高三教案2013新课标数学高三一轮复习1
第1讲 任意角的三角函数
知识点精讲
1.任意角
①终边相同的角：所有与ａ终边相同的角，连同ａ在内，可构成一个集合 。
②终边在坐标轴上的角：?
?360k ， ，?
??+360180k ， 的终边分别在ｘ轴正半轴，ｙ轴正半轴，ｘ轴负半轴，ｙ轴负半轴，是特殊的角，起着非常重要的作用。 2.弧度制
①定义：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做1弧度 。
1弧度记作 1 rad ；1弧度(1rad)57.3≈
.
②弧度制与角度制之间的转化， 记住核心关系： 0180=π 弧度制相比角度制的优点在于： ③弧度制相比角度制的优点在于： a 公式的表达更简洁；
b 可以省略单位不写，与实数集建立了一一对应关系，可用实数直接表示角的大小。是实数与角的统一。 常用角的互化：
☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2
11||22
S lR R α==
3.三角函数的定义
高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系，又有区别。 定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，
那么sin ,cos y x r r αα=
=，()tan ,0y x x α=≠，cot x
y
α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与终边的位置有关，而与终边上点P 的位置无关。
4.三角函数的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
5.三角函数线
=
==αααt a n c o s s i n 考点透析（专题讲解、反思总结、变式练习）
1.角有关的概念
例题1 已知α角的终边与3π的终边相同，在区间[)π2,0内哪些角的终边与3
α
角的终边相同？
反思总结：
角度 00 300 450
弧度
3π 2π 32π 43π 65π π π2 y
T
A x
α B S
O M P
变式练习１：设5
3,570πβα=
-=?
（1）将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限.
（2）将β用弧度制表示出来，并在?
-720―?
0之间找出与它有相同终边的所有角．
2.弧长公式和扇形面积公式
例题2 如图，直线为10cm 的圆形飞轮上有一点Ｐ，且点Ｐ恰为弦ＡＢ＝8cm.若飞轮的转速为120转/分，试求点Ｐ每１秒钟转过的弧长.
反思总结：
变式练习２：如果圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形的边长，那么这条弧所对的圆心角的弧度数是（ ） A 1 B
3
π
C 23
D 3
3.三角函数的定义
例题3若角α的终边在直线x y 3-=上，求α
αcos 3
sin 10+的值.
反思总结：
变式练习３：角α的终边上一点Ｐ的坐标为（4a,－3a)(a ≠0),求ααcos sin 2+的值
第2讲 同角三角函数及诱导公式
知识点精讲
1.同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：22sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα
+=+=+= （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
=
= 同角三角函数的基本关系式的主要作用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。
2.正弦、余弦的诱导公式
21
2(1)sin ,sin()2(1)s ,
n
n n co απαα-?
-?+=??-?
21
2(1)s ,
s()2(1)sin ,
n
n co n co απαα+?
-?+=??-?
考点透析（专题讲解、反思总结、变式练习）
1.同角三角函数关系及其应用
例题１.若54sin =A ,且Ａ是三角形中的一个角，求7
cos 158
sin 5-+A A 的值．
反思总结：
变式练习１：（１）已知2tan =x ，求下列各式的值 ①x
x x cos sin sin -； ②x x x x 2
2cos cos sin sin +-．
（２）若==-+αα
αα
αtan ,2cos sin 2cos sin 则 （ ）
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．43 Ｄ．－4
3
2.诱导公式及其应用
例题２当θ为第二象限角，且31
22sin =???
??+πθ时，2
sin 2cos sin 1θθθ--的值是 （ ）
A.1
B.-1
C.±1 D 以上都不正确
(n 为偶数)
(n 为奇数) (n 为偶数)
(n 为奇数)
反思总结：
变式练习２：已知3
1
)75cos(=
+?
