2018-2019学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019 学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷
（理
科）
副标题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0 分）
1.已知集合，则实数 a 的取值范围为（）
A.（ 1，+∞）
B. [1， +∞）
C. （-∞， 1）
D. （ -∞，1]
2.若 a A. B. C. D. a3>b3 2 3.已知｛ a n｝为等差数列，若，为方程 x2-10x+16=0 的两根，则 a2+a1010+a2018的值为（） A. B. C. 15 D. 30 2 4.已知直线 2x-y+3=0 的倾斜角为α，则 sin2 -αcos2α=（） A. B. C. D. 5.设（f x）是定义在 R上且周期为 2的函数，在区间 [-1，1）上 则 f（ f（ 21））的值为（） A. -1 B. C. D. 1 6.从坐标原点 O 向圆作两条切线，切点分别为 A，B，则线段 AB的长为 A. B. 3 C. D. 7.某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半圆），则该几何体的 表面积为（） A. 72+14 π B.72+8 π C.92+8 π D.92+14 π 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，若点 A 是抛物线 y 2=8x 的准线与 双曲线 C 的一个交点，且 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 设曲线 上任意一点处的切线为 l ，若在曲线 g （x ）=lnx （x ≥1） 上总存在 一点，使得曲线 g （x ）在该点处的切线平行于 l ，则实数 a 的取值范围为 （） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知向量 与 夹角为 60 °，| |=1，| |= ，若（ ） ，则实数 λ的值为 ． 14. 已知实数 x ，y 满足 的最小值为 ___ ． 15. 如图，正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点 M ，N 分别为棱 A 1D 1， C 1D 1的中点，过 8. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初 步健步 不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“一个人走 378 里路， 第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天才到 ) C. 24 里 D. 12 里 9. 函数 的图象大致为（ 10. C. 已知三棱锥 P-ABC 的侧棱 PA ⊥ 底面 则该三棱锥的外接球的体积为（） A. B. C. D. ） ，且 PA=2BC ， M，N，B 三点的截面与平面 BCC1B1的交线为 l，则直线 l与 AD所成角的余弦值为________________________________ ． （ 1）求证：平面 ACE ⊥平面 BDE ； （2）若 DE=3AF ，∠DAB=60°，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°，求平面 BEF 与底 面 ABCD 所成角的余弦值． 20. 已知点 在椭圆 ，过 P 的动直线 l 与圆 16. 已知函数 是三个不相等的实数， 且满足 f 17. （a ）=f （b ）=f （c ），则 abc 的取值范围为 ． 解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 己知数列 { a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 （1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）令 b n =log 2a n ，求数列 的前 n 项和 T n ． 18. 已知函数 ． （ 1）求 f （ x ）的单调递增区间． （2）在锐角 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 f （A ）=1，∠A 的 角平分线交 BC 于 D ，且 的面积． 19. 如图所示，菱形 ABCD 中， DE ⊥平面 ABCD ， AF ∥DE ． 相交于 A、 B两点， |AB|的最小值为． （ 1）求椭圆 C1 的方程； （2）设 M、N是椭圆 C1上的两个动点，且横坐标均不为 1，若直线 MN 的斜率为，试判断直线 PM 与 PN 的倾斜角是否互补？并说明理由． 2 21.已知函数 f（x）=axlnx- x2-ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值 点．（1）求 a 的取值范围； （ 2）设两个极值点分别为 x1， x2，证明：． 22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ=-2sin θ，过点 P（ a， -1）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， l 与 C 交于 M、N 两点． （1）求曲线 C的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）若 |PM |、 |MN |、 |PN |成等比数列，求 a的值． 