离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无 8.设P:他聪明,Q:他用功,命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是()
离散数学考试试题(A 卷及答案) 一、(10分)求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解:(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解 设设P :王教授是苏州人;Q :王教授是上海人;R :王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P ∧Q 乙:?Q ∧P 丙:?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P ,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。
第一章,0命题逻辑 素数 = 质数,合数有因子 和或假必真同为真 (p→q)∧(q←→r),(p∧q)∧┐r,p∧(q∧┐r)等都是合式公式,而pq→r,(p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项,则称A为0层合式 (┐p∧q)→r,(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011,其余7个赋值都是成真赋值 第二章,命题逻辑等值演算 (1)双重否定律??A?A (2)等幂律 A∧A?A ; A∨A?A (3)交换律 A∧B?B∧A ; A∨B?B∨A (4)结合律(A∧B)∧C?A∧(B∧C);(A∨B)∨C?A∨(B∨C) (5)分配律(A∧B)∨C?(A∨C)∧(B∨C);(A∨B)∧C?(A∧C)∨(B∧C) (6)德·摩根律?(A∨B)??A∧?B ;?(A∧B)??A∨?B (7)吸收律 A∨(A∧B)?A;A∧(A∨B)?A (8)零一律 A∨1?1 ; A∧0?0 (9)同一律 A∨0?A ; A∧1?A (10)排中律 A∨?A?1 (11)矛盾律 A∧?A?0 (12)蕴涵等值式 A→B??A∨B (13)假言易位 A→B??B→?A (14)等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A) (15)等价否定等值式 A?B??A??B??B??A (16)归缪式(A→B)∧(A→?B)??A
A i(i=1,2,…,s)为简单合取式,则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真,∨大假】 ∧成真小写 【例】(p→q)→(┐q→┐p) = ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→) = (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (*) = m2∨m0∨m1∨m1∨m3 = m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下: ┐p = ┐p∧(┐q∨q) = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q) 熟练之后,以上过程可不写在演算过程中。 该公式中含n=2个命题变项,它的主析取范式中含了22=4个极小项,故它为重言式, 00,01,10,11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p = (┐p∨q)∧┐p (消去→) = ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。
最新离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题:(每题2分,共10分) (1) (1) (2)对任意的命题公式,若,则 (0) (3)设是集合上的等价关系,是由诱导的上的等价关系,则. (1) (4)任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. (0) (5)设是上的关系,分别表示的对称和传递闭包,则 (0) 二、填空题:(每题2分,共10分) (1) 空集的幂集的幂集为(). (2) 写出的对偶式(). (3)设是我校本科生全体构成的集合,两位同学等价当且仅当他们在 同一个班,则等价类的个数为(),同学小王所在 的等价类为(). (4)设是上的关系,则满足下列性质的哪几条:自反的,对称的,传递的,反自反的,反对称的. () (5)写出命题公式的两种等价公式( ). 三、用命题公式符号化下列命题(1)(2)(3),用谓词公式符号化下列命题(4)(5)(6).(12分) (1)(1)仅当今晚有时间,我去看电影. (2)(2)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书. (3)你能通你能通过考试,除非你不复习. (4)(4)并非发光的都是金子. (5)(5)有些男同志,既是教练员,又是国家选手. (6)(6)有一个数比任何数都大. 四、设,给定上的两个关系和分别是 (1)(1)写出和的关系矩阵.(2)求及(12分) 五、求的主析取范式和主合取范式.(10分) 六、设是到的关系,是到的关系,证明:(8分) 七、设是一个等价关系,设对某一个,有
,证明: 也是一个等价关系.(10分) 八、(10分)用命题推理理论来论证 下述推证是否有效? 甲、乙、丙、丁四人参加比赛,如果甲获胜,则乙失败;如果丙获胜,则乙也获 胜,如果甲不获胜,则丁不失败.所以,如果丙获胜,则丁不失败. 九、(10分) 用谓词推理理论来论证下述推证. 任何人如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车,每一个人或喜欢乘汽车,或喜欢骑 自行车(可能这两种都喜欢).有的人不爱骑自行车,因而有的人不爱步行 (论 域是人). 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题. 甲、乙、丙、丁四人参加考试后,有人问他们,谁的成绩最好, 甲说:“不是我,”乙说:“是丁,”丙说:“是乙,” 丁说:“不是我.” 四人的回答只有一人符合实际,问若只有一人成绩最 好,是谁? 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题:(每题2分,共10分) (1)}}{{}{x x x -∈ ( ∨) (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) (3)设R 是集合A 上的等价关系, L 是由R A 诱导的A 上的等价关系,则 L R =. ( ∨ ) (4) 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. ( ? ) (5)设R 是A 上的关系,)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包,则 )()(R st R ts ? ( ? ) 二、填空题:(每题2分,共10分) (1) 空集的幂集的幂集为 ( }},{{φφ). (2) 写出)()(R P Q P →∧∨的对偶式( )()(R P Q P ∧?∨∧ ). (3)设A 是我校本科生全体构成的集合,两位同学等价当且仅当他们在 同一个班,则等价类的个数为(我校本科生的班级数 ),同学小王所在 的等价类为(小王所在的班的集合). (4)设},,,{},,,{><><==3121321R A 是A 上的关系,则R 满足下列性质的哪 几条:自反的,对称的,传递的,反自反的,反对称的. ( 传递的,反自反的,反对称的 ) (5)写出命题公式Q P ?的两种等价公式 ( )()()()(P Q Q P P Q Q P ∨?∧∨?→∧→). 三、用命题公式符号化下列命题(1)(2)(3),用谓词公式符号化下列命题 (4)(5)(6).(12分) (3)(1)仅当今晚有时间,我去看电影.