α,其中α为第三象限角，则)105sin()105cos(??-+-αα＝ . 3.三角函数式的化简与三角函数等式的证明
例题3化简
()()
απαπαπαπαπαπ+??? ??+?-++??? ??-???? ??+sin 2cos )sin(cos 2cos 2sin 的结果为（ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．－2
1 反思总结： 变式训练３：化简()()()()()
απαπαπαπαπ----+-cos 3sin cos sin 2sin
例题４求证x
x
x x x x 2tan 12tan 12sin 2cos 2cos 2sin 2122+-=--
反思总结：变式训练４：已知1sin 2sin ,1tan 2tan 222
2
-=+=αββ求证x
第3讲 三角函数的图象及性质
知识点精讲
一．三角函数的图象及性质 函数
sin y x =
cos y x =
tan y x =
图象
定义域 R R
|,2x x k k Z ππ??
≠+∈????
值
域
[1,1]-
[1,1]-
R 奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数 有界性 sin 1x ≤
cos 1x ≤
无界函数
最小正
周期
2π
2π
π
2,222()32,222()
k k k Z k k k Z ππππππππ?
?-+??
?
?∈?
?++??
?
?∈增区间减区间
[][]2,2()
2,2()
k k k Z k k k Z ππππππ-∈+∈增区间减区间
,22()
k k k Z ππππ?
?-+ ?
?
?∈增区间 对称轴 ()2
x k k Z π
π=+
∈
()x k k Z π=∈
无对称轴
对称 中
心
()(),0k k Z π∈
(),02k k Z ππ??+∈
??? (),02k k Z π??
∈
???
()()max min 22
1;22
1
x k k Z y x k k Z y π
ππ
π=+∈==-∈=-时，
时，
()()()max min 21;211
x k k Z y x k k Z y ππ=∈==+∈=-时，时，
o
2
π π
32
πy
o o
π 32
π
2π
y
x
2
π
2
π x
π 32
π
x y
2π
无最值
最值 单 调 区 间
表（2）(0,0)A ω>>
函数
()sin y A x ω?=+ ()cos y A x ω?=+ ()tan y A x ω?=+
定义域 R R
22|,2k x x k Z ππ?ω+-??≠∈?
???
值
域
[,]A A - [,]A A -
R
奇偶性 ()k k Z ?π=∈时是奇函数,
()
2
k k Z π
?π=+
∈时是偶
函数。 ()
2
k k Z π
?π=+
∈时是
奇函数,()k k Z ?π=∈时是偶函数。
()k k Z ?π=∈时是奇函数
有界性 ()sin A x A ω?+≤ ()cos A x A ω?+≤
无界函数
最小正
周期
2πω 2πω
π
ω
4242,22()42432,()22k k k Z k k k Z ππ?ππ?ωωππ?ππ?ωω--+-??????∈+-+-??
∈????
增区间减区间
()22,
()22,k k k Z k k k Z ππ?π?ωωπ?ππ?ωω---??????
∈-+-??
∈????增区间减区间 2222,22()
k k k Z ππ?ππ?ωω--+-??
????
∈增区间 对称轴
22()2k x k Z ππ?
ω
+-=
∈
()k x k Z π?ω
-=∈
无对称轴
对称 中
心
(),0k k Z π?ω-??
∈ ??? ()22,02k k Z ππ?ω+-??
∈
???
()2,02k k Z π?ω-??
∈ ???
()()max min 422;
422k x k Z y A k x k Z A ππ?
ω
ππ?
ω
+-=∈=--=
∈=-时，时，y
()()
max min 2;(2)k x k Z y A k x k Z A π?ωππ?
ω-=
∈=+-=
∈=-时，时，y
注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求sin ,0,42ππθθ?
?
??+
∈ ? ??
???
上的取值范围。 （2）注意求单调区间时的整体意识。如：求sin 26y x π?
?
=-
??
?
的单调增区间,在[]0,2π上的单调增区间。而无最值
最值
单
调 区 间
sin 26y x π??=- ???求单调增区间时,先化成sin 26y x π??=-- ???的形式,再求sin 26y x π?
?=- ??
