解题技巧专题:二次函数图像信息题归类
◆类型一 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
1.二次函数y =ax 2+bx +c(c ≠0)的图像如图所示,a ,b ,c 的取值范围分别是( )
A .a<0,b<0,c<0
B .a<0,b>0,c<0
C .a>0,b>0,c<0
D .a>0,b<0,c<0
第1题图 第2题图 2.二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像如图所示,则点????b ,c a 在第________象限( ) A .一 B .二 C .三 D .四
3.(保定高阳县期末)已知二次函数y =ax 2+bx +c +2的图像如图所示,顶点坐标为(-1,0),下列结论:①abc <0;②b 2-4ac =0;③a >2;④4a -2b +c >0.其中正确结论的个数是( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
第3题图 第4题图 4.已知y =ax 2+bx +c 的图像如图所示,则a +b +c________0,a -b +c________0,2a +b________0.
◆类型二 利用二次函数的图像解方程或不等式
5.已知函数y =x 2-2x -2的图像如图所示,根据其中提供的信息,可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )
A .-1≤x ≤3
B .-3≤x ≤1
C .x ≥-3
D .x ≤-1或x ≥3
第5题图 第6题图 第7题图
6.已知 二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图像如图所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的解为________________.【方法13】
7.★如图是函数y =x 2+bx -1的图像,根据图像提供的信息,确定使-1≤y ≤2的自
变量x的取值范围是________________.
◆类型三根据抛物线的特征确定其他函数的图像
8.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,那么一次函数y=ax+b的图像大致是()
第8题图第10题图
9.二次函数y=ax2+b(b>0)与反比例函数y=a
x在同一坐标系中的图像可能是【方法8】
()
10.如图,一次函数y1=x的图像与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图像可能是()
参考答案与解析
1.D 2.D
3.B 解析:∵抛物线开口向上,∴a >0.∵对称轴在y 轴左边,∴b >0.∵抛物线与y 轴的交点在(0,2)上方,∴c +2>2,∴c >0,∴abc >0,∴结论①不正确;∵二次函数y =ax 2+bx +c +2的图像与x 轴只有一个交点,∴Δ=0,即b 2-4a (c +2)=0,∴b 2-4ac =8a
>0,∴结论②不正确;∵对称轴为直线x =-b 2a
=-1,∴b =2a .∵b 2-4ac =8a ,∴4a 2-4ac =8a ,∴a =c +2.∵c >0,∴a >2,∴结论③正确;∵对称轴是直线x =-1,而且当x =0时,y >2,∴x =-2时,y >2,∴4a -2b +c +2>2,∴4a -2b +c >0,∴结论④正确.综上所述,可知正确结论的个数是2个.故选B.
4.< > < 解析:当x =1时,对应抛物线上的点在x 轴的下方,故a +b +c <0;当x =-1时,对应抛物线上的点在x 轴的上方,故a -b +c >0;因为图像开口向下,所以a <0,
又因为对称轴在y 轴的左侧,所以-b 2a
<1,所以2a +b <0. 5.D
6.x 1=3,x 2=-1
7.-1≤x ≤0或2≤x ≤3 解析:∵y =x 2+bx -1经过点(3,2),∴2=9+3b -1,∴b =-2,∴y =x 2-2x -1=(x -1)2-2.当y =2时,即(x -1)2-2=2,解得x =3或x =-1.当y =-1时,即(x -1)2-2=-1,解得x =2或x =0.根据图像可得当-1≤y ≤2时,x 的取值范围是-1≤x ≤0或2≤x ≤3.
8.B 9.B
10.A 解析:∵一次函数y 1=x 的图像与二次函数y 2=ax 2+bx +c 的图像相交于P ,Q 两点,∴方程ax 2+(b -1)x +c =0有两个不相等的根,∴函数y =ax 2+(b -1)x +c 的图像与x 轴有两个交点.∵方程ax 2+(b -1)x +c =0的两个不相等的根x 1>0,x 2>0,∴x 1+x 2=-b -1a >0,∴-b -12a >0,∴函数y =ax 2+(b -1)x +c 的图像的对称轴直线x =-b -12a >0.∴选项A 符合条件.故选A.
