤≤x ，所以322≤≤x 所以30322322=-+-=-+-x x x x 。
例2．在ABC ?中，()()2sin cos =++-B A B A ，试判定三角形的形状。
解：因为()1cos ≤-B A ，()1sin ≤+B A ，又()()2sin cos =++-B A B A ， 所以()1cos =-B A ，()1sin =+B A 而ππ<-<-B A ，π<+
π
=+B A
所以，4
π
=
=B A 。故ABC ?为等腰直角三角形。
例3．已知四边形ABCD 中的角A 、C 满足4
3
2sin 3sin 3cos 222
=+++C A C A 求证：π=+D B 证明：由已知条件有4
3
32cos 12132cos 1213cos
2
=??? ??-+??? ??-++C A C A 所以0413cos 3cos 3cos 2
=+-+-??
?
??+C A C A C A 由于13cos
≤-C A 。从而04
1
3cos 3cos 2≤++-+C A C A 所以0213cos 2
≤??? ??-+C A ，但0213cos 2
≥??? ??
-+C A ，
所以0213cos
=-+C A ，2
13cos =+C A 。 所以π=+C A ，故π=+D B 。
例4．已知函数()b ax x f +=，3622
2
=+b a ，求证：对于任意[]1,1-∈x ，有
()2≤x f 。
证明：因为3622
2=+b a ，所以()
12322
2
=+???
? ??b a 。
令
θsin 3
2
=a ，θcos 2=b ，则θsin 32=a ，θcos 2
1=b 所以()()????
?
?=++=+=
x arctg x x x f 31sin 213cos 21sin 232αθαθθ 从而()()2
1
3sin 21322+≤
++=x x x f θα
又1≤x ，故()22
4
2
132
=≤
+≤x x f 例5．证明：4
32cos sin 1≤+≤αα。
证明：设
k =+ααcos sin ，则只须证明4
321≤≤k 。
因为()
ααααααα2sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2
2
++=++=k
αα2sin 22sin 1++= 因为12sin 0≤≤α，所以222212
=+≤≤k ，
从而4
321≤≤k 。故4
32cos sin 1≤+≤
αα。
例6．复数1z ，2z ，3z 的幅角分别为α、β、γ，11=z ，k z =2，k z -=23，且0321=++z z z ，问k 为何值时，()γβ-cos 分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。
解；因为ααsin cos 1i z +=，()ββsin cos 2i k z +=，()()γγsin cos 23i k z +-=， 因为0321=++z z z ，
所以()[]()[]0sin 2sin sin cos 2cos cos =-+++-++γβαγβαk k i k k 。 因而()γβαcos 2cos cos k k ---=，()γβαsin 2sin sin k k ---=。
两式平方相加得()()()γβ--+-+=cos 22212
2
k k k k
由题设知0≠k ，2≠k ，
所以()()()()2
123
12212cos 2
22
--+=--+-=-k k k k k γβ……（＊） 因为()1cos ≤-γβ，所以()02
12322
≤--≤
-k ，
解之得
2
3
21≤≤k 。 由（＊）知，当1=k 时，()[]2
1
cos min -=-γβ。 又由（＊）及
2321≤≤k 知，当21=k 、2
3
时，()[]1cos min -=-γβ。 例7．设a 为无理数，求证：函数()ax x x f cos cos +=不可能是周期函数。
证明：假设()x f 是周期函数，则存在常数0≠T ，使对于任意的x ，
()()ax x T x a T x cos cos cos cos +-=+++都成立。
令0=x 得，20cos 0cos cos cos =+-=+aT T 因为1cos ≤T ，1cos ≤aT ，所以1cos cos ==aT T 从而πK T 2=，()
为整数L K L aT ,2π= 所以K
L
T aT a ==
。 此时K ，L 为整数，则
K
L
为有理数，但a 为无理数，这是不可能的，故命题成立。 1．（2002年全国）在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 取值范围为（ ）。
A 、)45,()2,4(πππ
π? B 、),4(ππ
C 、)45,4(ππ
D 、)2
3,45(),4(π
πππ?
解：在)2,4(
π
π内，sinx>cosx ，在],2[ππ内sinx>cosx ；在)4
5,(π
π内，sinx>cosx ；综上，∴ 应选C 。
2．（2001年全国） 0
405300ctg tg +的值为（ ）。
A 、31+
B 、31-
C 、31--
D 、31+- 解：0
405300ctg tg +
1
345
60)
45360()60360(0
0000+-=+-=++-=ctg tg ctg tg
∴ 应选B 。
3．（1998年全国）已知点P(sin α-cos α,tg α)在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（ ）
A 、)45,
()43,
2(
πππ
π? B 、)45,()2,4(ππππ?
