电磁学课后习题答案
第五章 静 电 场
5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为
2
204π1L r Q
εE -=
(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为
2204π21L
r r Q
εE +=
若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为
r r q εe E 2
0d π41d '=
整个带电体在点P 的电场强度
?=E E d
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，
?=L
E i E d
(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是
??==L
y E αE j j E d sin d
证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202，
利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则
()220
022
204π12/12/1π4d π41L r Q
εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=?
电场强度的方向沿x 轴.
(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为
E r εq
αE L d π4d sin 2
?
'=
利用几何关系 sin α＝r /r ′，2
2
x r r +=' 统一积分变量，则
()
2
2
03
/2222
2041π2d π41L
r r
εQ
r
x L x
rQ εE L/-L/+=
+=?
当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
r
ελL r L Q r εE l 02
20π2 /41/π21lim
=
+=∞
→
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.
分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即?
?=S
S d s E Φ
方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
∑?==
?0d 0
q εS
S E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而
??'
?-=?=S S
S E S E Φd d
解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
??'
?-=?=S S
S E S E Φd d
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，
E R πR E 22πcos π=??-=Φ
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=
r θθR e S d d sin d 2=
E
R θθER θθER S
S
2π
π
2
222πd
sin d sin d
d sin sin d ===?=????S E Φ
5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
()()
R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0
k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.
分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，
在球面上电场强
度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2
S π4d r E ?=??
S E
根据高斯定理?
?
=
?V ρεd 1
d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''?=d π4d 2
，每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场
r
r
εq
e E 20π4d d =
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
()()()()R r r r R
r
>=≤≤=??
d R r 0
d 0
E E E E
解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理
?
?=
?V ρεd 1
d 0S E 得球体内(0≤r ≤R ) ()4
20
2
πd π41
π4r εk r r kr εr r E r
=
=
?
()r εkr r e E 0
2
4=
球体外(r ＞R )
()4
20
2πd π41π4r εk r r kr εr r E R
=
=
?
()r εkR r e E 0
2
4=
解2 将带电球分割成球壳，球壳带电
r r r k V ρq '''==d π4d d 2
由上述分析，球体内(0≤r ≤R )
()r r r
εkr r r r r k εr e e E 02
2200
4d π4π41=''?'=? 球体外(r ＞R )
()r r R
r εkR r r r πr k πεr e e E 2
02
220
04d 441=''?'=?
5 －20 一个内外半径分别为R 1 和R 2 的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为R 3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.
分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而
2
4d r
πE ?=?S E .在确定高斯面内的电荷
∑q 后，利用高斯定理∑?=0
/d ε
q S E 即可
求出电场强度的分布.
解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析
∑=?02/π4εq r E
r ＜R 1 ，该高斯面内无电荷，0=∑q ，故01=E R 1 ＜r ＜R 2 ，高斯面内电荷()
3
1323
131R R R r Q q --=∑ 故 ()()
2
313
203
1312π4r R R εR r Q E --= R 2 ＜r ＜R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ，故
2
01
3π4r εQ E =
r ＞R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ＋Q 2 ，故
2
02
14π4r εQ Q E +=
电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B )所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R 3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量
230234π4Δεσ
R εQ E E E ==
-=
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.
5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 ＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞R 2 .
分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且?
?=rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面内的电荷
∑q .即可解得各区域电场的分布.
解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理
∑=?0/π2εq rL E
r ＜R 1 ，
0=∑q
01=E
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R 1 ＜r ＜R 2 ，
L λq =∑
r
ελ
E 02π2=
r ＞R 2，
0=∑q
03=E
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变
00π2π2Δεσ
rL εL λr ελE ===
这与5 －20 题分析讨论的结果一致.
5 －22 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.
分析 由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为
l E d 0
2?∞
=Q W
其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有
()0202V Q V V Q W =-=∞
其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零
()02π4π42
03
12021
=+d
εQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 4
14132-=-=
由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为
(
)
2
/322
031π2y
d εQ E E E y
y y +=
+=
将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为
()
d
εQ y y d εQ Q Q W y 02
2
/32
200
2π8d π241d =+????
???--=?-='?
?∞
∞l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 4
12-=，并由电势
的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势
d
εQ
d εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=
将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功
d
εQ V Q W 02
02π8=
-=' 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
r r
ελ
e E 0π2=
为电荷线密度.(1)求在r ＝r 1 和r ＝r 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明. 解 (1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有
1
2012ln π2d 2
1
r r ελU r r =
?=?r E (2) 不能.严格地讲，电场强度r e r
ελ
E 0π2=
只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r →∞处的电势应与直线上的电势相等.
5 －27 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？
分析 通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由?
