图示桁架各杆的材料相同截面面积相等

11-1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在P 力作

用下桁架的变形能。

11-2 计算图示梁的变形能。

11-3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm ，材料为45钢，E =210GPa ，G =60GPa 。试计算轴的变形能。

11-4 图示三角架承受荷载P ，AB 、AC 两杆的横截面面积均为A 。若已知A 点的水平位移△

Ax （向左）和铅锤位移△Ay （向下）

，试按下列情况分别计算此三角架的应变能U ，将U 表达为△Ax 、△Ay 的函数。

(a) 若此三角架由线弹性材料制成，EA 为已知；

(b) 若此三角架由非线性弹性材料制成，其应力—应变关系为εσB

=（见图）

，B 为常数，这一关系对拉伸和压缩相同。

11-5 求习题11-4两种情况下的余能。

11-6 在外伸梁的自由端作用力偶矩m ，试用互等定理，求跨度中点C 的挠度⊿C 。

11-7 图示为变截面梁，试求在P 力作用下截面

B 的竖向位移和截面A 的转角。

11-8 图示刚架的各杆的EI 皆相等，试求截面A 、

B 的位移和截面

C 的转角。

11-9 在筒支梁的整个跨度l 内，作用均布载荷q 。材料的应力-应变关系为εσC =。式中C 为常量，σ与ε皆取绝对值。试求梁的

端截面的转角。

11-10 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求节点C 处的

水平位移和垂直位移。

11-11 图示简易吊车的吊重P =2.83kN 。撑杆AC 长为2m ，截面的惯性矩为I =8.53?106mm 4。拉杆BD 的横截面面积为600mm 2。如撑杆只考虑弯曲的影响，试求C 点的垂直位移。设E =200GPa 。

11-12 由杆系及梁组成的混合结构如图所示。设P 、a 、E 、A 、I 均为已知。试求C 点的垂直位移。

11-13 用卡氏第二定理求位于水平平面内的开口圆环上A 、B 两点间的相对位移。弹性常数E 、G 及环杆直径d 为已知，两P 力沿铅垂方向作用。

11-14 用卡氏第二定理求图示梁在荷载作用下A 截面的转角及B 截面的铅锤位移。EI 为已知。

11-15 用卡氏第二定理求解图示超静定结构。已知各杆的EI 相同。

11-16 由四根材料相同、长度均为l 、横截面面积为A 的等直杆组

成的平面桁架，在结点F 处受水平力P 1和铅垂力P 2作用，如图所

示。已知各杆材料的弹性模量为E ，且处于线弹性范围内。试按卡

氏第一定理求结点F 的水平位移Fx ?和铅垂位移Fy ?。

11-17 利用单位力方法求图示梁在荷载作

用下，截面A 、C 处的挠度和A 截面的转角。

EI 为已知，略去剪力对位移的影响。

11-18 利用单位力求图示杆系的下列位移： 求在铰C 处由于各杆弯曲

而引起的铅垂位移和B 、C 间的相对位移。已知各杆EI 相同。

11-19 利用单位力方法，计算结构由于温度变化所引起的指定截面的

位移。图示一矩形截面折杆，其内侧温度升高C 10?，已知材料的

线膨胀系数α。试求A 截面的铅垂位移。

11-20 柱形密圈螺旋弹簧的簧圈平均直径为D ，簧丝横截面直径为

d ，有效圈数为n 。在弹簧两端受到扭转力偶矩m 的作用，试求两端

的相对扭转角。

静定桁架的内力计算

第二节平面静定桁架的内力计算 桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架（见图3－10）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。 图3－10房屋屋架 杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中，通常引用如下假定： １）组成桁架的各杆均为直杆； ２）所有外力（载荷和支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处； ３）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。 满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图3－11）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点， 图3－11 钢桁架结构的节点 它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。 分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。 一、节点法 因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。 例3－8 平面桁架的受力及尺寸如图3－12ａ所示，试求桁架各杆的内力。