C 、)23,45()43,2(ππππ?
D 、),3
4()2,4(ππ
ππ? 解：由题设，有??
???<≤>>-παααα2000cos sin tg ???
???∈>?)23,()2,0(cos sin πππααα
在[0，2π）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx 和y=cosx 的图像，可在α∈)45,
4(
π
π时，sin α>cos α。
∴α∈)4
5,()2,4(
π
ππ
π?
高三数学第一轮复习教案(1)
第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.
2020年全国高考1卷理科数学冲刺试卷(二)
第1页 共12页 ◎ 第2页 共12页 2020年全国高考1卷理科数学冲刺试卷（二） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z =?1+i ，则z+2 z 2+z =( ) A.1 B.?1 C.i D.?i 2. 设全集U =(?√3,+∞)，集合A ={x|1<4?x 2≤2}，则C U A =( ) A.(?√2,√2)∪[√3,+∞) B.(?√3,√2)∪[√3,+∞) C.[?√2,√2]∪(√3,+∞) D.(?√3,√2]∪(√3,+∞) 3. 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ） A.0.336 B.0.56 C.0.224 D.0.32 4. △ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知absinC =20sinB ，a 2+c 2=41，且8cosB =1，则b =（ ） A.4√2 B.6 C.7 D.3√5 5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.6 B.7 C.4 D.5 6. 若函数f(x)={2x +1,x ≥1 ?x 2+ax +1,x <1 在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ） A.[2,?+∞) B.[2,?3] C.[1,?+∞) D.[1,?3] 7. 记不等式组{x +y ≤2, 2x +y ≥2,y +2≥0表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(x,?y)．有下面四个命题： p 1:?P ∈Ω，x ?y 的最小值为6；p 2:?P ∈Ω，4 5≤x 2+y 2≤20； p 3:?P ∈Ω，x ?y 的最大值为6；p 4:?P ∈Ω，2√55≤x 2+y 2≤2√5． 其中的真命题是（ ） A.p 1，p 2 B.p 1，p 4 C.p 3，p 4 D.p 2，p 3 8. 若 (1?2x)n x 的展开式中x 3的系数为80，其中n 为正整数，则 (1?2x)n x 的展开式中各项系数的绝对值之和为 （ ） A.81 B.32 C.256 D.243 9. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是( ) A. B. C. D.
高考数学冲刺的方法
高考数学冲刺的方法 高考数学冲刺高分的方法 打好数学基础 学好数学的第一种方法就是要打好扎实的基础，高中数学的基础知识有很多，需要我们对所学的基本概念、法则、公式、定理进行掌握和理解，同时还要把握好他们之间的联系，很多情况下经常会听到有些同学会说：这次考试我又粗心了等等，他们在做题解题的时候，喜欢跳步骤，而且不喜欢纠正这个错误，这是一种不良的学习习惯，想要提高数学成绩，培养数学运算能力，养成良好的学习习惯是非常有必要的。做完每道题目后，在运用检验的手段，从而可以及时改正过来。 2培养逻辑思维能力 学好数学的第二种方法就是要严格遵守思维规律，所写出来的步骤和推理必须要有步骤，这就是逻辑思维的核心。对平时考试中或者做练习时产生的一些错误点，一定要正视起来，一定要严格对待，不能马虎，才能有效的培养出自己严谨求实的思维习惯。我们还要对如何使用概念、定义和定理、公式有一个了解，对知识的获取过程要重视起来，能够培养抽象、概括、分析综合、推理证明的能力，如果我们不加以重视的话，相当于失去了一次从中吸取经验、锻炼和发展逻辑思维能力的机会。 3学会总结
学好数学的第三种方法就是要学会总结，对每一种类型的题目的练习，都要列出重点和难点，针对自己有哪些不会做的，进行归纳，从而可以总结出各种题型的解题方法。在解题时学生的书写格式要规范，写的每一个步骤都要完整，条理还要清楚，不能为了省事、省时，把一些关键性的步骤省略掉。而且在每次做练习题或者是试卷的时候，我们可以把一些比较典型的、容易出错的题目记载错题集的本子上，而且分类要清楚，一种是自己一点也不会的，一种是自己会做的，但是因为某种原因而出错的题目，这样在复习的时候就容易找出关键点了。 高考数学高分的秘诀 1、会做题 对于高中学生如何提高高考数学成绩来说，同学们还应该做到学会去做题，同学们要根据自己的实际情况做题，多花时间做自己对于某一部分很难弄懂的知识，那么就要大量的做题来解决这个事情，从而在高考中数学取得高分。 2、多请教 同学们要多请教，因为在高中的时候很多同学们碍于自己的面子问题，不好意思去请教老师或者是身边的同学，导致数学成绩提不上去，影响高考数学拿高分。只有不断的去请教，同学们才能够在请教中不断的去进步，这一点是同学们在高中数学中要认识到的。 3、通过网络去学习
人教版高三数学一轮复习练习题全套—(含答案)及参考答案
高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．
姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =．
2015届高考理科数学第一轮总复习教(学)案79
学案37 合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理 自我检测 1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________． 探究点一归纳推理
2020高考数学第一轮复习全套讲义
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2}
高考理科数学第一轮复习测试题20