∞
?=
p
p V l E d 可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.
一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为
r
εQ
V 0π4=
在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势
R
εQ
V 0π4=
其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.
解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布
()()()22
02
13212
01
211
π4
π4
0R r r εQ Q R r R r εQ R r r r >+=
<<=<=e E e E E 由电势?
∞
?=
r
V l E d 可求得各区域的电势分布.
当r ≤R 1 时，有
202101202
121
13211π4π4π411π40d d d 2
2
1
1R εQ R εQ R εQ Q R R εQ V R R R R r
+
=++??????-+
=?+?+?=???∞
l
E l E l E
当R 1 ≤r ≤R 2 时，有
20201202120
1322π4π4π411π4d d 2
2
R εQ r εQ R εQ Q R r εQ V R R r
+
=++?????
?-=?+?=??∞
l
E l E
当r ≥R 2 时，有
r
εQ Q V r
02
133π4d +=
?=?∞
l E
(2) 两个球面间的电势差
????
??-=
?=?21
0121211π4d 2
1
R R εQ U R R l E 解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r ≤R 1 ，则
2
02
1011π4π4R εQ R εQ V +=
若该点位于两个球面之间，即R 1 ≤r ≤R 2 ，则
2
02
012π4π4R εQ r εQ V +=
若该点位于两个球面之外，即r ≥R 2 ，则
r
εQ Q V 02
13π4+=
(2) 两个球面间的电势差
()2
01
1012112π4π42R εQ R εQ V V U R r -=
-==
第六章 静电场中的导体与电介质
6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）
（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定
分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d
εq
V E 0π4,0=
= （B ）d
εq
V d εq E 020π4,π4==
（C ）0,0==V E （D ）R
εq
V d εq E 02
0π4,π4==
分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q在导
体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零，O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势。因而正确答案为（A）。
6 －4根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( )
（A）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷
（B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷
（D）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关
（E）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关
分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面
内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E）。
6－5对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（）
（A）电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（B）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（C）在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（D）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍
分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S有
()∑??=?=?+i
i S S ε
χq 0
1
d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）。
6 －8 一导体球半径为R １ ，外罩一半径为R 2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V ０ ．求此系统的电势和电场的分布． 分析 若2
00π4R εQ
V =
，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度
处处为零，内球不带电．
若2
00π4R εQ
V ≠
，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带
电．一般情况下，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由?
∞
?=
p
p V l E d 或电势叠加求出电势的
分布．最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q 、R １、R 2表示．
解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑?
?
=?=?0
2/π4d ε
q r E r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各
区域内的电场分布为 r ＜R １时， ()01=r E R １＜r ＜R 2 时，()202π4r εq
r E =
r ＞R 2 时， ()2
02π4r εq
Q r E +=
由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．
r ＜R １时，
2
0103211π4π4d d d d 2
2
1
1R εQ
R εq V R R R R r
r
+=
?+?+?=?=????∞
∞
l E l E l E l E
R １＜r ＜R 2 时，
2
00322π4π4d d d 2
2
R εQ
r εq V R R r
r
+=
?+?=?=???∞
∞
l E l E l E r ＞R 2 时，
r
εQ
q V r
03π4d +=
?=?∞
l E 3 也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r ＜R １）
2
0101π4π4R εQ
R εq V +=
在导体球和球壳之间（R １＜r ＜R 2 ）
2
002π4π4R εQ
r εq V +=
在球壳外（r ＞R 2）
r
εQ
q V 03π4+=
由题意
1
02001π4π4R εQ
R εq V V +=
=
得
1
02001π4π4R εQ
R εq V V +=
=
代入电场、电势的分布得 r ＜R １时，
01=E ；01V V =
R １＜r ＜R 2 时，
2
2012012π4r R εQ R r V R E -=
；r R εQ
R r r V R V 201012
π4)(--= r ＞R 2 时，
220122013π4)(r R εQ R R r V R E --=
；r
R εQ
R R r V R V 2012013π4)(--= 6 －12 如图所示球形金属腔带电量为Q ＞0，内半径为ɑ，外半径为b ，腔内距球心O 为r 处有一点电荷q ，求球心的电势．
分析 导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷－q ，外表面感应电荷q ；内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布．球心O 点的电势由点电荷q 、导体表面的感应电荷共同决定．在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势
R
εq
V 0π4d d =
由于R 为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R 的带电球面在球心产生的电势为
R εq
R εq V s 0
0π4π4d ==??