?的单调递减区间。
（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时sin cos y x y x ==、在对称轴处取最值。 二、图象变换：函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=+>>的图象可由sin y x =的图象做如下变换得到 1、先相位变换 周期变换 振幅变换
sin y x = ()sin y x ?=+：把sin y x =图象上所有的点向左（0?>） 或向右（0?<）平移?
个单位。
()sin y x ω?=+：把()sin y x ?=+图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩短
（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。
()sin y A x ω?=+：把()sin y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短 （01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。
2、先周期变换 相位变换 振幅变换
sin y x =
sin y x ω=：把sin y x =图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩短（1ω>）到
原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。
()sin y x ω?=+：把sin y x ω=图象上所有的点向左（0?>）或向右（0?<）平移
?ω
个单位.
()sin y A x ω?=+：把()s i n y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）
到原来的A 倍,横坐标不变。
3、 注意：（1）要会画()sin y A x ω?=+在一个周期的图象：（即五点作图法：设30,,,,2,2
2
t x ππω?ππ=+=求相应的x
值和对应的y 值,描点作图）如2sin 26y x π?
?
=+
??
?
,在[]0,π上的图象的画法。 （2）注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 ②要先使函数名称相同再变换。
如：为得到函数cos 23y x π??=+ ??
?
的图象,只需将函数sin 2y x =的图象向 平移 个单位。
（3）2T πω
=,1
f T =（频率）。注意()sin y A x ω?=+、()cos y A x ω?=+相邻两对称轴间的距离为2T πω=。
（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求A ,看周期求ω,看特殊点求?（通常是最大值或最小值时的位置） （5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量x 进行变换。
方法技巧归纳：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与
不变是相对于奇偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法： （1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；（2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域； （3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性 5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象与性质,并挖掘：
⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
sin y x =的对称轴是2x k π
π=+()k Z ∈,对称中心是(,0)k π()k Z ∈；
cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈,对称中心是(,0)2k π
π+()k Z ∈
tan y x =的对称中心是(
,0)()2k k Z π
∈注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意0ω>.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ω?=+的简图,并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式sin()y A x ω?=+时初相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式
1
x
?ω
=-
.
（三）正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩
sin y x
=的图象
???
向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象
()
ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1
到原来的纵坐标不变
得sin()y x ω?=+的图象
()
A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ω?=+的图象
(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象．先伸缩后平移
sin y x
=的图象
(1)(01)
A A A ><
得sin y A x =的图象
(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得
sin()
y A x ω=的图象
(0)(0)
???
ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象．
考点透析（专题讲解、反思总结、变式练习）
1.三角函数的图象
例题１下列函数中，图象的一部分如下图所示的是（ ） Ａ．)6sin(π
+=x y Ｂ．)62sin(π-=x y Ｃ．)34cos(π-=x y Ｄ．)6
2cos(π
-=x y
反思总结：
变式练习１：函数),2
,0)(sin(R x x A y <<>+=π
?ω?ω的部分图象如下图所示，则函数的表示的表达式为
（ ） Ａ．)4
8
sin(
4π
π
+
-=x y Ｂ．)4
8
sin(
4π
π
-
=x y Ｃ．)4
8
sin(
4π
π
-
-=x y Ｄ．)4
8
sin(
4π
π
+
=x y
变式练习２：要得到函数)4
2sin(3π
+=x y 的图象，只需x y 2sin 3-=要将函数的图象（ ）
Ａ．向左平移
4π个单位 Ｂ．向右平移4π个单位Ｃ．向左平移8π个单位 Ｄ．向右平移8
π
个单位 2.三角函数的性质
例题3求函数1sin 2+=x y 的定义域
反思总结：
变式练习3：求函数)9lg(2cos 2x x y -+=的定义域．
例题４求函数???
??