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )． 解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A 2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C 3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝????12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示． 由14．(2011·四川)函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝????12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ??? ?0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
数学高考第一轮复习策略
数学高考第一轮复习策略 一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率。 数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路分析与数学方法的运用，是第一轮 复习的重中之重。对知识点进行梳理，形成完整的知识体系，确保基本概念、公式等牢固 掌握。要扎扎实实，对每个知识点都要理解透彻，明确它们要求以及与其他知识之间的联系。 复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思 维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后”，即先预习后听课， 先复习后作业。以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复 习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。 所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些 还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。现在学 生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就 是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过 程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可 提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举 一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课 中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。 三、建好错题档案，做好查漏补缺。 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。复习，各类试题要做几十套，甚至更多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析， 然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。查漏补 缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。 每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类： 1、找不到解题着手点。 2、概念不清、似懂非。 3、概念或原理的应用有问题。 4、知识点之间的迁移和综合有问题。
2020高考数学最后冲刺 复数
最后冲刺 【高考预测】 1.复数的概念 2.复数的代数形式及运算 3.复数概念的应用 4.复数的代数形式及运算 易错点 1 复数的概念 1．（2020精选模拟）若z 1=a+2i,z 2=3-4i,且2 1z z 为纯虚数，则实数a 的值为___________. 【错误解答】 ∵z 1+a+2i,z 2=3-4i, ∴ .25462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221i a a i a a i i i i a i a z z ++-=+++-=+-++=-+= 又∵2 1 z z 为纯虚数。 ∴, 02583=-a ∴a=38.∴填38 。 【错解分析】∵复数z=a+bi(a,b ∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b ≠0.因此上面解答虽 【错误解答】 选C ∵z=i -11 =1+i.∴z 为纯虚数为1-i 【错解分析】z=i -11 =1+i 是错误的，因为（1-i ）(1+i)=1-(i)2-z ≠1
【正确解答】 选B ∵z=i -11=.2 12121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+ ∴z=i -11的共轭复数是21-21 i 。 3．（2020精选模拟）已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i,,且21z z ?是实数，则实数t= （ ） A ．43 B ．34 C ．-34 D ．-43 【错误解答】 选 C ∵z1·2z ∈R ?2121z z z z +=0。即（3+4i ）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 ?t=-34 . 【错误解答】 设z=x+yi(x,y ∈R),∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得 y=-2. ∵51222= --=-i i x i z (x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i. 由题意得x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2 =[4+(a-2)i]2 =(12+4a-a 2 )+8(a-2)i ∵(z+ai)2在复平面上的点在第一象限， ∴,.0)2(8, 04122???? ?≥-≥-+a a a 解得2≤a ≤6. ∴实数a 的取值范围是[2，6]。 【错解分析】 复数z=a+bi(a 、b ∈R)对应点（a 、b ）在第一象限的充要条件是a>0,b>0.