二次函数图像和性质1 一、选择题 1.已知二次函数y =Ax 2+Bx +C 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2-4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图5,已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ,点A ,B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行,其中点A 的坐标为(0,3),则点B 的坐标为 A .(2,3) B .(3,2) C .(3,3) D .(4,3) 3.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) 4.把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 为y =x 2-3x +5,则( )A .b =3,c =7 B .b =6,c =3 C .b =-9,c =-5 D .b =-9,c =21 5.二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所 示,下列结论错误的是 A .ab <0 B .ac <0 C .当x <2时,函数值随x 的增大而增大;当x >2时,函数值随x 的增大而减小 D .二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。 6.已知函数y 1=x 2与函数y 2=- 1 2 x +3的图象大致如图,若y 1<y 2,则自变量x 的取值范围是( ). A .- 32<x <2 B .x >2或x <-3 2 C .-2<x <32 D . x <-2或x >32 7.若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,……则E (x ,122 +-x x )可以由E (x ,2 x )怎样平移得到? 8.已知抛物线2y ax bx c =++(a <0)过A (2-,0)、O (0,0)、B (3-,1y )、C (3,2y )四点,则1y 与2y 的大小关系是A .1y >2y B .1y 2y = C .1y <2y D .不能确定 9.下列函数:①3y x =-;②21y x =-;③()1 0y x x =- <;④223y x x =-++,其中y 的值随x 值增大而增大的函数有( )A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 10.设a 、b 是常数,且b >0y=ax 2+bx +a 2 -5a -6的值为( ) 11.已知函数))((3n x m x y ---=,并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 两个根,则实数b a n m ,,,的大小关系可能是 A .n b a m <<< B .b n a m <<< C .n b m a <<< D .b n m a <<< 12.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到 点B ,运动时间为t ,分别以AP 于PB 为直径 做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴,又不平行于y轴的线段最值问题 1)以此线段为斜边构造一个直角三角形,并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2)根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3)根据“上减下,右减左”分别表示出两直角边长 4)根据勾股定理表示出斜边的平方(即两直角边的平方和) 5)得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7)根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1)一般会给出一点落在抛物线上,从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形,求其周长最值 2)可先设此点坐标,点p到x轴、y轴的距离和再乘以2,即为周长 3)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1)首先判断图形中那些边是定值,哪些边是变量 2)利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边,并求其和的最小值3)周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题(这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴,四边形必有一组对边平行于坐标轴) 1)首先表示出所需的边长及高 2)利用求面积公式表示出面积 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1)分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2)再分别表示出分割后的几个规则图形面积,求和 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1)利用大减小,不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
二次函数图表信息题 一.选择题(共18小题) 1.已知二次函数y=x 2 +bx+c 的图象过点A (1,m ),B (3,m ),若点M (﹣2,y 1),N (﹣1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数y=x 2 +bx+c 的图象上,则下列结论正确的是( ) A . y 1<y 2<y 3 B . y 2<y 1<y 3 C . y 3<y 1<y 2 D . y 1<y 3<y 2 2.抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴交点为( ) A . 二个交点 B . 一个交点 C . 无交点 D . 三个交点 3.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是( ) A . B . C . D . 4.抛物线y=2x 2,y=﹣2x 2,共有的性质是( ) A . 开口向下 B . 对称轴是y 轴 C . 都有最高点 D . y 随x 的增大而增大 5.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分,对称轴是直线x=1. ①b 2>4ac ; ②4a﹣2b+c <0;③不等式ax 2+bx+c >0的解集是x≥;④若(﹣2,y 1),(5,y 2)是抛物线上的两点,则y 1<y 2.上述4个判断中,正确的是( ) A . ①② B . ①④ C . ①③④ D . ②③④ 6.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D (﹣1,2),与x 轴的一个交点A 在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①b 2﹣4ac <0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为( )