?∈--=32,3,cos 4sin 342
ππx x x y 的值域
反思总结： 变式练习４： (1)已知)(,2tan 2tan )(,4
3
2x f x x x f x 求++=≤
≤-π
π
的最大值和最小值，并求出相应的ｘ的值．
(2)函数()[]M a f b a x M x f -=+=)(,sin )(上是增函数，且在区间?ω,)(M b f =则函数
)cos()(?ω+=x M x g 在[]b a ,上 （ ）
Ａ．是增函数 Ｂ．是减函数 Ｃ．可以取得最大值Ｍ Ｄ．可以取得最小值－Ｍ
例题５（１）函数)3
4cos(
4π
-=x y 的最小正周期为 ． （２）函数)6
tan(π
π+=x y 的最小正周期为 ．
反思总结：
变式练习５：函数x y sin =的周期为 ． 例题６关于ｘ的函数)sin(?+=x y 有以下命题： ①对任意的?，函数ｙ都是非奇非偶函数 ②不存在?，使函数ｙ既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使函数ｙ是奇函数 ④对任意的?，函数ｙ都不是偶函数；
其中一个假命题的序号是 ，因为当?＝ 时，该命题结论不成立． 反思总结：
变式练习６：函数=---=θθθtan )3sin()3cos(3)(是奇函数，则x x x f . 例题7(1)下列各点中是函数)3
2cos(π
+=x y 的对称中心的是 （ ）
Ａ．（０，０） Ｂ．（π1211-
，０） Ｃ．)0,65(π Ｄ．)0,4
7(π
(2)如果函数8
2cos 2sin )(π
-=+=x x a x x f 的图象关于直线对称，则实数ａ的值为 （ ）
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．21 Ｄ．－2
1 反思总结：
变式练习７：下列各点不是函数)6
tan(π
-=x y 的对称中心的是（ ）
Ａ．)0,6
(
π
Ｂ．)0,3
(π
-
Ｃ．)0,65(
π Ｄ．)0,3
2(π
例题８求下列函数的单调增区间： （１）)3
cos(211x y --=π
（２）)cos (sin log 5.0x x y -= 反思总结：
变式练习８：已知函数??
?
?
?
=22tan ππω，－在区间x y 上是增函数，则ω的取值范围为（ ）
Ａ．10≤<ω Ｂ．1≥ω Ｃ．1≤ω Ｄ．01<≤-ω
3.综合问题
例题9已知函数)10)(3
2cos(log )(≠>-=a a x x f a 且其中π
(1)求函数)(x f 的定义域； (2)求函数)(x f 的单调区间； (3)判断函数)(x f 的奇偶性
(4)判断)(x f 的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期；
反思总结：
变式练习9：函数)2
,0)(sin(π
?ω?ω<>+=x y 在同一个周期内，当4
π
=
x 时ｙ取得最大值１，当12
7π
=
x 时，ｙ取得最小值－１．
（１）求函数)(x f y =的解析式
（２）函数x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f y =的图象？
（３）若函数)(x f y =满足方程)(x f y =＝ａ（0 第4讲 两角和与差的三角函数 知识点精讲 １.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα =±=±???→= 如（1） ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - ２.辅助角公式中辅助角的确定： () 22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定， θ角的值由 tan b a θ= 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 ３.几个常用的变形公式： ①三角函数名互化(切割化弦) ②巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22 αβ αβ++=? ， ( )() 2 2 2αβ β ααβ+=- -- 等） ③公式变形使用（tan tan αβ ±()() tan 1tan tan αβαβ=± ④三角函数次数的降升(降幂公式： 21cos 2cos 2αα+= ，21cos 2sin 2α α-= 与升幂公式： 21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=) ⑤式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 ⑥常值变换主要指“1”的变换（2 2 1sin cos x x =+2 2 sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42ππ=== 等） ⑦正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、 ”的内存联系――“知一求二” 考点透析（专题讲解、反思总结、变式练习） 1.和、差、倍角公式的应用 例题１（１）下列各式中，值为1 2的是 （ ） A 、1515sin cos B 、2 2 1212cos sin π π - C 、22251225tan .tan .- D 、1302cos + （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知 3 5sin()cos cos()sin αβααβα---= ，那么2cos β的值为____ （4）13 10 80sin sin - 的值是______ (5)已知0 tan110a =，求0tan 50的值（用a 表示）甲求得的结果是313a a -+，乙求得的结果是2 12a a -， 对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 反思总结： 例题２（1）已知 2tan()5αβ+= ，1tan()44πβ-=，那么tan()4π α+的值是_____ （2）已知 02 π βαπ << <<，且 12 9cos()β α- =- ，2 23sin()αβ-=，求cos()αβ+的值 （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3 cos()5αβ+=- ，则y 与x 的函数关系为______ 反思总结： 例题３（1）求值 sin50(13tan10)+ （2）已知sin cos 2 1,tan()1cos 23αααβα =-=- -，求tan(2)βα-的值 反思总结： 例题４ （1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____ (2)设ABC ?中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3 4sin Acos A = ，则此三角形是____三角形 反思总结： 例题５(1)若 32 (,) αππ∈，化简111122222cos α ++为_____ （2）函数 2 553f (x )sin xcos x cos x =-5 32(x R )+ ∈的单调递增区间为___________ 反思总结： 例题６如（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα αα++ + （2）求证： 2 1tan 1sin 2 12sin 1tan 2 2ααα α ++=--； （3）化简：42212cos 2cos 2 2tan()sin () 44x x x x ππ -+ -+ 反思总结： 例题７如已知tan 2α=，求22 sin sin cos 3cos αααα+- 例题８如（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __ （2）若 1 (0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。 （3）已知2sin 22sin 1tan k αα α+=+() 42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值 2.