概率冲刺讲义

概率论与数理统计

冲刺讲义

（数一）

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目录

第一章概率基本理论 (1)

1.1概率基本理论 (1)

第二章随机变量与分布函数 (2)

2.1随机变量与分布函数（1） (2)

2.2随机变量与分布函数（2） (3)

2.3随机变量与分布函数（3）.............................................................错误！未定义书签。

2.3随机变量与分布函数（4）.............................................................错误！未定义书签。第三章数字特征. (6)

3.1数字特征 (6)

第四章数理统计 (8)

4.1数理统计 (8)

第一章概率基本理论

1.1概率基本理论

典型方法：

1.计算概率的公式

加法，减法，条件概率！！！2.独立性的判断?判定：()

()P A B P A =?

推论：,,A A B B

?应用：()()()

P AB P A P B =【例】若随机事件,A B 独立，且,A C 互不相容，且()()()0.4,0.5,0.2P A P B P C ===，则概率()

___P A B C -=【答案】0.25

【例】A,B,C 为随机事件，()0P ABC >，()()()P AB C P A C P B C =成立充要条件是（）(A)()()P A C P A =(B)(

)

()P B C P B =(C)()

()P AB C P AB =(D)(

)()

B P B A

C P C =【答案】D

第二章随机变量与分布函数

2.1随机变量与分布函数（1）

经典方法——判定

分布函数：F(X)必须右连续，规范性概率密度：

()()()11

f x dx f

g x dg x +∞

+∞

-∞

-∞

=?=?????

?

【例】假设连续函数()F x 是分布函数，且()00F =,则下列选项中可以作为分布函数的是（）

（A）()11,1

0,1F x H x x ???

->? ?=??

??≤?（B）()11,10,1F x H x x x ???+>? ?=????≤?（C）()()1,1

0,1F x F x H x x x ???

->? ?=??

??≤?（D）()()1,10,1F x F x H x x x ???+>? ?=????≤?

【答案】C

【例】设12(),()F x F x 为两个分布函数，其概率密度12(),()f x f x 是连续函数，必为概率密度的是(

)

(A)12()()f x f x ．(B)212()()f x F x ．(C)12()()

f x F x (D)[][]1221()1()()1()f x F x f x F x -+-．【答案】D

2.2随机变量与分布函数（2）

1.计算——求分布函数(){}F x P X x =≤?离散+连续?全概率公式

?连续+连续?卷积公式(概率密度)

?

()

()()Y g X

X F y P Y y =???→=≤（几何）

2.计算——求边缘分布，条件分布，条件概率?()(),X f x f x y dy

+∞

-∞

=?

?

()()

()

(),(0)X Y X X f x y f y x f x f x =

≠?

()000()y Y X P Y y X x f y x dy

-∞

≤==?3.计算——特殊分布()

2

~,X N μσ?

凑：()()2

2

2,2x f x y μσπσ

--

=

?

换：{}a X b P a X b P μμμσ

σσ---??

<<=<

?

??【例】（分布型）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，,1,

1

X X Y X X ?≤?=?->??求（1）随机变量Y 的分布函数

（2）求Y 的数学期望E(Y)

【答案】（1）;1

;10()(1);011;1y Y y e y e y F y e e y y λλλλ

---?<-?

-≤

=?-+≤

（2）()1

2(E Y e e

λ

λ

λ

λ

--=-+

+

【例】设随机变量X,Y 相互独立，()0,01,0141,1X x F x x x

01,012

1,

1Y y y F y y y

=≤

已知X Y Z e +=，求Z 的分布函数()

Z F z 【答案】()220;11ln ;18

13ln ;481;Z z z z e F z z e z e z e

?+?≤

?+≤

【例】设随机变量X 服从参数为λ指数分布，随机变量,

021

1,2X X Y X X

<

=?+≥??,求随机变量Y 的分布函数

【答案】1120;01;013

1;1()2

31();221;2y

y y Y y y e y e e y F y e e y y λλ

λλλ------

?-≤

??-+≤<=??