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项 (m) 之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为 0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为 1 的项为极小项,值为0 的项为极大项; 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法 (=>) :真值表法;分析法 (假定前键为真推出后键 为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则, T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取 ^;
3.既有存在又有全称量,先消存在量,再消全称量; 第四章集合 1.N ,表示自然数集, 1,2,3 ??,不包括 0; 2.基:集合 A 中不同元素的个数, |A|; 3.集:定集合 A,以集合 A 的所有子集元素成的集合,P(A) ; 4.若集合 A 有 n 个元素,集 P(A) 有2 n个元素, |P(A)|= 2| A| = 2 n; 5.集合的分划: (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合; ② 几个子集相交空,相并全(A); 6.集合的分划与覆盖的比: 分划:每个元素均出且出一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出,没有要求只出一次; 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,笛卡 A×B 的基数mn, A 到 B 上可以定2mn种不同的关系; 2.若集合 A 有 n 个元素, |A ×A|= n2,A 上有2n2个不同的关系; 3.全关系的性:自反性,称性,性; 空关系的性:反自反性,反称性,性;
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).
离散数学笔记(特级教师精心整理) 第一章命题逻辑 内容: 命题及命题联结词、命题公式的基本概念,真值表、基本等价式及永真蕴涵式,命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的: 1.熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2.熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3.熟练掌握(主)析/合取范式的求法及其应用。 4.熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5.熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点: 1.命题的概念及判断 2.联结词,命题的翻译 3.主析(合)取范式的求法 4.逻辑推理 教学难点: 1.主析(合)取范式的求法 2.逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A,B,…,Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i,[10],R等,例如A1:我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。R:我是一名大学生。 1.2命题联结词
(1) P↑P?﹁(P∧P)?﹁P; (2)(P↑Q)↑(P↑Q)?﹁(P↑Q)? P∧Q;(3)(P↑P)↑(Q↑Q)?﹁P↑﹁Q? P∨Q。 (1)P↓P?﹁(P∨Q)?﹁P;
(2)(P↓Q)↓(P↓Q)?﹁(P↓Q)?P∨Q; (3)(P↓P)↓(Q↓Q)?﹁P↓﹁Q?﹁(﹁P∨﹁Q)?P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式,简称公式,定义为:(1)单个命题变元是公式;(2)如果P 是公式,则﹁P是公式;(3)如果P、Q是公式,则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式;(4)当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如,下面的符号串都是公式: ((((﹁P)∧Q)→R)∨S) ((P→﹁Q)?(﹁R∧S))(﹁P∨Q)∧R 以下符号串都不是公式: ((P∨Q)?(∧Q))(∧Q) 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句,转变成数理逻辑中的符号形式,称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项: (1)确定所给句子是否为命题。 (2)句子中联结词是否为命题联结词。 (3)要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例:假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。 解:设P:上午下雨;Q:我去看电影;R:我在家里读书;S:我在家里看报。 本例可表示为:(?P→Q)∧(P→(R∨S))。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1,P2,…,P n是出现在命题公式G中的全部命题变元,指定P1,P2,…,P n的一组真值,称这组真值为G的一个解释或赋值,记作I,公式G在I下的真值记作T I(G)。 例如, 是G的一个解释,在这个解释下G的真值为1,即T I(G)=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表,称为G的真值表。 构造真值表的方法如下: (1)找出公式G中的全部命题变元,并按一定的顺序排列成P1,P2,…,P n。
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={