由电势的叠加可以求得球心的电势．
解 导体球内表面感应电荷－q ，外表面感应电荷q ；依照分析，球心的电势 为
b
εQ q a εq r εq V 000π4π4π4++-=
第七章 恒定磁场
7 －2 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（ ）
（A ）B r 2π2 （B ） B r 2π （C ）αB r cos π22
（D ） αB r cos π2
分析与解 作半径为r 的圆S ′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S ′的磁通量；
S B ?=m Φ．因而正确答案为（D ）．
7 －3 下列说法正确的是（ ）
（A ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零
（D ） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零。因而正确答案为（B ）．
7 －4 在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P 1 、P 2 为两圆形回路上的对应点，则（ ） （A ） ?
??=?2
1
L L d d l B l B ，21P P B B =
（B ） ?
??≠?2
1
L L d d l B l B ，21P P B B =
（C ） ?
?
?=?2
1
L L d d l B l B ，21P P B B ≠
（D ） ?
??≠?2
1
L L d d l B l B ，21P P B B ≠
分析与解 由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C ）．
7 －10 如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接。求环心O 的磁感强度．
分析 根据叠加原理，点O 的磁感强度可视作由ef 、b e 、fa 三段直线以及ac b 、a d b 两段圆弧电流共同激发．由于电源距环较远，0=ef B ．而b e 、fa 两段直线的延长线通过点O ，由于0Idl r ?=，由毕－萨定律知0be fa ==B B ．流过圆弧的电流I 1 、I 2的方向如图所示，两圆弧在点O 激发的磁场分别为
21101π4r l I μB =
,2
2
202π4r
l I μB = 其中I 1 、I 2 分别是圆弧ac b 、a d b 的弧长，由于导线电阻R 与弧长l 成正比，而圆弧ac b 、a d b 又构成并联电路，故有
2211l I l I =
将B1 、B2 叠加可得点O 的磁感强度B ．
解 由上述分析可知，点O 的合磁感强度
0π4π42
2
20211021=-=
-=r
l I μr l I μB B B 7 －11 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感强度各为多少？
分析 应用磁场叠加原理求解．将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O 处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度∑=
i
B B 0
解 （ａ） 长直电流对点O 而言，有0=?r l Id ，因此它在点O 产生的磁场为零，则点O 处总的磁感强度为1/4 圆弧电流所激发，故有
R
I
μB 800=
B 0 的方向垂直纸面向外．
（ｂ） 将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得
R
I
μR I μB π22000-
=
B 0 的方向垂直纸面向里．
（c ） 将载流导线看作1/2 圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得
R
I
μR I μR I μR I μR I μB 4π24π4π4000000+=++=
B 0 的方向垂直纸面向外．
7 －15 如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量．
分析 由于矩形平面上各点的磁感强度不同，故磁通量Φ≠BS ．为此，可在矩形平面上取一矩形面元d S ＝l d x ［图（ｂ）］，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为
x l x
l
μΦd π2d d 0=
?=S B 矩形平面的总磁通量
ΦΦ?=d
解 由上述分析可得矩形平面的总磁通量
?
==2
1
1
200ln π2d π2d d d d Il μx l x l μΦ 7 －17 有一同轴电缆，其尺寸如图（ａ）所示．两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑．试计算以下各处的磁感强度：（1） r ＜R 1 ；（2） R 1 ＜r ＜R 2 ；（3） R 2 ＜r ＜R 3 ；（4） r ＞R 3 ．画出B －r 图线．
分析 同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为r 的同心圆为积分路径，
πr 2d ?=??B l B ，利用安培环路定理∑?=?I μ0
d l B ，可解得各区域的磁感强度．
解 由上述分析得 r ＜R 1
2
2
1
1ππ12πr R μr B =? 2
1012πR Ir
μB =
R 1 ＜r ＜R 2
I μr B 022π=?
r
I
μB 2π02=
R 2 ＜r ＜R 3
()()??
?
