解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4.1柱面

1、已知柱面的准线为：

且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程

中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：02

35622=-

---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?

??==c z y x 的直线方程为： 而0M 在准线上，所以

上式中消去t 后得到：026888232

22=--+--++z y x xy z y x

此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为???=+=z

x z y x 22

2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{

}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：

而0M 在准线上，所以：

消去t ，得到：010*********=--+++z x xz z y x

此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())3

4,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)15

13,1511,152(0--M ，圆的方程为： 此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{

}1,1,1的直线方程为： 将此式代入准线方程，并消去t 得到：

此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

与

式中的v u ,为参数。

证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，S v M M =' 即v M O OM ='- 亦即v u Y =-(，v u Y +=(

此即为柱面的矢量式参数方程。

又若将上述方程用分量表达，即：

此即为柱面的坐标式参数方程。

§ 4.2锥面

1、求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程。

解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：

设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：

即：02

22=-+z y x

此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。 解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使

将它们代入准线方程，并消去t 得：

此为要求的锥面方程。

4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。

解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推） 圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1

∴与l 垂直的平面之一令为1=++z y x

平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）

222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；

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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=

解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第一章

第一章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量、OB 、 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1 .和和和和和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC , 则在?BAC 中， 2 1 AC. KL 与方向相同；在?DAC 中， 2 1 AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝ NM . 4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) AB 、; (2) AE 、; (3) 、; (4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ C

解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解

第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;

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解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

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第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3

§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：

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第三章 平 面 与 空 间 直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M CD 的（3）（ⅰ）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。

（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?

? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z .

⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x

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第三章平 §3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： (1)通过点M J QI-I)和点M2(1,—1,0)且平行于矢量｛—1,0,2｝的平面(2)通过点M^l,—5,1)和 M 2 (3,2,—2)且垂直于xoy坐标面的平面; (3)已知四点A(5,1,3) , B(1,6,2) , C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面, 并求通过直线AB且与MBC平面垂直的平面。 解：(1) M1M2 =｛_2,_2,1｝，又矢量｛—1,0,2｝平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 般方程为：4x -3y+2Z -7 =0 (2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即｛0,0,1｝与所求的平面平行，又 M 1M 2 =｛2,7,-3｝，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为: 般方程为：7(x—1)—2(y+5)=0，即7x—2y-17 = 0。 (3)( i)设平面兀通过直线AB，且平行于直线CD : AB={m,5,—1}，CD ={-1,0,2} 从而兀的参数方程为: 般方程为：10x +9y + 5z-74=0。 (ii)设平面兀'通过直线AB，且垂直于MBC所在的平面 AB ={75,-1}，ABX AC ={-4,5,-1}x{0T,1} ={4,4,4} =4{1,1,1} 均与兀’平行，所以兀’的参数式方程为: 般方程为：2X+ y -3z - 2 = 0 . 2.化一般方程为截距式与参数式: 兀:X +2y-z+4 =0. 解：兀与三个坐标轴的交点为：(—4,0,0), (0—2,0), (0,0,4)， 所以，它的截距式方程为：△+丄+2 =1 又与所给平面方程平行的矢量为：｛4, —2,0｝,

解析几何第四版吕林根课后习题答案定稿版

解析几何第四版吕林根 课后习题答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

第三章 平面与空间直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。

（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?

解析几何第四版课后答案

开封市2020高三模拟考试 理科综合应用能力测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共38题，300分。考试结束后，将答题卷交回。 可能用到的相对原子质量：H-1 He-4 C-12 N-14 O-16 Na-23 P-31 K-39 V-51 第Ⅰ卷 二、选择题：本题共8小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的的3分，有选错的得0分。 14．如图所示，在光滑的水平面上，质量m＝2 kg的物块与水平轻弹簧相连，物块在与水平方向成θ＝45°角的拉力F作用下处于静止状态，此时水平面对物块的支持力恰好为零．若重力加速度g取10 m/s2，则以下说法正确的是 A．此时轻弹簧的弹力大小为N B．当撤去拉力F 的瞬间，物块的加速度大小为，方向水平向右 C．当撤去拉力F 的瞬间，物块的加速度大小为，方向水平向左 D．若剪断弹簧，则剪断的瞬间物块的加速度为m/s2，方向斜向右上，与水平方 向成45°角 15．在我国新交通法中规定“车让人”，驾驶员驾车时应考虑到行人过马路的情况．若有一汽车以8 m/s的速度匀速行驶即将通过路口，此时正有行人在过人行横道，而汽车的前端距停车线8 m，该车减速时的加速度大小为5 m/s2．下列说法中正确的是 A．驾驶员立即刹车制动，则至少需2 s汽车才能停止 B．在距停车线7.5 m处才开始刹车制动，汽车前端恰能止于停车线处 C．若经0.25 s后才开始刹车制动，汽车前端恰能止于停车线处 D．若经0.2 s后才开始刹车制动，汽车前端恰能止于停车线处 16．2018年10月15日12时23分，我国在西昌卫星发射中心成功发射两颗中轨道卫星，它们是我国“北斗三号”系统第十五、十六颗组网卫星．已知它们的周期为8小时，若这两颗卫星的运动都可以近似的看成是匀速圆周运动，则下列判断正确的是 A．中轨道卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径 B．中轨道卫星的线速度大于地球同步卫星的线速度