平面桁架杆件内力的计算方法探究

平面桁架杆件内力的计算方法探究 杨航 （机械工程学院2009级6班，200961024） 摘要在生活与工程实践中，我们随处可见平面桁架结构，以及基于平面桁架结构的空间桁架。为了确保安全，计算得到各杆件的内力，进而进行合理设计显得尤为重要。本文将基于节点法、截面法、力法正则方程对一些平面桁架杆件内力的计算方法进行探究。 关键词平面桁架；杆件内力；节点法；截面法；力法正则方程 平面桁架结构的内力计算可以分为基本的两大类基本问题，静定结构的内力计算和非静定结构的内力计算。静定结构主要采用节点法和截面法能全面求解。实际工程中以静不定结构多见。 1 静定结构参考[1] 1.1 节点法 桁架结构中各杆的连接点称为节点。节点法就是选去某个节点为研究对象，将于这个节点相连的杆件截断，作用在节点上的力可能包含被截断杆件的内力、加在节点行的外力和支座的约束反力，他们组成了平面汇交力系，用平衡方程即可求得各个桁架内力。 1.2 截面法 假想地用一截面m－m截面处把杆件裁成两部分，然后取任一部分为研究对象，另一部分对它的作用力，即为m－m截面上的内力N。因为整个杆件是平衡的，所以每一部分也都平衡，那么，m－m截面上的内力必和相应部分上的外力平衡。由平衡条件就可以确定内力。 2 静不定结构原创 2.1 一次静不定结构 对于一次静不定结构问题的求解，可采用建立在相当系统上的静定系统来球接触多预感间的内力，结合节点法、截面法求解器他敢间的内力。具具体方法是： （1）将平面桁架结构的一根杆件假象截开，代之以方向相反的一对未知力X1，分别作用于两个截面上。 （2）根据力法正则方程得到他满足的变形协调条件：。 （3）利用单位载荷法求出系数，带回上式即可求得X1。在利用单位载荷法求系数时，可以假设全部拉杆受力为正，压杆受力为负。 （4）利用节点法、截面法求出剩余杆件的内力。 2.2 多次静不定结构 方法与求解一次静不定问题相似，只是正则方程需要使用方程组，高次时利用矩阵求解多元方程组更为简便。可以利用简化计算。 相当与求解i个方程，不同的是，用矩阵的方法不但可以简化表达，而且还可以编程用计算机求解。 2.3 一些简化算法 2.3.1 与可动铰支座相连的杆件 可动铰支座假设在水平方向可动，则与它相连的所有杆件水平方向合力为零。通常来讲，如果只有一根杆件与它水平相连，则它的内力为零。如果与它竖直相连，则其内力就是可动铰支座提供的支反力。 2.3.2 结构对称外载荷对称的桁架 在结构对称的前提下，外载荷对称则对称杆件的轴力分布也对称。这样为我们简化计算提供

简单桁架内力计算

3.4 静定平面桁架 教学要求 掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法 3.4.1 桁架的特点和组成 3.4.1.1 静定平面桁架 桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。 实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定： （1）桁架的结点都是光滑的铰结点。 （2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。 通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。 3.4.1.2 桁架的受力特点 桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。 3.4.1.3 桁架的分类 （1）简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-14a） （2）联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b） （3）复杂桁架：不属于前两类的桁架。（图3-14c）

3.4.2 桁架内力计算的方法 桁架结构的内力计算方法主要为：结点法、截面法、联合法 结点法――适用于计算简单桁架。 截面法――适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。 联合法――在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。 解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆的特点，使问题可解。 在具体计算时，规定内力符号以杆件受拉为正，受压为负。结点隔离体上拉力的指向是离开结点，压力指向是指向结点。对于方向已知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通常假设为拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。

桁架杆件内力图解法的基本过程参考资料

桁架杆件内力图解法的基本过程 桁架杆件内力图解法的基本原理是利用结构体系受到的杆件轴力和外力形 成一个平衡力系，而且平衡力系的力矢量是一个闭合的图形。根据力矢量的特定（力矢量包括力的方向和力的大小），根据力矢量平衡关系进行求解。 下面以一个桁架结构为例： 图1 桁架受到半跨单位力的作用，采用图解法求解桁架的内力系数。 首先用力的平衡方程求解桁架的支座反力； 第二步：以固定的方向确定外力（包括支座反力）之间区域的编号，例子中采用顺时针方向，用英文字母定义外力区域（a，b，c，d，……）；然后用数字定义桁架杆件之间区域（1,2,3,4,5，……）。因此，不管外力还是杆件轴力，都可以用区域编号命名，如左端支座反力可以命名为m->a（顺时针），支座处斜腹杆可以命名为1->2或2->1（根据选择节点不同，按顺时针命名）。 接着，定义内力图的比例尺（即单元力的长度），按外力的方向依次序画出桁架的外力矢量图，如图2。图中力的大小按比例尺画出，力的方向由力矢量的起点编号和终点编号定义。例如，桁架左端外力为0.5的向下的集中力，那么在 图中表示为0.5个单元力的长度，而且力的方向为a->b（向下）。 图2 第三步：以节点为基准，画出该节点上的杆件的内力矢量。对于节点I，按顺时针，节点上的作用力为a->b的外力，b->1的上弦杆内力，1->a的端竖杆内力。按桁架的上弦杆的方向，b->1的上弦杆内力如图3黑线所示，即b->1的上弦杆内力的力矢量在黑直线上；1->a的端竖杆内力的力矢量在竖直红线上，因此黑线和红线的交点即为两个力矢量的共同端点1。从图3可以看出，b->1的上弦杆内力为零，即该段弦杆为零杆；1->a的端竖杆内力的大小为线段ab的长度，即为0.5，而且按顺时针，1->a的端竖杆内力的方向为向上，即对着节点I，因 此该内力为压力；上述结论和节点法求解的结论是一致的。 图3 按此方法可以分析节点II和节点III的内力，可以得图4的内力矢量图。 图4 依次可以画出桁架的内力矢量图，如图5所示。

简单桁架内力的计算方法

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