???---=?I R R R r I μr B 2
2232203ππ2π 2
2
232
23032πR R r R r I μB --= r ＞R 3
()02π04=-=?I I μr B
04=B
磁感强度B （r ）的分布曲线如图（ｂ）．
7 －29 如图（ａ）所示，一根长直导线载有电流I 1 ＝30 A ，矩形回路载有电流I 2 ＝20 A ．试计算作用在回路上的合力．已知d ＝1.0 cm ，b ＝8.0 cm ，l ＝0.12 m ．
分析 矩形上、下两段导线受安培力F 1 和F 2 的大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零．而矩形的左右两段导线，由于载流导线所在处磁感强度不等，所受安培力F 3 和F 4 大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力． 解 由分析可知，线框所受总的安培力F 为左、右两边安培力F 3 和F 4 之矢量和，如图（ｂ）所示，它们的大小分别为
d
l
I I μF π22103=
()
b d l
I I μF +=
π22104
故合力的大小为
()
N 1028.1π2π2321021043-?=+-=
-=b d l
I I μd l I I μF F F 合力的方向朝左，指向直导线．
第八章 电磁感应 电磁场
8 －1 一根无限长平行直导线载有电流I ，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图所示），则（ ） （A ） 线圈中无感应电流
（B ） 线圈中感应电流为顺时针方向 （C ） 线圈中感应电流为逆时针方向
大学物理电磁学考试试题及答案
大学电磁学习题1 一.选择题(每题3分) 1、如图所示,半径为R 的均匀带电球面,总电荷为Q ,设无穷远处的电势 为零,则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小与电势为: (A) E =0,R Q U 04επ= . (B) E =0,r Q U 04επ=. (C) 204r Q E επ=,r Q U 04επ= . (D) 204r Q E επ=,R Q U 04επ=. ［ ］ 2、一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O + 2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的: (A) 2倍. (B) 22倍. (C) 4倍. (D) 42倍. ［ ］ 3、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ,S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ,则通过半球面S 的磁通量(取弯面 向外为正)为 (A) πr 2B . 、 (B) 2 πr 2B . (C) -πr 2B sin α. (D) -πr 2B cos α. ［ ］ 4、一个通有电流I 的导体,厚度为D ,横截面积为S ,放置在磁感强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导体的侧表面,如图所示.现测得导体上下两面电势差为V ,则此导体的 霍尔系数等于 (A) IB VDS . (B) DS IBV . (C) IBD VS . (D) BD IVS . (E) IB VD . ［ ］ 5、两根无限长载流直导线相互正交放置,如图所示.I 1沿y 轴的正方向,I 2沿z 轴负方向.若载流I 1的导线不能动,载流I 2的导线可以 自由运动,则载流I 2的导线开始运动的趋势就是 (A) 绕x 轴转动. (B) 沿x 方向平动. (C) 绕y 轴转动. (D) 无法判断. ［ ］ y z x I 1 I 2
大学物理电磁学练习题及答案
大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理.
电磁学课后习题答案
第五章 静 电 场 5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d
证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202， 利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +=' 统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
电磁学试题库------试题2及答案
一、填空题（每小题2分，共20分） 1、 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为η，则离这带电线的距离分别为1r 和2r 的两点之间的电势差是（ ）。 2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷， 如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的 场强（ ）。 3、在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势（ ）。 4、有三个一段含源电路如图所示， 在图（a ）中 AB U =( )。 在图（b ）中 AB U =( )。 在图（C ）中 AB U =( )。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、在磁感应强度为B 的水平方向均匀磁场中，一段质量为ｍ，长为Ｌ的载流直导线沿 竖直方向从静止自由滑落，其所载电流为Ｉ，滑动中导线与B 正交，且保持水平。则导线 下落的速度是（ ） 7、一金属细棒OA 长为L ，与竖直轴OZ 的夹角为θ，放在磁感 应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向如图所示，细棒以角速度ω 绕OZ 轴转动（与OZ 轴的夹角不变 ），O 、A 两端间的电势差 （ ）。 8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S 为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。 9、 B H r μμ= 01 只适用于（ ）介质。 10、三种理想元件电压电流关系的复数形式为（ ）， （ ）， （ ）。 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、在用试探电荷检测电场时，电场强度的定义为：0q F E = 则（ ） （A ）E 与q o 成反比 B ) (a A 2 R R r B ) (c A B r ()b R I O A
电磁学题库(附答案)剖析