23.已知函数． （1）若 f（1）＞2，求实数 a 的取值范围．（ 2）求证：． 第 5 页，共20 页 答案和解析 1.【答案】 D 【解析】 解：∵x2-3x+2≤0，∴（x-1）（x-2）≤0， ∴1≤ x ≤，∴2M=[1 ，2]， ∵x-a≥，0∴x≥a，∴N=[a，+∞） ∵M∩N=M，∴M?N，∴a≤1， ∴实数a 的取值范围为：（-∞，1] ． 故选：D． 解不等式简化集合A、B，由M∩N=M ，得M?N，得不等式a≤1，得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题． 2.【答案】 C 【解析】 解：若a a-b<0，则a-b与b大小关系不确定，故B 错误， 成立，故C正确， a3< b3，故D 错误， 故选：C． 根据不等式的性质分别进行判断即可． 本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键． 3.【答案】 B 【解析】 2 解：∵{a n} 为等差数列，若，为方程x2-10x+16=0 的两根，n =10，=16， ∴ = =16（a1+a2019）=10， ∴a1+a2019=2a1010 ∴a1010=，∴a2+a1010+a2018=3a1010=． 故选：B． 由韦达定理得=10，=16，从而a1+a2019=2a1010= ，进而 a1010= ，由此能求出a2+a1010+a2018． 本题考查等差数列三项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 4.【答案】 A 【解析】 解：由直线2x-y+3=0 的倾斜角为α，可得tan α=，2 22 ∴sin2 -αcos α =2sin α c-ocsoαs α =． 故选：A． 由已知条件求出α的正切值，再利用同角三角函数基本关系以及倍角公式化简求值即可． 本题考查直线斜率的意义，考查同角三角函数基本关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，是基础题． 5.【答案】 B 【解析】 解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数， 在区间［-1 ，1）上 ∴f（21）=f （1）=f （-1）=cos（- ）=0， f （f（21））=f（0）=| |= ． 故选：B． 推导出f（21）=f（1）=f（-1）=cos（- ）=0，从而f（f（21））=f （0），由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】 D 【解析】解：根据题意，圆x2+y2-12x+27=0，即（x-6）2+y2=9，圆心为（6，0），半径r=3，设N（6，0）， 从坐标原点O向圆x2+y2-12x+27=0 作两 条切线，则AB 与x轴垂直，设AB与x 轴的交点为M ，则|ON|=6，|NA|=3， 则|OA|= =3 ， 则|AM|= = ，则|AB|=2|AM|=3 ； 故选：D． 根据题意，分析圆x2+y2-12x+27=0的圆心与半径，分析易得AB与x轴垂直，设AB 与x轴的交点为M ，由勾股定理求出|OA|的值，计算可得 |AM|的值，进而分析可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题． 7.【答案】 D 【解析】解：根据三视图知该几何体是半圆柱与长方体的组合体， 下面长方体的长、宽、高分别为4、5、4；上面半圆柱的半径为2，高为5；∴几何体的表面积为：S=S半圆柱侧+S长方体侧+S长方体底+2S半圆柱底 =π× 2×5+（24×+5）× 4+4×5+π2×2 =92+14π． 故选：D． 几何体是半圆柱与长方体的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高及 半圆柱的半径和高，计算几何体的表面积即可． 本题考查了由三视图求几何体的表面积应用问题，利用三视图判断几何体的形状与数据是解题的关键． 8.【答案】 B 【解析】 解：根据题意，记该人每天走的路程里数为{a n} ，则数列{a n} 是以的为公比的等比数列， 又由这个人走了6 天后到达目的地，即S6=378，则有S6= =378， 解可得：a1=192， 2 则a3=a1×q2= =48； 故选：B． 根据题意，记该人每天走的路程里数为{a n} ，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通 项公式求得该人第五天走的路程． 本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前n项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用． 9.【答案】 A 【解析】 解：∵f（-x）= = =f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除D． f （0）= <0，排除C， 当x→+∞时，e|x|的递增速度大于x2-1的递增速度，即f（x）→+∞，排除B，故选：A． 判断的奇偶性和图象的对称性，利用f（0）的符号以及当x 趋向无穷大时，函数的极限进行判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性，函数值的符号以及极限思想进行排除是解决本题的关键． 10.【答案】 D 【解析】 【分析】 利用余弦定理求出BC，然后利用正弦定理求出△ABC 外接圆的直径 2r，再利用公式计算出该三棱锥的外接球的半径R，最后利用球体体 积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查了计算能力，属于中等题． 