?--≤

【例】二维随机变量(),X Y 的联合概率密度为()26,01,,0,

x y x y

f x y ?<<<=?

?其他（1）求边缘概率密度()Y f y （2）求条件概率密度()

Y X f x y

（3）随机变量Z X Y =+，求Z 的概率密度()Z f z （4）求概率11132P X Y ??

-<<

=??

?

【答案】（3）()33

2[(z 1)];0z 2

8

0;Z z f z ?--<

其他

【例】设随机变量1~0,2X N ?? ??

?，在给定X=x 条件下，Y 的条件分布为1(2

N x ，（1）求Y 的概率密度()

Y f y （2）{

{}1202,31p X p Y =<<=-<<-比较12,p p 大小【答案】（1）2

(),2y Y f y y π

-=-∞<<+∞（2）12

p p >【例】设二维随机变量（X,Y ）服从二维正态分布111(1,1;,;)222

N ，记{}{}max ,,min ,U X Y V X Y ==，

(Ⅰ)求Z=|X-Y|的概率密度()z f z (Ⅱ)求()(),E U E V 【答案】

(Ⅰ)()2

22;20;z z e f z π

-??

=???

(Ⅱ)()12E U π

=；()12E V π

=

第三章数字特征

3.1数字特征

?22()EX EX DX

=+?()2(,)D X Y DX DY Cov X Y ±=+±?

1212(,)Cov X X Y Y ++=

?不相关性≠独立性（二维正态除外）相关性?不独立性应用：

1lim n i n i P X k →∞

=??≤????

∑1lim n i i n X n P n n n μσσσ=→∞??

-??=≤=Φ??

????

∑【例】已知12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，其均值和方差分别为X 与2S .若()()2

,E X D X μσ==，记i i Y X X =-.求

(I)i Y 与()j Y i j ≠的相关系数；并说明两个随机变量是否相互独立

(II)若()22

1n E c Y Y σ??+=?

?求常数c .

【答案】(I)i ,1

1j Y Y n

ρ=

-，不独立（II）2(2)

n c n =

-【例】设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，且都在区间(1,1)-上服从均匀分布，则

1lim 1n i n i P X n →∞

=?≤=??

(A)(2)Φ.(B)3)Φ.(C)(2)Φ.(D)6)Φ.

【答案】B

【例】将1m 长的木棒截成两段，其中第一段的长度为X ，第二段长度为Y ，则2X Y +与

3X Y +的相关系数（）

(A)1.(B)1-.

(C)

13

-.(D)

13

.【答案】B

【例】设随机变量X,Y 相互独立，{}{}110.5P Y P Y ===-=,令Z=XY （1）证明)

~1(0Z N ，（2）说明X,Z 的相关性与独立性

第四章数理统计

4.1数理统计

1.统计量的数字特征

()()

()()24222,;2,1E X D X n E S D S n σμσσ?==????==?-?

2

21

1()1n i i S X X n ==--∑

()2E ~2X n

X n DX n

χ=???

=?【例】设随机变量X 和Y 相互独立，且~(0,1),~(0,2)X N Y N ，则2

2

()D X Y +=______.【例】设总体X 服从正态分布2

(,)N μσ从该总体中抽取简单随机样本12,,n X X X ，样

本均值11n i i X X n ==∑，求统计量2

21()n i i Y X X =??=-????

∑的数学期望()

E Y 【答案】2

4

()(n 1)E Y σ

=-2.抽样分布

卡方分布：平方+平方+.....平方

T 分布：一次/根号下平方F 分布：平方和/平方和

【例】设总体X,Y 相互独立，且都服从正态分布()

20,N σ,1,,m X X ，1,,n Y Y ?是分别来自X,Y 的简单随机样本，若统计量221

n

T Y Y

+=

+ ()t n 分布，则()

/m n =(A)

12

(B)

14

(C)2(D)4

【答案】B

【例】设总体X,Y 相互独立，且都服从正态分布2

(0)N σ，，1,,n X X 与1,,n Y Y ?是分别

来自X,Y 的两个简单随机样本，则统计量()

2

22X

Y

n X Y F S S

-=

+服从参数为__的___分布

【答案】参数为（1,2n-2）的F 分布

【例】总体X 概率密度为(1)x ,01

(x)(1)0,x f θθθ?+<<=>-??