新课标高考数学一轮复习技巧
新课标高考数学一轮复习技巧 高考数学一轮复习技巧1 高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。如果你认为高三学习是 第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不 会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。 学习上更要听话，教高三的老师都是经历了几次或十几次高考授课，非常有经验，复习的 进度、复习的内容、复习的顺序，都是长期教学实践中总结出来的。高考的变化及新要求，都会在复习中渗透进去。而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生每年都 有最后会碰的“头破血流”的。 高考数学一轮复习技巧2 高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生 上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完 成对知识、方法、能力的提高。如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。而不应 该因为不适应这个老师的教学方法，就不喜欢这个老师，进而就不喜欢这门课程，这样受 损失的只有学生自己。 高考数学一轮复习技巧3 复习每天都要进行，即使今天没有数学课，也要对知识加以复习，这就要求有一个计划，首先对时间加以计划，每天都要有数学的复习时间，四十分钟一节课左右，周末应有 两节课的时间;其次对学科加以计划，哪个时间段看哪个学科，要做到心中有数，计划有 了贵在坚持。 高考数学一轮复习技巧4 作业应该是检验听讲和复习效果的手段，不应看成一个负担，作业要认真对待，把每 一次作业看成一次考试，不能敷衍了事，不会做的题目可以与同学研讨，但不要直接抄写，每次作业都是一次练习的机会，不要错过。 高考数学一轮复习技巧5 高三复习阶段的考试是非常多的，考试是对知识、方法、能力、经验的检验，每次考 试都是一个积累，大家应该充分运用它。首先，考试要独立完成，不要看别人的，否则会 掩盖你的漏洞，失去老师对你的关注，也会失去对自己的正确估价。一两次考试成绩的好坏，说明不了什么，考好了不证明你就没有问题，考不好也不是说你彻底不行了。考试成 绩不真实，最后会在高考中体现出来，吃亏的还是学生自己。其次，考试要注重基础题的 解答，要明确考试是靠做“对”会做的题得分，而不是去做不会做的题得分你得不到分， 取得好成绩是依靠做“对”多少，而不是做“了”多少，因此大家要学会“放弃”，不要
最新高考数学第一轮复习教案1
高三一轮复习 5.4 数列求和 （检测教 师版） 时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名： 一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20 【答案】C 【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4 ＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝ －3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12. 2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15， 则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 【答案】A 【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 3 5－3 ＝1，a 1＝1， ∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1，所以数列???? ??1a n a n ＋1的 前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1 101＝100 101，故选A. 3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n
＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008 ＝( ) A.2 007 2 008 B.2 007 1 004 C. 2 0082 009 D.4 0162 009 【答案】D 【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝ 6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1 a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008＝ 2? ????1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2? ? ? ??1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2 ， 所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1 a 2 008＝2? ??? ?1－12＋2? ????12－13＋…＋2? ????1 2 008－12 009＝2? ????1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个 【答案】A
高考数学冲刺复习 精练10
数学冲刺复习 数学精练（10） 1.已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<， {30}B x x =-<，那么集合()U C A B = ( ) （A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <- （D ）{3}x x > 【答案】A 【解析】{10}{1},A x x x x =+<=<-{30}{3},B x x x x =-<=<画出数轴可以求得答案为A. 2.设i 是虚数单位，则设i 是虚数单位，则3 1i i =- ( ) A. 1122 i - B.112 i + C. 1122 i + D.112i - 【答案】C 【解析】 2 2 12 1) 1)(1()1(113 i i i i i i i i i i + = += -+-?= += -，故选Ｃ． 3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( ) （A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4 【答案】C 【解析】一班被抽取的人数是5416996 ?=人;二班被抽取的人数是4216796 ? =人,故选C. 4．已知函数???><=, 0,ln ,0,)(x x x e x f x 则)]1 ([e f f =( ) A ． e 1 B ．e C ．- e 1 D ．-e 【答案】A 【解析】因为1 1 ()ln 1f e e ==-,所以)]1([e f f =(1)f -=e 1 . 5．已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．2± D ．4±
高考数学一轮复习(一) 集合与函数
高考一轮复习（一） ——集合与函数 一、集合 1.集合的含义与表示 （1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法：N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系：对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法： ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2.集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或)A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?，则A C ? (4)若B A ?且B A ?，则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B （或B ≠ ?A ） B A ?，且B 中 至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠?且B C ≠?，则A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素 都属于B ，B 中的任一元素都属于 A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 3.集合的基本运算 （8）交集、并集、补集
高考理科数学第一轮复习辅导讲义
选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D
2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ??
