【高中教学案】4-1：第二讲 五 与圆有关的比例线段 - 2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案
五与圆有关的比例线段
[对应学生用书P31]
1．相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，
弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.
2．割线有关定理
(1)割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
②图形表示：
如图，⊙O的割线P AB与PCD，则有：P A·PB＝PC·PD.
(2)切割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②图形表示：
如图，⊙O的切线P A，切点为A，割线PBC，则有P A2＝PB·PC.
3．切线长定理
(1)文字叙述：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
(2)图形表示：
如图：⊙O的切线P A，PB，则P A＝PB，∠OP A＝∠OPB.
[对应学生用书P32]
[例1]OA的垂线分别交⊙O 于C、D两点，垂足是点E.
求证：PC·PD＝AE·AO.
[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△P AO中再使用射影定理即可．
[证明]连接OP，
∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP＝PB.
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE·AO.
∵PD·PC＝P A·PB＝AP2，
∴PD·PC＝AE·AO.
(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．
(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．
1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，
DE＝CE＋3，则CD的长为()
A．4B．5
C．8 D．10
解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．
则CD＝3＋1＋1＝5.
答案：B
2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、
PN的延长线分别交⊙O于Q、R.
求证：PM·MQ＝PN·NR.
证明：
?
????
?
???
?OM ＝ON OA ＝OB ?????? AM ＝BN
BM ＝AN PM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN
?PM ·MQ ＝PN ·NR .
[例2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC ＝AB .
证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .
[思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .
[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线， ADE 是⊙O 的割线，
∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝AC
AE
，
又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE
. ∴∠ADC ＝∠ACE .
又∠ADC ＝∠EGF
，∴∠EGF ＝∠
ACE . ∴FG ∥AC .
(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．
3．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.
解析：∵PD ∶DB ＝9∶16，
不妨设PD ＝9a ，DB ＝16a (a >0)，∴PB ＝25a . 由切割线定理知P A 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ×25a ，∴a ＝15
.
∴PD ＝9
5.在直角三角形P AB 中，P A ＝3，
PB ＝5，可知AB ＝4. 答案：95
4
4.如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：
(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .
解：(1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .
根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )， 解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14， 由割线定理，得
CD ·AC ＝CN ·CM ，由(1)可知，
CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，AC ＝14， ∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147，
∴r ＝1
2(AC －CD )
＝12????14－2147＝51414.
[例3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A 、B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P .
求证：∠EPC ＝∠EBF .
[思路点拨] 切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EP
PB
→CP ∥FB →结论 [证明] ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .
∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB .
∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EP
PB .
∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .
运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．
5．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
解析：如图，连接OO ′，O ′A . ∵OA 为⊙O ′的切线， ∴∠OAO ′＝90°.
又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A .
∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12.
∴∠AOO ′＝30°.
又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 答案：B
6.已知：如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 分别相切于L ，M ，N ，P .
求证：AD ＋BC ＝AB ＋CD . 证明：由圆的切线长定理得
CM ＝CN ，BL ＝BM ，AP ＝AL ，DP ＝DN ， ∵AB ＝AL ＋LB ，BC ＝BM ＋MC ，