其他，12,,n X X X ，是来自总体X 的样

本

(1)求θ的矩估计量

(2)求θ的最大似然估计量

【答案】(1)1

=-21-X θ(2)n

?=

1

ln i

X θ--∑【例】总体X 在[]0,θ服从均匀分布，12,n X X X 是来自总体X 的样本，11n

i i X X n ==∑，

(){}

1max ,,n n X X X = （1）求θ的矩估计量与最大似然估计

（2）求常数a,b 使得()12n a X bX θθ==均为θ的无偏估计，并比较有效性【答案】（1）θ的矩估计量为2X ,最大似然估计为(){}1max ,,n n X X X = （2）1

2,n a b n

+==

，2θ比1θ有效【例】设总体2~(,)X N μσ，其中μ和2σ是未知参数，12,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本。

求：(1)μ的最大似然估计量?μ

和2σ的最大似然估计量2?σ(2)讨论?μ

和2σ是否具有无偏性【答案】（1）1

?=n

i

i X

X n

μ

==∑;2

2

1

1()n

i i X X n σ==-∑（2）?;E EX μ

μ==无偏

2

2?(n 1);E n

σσ

=-有偏

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率-讲义版

课程主题：概率 【知识点】 一、事件的概念 定义：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件 来表示事件一般用大写字母生的事件不可能事件：一定不发事件必然事件：一定发生的 确定事件也可能不发生的事件随机事件：可能发生， 事件C B A ,,?? ?????? ? 无论是那种事件，都是在一定条件或相对某一条件下的某种结果 二、随机事件的概率及其意义 大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n m 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作)(A P . ? 概率是固定的，频率是不固定的，随着试验次数的增加，频率接近于概率. ? 概率表示事件发生的可能性大小，是大量随机事件现象的客观规律. 三、事件间的关系及概率的基本性质 1. 事件的关系——对应集合间的关系 包含、相等、并事件（和事件）、交事件（积事件）、互斥事件、对立事件 （1）互斥事件：若=)(B A P I 0)(=AB P ，即事件A 与事件B 不可能在任一次试验中同时发生，满足 )()()(B P A P B A P +=Y . （2）对立事件：若=)(B A P I 0)(=AB P ，=)(B A P Y 1)(=+B A P ，即事件A 与事件B 不可能在任一次试验中发生同时发生，但必有一个发生. 记作- - ==B A A B ,，满足1)()()()(=+=+- A P A P B P A P . 2. 概率()A P 的取值范围 （1）1)(0≤≤A P ； 课程类型：? 1对1课程 ? Mini 课程 ? MVP 课程

（2）必然事件的概率1)(=ΩP ，不可能事件的概率0)(=?P ，随机事件的概率在)1,0(之间； （3）若B A ?,则()()B P A P ≤. 四、古典概型 1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示. ? 任何两个基本事件都是互斥的； ? 任何事件（除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2. 计算公式：=)(A P =总的基本事件个数包含的基本事件个数A 步骤：① 判断该概率模型是否为古典概型； ② 算出基本事件的总个数n ； ③ 算出事件A 中包含的基本事件的个数m ； ④ 应用等可能性事件概率公式()m P A n =计算. 五、几何概型 1. 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称几何概型 2. 特点：（1）无限性：在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；（2）等可能性：每个时间发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例. 3. 计算公式：= )(A P 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A 步骤：① 判断该概率模型是否为几何概型，或选择适当的观察角度，转化为几何概型； ② 把事件的全部结果转化为与之对应区域的长度（面积或体积）； ③ 把随机事件A 转化为与之对应区域的长度（面积或体积）； ④ 利用几何概率公式求解. 六、条件概率（*理科内容） 概念：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ ()() A P A B P ． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ ()() A n A B n ． 性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和 C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．