高考数学冲刺复习的攻略
2019年高考数学冲刺复习的攻略今年数学高考考纲变动不大，一个比较明显的变化是最后一道选做题从“三选一”变成“二选一”，去掉了几何证明的内容。考生在做立体几何、解析几何题时，要注意在立体几何和解析几何的考题中，很可能需要应用平面几何的知识点去解题，然后巧妙利用平面几何的性质，降低计算量和寻找解题突破口。 那么，在高考的最后阶段考生该如何复习？崔朝杰建议，考生重点复习以前做过的试卷，梳理之前出现的错题，会较有针对性。通过梳理错题，分析错因，避免在高考中再犯类似的错误。在纠错的同时，最好每天做一定的题量保持手感，但不建议再做偏题怪题，做中等难度题和基础题为佳。 在考前，考生若掌握一些答题技巧和策略，或许会对考场上得分有帮助。 技巧一：小题巧做 在数学考试中，相对解答题，选择题被称为小题。建议考生做题时采取灵活方法，通过对选项的观察，利用特殊值代入法、特殊方程法、排除法等，排除不可能的选项，把选择题从4选1变成2选1，提高解题的速度。 技巧二：掌握概念、公式得基础分 在解答题中，考生要注意概念型的内容。比如，在考试中，一些考生常写错极坐标，考生平时若能牢记极坐标概念，就
知道极坐标怎么写，掌握这个知识点，在极坐标和平面坐标的转换中，就能立刻拿分。 另外就是熟练掌握公式。数学解答题里，如果第一道大题考三角函数，三角函数的正弦定理、余弦定理、辅助角公式、诱导公式等若能熟悉掌握，即便题不会做，把这些公式写上去，也能得公式分。此外，在数列类考题中，掌握递推公式求通项公式、前n项和公式，代入公式简单化简变形就能得分。在立体几何考题中，有的考生喜欢用向量法答题，必须掌握面面角公式、线面角公式；在考极坐标与参数方程时，掌握极坐标与参数方程的转化公式就能得分，这些都属于公式分。 技巧三：分步骤答题抢计算分 按目前的评分细则，数学考试按步骤给分：考生写对一步给一步的分。比如，考线性回归方程，求回归系数b。如果整体计算，算错一个地方，系数b的值算错，分数就没有了。如果分步答题，先算x与y的平均数，然后算分子，再算分母，分子分母都算好，再带到式子里计算，计算每步都有分，即便算错一个地方，之前的步骤也能得分。 技巧四：掌握常见“套路”拿分数 比如解三角形时求取值范围，通常有两种策略：第一种将边换成角，再利用三角函数的有界性去得分；第二种把角换成边，用均值不等式或图形的几何性质去得分。这是常见的答
高三高考数学一轮复习(理)大纲
第1讲集合与简易逻辑（一） 1.1 集合的基本概念 1.2 集合的基本概念考点总结 1.3 命题及充要条件基本概念 1.4 命题及充要条件的考点 第2讲集合与简易逻辑（二） 2.1 逻辑连接词的基本概念 2.2 逻辑连接词的考点 2.3 习题课 第3讲函数基础（一） 3.1 函数的概念及表示法 3.2 函数概念考点总结 3.3 函数的单调性与最值基本概念3.4 函数的单调性与最值考点总结 第4讲函数基础（二）
4.1 函数的奇偶性和单调性 4.2 函数性质的考点总结 4.3 习题课 第5讲初等函数（一） 5.1 二次函数与幂函数基本概念5.2 二次函数与幂函数考点总结5.3 指数与指数函数基本概念 5.4 指数和指数函数考点总结 第6讲初等函数（二） 6.1 对数和对数函数基本概念 6.2 对数和对数函数考点总结 6.3 习题课 第7讲函数的应用（一） 7.1 函数的图像的基本概念 7.2 函数的图像考点总结 7.3 函数的零点与方程的基本概念
7.4 函数的零点与方程考点总结第8讲函数的应用（二） 8.1 函数模型的基本概念 8.2 函数模型考点总结 8.3 习题课 第9讲导数的性质 9.1 导数的基本概念 9.2 导数性质的考点总结 9.3 极值与导数 9.4 极值与导数考点总结 第10讲导数的应用 10.1 导数的应用 10.2 导数应用考点总结 10.3 习题课 第11讲导数的计算
11.1 微积分的基本概念（理）11.2 微积分考点总结（理）11.3 例题精讲（一） 11.4 例题精讲（二） 第12讲导数分析 12.1 例题精讲（一） 12.2 例题精讲（二） 12.3 导数大题精讲（一）12.4 导数大题精讲（二） 第13讲导数大题精讲 13.1 导数大题常见题型（一）13.2 导数大题常见题型（二）13.3 导数与不等式 第14讲三角函数 14.1 三角函数基本概念
数学高考第一轮复习规划与建议
数学高考第一轮复习规划与建议 一、高三期间复习阶段分析 第一轮复习一般从8月到12月，以教材的知识体系作为复习的主要线索，以帮助同学们回忆、回顾以前学习过的知识为主，对知识面进行全方位的覆盖，以及对基本方法、基本题型进行总结、反思; 第二轮复习大概从2月到4月中旬，在此阶段打破了教材的体系，主要是对高中数学的六大板块进行专题性的复习，在第一轮复习的基础上进一步加强综合性运用，提高解题的准确性、速度性和解答题的规范性; 第三轮复习一般从4月中旬到5月中旬，此阶段主要是同学们进行高考试题的模拟考试、训练，以培养同学们的答题技巧、答题方法、考场应变能力。5月下旬到6月5日期间则是同学们自主复习，以回归教材、错题反思、方法的进一步归纳总结。 所以在整个高三的复习中，第一轮复习所用的时间是最长的，它的复习成效将直接影响后面的复习效果。 二、数学第一轮复习建议 一、端正态度，切忌浮躁，忌急于求成 在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分!这主要是因为： 1对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。 2复习的时候心不静。心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。建议大家在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。 3在第一轮复习阶段，学习的重心应该转移到基础复习上来。 因此，建议广大同学在一轮复习的时候千万不要急于求成，一定要静下心来，认真的揣摩每个知识点，弄清每一个原理。只有这样，一轮复习才能显出成效。 二、注重教材、注重基础，忌盲目做题