2017中考数学分类试题汇编 ?二次函数图像信息题 1.(2017?黄?石市)如图是?二次函数 的图象,对下列列结论:① ;② ;③ ,其中错误的个数是( )A .3 B .2 C .1 D .0 2.(2017年年烟台市)?二次函数的图象如图所示,对称轴是直线, 下列列结论:① ;② ;③;④ . 其中正确的是()A .①④ B .②④ C.①②③ D .①②③④ 3.(2017?甘肃省天?水市)如图是抛物线y 1=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象的?一部分,抛物线的顶点坐标是A (1,3),与x 轴的?一个交点是B (4,0),直线y 2=mx+n (m ≠0)与抛物线交于A ,B 两点,下列列结论: ①abc >0;②?方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x 轴的另?一个交点是(﹣1,0);④当1<x <4时,有y 2>y 1;⑤x (ax+b )≤a+b ,其中正确的结论是.(只填写序 号) 4.(2017乐?山市)已知?二次函数y=x 2-2 mx (m 为常数),当-1 ≤x ≤2时,函数值y 的最?小值为-2,则m 的值是 或 或 第1题图第2题图第3题图
5.(2017黔东南州)如图,抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x=﹣1,给出下列列结论:①b 2=4ac ;②abc >0;③a >c ;④4a ﹣2b+c >0,其中正确的个数有() A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.(2017年年贵州省安顺市)?二次函数y=ax 2+bx+c (≠0)的图象如图,给出下列列四个结论:①4ac ﹣b 2<0;②3b+2c <0;③4a+c <2b ;④m (am+b )+b <a (m ≠1),其中结论正确的个数是() A .1 B .2 C .3 D .4 7.(2017年年四川省?广安)如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为B (﹣1,3),与x 轴的交点A 在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,以下结论:①b 2﹣4ac=0;②a+b+c >0;③2a ﹣b=0;④c ﹣a=3其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8.(2017年年?甘肃省天?水市)如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=4cm ,∠B=30°,点P 从点B 出发,以 cm/s 的速度沿BC ?方向运动到点C 停?止,同时点Q 从点B 出发,以1cm/s 的速 度沿BA ﹣AC ?方向运动到点C 停?止,若△BPQ 的?面积为y (cm 2),运动时间为x (s ),则下列列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是( ) A . B . C . 第5 题图 第6 题图 第7 题图 D .
专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型?类型之一由系数的符号确定图象的位置 1.[2016·合肥45中月考]在二次函数y=ax2+bx+c中,a<0,b>0,c<0,则符合条件的图象是() 图1-ZT-1 2.[2018·安徽省合肥168教育集团]月考已知二次函数y=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图1-ZT-2中的() 图1-ZT-2 3.已知函数y=ax和y=a(x+m)2+n,且a>0,m<0,n<0,则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是() 图1-ZT-3 4.已知二次函数y=x2+2ax+2a2,其中a>0,则其图象不经过第________象限. ?类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 5.已知y=ax2+bx+c的图象如图1-ZT-4所示,则y=ax+b的图象一定过() 图1-ZT-4 A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 6.如果一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,那么二次函数y=ax2+bx的图象可能是()
图1-ZT-5 7.如图1-ZT-6,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为() 图1-ZT-6 图1-ZT-7 ?类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号 8.[2017·六盘水]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1-ZT-8所示,则() A.b>0,c>0 B.b>0,c<0 C.b<0,c<0 D.b<0,c>0 图1-ZT-8 9.已知抛物线y=ax2+bx+c如图1-ZT-9所示,对称轴为直线x=1,则代数式:(1)abc; (2)a+b+c;(3)a-b+c;(4)4a+2b+c中,值为正数的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 图1-ZT-9
图1 图 2 压轴题解题技巧练习 引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。 一、 动态:动点、动线 1.如图,抛物线与x 轴交于A (x 1,0)、B (x 2,0)两点,且x 1>x 2,与y 轴交于点C (0,4),其中x 1、 x 2是方程x 2-2x -8=0的两个根. (1)求这条抛物线的解析式; (2)点P 是线段AB 上的动点,过点P 作 PE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CP ,当△CPE 的面积最大时,求点P 的坐标; (3)探究:若点Q 是抛物线对称轴上的点, 是否存在这样的点Q ,使△QBC 成为等腰三 角形?若存在,请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 二、圆 2. 如图10,已知点A (3,0),以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点,与x 轴的另一个交点为B ,过B 作⊙A 的切线l. (1)以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C (0,9),求此抛物线的解析式; (2)抛物线与x 轴的另一个交点为D ,过D 作⊙A 的切线DE ,E 为切点,求此切线长; (3)点F 是切线DE 上的一个动点,当△BFD 与EAD△相似时,求出BF 的长 . 2
人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是