【解答】 解：在△ABC 中，由余弦定理得= ， 所以，△ABC 的外接圆的直径为， 由于PA⊥平面ABC ，且， 所以，三棱锥P-ABC的外接球直径为，则R=2， 因此，该三棱锥的外接球的体积为． 故选D． 11.【答案】 B 【解析】 解：抛物线y2=8x的准线的方程为x=-2， 则4- =1， ∴y= ± b， 不妨令A（-2，b）且抛物线y2=8x的准线与x轴的交点为B（-2，0），双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则c= ， 故F2 为（，0）， 则|BF2|= +2，|AB|= b， ∴tan∠AF2F1= = 整理可得b-2= ，且-2>1， 两边平方解得b=2 ± ， 当b=2 - 时，-2= （2 - ）-2=4- -2=2- <0，故应舍去， 故b=2 + ， 此时c= = = =2+ ， 故e= =2+ ， 故选：B． 根据抛物线的方程求出准线方程，可得|AB|= b，|BF2|= +2，根据 ，求出b，即可求出c，则离心率可得．本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了运算求解能力，本题的运算量特别大，属于难题． 12.【答案】 D 【解析】 解：的导数为f （′x ）=2a+ cosx， 由-1≤ cosx≤可1得2a+ cosx∈[2a- ，2a+ ] ， g（x）=lnx （x≥1）的导数为g′（x）= ，设切点为（m，lnm），可得切线的斜率为∈（0，1]，由题意可得[2a- ，2a+ ]? （0，1]，即有2a- > 0，且2a+ ≤1，解得 < a≤ ， 故选：D． 分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，结合余弦函数的值域可得直线l 的斜率范围，由题意可得直线l 斜率范围包含在g （x）的切线斜率之内，可得a的不等式组，解不等式可得a的范围． 本题考查导数的几何意义，考查余弦函数的值域的运用，以及转化思想和集合思想，考查运算能力，属于中档题． 13.【答 案】 解：∵的夹角为60°， ∴；又；∴； ∴． 故答案为：． 根据条件即可求出，再根据即可得出，进行数量积的运算即可求出λ． 考查数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件． 14.【答案】 -3 【解析】 解：作出不等式组对应的平面区域如 图： 由z=2x-y 得y=2x-z ， 平移直线y=2x-z，由图象可知当直 线y=2x-z经过点A 时，直线的截距 最大， 此时z 最小，由解得A(-2， 此时z=-4+1=-3， 故答案为：-3． 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.【答案】 【解析】 解：在平面ABCD 中，过B作BE∥AC ，交DC延长线于点E， 连结NE，交CC1于F，连结BF， 则BF就是过M，N，B 三点的截面与平面 BCC 1B 1 的交线l， 由题意得CE=DC=2NC1，∴CF=2C1F， ∵BC∥AD ，∴∠FBC 是直线l 与AD 所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD-A 1B1C1D1中棱长为3， 则BC=3 ，CF=2，BF= = ， ∴cos∠FBC= = = ∴直线l 与AD 所成角的余弦值为． 故答案为：． 在平面ABCD 中，过B 作BE∥AC，交DC延长线于点E，连结NE，交CC1于 F，连结BF，则BF就是过M，N，B三点的截面与平面BCC1B1的交线l，由题 意得CE=DC=2NC1，从而CF=2C1F，由BC∥AD，得∠FBC是直线l与AD 所 成角（或所成角的补角），由此能求出直线l与AD 所成角的余弦 值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合 思想，是中档题． 16.【答案】（ 16， 36） 【解析】 解：作出f（x）的图象如图：． 当x>4 时，由f（x）=3- =0，得=3，得x=9， 若a，b，c 互不相等，不妨设a< b< c， 则ab=4， 所以abc=4c， 因为4 所以16<4c< 36， 即16< abc< 364， 所以abc的取值范围是（16，36）． 故答案为：（16，36）． 先判断函数的性质以及图象的特点，设a 数形结合的思想去解决即可． 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题 的关键．综合考查学生的推理能力． 17.【答案】解：（ 1）∵，当 n=1 时，可求 a1=4． 由，①， 可得，②， ② -①得，即 a n+1=2a n． ∴{ a n}为以 4为首项， 2为公比的等比数列，； 2 ） ∵b n =log 2a n = =n+1， ∴T n = （1）由 ，当 n=1 时 ，可求 a 1=4，由 ，① ，得 ，② ，② -①即可求出数列 {a n }的通项公式； （2）由b n =log 2a n = =n+1，得 = ，再利用裂项求和法即 可求出数列 的前 n 项和 T n ． 本题考查数列的通 项公式和前 n 项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项 求和法的合理运用，是中档 题． 2 f （x ）=2cosxsin （ x- ）+ = sinxcosx-cos x+ = sin2x- cos2x=sin （ 2x- ），? 