高考数学冲刺提高法
高考数学冲刺提高法 下面介绍三个方法，只要认真履行，相信你的数学成绩就能够有所提高。 一、整理各类题目的解题方法 ①选择题的解法：选择题得分关键是考生能否精确、迅速地解答。数学选择题的求解有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果;二是题干和选择的分支联合考虑或从选择的分支 出发探求是否满足题干条件，由于答案在四个中找一个，随机分一定要拿到。选择题解题的基本原则是：“充分利用选择题的特点，小题尽量不要大做”。 ②填空题的解法：填空题答案有着简短、明确、具体的要求，解题基本原则是小题大做别马虎，特别是解的个数和形式是否满足题意，有没有漏解和不满足题目要求的解要认真区别对待。今年江苏的数学高考填空题的分值增加许多，其得分情况对高考成绩大有影响，所以答题时要给予足够的精力和时间，填空的解法主要有：直接求解法、特例求解法、数形结合法，解题时灵活应用。 ③解答题的解法：解答题得分的关键是考生能否对所答题目的每个问题有所取舍，一般来说在解答题中总是有一定数量的数学难题(通常在每题的后半部分和最后一、两题中)，如果不能判别出什么是自己能做的题，而在不会做的题上花太多的时间和精力，得分肯定不会高。解答题解题时要注意：
书写规范，各式各样的题型有各自不同的书写要求，答题的形式对了基本分也就得到了，比如概率题、立体几何题有规定的书写要求，解题时务必注意。审题清晰，题读懂了解题才能得到分，要快速在短时间内审清题意，知道题目表达的意思，题目要解决的是什么问题，关键的字词是什么，特殊的情形有没有，不能一知半解，做了一半才发现漏了条件推翻重来，费了精力影响情绪。 每年高考试题总有创新，对新型的探索开放题的解题要诀有：(1)试：阅读题意，分清条件和结论，尝试最简单、最基础的运算。(2)猜：在前面尝试的基础上，大胆猜想，可以运用归纳、类比、推广、化归等思想方法多角度、多维度地猜想，合理进行猜想是关键的一步。(3)证：综合运用数学知识进行求解与证明，要注意前后联系，过程严谨。在探索开放题的解答过程中，要注意尝试举例，并进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，从而进行大胆的猜想，最后再进行规范的证明。 二、形成良好的考试心态 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学
2019年度高三理科数学一轮复习资料计划
2019届高三理科数学一轮复习计划
目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) （一）总体要求 (2) （二）要解决的问题 (2) （三）总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) （一）周测 (3) （二）单元测试 (3) （三）月测 (3) （四）备注 (3) 六、课程分类 (4) （一）知识梳理课 (4) （二）能力提高课 (4) （三）章节复习课 (4) （四）试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下 (5)
2019届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析 近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想 在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习，让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求 第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。为此，确立一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规范的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下： 1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力；以及数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练，课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规范的解题训练，对解题过程和书写表达提出明确具体的要求，培养学生良好的解题习惯，提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练，提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规范、书写轻重、表达完整等新的要求。