《电磁学》练习题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ 2. 一带有电荷q ＝3×10- 9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10- 5 J ，粒子动能的增量为4.5×10- 5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10- 12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10- 6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2N -1m -2 ) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在 此区域有一静电场，场强为j i E 300200+= .试求穿过各面的电通量． E q L q P
磁学练习题
______和______(线圈和磁极) 1．【2017?泰安卷】如图是我国早期的指南针﹣﹣司南，它是把天然磁石磨成勺子的形状，放在水平光滑的“地盘”上制成的．东汉学者王充在《论衡》中记载：“司南之杓，投之于地，其柢指南”．“柢”指的是司南长柄，下列说法中正确的是（） ①司南指南北是由于它受到地磁场的作用 ②司南长柄指的是地磁场的北极 ③地磁场的南极在地球地理的南极附近 ④司南长柄一端是磁石的北极． A．只有①②正确 B．只有①④正确 C．只有②③正确 D．只有③④正确 图K27－6 7．如图K27－7所示，开关闭合，小磁铁处于静止状态后，把滑动变阻器的滑片P缓慢向右移动，此时悬挂的小磁铁的运动情况是( ) 图K27－7 A．向下移动B．向上移动 C．静止不动D．无法确定 5.（2015湖南长沙，第25题）法国科学家阿尔贝?费尔和德国科学家彼得?格林贝格尔由于巨磁电阻（GMR）效应而荣获2007年诺贝尔物理学奖。如图是研究巨磁电阻特性的原理示意图。实验发现，在闭合开关S1、S2且滑片 P向右滑动的过程中，指示灯明显变暗，这说明（）
A、电磁铁的左端为N极。 B、流过灯泡的电流增大。 C、巨磁电阻的阻值随磁场的减弱而明显减小。 D、巨磁电阻的阻值与磁场的强弱没有关系。 6.（2015浙江嘉兴，第14题）爱因斯坦曾说,在一个现代的物理学家看来,磁场和他坐的椅子一样实在。下图所表示的磁场与实际不相符的是( ) 16.（2015四川遂宁，第9题）如图所示，A是悬挂在弹簧测力计下的条形磁铁，B是螺线管。闭合开关，待弹簧测力计示数稳定后，将滑动变阻器的滑片缓慢向右移动的过程中，下列说法正确的是( ) A．电压表示数变大，电流表示数也变大 B．电压表示数变小，电流表示数也变小 C．螺线管上端是N极，弹簧测力计示数变小 D．螺线管上端是S极，弹簧测力计示数变大 34.（2015山东烟台，第6题）如图4是一种水位自动报警器的原理示意图，当水位升高到金属块A处时（） 图4 A．红灯亮，绿灯灭 B．红灯灭，绿灯亮 C．红灯亮，绿灯亮 D．红灯灭，绿灯灭 23.【湖北省荆门市2015年初中毕业生学业水平考试】如图所示，闭合开关S，弹簧测力计
电磁学试题(含答案)
一、单选题 1、如果通过闭合面S的电通量 e 为零，则可以肯定 A、面S内没有电荷 B 、面S内没有净电荷 C、面S上每一点的场强都等于零 D 、面S上每一点的场强都不等于零 2、下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低B、沿电场线方向电势逐渐升高 C、沿电场线方向场强逐渐减小 D、沿电场线方向场强逐渐增大 3、载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向v 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B、有逆时针方向的感应电 C、没有感应电流 D、条件不足，无法判断 4、两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为和， 则 P 点处的场强为 A、 B 、 C 、2 D、 0 P 2000 5、一束粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 12 A、曲线 1 B、曲线 23 C、曲线 3 D、无法判断 6、一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止B、顺时针转动C、逆时针转动D、条件不足，无法判断 7q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 、点电荷 A 、0 B 、q q D 、 q C、 6 0400 8、长直导线通有电流I 3 A ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所I 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动B、线圈向右运动 C、线圈向上运动 D、线圈向下运动 9、关于真空中静电场的高斯定理 E dS q i，下述说法正确的是： S0 A.该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B.q i是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的 E 一定是电荷q i激发的；
电磁场理论习题及答案1
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁学练习题 8-1 在下列三种情况下，线圈内是否产生感应电动势？若产生感应电动势，其方向如何？ (1)一根无限长载流直导线与一环形导线的直径重合，如图（a ）所示．若直导线与环形导线绝缘，且后者以前者为轴而转动． （2）A 、B 两个环形导线，如图(b)所示B 环固定并通有电流I ，A 环可绕通过环的中心的竖直轴转动．开始时，两环面相互垂直，然后A 环以逆时针方向转到两环面相互重叠的位置． （3）矩形金属线框ABCD 在长直线电流I 的磁场中，以AB 边为轴，按图（C ）中所示的方向转过1800。 答：（1）通电直导线的B 线为圆心在导线上并垂直于导线的同心圆，环形导线以导线为轴转动时，穿过它的B 通量始终不变，故环形导线内无感应电动势产生． （2）B 环电流产生的B 线类似条形磁铁B 线的分布：两侧B 分布不均匀．A 环绕B 环轴转动时，穿过它的B 通量不断变化，故A 环中有感应电动势产生． （3）长通电直导线外B 分布不均匀，线圈ABCD 以AB 为轴转过180o ，穿过它的B 通量不断变化，故ABCD 中有感应电动势产生． 8-2 将磁铁插入闭合线圈，一次是迅速地插入，另一次是缓慢地插入，问： （1）两次插人线圈，线圈中的感应电荷是否相同？ （2）两次插人线圈，手推磁铁之力（反抗电磁力）所作的功是否相同？ 解： ，故 无论是迅速插入，还是缓慢插入，因为线圈匝数N 、线圈导线总电阻R 和前后穿过线圈磁通量的改变量?Φ都相同，所以两次线圈中的感应电荷量相同． （2）线圈中产生感应电流，手推磁铁之力所作的功转换为电能W E ，由于 ，与磁通量变化率成正比，故快速插人时手推磁铁之力所作功大一些． 8—3 有一无限长螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈、半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dl ／dt ，求小线圈中的感应电动势． 