辅助角公式 例题９（1）若方程sin 3cos x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. （2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______ （3）如果 ()()sin 2cos() f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= 第5讲 简单的三角恒等变换 知识点精讲 1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； 余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ； 正切公式：tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= ． 2．二倍角的正弦公式：sin 22sin cos ααα=； 二倍角的余弦公式：2 2 2 2 cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； 二倍角的正切公式：22tan tan 21tan α αα = -． 3．降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；2 1cos 2cos 2 αα+=． 4．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次． 三、典型问题选讲 （一）化简（求值）问题 例1 求下列各式的值： ⑴???80cos 40cos 20cos ； ⑵???-?+?70tan 50tan 350tan 70tan ； ⑶?+?10tan 31(50sin ）. 例2 化简下列各式： （1）??? ? ????? ??∈+-ππαα2232cos 21212121，； （2）? ? ? ??-??? ??+-απαπα α4cos 4cot 2sin cos 222． 例3 已知正实数a ，b 满足 的值，求a b b a b a 158tan 5 sin 5cos 5cos 5 sin ππππ π =-+． 例4 已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根， 求 ()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值． （二）恒等变形 例5 求证：cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． （三）与其他知识综合 例6 △ABC 中，sin sin tan cos cos A B C A B +=+，sin()cos B A C -=．求,A C ． 例7 已知三点A 、B 、C 的坐标分别为)4 )(sin (cos Z ∈≠k k A ，，π ααα， B (3，0)， C (0，3)，若1-=?AC AB ，求 αα αtan 12cos 2sin 1+-+的值． 例8（2009，湖南）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-= （1）若//a b ，求tan θ的值； （2）若||||,0,a b θπ=<< 求θ的值． 第6讲 正弦定理与余弦定理 知识点精讲 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B = == 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得： 2sin sin sin a b c R A B C === 注意：利用正弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 注意：利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力 c b a H C B A 考点透析（专题讲解、反思总结、变式练习） 1.正弦定理 例题1在 ABC 中，Ａ＝? 75，Ｂ=45? ,c=6,解次三角形． 反思总结： 变式练习１：(1)已知 ABC 的三个内角的比是Ａ：Ｂ：Ｃ＝３:２:１，那么对应的三边之比ａ：ｃ：ｂ＝ ． 2.余弦定理 例题２在 ABC 中，AB=2,BC=1,cosC=4 3 (1)求AB 的值； (2)求sin(2A+C) 反思总结： 变式练习２： (1)在 ABC 中，ａ，ｂ，ｃ分别为Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，Ｂ＝π 3 2 ，ｂ＝13，ａ＋ｃ＝４，则ａ＝ 。 (2)在 ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4则cosB= . 3.判断三角函数的形状 例题3在 ABC 中，已知角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｂcosB+ccosC=acosA,试判断 ABC 的形状． 反思总结： 变式练习３： （１）在 ABC 中，若 C c B b A a cos cos cos ==则三角形AB C 的形状是 ． （２）在 ABC 中，若状为试判断这个三角形的形,tan tan 2 2 A b B a =： ． 4.有关正弦定理和余弦定理的证明题 例题４ ABC 的三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是ａ，ｂ，ｃ如果)(2 c b a a +=，证明：Ａ＝２Ｂ 反思总结： 变式训练４：设 ABC 的三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，求证 C B A c b a sin ) sin(2 22-=- 第7讲 正余弦定理的实际应用 一．三角形中的求角或求边长问题 例1、△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA= ，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边 三角形（如图1）。设∠FEC=α，问sin α为何值时，△DEF 的边长最短？并求出最短边的长。 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状。 例2：在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 三、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等 方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 例3 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望 对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求CD 的宽度。 （二）遇险问题 例4某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东 航行有无触礁的危险？ （三）追击问题 例5如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多 少h 能尽快追上乙船？ 西 北 南 东 A B C 30° 15° 图2 图1 A B C D A B 北 45° 15° 第8讲 数列的概念及简单的表示法 知识点精讲 1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法、通项公式和递推公式 4．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．S n 与a n 的关系 已知S n ，则a n ＝?? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在数列{a n }中，若a n 最大，则?? ? a n ≥a n －1， a n ≥a n ＋1. 