【2020春】-概率讲义初一(教师版)(1) -

概率初步 重点 1.感受可能型 2.频率的稳定性 3.等可能事件的概率 4.游戏的公平性 难点 1.判断随机事件可能性的大小 2.运用频率来估计某一事件的概率 3.按要求设计游戏 一.必然事件、不可能事件与随机事件的概念 1.必然事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2.不可能事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3.随机事件：在一定条件下进行重复试验时，有写事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为随机事件。 学习小目标 知识点讲解 重要总结： 1. 随机事件的发生是不能确定的，带有偶然性。 2. 在现实生活中，存在着大量的随机事件因此研究随机事件显的尤为重要，因为随机事件中有的发生的可能性大一些，有的可能性小一些，所以准确判断气可能性的大小有利于人们做出合理的决策。 3. 一般情况下，随机事件发生的可能性有大有小。 注意：有些随机事件发生的机会很大，但不是必然发生，有些随机事件发生的机会很小，

典例精讲 例1.下列事件中，是必然事件的是（B） A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180° C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“老白谈天” 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：A、明天早上会下雨是随机事件，故本选项错误； B、任意一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，故本选项正确； C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项错误； D、打开电视机，正在播放“老白谈天”是随机事件，故本选项错误； 故选：B． 例 2.硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（C） A．正面向上B．正面不向上 C．正面或反面向上D．正面和反面都不向上 【分析】分别确定各个事件的概率即可确定大小． 【解答】解：A、正面向上的可能性为； B、正面不向上的可能性为； C、正面向上或反面向上的可能性为1； D、正面和反面都不向上的可能性为0， 故选：C． 解析：解决这类可能性大小的问题，通常根据部分在整体中所占的百分比的大小来判断，应灵活掌握该方法。

概率统计讲义(教师版)

概率统计讲义 一．近5年全国卷高考题回顾 1.（2012?新课标 第11题） 将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 2.（2012?新课标 第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式． 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差； （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． （1）当时， ， 当 时， ， 得：() *∈?? ?≥≤-=N n n n n y 16 ,8015 ,8010 （2）（ⅰ）X 可取60，70，80。 ， X 的分布列为 ， 。 （ⅱ）购进17枝时，当天的利润为76.4 > 76，从利润角度看，故应购进17枝。 而此时 ，说明购17支在利润相差不大的情况下，其波动较大，故购16支也可。 3.（2013 新课标 第3题）为了解某地区中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理抽样方法是( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 4.（2013 新课标 第19题）.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任 取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作

25.3 用频率估计概率讲义 教师版

第25章概率初步 25.3 用频率估计概率 学习要求 1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程． 2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法． 知识点一：利用频率估计概率 例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（） 试验种子数n（粒）50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 发芽频率 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95． 【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95， ∴估计种子发芽的概率为0.95． 故选C． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（） 实验次数100 200 300 500 800 1000 2000 频率0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333

A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意； C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意； D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意， 故选B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（） 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 摸到白球的频率 A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6 C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200

概率论基础讲义全

概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是

不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……}

曹显兵.概率论讲义(打印版)

第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0

0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0

概率初步

知识点一：随机事件 【1】下列事件中，是确定事件的是（ ） A 、打雷后会下雨 B 、明天是睛天 C 、1小时等于60分钟 D 、下雨后有彩虹 【2】下列事件是必然事件的是（ ）． A 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6 B 、抛一枚硬币，正面朝上 C 、3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D 、打开电视，正在播放动画片 【3】下列事件中，不可能事件是（ ） A 、掷一枚六个面分别刻有1-6数码的均匀正方体骰子，向上一面的点数是“5” B 、任意选择某个电视频道，正好在播放动画片 C 、肥皂泡会破碎 D 、边长分别为3、4、5的三角形不是直角三角形 【4】“是实数, ”这一事件是（ ） A 、必然事件 B 、不确定事件 C 、不可能事件 D 、随机事件 知识点二：随机事件的概率 【5】下列说法不正确的是 A 、某种彩票中奖的概率是11000 ，买1000张该种彩票一定会中奖 B 、了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 C 、若甲组数据的标准差S 甲=0.31乙组数据的标准差S 乙=0.25则乙组数据比甲组数据稳定 D 、在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件 【6】某市气象局预报称：“明天本市的降水概率为70%。”这句话指的是（ ） A 、明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B 、明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C 、明天本市一定下雨 D 、明天本市下雨的可能性为70% 频率与概率： 在n 次试验中，时间A 发生的频数m 满足n m ≤≤0，进而可知当n m 稳定到常数P 时，有10≤≤P 。 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 【7】从下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是 【8】如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．若每边每段绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为 a ||0a ≥