解：长螺线管内nI B 0μ= 一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 内没有电荷 B 、面S 内没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说法正确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ - P 3 I . 电磁学试题库 试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、带电粒子受到加速电压作用后速度增大，把静止状态下的电子加速到光速需要电压是（ ）。 2、一无限长均匀带电直线（线电荷密度为λ）与另一长为L ，线电荷密度为η的均匀带电直线AB 共面，且互相垂直，设A 端到无限长均匀带电线的距离为a ，带电线AB 所受的静电力为（ ）。 3、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势（ 4、两个同心的导体薄球壳，半径分别为b a r r 和,其间充满电阻率为ρ的均匀介质（1）两球壳之间的电阻（ ）。（2）若两球壳之间的电压是U ，其电流密度（ ）。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中，磁场方向与回路平 面垂直，如图所示，回路的一条边ab 可以在另外的两条边上滑 动，在滑动过程中，保持良好的电接触，若可动边的长度为L ， 滑动速度为V ，则回路中的感应电动势大小（ ），方向（ ）。 7、一个同轴圆柱形电容器，半径为a 和b ，长度为L ，假定两板间的电压 t U u m ω=sin ,且电场随半径的变化与静电的情况相同，则通过半径为r （a 第五章 静 电 场 5 －9若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2)在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2 204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 20d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1)若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2)若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d 证 (1)延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202， 利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +='统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 一、选择题 1、在磁感强度为的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2B cos α． ［ D ］ 2、电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流为I ， ．若载流长直导线1、2以及圆环中的电流在圆心O 点所产生的磁感强度分别用1B 、2B , 3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B ) B = 0，因为021=+B B ，B 3 = 0． (C ) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D ) B ≠ 0，因为虽然B 1 = B 3 = 0，但B 2≠ 0． (E ) B ≠ 0，因为虽然B 2 = B 3 = 0，但B 1≠ 0． ［ D ］ 3、边长为L 的一个导体方框上通有电流I ，则此框中心的磁感强度 (A) 与L 无关． (B) 正比于L 2． (C) 与L 成正比． (D) 与L 成反比． (E) 与I 2有关． ［ D ］ 4、无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流．设圆柱体内( r < R )的磁感强度为B i ，圆柱体外( r > R )的磁感强度为B e ，则有 (A) B i 、B e 均与r 成正比． (B) B i 、B e 均与r 成反比． (C) B i 与r 成反比，B e 与r 成正比． (D) B i 与r 成正比，B e 与r 成反比． ［ D ］ 5、如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知 1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ，坐标为()c b a ,,，写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。 解：画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,，则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,? ，由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量 为 ()()()[] 2 3 2 2204c z b y a x a x Q E x -+-+--?=πε ()()() []2 3 2 2 2 04c z b y a x b y Q E y -+-+--? = πε () ()() [] 2 3 2 2 2 4c z b y a x c z Q E z -+-+--? = πε 该场强的方向沿r ? 方向：()()()k c z j b y i a x r )))?-+-+-=。 在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。 2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ? ?=，P 点到偶极子中心的距离为r ， r ?与l ? 的夹角为θ，在l r >>时，求P 点的电场强度E ?在P O r ρ?=方 向的分量r E 和垂直于r ? 方向的分量θE 。 解：在极坐标系下，设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ?，-r ?，它们与r ?的夹角分别为α和β，由点电荷的场强公式有 2041 ++?=r q E πε，2041- -?=r q E πε， -++=E E E ? ?? 在极坐标下，E ? 可以分解为： βαcos cos -+-=E E E r ， βαθsin sin -++=E E E 其中，+-=r l r θαcos 2cos ，-+=r l r θβcos 2cos ， +=r l θ αsin 2sin ， -=r l θβsin 2sin 又因为l r >>，在此近似下有 2r r r ≈?-+，r r r 2≈+-+，θcos l r r ≈-+-， 带入以上各式，化简得 3 0cos 241 r P E r θπε?=，30sin 41r P E θ πεθ?=。 此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。 