若a n 最小，则 ?? ? a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 考点透析（专题讲解、反思总结、变式练习） 1.数列的通项公式 例题1写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，3 6，…；(4)3,33,333,3 333，…. 反思总结： 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1＞a n 其中n ∈N ＋ 递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n 按其他标准分 类 有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列 a n 的符号正负相间，如1，－1,1， －1，… 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2. ∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C 2013高考数学一轮复习试题 10-3 理 A级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )． A．正方体的棱长与体积 B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻 解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C. 答案 C 2．(2012·石家庄调研)下列结论正确的是( )． ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系； ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 解析由回归分析的方法及概念判断． 答案 C 3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )． A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案 D 4．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )． 9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点两个原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)， ∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理| 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、 速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的 天印中学2010届高三数学第一轮复习教学案 主备人：李松 2009-12-1立体几何2） 课题：线面平行与面面平行（B 级） 【教学目标】 1. 掌握直线与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题； 2. 掌握平面与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题。 〖走进课本〗——知识整理 1.直线与平面的位置关系有 ; ; 三种 2.直线与平面平行的判定定理： 用符号表示为 3.直线与平面平行的性质定理： 用符号表示为 4.两个平面平行的判定定理 有符号表示为 5.两个平面平行的性质定理 有符号表示为 〖基础训练〗——提神醒脑 1.直线a ⊥平面α，直线α||b ，则a 与b 的关系是（ ） A.b a || B. b a ⊥ C. b a ,一定异面 D. b a ,一定相交 2.如果直线a 平行于平面α，则（ ） A.平面α内有且只有一条直线与a 平行； B. 平面α内无数条直线与a 平行； C. 平面α内不存在与a 垂直的直线； D. 平面α内有且只有一条直线与a 垂直； 3.若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是（ ） A.α||a B. α?a C.α||a 或α?a D. α?a 4.已知直线b a ,和平面α，那么b a ||的一个必要不充分的条件是（ ） A.α||a ，α||b B. α⊥a ，α⊥b C. α?b 且α||a D. b a ,与α成等角 5.以下六个命题：其中正确命题的序号是 ①两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一平面的两个平面平行； ④一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行； ⑤与同一条直线成等角的两个平面平行； ⑥一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行； 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 新修订高中阶段原创精品配套教材 高三数学第一轮复习讲义 教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Lecture notes for the first round of senior high school mathematics 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育 高三数学第一轮复习讲义 高三数学第一轮复习讲义空间的距离一．复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二．知识要点：1．点到平面的距离：． 2．直线到平面的距离：． 3．两个平面的距离：． 4．异面直线间的距离：．三．课前预习：1．在中，，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是（） 2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是（） 3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为，到的距离为．4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为． 四．例题分析：例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长． 例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．例3．已知正四棱柱, 点为的中点，点为的中点，（1）证明：为异面直线的公垂线；（2）求点到平面的距离． 五．课后作业：班级学号姓名1．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（） 2．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）3．四面体的棱长都是，两点分别在棱上，则与的最短距离是（）4．已知二面角为，角，，则到平面的距离为．5．已知长方体中，，那么直线到平面的距离是．6．如图，已知是边长为的正方形，分别是的中点，，，（1）求证：；（2）求点到面的距离． 7．在棱长为1的正方体中，（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值； 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题. 课题：二次函数(1) 一、知识梳理 二次函数作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题． 二次函数研究就应从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征．从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法． 