解析几何第四版复习重点第二章轨迹与方程

第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程 1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 21= 。设M 的坐标),(y x 有 2222)6(2 1)3(y x y x ++=+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(22=+-y x 此轨迹为椭圆 2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动， 是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解： 如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22x y M .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得: 222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a += 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM 中 2 22()a x y AM ++=(1) 在Rt BNM 中222()a x y BM -+=.(2) 由(1)(2)两式得: 22222244 ()2()x y a x y m a +--=-. §2.2 曲面的方程 2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为a 2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则

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第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章

第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程 1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2 1 =。设M 的坐标),(y x 有 2222)6(2 1 )3(y x y x ++= +- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2 2 =+-y x 此轨迹为椭圆 2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动， 是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22 x y M .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得: 222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨 迹为2 2 2 ()x y a +=. 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2 m ,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有: 2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM 中 2 2 2 ()a x y AM ++=. (1) 在Rt BNM 中 2 22()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得: 22222244()2()x y a x y m a +--=-. 4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR 的重心H 必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct c y t =?? ?=?? 11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H

解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章

第一章矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面；（2）单位圆 （3）直线；（4）相距为2的两点 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心， 在矢量、OB、、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、DE、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中， 相等的矢量对是：图1-1 . 和 和 和 和 和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中， 2 1 AC. KL与方向相同；在?DAC 中， 2 1 AC. NM与AC方向相同，从而 KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM. 4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面 体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量： (1) 、; (2) 、; (3) 、 ; (4) AD 、; (5) BE、. [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量b a,应满足什么条件？ （1= +（2+ = + （3- = +（4+ = C

（5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, += （5）, ≥ -=- §1.3 数量乘矢量 1 试解下列各题． ⑴ 化简)()()()(→ →→→-?+--?-b a y x b a y x ． ⑵ 已知→ → → → -+=3212e e e a ，→ → → → +-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→ →+b a 23． ⑶ 从矢量方程组?????=-=+→→→→ →→b y x a y x 3243，解出矢量→x ，→y ． 解 ⑴ → →→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-?+--?-a y b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ → →→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ， → →→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， → →→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→ BD 的中点分别为E 、F ，求→ EF ． 解 →→→→ →→→→→→→ -+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(2 1)865(212121． 3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 4 在四边形ABCD 中，→ → → +=b a AB 2，→ → → --=b a BC 4，→ → → --=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．

解析几何答案-第二章

第2章 曲面与空间曲线的方程 §2.1 曲面的方程 1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则z C z y x M =?∈),,( 亦即z z y x =++-222)4( )4(2-∴x 2（1（2（3（4解：（1常数为m ),,(z y x ，,,(z y x M 亦即(x -（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C z y x M 2)()(),,(222222=++++++-?∈ 亦即222222)(2)(z y c x a z y c x +++-=++- 两边平方且整理后，得：)()(2 222222222c a a z a y a x c a -=++- （1） 222c a b c a -=∴>令 从而（1）为2 2222222b a z a y a x b =++

即：22222222b a z a y a x b =++ 由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-?∈ 类似于（2），上式经同解变形为：122 2222=--c z b y a x 其中 )(222a c a c b >-= （*） （* （4m 。 设动点M （*） （*2、 （1）中心（2（3（4解：（136)3()1()2(222=-+++-z y x （2）由已知，球面半径73)2(6222=+-+= R 所以类似上题，得球面方程为 49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 35,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ，球的半径21)35()31()24(2 1222=++++-=R ，所以球面方程为：

解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题详解

第一章 矢量与坐标 §1、3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5,→→→+-=b a BC 82,)(3→ →→-=b a CD ,证明:A 、B 、D 三点共线. 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线,又∵B 为公共点,从而A 、B 、D 三点共线. 6、 设L 、M 、N 分别就是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明:三中线矢量AL , BM , 可 以构成一个三角形、 证明: )(2 1AC AB AL +=Θ )(2 1+= )(2 1CB CA CN += 0)(2 1=+++++=++∴ 7、、设L 、M 、N 就是△ABC 的三边的中点,O 就是任意一点,证明 ++=OL +OM +ON 、 [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知:0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量BM ,,构成一个三角形。 8、、如图1-5,设M 就是平行四边形ABCD 的中心,O 就是任意一点,证明 OA +OB ++OD ＝4OM 、 [证明]:因为OM ＝ 2 1(OA +), OM ＝2 1(OB +), 所以 2OM ＝ 2 1(OA +OB +OC +) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM 、 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度与的一半 . 图1-5

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章 平面与空间直线 § 3.1 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和 一般方程： （1）通过点)1,1,3(1 -M 和点) 0,1,1(2 -M 且平行 于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 ) 1,5,1(1-M 和) 2,2,3(2 -M 且垂直于xoy 坐 标面的平面； （3）已知四点 ) 3,1,5(A ， ) 2,6,1(B ， )4,0,5(C ) 6,0,4(D 。求通过直线AB 且 平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） Θ } 1,2,2{21--=M M ，又矢量} 2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x

?? ? ??+-=++=+-=v u z v u y v u x 35145 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π. 解： π 与三个坐标轴的交点为： ) 4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为： } 4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： ?? ? ??=-=++-=v z u y v u x 24 3.证明矢量 } ,,{Z Y X =平行与平面 =+++D Cz By Ax 的充要条件为： =++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： ??? ? ??? ==---=v z u y v A C u A B A D x