以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,，由点电荷的电势叠加可得： ()???? ? ? ? ?????? ? ++??? ??+-+ ++??? ??-?=+=-+222 2 220 2241z y l x q z y l x q U U P U πε 一、选择题：（每题3分） 1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2 r 2B ． (B) r 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］ 2、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为 ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) r 2B ． (B) 2 r 2B ． (C) - r 2B sin ． (D) - r 2B cos ． ［ D ］ 3、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 (A) 0.90． (B) 1.00． (C) 1.11． (D) 1.22． ［ C ］ 4、如图所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度 (A) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内． (B) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外． (C) 方向在环形分路所在平面，且指向b ． (D) 方向在环形分路所在平面内，且指向a ． (E) 为零． ［ E ］ 5、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状， 则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． ［ D ］ 6、边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方 形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为 (A) 01 B ，02 B ． (B) 01 B ，l I B 0222 ． (C) l I B 0122 ，02 B ． a 高中物理典型例题集锦 (电磁学部分) 25、如图22-1所示，A、B为平行金属板，两板相距为d，分别与电源两极相连，两板的中央各有小孔M、N。今有一 带电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由 下落(P、M、N三点在同一竖直线上)，空气阻力不 计，到达N点时速度恰好为零，然后按原路径返回。 若保持两板间的电压不变，则： 图 A.若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。 B.若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。 C.若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过N孔继续下落。 D.若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过N孔继续下落。 分析与解：当开关S一直闭合时，A、B两板间的电压保持不变，当带电质点从M向N运动时，要克服电场力做功，W=qU AB，由题设条件知：带电质点由P到N的运动过程中，重力做的功与质点克服电场力做的功相等，即：mg2d=qU AB 若把A板向上平移一小段距离，因U AB保持不变，上述等式仍成立，故沿原路返回，应选A。 若把B板下移一小段距离，因U AB保持不变，质点克服电场力做功不变，而重力做功增加，所以它将一直下落，应选D。 由上述分析可知：选项A和D是正确的。 想一想：在上题中若断开开关S后，再移动金属板，则问题又如何(选A、B)。 26、两平行金属板相距为d，加上如图23-1(b)所示的方波形电压，电压的最大值为U0，周期为 T。现有一离子束，其中每个 离子的质量为m，电量为q， 从与两板等距处沿着与板平 行的方向连续地射入两板间的电场中。设离子通过平行板所需的时间恰为 T(与电压变化周期相同)，且所有离子都能通过两板间的空间打在右端的荧光屏上。试求：离子击中荧光屏上的位置的范围。(也就是与O‘点的最大距离与最小距离)。重力忽略不计。 分析与解： 各个离子在电场中运动时，其水平分运动都是匀速直线运动，而经过电场所需时间都是T，但不同的离子进入电场的时刻不同，由于 高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选 项正确. 1 ?如图3-1所示，有一金属箔验电器，起初金属箔闭合，当带正电的棒靠近 验电器上部的金属板时，金属箔张开.在这个状态下，用手指接触验电器的金属板，金属箔闭合，问当手指从金属板上离开，然后使棒也远离验电器，金属箔的状态如何变化？从图3-1的①?④四个选项中选取一个正确的答案. [ ] 图3-1 A.图① E.图② C.图③ D.图④ 2.下列关于静电场的说法中正确的是[ ] A.在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点，但有电势相等的两点 E.正电荷只在电场力作用下，一定从高电势向低电势运动 C.场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强不一定为零 D.初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3 .在静电场中，带电量大小为q的带电粒子（不计重力），仅在电场力的作用下，先后飞过相距为d的a、b两点，动能增加了ΔE,则 [ ] A.a点的电势一定高于b点的电势 E.带电粒子的电势能一定减少 C.电场强度一定等于ΔE∕dq D.a、b两点间的电势差大小一定等于ΔE∕q 4. 将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放（小球放在光 滑绝缘的水平面上），它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中[ ] A.它们的相互作用力不断减少 E.它们的加速度之比不断减小 C.它们的动量之和不断增加 D.它们的动能之和不断增加 5. 如图3-2所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上 的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说法正确的是[ ] 图3-2 A.它们所需要的向心力不相等 E.它们做圆周运动的角速度相等 C.它们的线速度与其质量成反比 D.它们的运动半径与电荷量成反比 6 ?如图3-3所示，水平固定的小圆盘A,带电量为Q,电势为零，从盘心处O由静止释放一质量为m,带电量为+q的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的C点，Oc = h ,又知道过竖直线上的b点时，小球速度最大，由此可知在Q所形成的电场中，可以确定的物理量是[ ] A.b点场强 B.c点场强 C.b点电势 D.c点电势 7. 