考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：

2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题18 概率初步(解析版)

专题18 概率初步 一、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 二、随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 三、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P 四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 (1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1 (2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1概率的值 不可能发生必然发生 事件发生的可能性越来越大 五、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 六、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【例1】(2019?上海)一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．

人教版九年级数学讲义概率及其表示(含解析)(2020年最新)

第15讲概率及其表示 知识定位 讲解用时：3分钟 A 、适用范围：人教版初三，基础偏上 B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们学习事件的概率及其表示，首先需要理解事件的类型及其概率计算方法， 能够准确判断必然事件 和不可能事件，能够计算随机事件的概率，其次重点掌握列表法以及树状图法表示事件出现的可能性结果，能够利用列表法与树状图法计算事件的相关概率，最 后掌握用频率估计概率的原理。本节课的重点内容是用列表法以及树状图法表示事件出现的可能性结果，需要各位同学熟练掌握。 知识梳理 讲解用时：15分钟 事件及其概率 （1）确定事件和随机事件 ①在一定条件下必定出现的现象叫做 必然事件； ②在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；③必然事件和不可能事件统称为 确定事件； ④在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称 为不确定事件． （2）事件的概率及其计算 ①一般地，如果一个实验共有 n 个等可能的结果，事件A 包含其中 的k 个结果，那么事件A 的概率：= =A k P A n 事件包含的可能结果数所有的可能结果总数 ． ②P （必然事件）=1；③P （不可能事件）=0．

用列举法求概率 用列举法求概率主要掌握列表法和树状图法计算事件的概率： ①当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率； ①列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率； ①列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常 采用树形图； ①树形图与列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列 出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n； ①当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 用频率估计概率 ①大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计 概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率； ①用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确； ①当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

初中数学概率初步讲义

第13讲概率初步 温故知新 轴对称 （一）轴对称的定义 （1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。 （2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 （二）轴对称的性质 （1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 （2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 （3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。 智慧乐园 大家都有过夹娃娃的经历吗?你觉得什么情况下 夹到娃娃的可能性会更大?与小伙伴进行讨论

知识要点一 。 感受可能性 （一）确定事件与不确定事件 1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2、不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3、确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 4、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称随机事件。 5、 ?? ?? ?? ? ? 必然事件 确定事件 事件不可能事件不确定事件 ?典例分析 例1、下列事件不是随机事件的是（） A．投两枚骰子，面朝上的点数之积为7 B．连续摸了两次彩票，均中大奖 C．投两枚硬币，朝上的面均为正面D．NBA运动员连续投篮两次均未进 例2、袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）A．这个球一定是黑球B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球D．事先能确定摸到什么颜色的球 例3、“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（） A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件 例4、下列事件属于随机事件的有（） ①当室外温度低于﹣10℃时，将一碗清水放在室外会结冰； ②经过城市中某有交通信号灯的路口，遇到红灯； ③今年春节会下雪； ④5，4，9的三根木条组成三角形． A．②B．②④C．②③D．①④

王式安考研概率讲义

概率统计 第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件 样本空间的子集——随机事件A B C 样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现 Ω——必然事件Φ——不可能事件 §2事件间的关系与运算 一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差