3 分 ∴令- +2k π≤x2- ≤+2k π，k ∈Z ，解得： - +k π≤x ≤+k π， k ∈Z ， ∴f （x ）的单调递增区间为： [- +k π， +k π，]k ∈Z ? 6 分 （2）∵f （A ）=1，即：sin （2A- ）=1， ∴2A- =2k π+， k ∈Z ， ∴A=2k π+，k ∈Z ， ∵A ∈（ 0， ）， ∴A= ，? 8分 18.【答案】 解：（ 1） ∵在 △ABD 中， ，BD=1 ， A D = ， 解 ∴sinB= ， ∵B ∈（ 0， ）， ∴B = ，? 10 分 ∴C= ，△ABC 为正三角形， ∵∠ADB= ，AB =2， ∴S △ABC = ×2 = ．? 12 分 【解析】 （1）利用三角函数恒等变换 的应用可求函数 f （x ）的方程，利用正弦函数的单 调性即可得解； （2）由sin （2A- ）=1，结 合范围 A ∈（0， ），可求A= ，在△ABD 中，利用正 弦定理可求 sinB= ，结 合范 围 B ∈（0， ），可求B= ，可得△ABC 为正三 角形，由题意可得∠ADB= ，AB=2 ，利用三角形面积公式即可 计算得解． 本题主要考 查了三角函数恒等 变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理， 三角形面 积公式的综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题． 19【. 答案】证明：（ 1）∵DE ⊥平面 ABCD ，AC?平面 ABCD ， ∴DE ⊥AC ， ∵ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， 又 BD ∩DE =D ，∴AC ⊥平面 BDE ， ∵AC? 平面 ACE ，∴平面 ACE ⊥平面 BDE ． 解：（2）取 AB 的中点 M ，连结 DM ，则 DE ⊥DM ，DE ⊥DC ， DM ⊥DC ， 以 D 为坐标原点，分别以 DM ， DC ，DE 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， ∵DE ⊥平面 ABCD ，∴∠DBE 是 BE 与平面 ABCD 所成角， ∴∠DBE=60 °，∴ = ， 设菱形 ABCD 的边长为 1，则 DE = ， AF= ， 则 A （ ， - ， 0）， F （ ，- ）， E （0，0， ），B （ ， ，0）， ∴ =（ - ， - ， ）， =（ 0， -1， ）， 设平面 BEF 的法向量 =（ x ，y ，z ）， 平面 ABCD 的法向量 =（0，0， 1）， 设平面 BEF 与底面 ABCD 所成角的平面角 则 取 z=3 ，得 =（ 5， ， 3） 为θ，则 cos θ= = ． ∴平面 BEF 与底面 ABCD 所成角的余弦值为． 【解析】 （1）推导出DE⊥AC ，AC⊥BD，从而AC ⊥平面BDE，由此能证明平面ACE⊥平面BDE ． （2）取AB 的中点M，连结DM，则DE⊥DM，DE⊥DC，DM⊥DC，以D 为坐标原点，分别以DM ，DC，DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BEF 与底面ABCD 所成角的余弦值． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20【. 答案】解：（1）当 l⊥OP 时，|AB|最小，∵，所以，， 又因为点 P 在椭圆 C1上，所以，，则， 因此，椭圆 C1 的方程为； （2）设点 M、N 的坐标分别为（ x1，y1）、（x2，y2），直线 MN 的方程为， 22 联立，得 x2+mx+m2-3=0 ， 22 △=m2-4（m2-3）> 0，得 -2< m< 2，由韦达定理得 x1+x2=- m，． 所以， = 即直线 PM 的斜率和直线 PN 的斜率互为相反数， 所以，直线 PM 和直线 PN 的倾斜角互补． 【解析】 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查了计算能力，属于中等题． （1）利用l⊥OP时，|AB|最小，得出a的值，然后再将点P的坐标代入椭圆C1 的方程可得出b的值，从而可得出椭圆C1的方程； （2）设直线MN 的方程为，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线MN 的方程与椭圆C1的方程联立，列出韦达定理，利用两点连线的斜率公式并代入韦达定理计算出直线PM和PN的斜率之和为零，来说明直线PM 和直线PN的倾斜角互补． 21.【答案】解：（ 1）由题意得， f（x）的定义域是（ 0， +∞）， f′（ x） =alnx-2x， 令 g（ x）=aln x-2x， 函数 f（ x）在定义域内有两个不同的极值点等价于 g（x）在（ 0，+∞）上 2 个零点， g′（ x）= -2= ， 当 a≤0时，在（ 0，+∞）上， g′（ x）< 0， g（x）递减，不满足题意， 当 a> 0时，在（ 0，）上， g′（ x）> 0， g（ x）递增， 在（，+∞）上， g′（ x）<0，g（x）递减， 要使 g（x）在（ 0，+∞）上 2 个零点， 只需 g（）> 0，即 aln -a> 0，解得： a>2e， 故 a 的范围是（ 2e， +∞）； （ 2）由（ 1）可知， alnx1=2x1，aln x2=2x2， 两式相减可得 a= ①， f（x1）+f（x2） = + -a（x1+x2）+2， 要证明， 只需证明 + -a（x1+x2） +2< 2- + ， 即证明 2 < a（x1+x2），②， 把①代入②整理得： ln < = -1， 令 t= > 1，即证明 lnt< t2-1， 令 h（ t） =ln t-t 2+1，则 h′（ t）= ，