如图3-4所示，带电体Q固定，带电体P的带电量为q,质量为m, 与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ,将P在A点由静止放开，贝U在Q的排斥下运动到B点停下，A、B相距为s,下列说法正确的是[ ] Q尸 宀鱼舖. ... R A H 图3-4 A.将P从B点由静止拉到A点，水平拉力最少做功2μmgs B.将P从B点由静止拉到A点，水平拉力做功μmgs C.P从A点运动到B点，电势能增加μmgs D.P从A点运动到B点，电势能减少μmgs 8. 如图3-5所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为m、电量为q, 整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E. [ ] 图3-5 A.小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正切为Eq/mg B.若剪断悬线，则小球做曲线运动 C.若剪断悬线，则小球做匀速运动 大学电磁学习题1 一．选择题（每题3分） 1.如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： (A) E =0，R Q U 04επ= ． (B) E =0，r Q U 04επ= ． (C) 204r Q E επ= ，r Q U 04επ= ． (D) 204r Q E επ= ，R Q U 04επ=． ［ ］ 2.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： (A) 2倍． (B) 22倍． (C) 4倍． (D) 42倍． ［ ］ 3.在磁感强度为B ?的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在 平面的法线方向单位矢量n ?与B ? 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． ［ ］ 4.一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示．现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于 (A) IB VDS ． (B) DS IBV ． (C) IBD VS ． (D) BD IVS ． (E) IB VD ． ［ ］ 5.两根无限长载流直导线相互正交放置，如图所示．I 1沿y 轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，载流I 2的导线可以自由运动，则载流I 2的导线开始运动的趋势 ? y z x I 1 I 2 1. 顺磁性、抗磁性、铁磁性、反磁性的物理特征及代表性材料一、两种，它们的磁化率的温度关系。金属导电电子的顺磁性（泡利顺磁性）磁化率F B E n 232 μχ=的推导、各种抗磁性的来源。 顺磁性：一种弱磁性，呈现正的磁化率，数量级为10-5-10-2，磁性离子之间不存在明显 的相互作用。代表材料：FeCl2,CoCl2。 磁化率与温度的关系：居里定律和居里-外斯定律。 抗磁性：一种弱磁性，呈现负的磁化率，数量级为10-5，磁性离子之间不存在明显的相 互作用，主要分为正常抗磁性和反常抗磁性（Bi ）。代表材料：Ag,Ag,Cu 。 磁化率与温度的关系：正常抗磁性磁化率基本不随温度和磁场变化；反常抗 磁性与温度和磁场有明显的依赖关系，在极低温下出现德哈斯-范阿尔芬效应。 正常抗磁性：电磁感应；反常抗磁性：导电电子受周期性晶格场的作用而引 起的。 铁磁性：一种强磁性，在居里温度以下，存在自发磁化现象和分畴现象，近邻磁矩排列 平行。代表材料：Fe ，Co ，Ni,Fe3O4,Fe2O3。 磁化率与温度的关系：在居里温度以上，满足居里-外斯定律。 反铁磁性：一种强磁性，在居里温度以下，存在自发磁化现象和分畴现象，近邻磁矩排 列反平行。代表材料：MnO ，FeO 。 磁化率与温度的关系：在居里温度以上，满足居里-外斯定律。 金属导电电子的顺磁性推导：《铁磁学上》P57 2. 孤立原子的磁矩的组成。用洪德法则分析单个离子（d 电子和f 电子）的磁矩。原子组成晶体时轨道角动量冻结现象的理解、轨道角动量冻结的本质及其对磁矩的影响。 组成：轨道磁矩与自旋磁矩的耦合。上P24 分析例子：上P25。 轨道冻结：上P73。 3. 铁磁性的基本特征。从唯象理论和交换作用理论的角度理解铁磁性物质的自发磁化和居里温度（包括反铁磁和亚铁磁情况）。居里—外斯定律的推导、 第五章静电场 5－9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 E 1 πε04r Q 2 2 L (2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 E 1 Q 2 2 πε 0r4r 2 L 若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电 荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq＝Qdx/L，它在点P的电场强度为 d E 1 4 πε dq 2 r e r 整个带电体在点P的电场强度 E d E 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同， E dE i L (2)若点P在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是 E dE y j sinαdE j L 证(1)延长线上一点P 的电场强度 E dq L 2πεr 0 2 ，利用几何关系r ′＝r －x 统一积分变量， 则 1QdxQ111QL/2 E P 电场强度的方向 222 -L/2 40LrxLrL /2rL /2π4rL πεπεε 4 00 沿x 轴. (2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E L s indq α dE 2 4r πε 0 利用几何关系sin α＝r/r ′， 2x 2 rr 统一积分变量，则 E L/ -L/ 2 2 1 rQdx Q 2/3 2 422r πxr π εεr 0L4 1 2 2 L 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 E lim l 1 2 πr ε 0 1 Q / 4r L 2 / 2 L λ 2πεr 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2 /L 2 ＜＜1， 带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5－14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面 的电场强度通量.电磁学练习题
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