运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ； （3）1 23A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ； 再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)() ()0,(),() P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立， ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立； ()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =； (3)1 2 1 212(,,,)()() () 1k k i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤ 称12,,n A A A 相互独立,(2321n n n n n C C C n +++=--个等式)

江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学中考数学 第15讲 概率初步复习讲义 苏科版

【考点链接】 1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件），__________________叫做必然事件，概率为_______，____________叫做不可能事件.概率为。 2． ___________ ___________叫概率.概率计算公式为 3．求概率的方法： （1）利用概率的定义直接求概率； （2）用树形图和________________求概率； （3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率． 4．判断某个游戏是否公平，评判的根据是概率的大小，解答这类问题，实质是预测参与游戏各方赢得概率的大小。 【典型例题】 1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红 球的概率是． 2．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机 摸出一个球，它是白球的概率为2 3 ，则n ． 3．下列事件是必然事件的是（） A．打开电视机，正在播放动画片 B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军 C．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖 D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球 4．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 5．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A．12 B．9 C．4 D．3 6．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（） A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 7．某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是（） A．1 6 B. 1 5 C. 1 4 D． 1 3 8．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖 金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖, 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再 翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这 位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A．1 5 B． 2 9 C． 1 4 D． 5 18 例1 小明、小华用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，?梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，?抽出的牌不放回． （1）若小明恰好抽到了黑桃4． （第4题）

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1 概率初步 知识点睛 1. 事件 必然事件 确定事件 不可能事件 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 2. 概率 （1）对于一个随机事件 A ，我们刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P (A)． 注：0≤P (A)≤1，P (A)表示的是事件 A 发生的可能性大小， 当 A 为必然事件时，P (A)=1；当 A 为不可能事件时，P (A)=0． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0． （2）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那 么事件 A 发生的概率 P (A)= m ． n （3）用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．常使用列表法和画树状图两种方法列举事件所有可能出现的结果． ①用列表法求概率适用于求涉及两步试验的随机事件发生的概率； ②当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法来求事件的概率很有效． 3. 频率与概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定 性．因此，可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 事件

2 精讲精练 1. 下列事件中，必然事件是（ ） A ．抛掷 1 个均匀的骰子，出现 6 点向上 B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C ．366 人中至少有 2 人的生日相同 D ．实数的绝对值是非负数 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A ．画一个三角形，其内角和为 361° B ．任意做一个矩形，其对角线相等 C ．任取一个实数，其与相反数之和为 0 D ．外观相同的 10 件同种产品中有 2 件是不合格产品，现从中抽取一件为合格品 3. 下列说法中，正确的是（ ） A ．不可能事件发生的概率为 0 B ．随机事件发生的概率是 1 2 C ．概率很小的事件不可能发生 D ．抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定是 50 次 4. 下列说法正确的是（ ） A ．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球， 从中随机抽出一个球，一定是红球 B ．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C ．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1 000 张，一定会中奖 D ．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第 6 次仍然可能正面朝上 5. 小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E ， F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD ，BC 上的点，EF ∥AB ，M ， N 是 EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率 为 ． A E D B F C

高中概率讲义

3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课 时) 1、教学目标： （1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A 出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n （A ）与事件A 发生的概率P （A ）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 2、基本概念： （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值n n A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 （7）似然法与极大似然法：见课本P111 3、例题分析： 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“平抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“常温下，铁通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水份，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”．

概率论与数理统计讲义稿

第一章随机事件与概率 §1.1 随机事件 1.1.1 随机试验与样本空间 概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征： （1）在相同条件下试验是可重复的； （2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。 为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间Ω。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

例 1.1.1 1E ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。 2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子， 观察出现的点数。样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。 3E : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到 Ω={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) } 读者可以将其推广到掷n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢？ 4E ：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目 标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为 {1,2,3,,,}n Ω=L L ， 其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为},2,1,0{Λ=Ω。 5E ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取]}5.2,0[,{∈=Ωωω就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取]}200,0[,{∈=Ωωω也许就足够了。 在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是 12{(,)()[0,2.5][0200]}ωωωΩ===∈?高度,重量，。 □