1、二次函数解析式的三种形式 一般式：()()02≠++=a c bx ax x f 顶点式：()()2()0f x a x h k a =-+≠ 零点式：()()02≠++=a c bx ax x f 存在零点21,x x ， 则有()()12()()0f x a x x x x a =--≠ 2、二次函数的图象和性质 （1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x ，都有 。 当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。 当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。 （2）、二次函数的图象与x 轴的位置关系：由判别式判定 3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系 一般地，设二次函数，二次方程的根的差别式 ，我们可以利用二次方程的根求出不等式,或,解集，它们的关系如下表： 二次函数（）的图象 Y X Y X Y X 二次方程 的根 == 没有实数根 （）的解集 (-) R （）的解集 (,) 二、题型探究 2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析 一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{} {2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R. 答案：B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 考点 ：复数的运算 解析：由题知== = ，故z 的虚部为 . 答案：D 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 考点 ：抽样的方法 解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样. 答案：C 4.已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A. B. C.1 2 y x =± D. 考点 ：双曲线的性质 解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为. 答案：C 5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时， ，当 时， ， ∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 3 20483 cm π 考点 ：球的体积的求法 解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则 ，解得R=5，∴球的体积为 35003 cm π = . 答案：A 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 考点 ：等差数列 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20 解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6· (2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15. 答案 C 2．(2012·泰安月考)若二项式? ?? ??x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )． A ．6 B ．10 C ．12 D ．15 解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ? ?? ??－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案 C 3．(2011·天津)在? ????x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )． A ．－154 B.154 C ．－38 D.38 解析 在? ????x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6? ????x 26－r ? ????－2x r ＝C r 6? ????126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16? ?? ??125(－2)＝－38. 答案 C 4．(2012·临沂模拟)已知? ?? ??x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )． A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 解析 由题意知C 48· (－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和 第1讲集合的概念与运算 【2013年高考会这样考】 1．考查集合中元素的互异性． 2．求几个集合的交、并、补集． 3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力． 【复习指导】 1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基．2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多． 基础梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系 (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A B(或B A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，? B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的基本运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)补集：?U A＝{x|x∈U，且x?A}． (4)集合的运算性质 ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B； ②A∩A＝A，A∩?＝?； ③A∪A＝A，A∪?＝A； ④A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A. 一个性质 要注意应用A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?U A??U B、A∩(?U B)＝?这五个关系式的等价性． 两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)． (3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A ∪B等于()． A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3} C．{x|x＞2} D．{x|x≥2} 解析B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}． 答案 D 导数（1） 一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页） 1、 导数及有关概念： 函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成 000000 ()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．． 的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='， 要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切高三数学第一轮复习教案(1)
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