数列集合

数字推理题500道

【1】7， 9， -1， 5，( )

A、4

B、2

C、-1

D、-3

【2】3， 2， 5/3， 3/2，( )

A、1/4

B、7/5

C、3/4

D、2/5

【3】1， 2， 5， 29，（）

A、34

B、841

C、866

D、37

【4】2， 12， 30，（）

A、50

B、65

C、75

D、56

【5】2， 1， 2/3， 1/2，（）

A、3/4

B、1/4

C、2/5

D、5/6

【6】4， 2， 2， 3， 6，（）

A、6

B、8

C、10

D、15

【7】1， 7， 8， 57，（）

A、123

B、122

C、121

D、120

【8】4， 12， 8， 10，（）

A、6

B、8

C、9

D、24

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为

三角函数数列公式大全

三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

三角函数公式：（1）.弧度制：180o rad π=，'18015718o o rad π = ≈ 弧长公式：l r α=，扇形面积公式：2112 2 S r lr α== （2）定义式：设角α终边上一点为(),P x y ，22r OP x y ==+则： sin ,cos ,tan ;y x y r r x ααα= == （3）同角基本关系式：22sin sin cos 1,tan ;cos α αααα +== （4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 （5）两角和差公式：()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβ αβαβ ±±= （6）二倍角公式：2 2tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan α ααααα == - 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-; （7）降幂公式： ()()22111 sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222 ααααααα==-=+ （8）合一公式：()22sin cos sin ,a b a b ααα?+=++其中tan b a ?=。 2．三角函数图像和性质：

（二）、函数图像的四种变换： （三）、函数性质： 1.奇偶性： （1）定义：奇函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。 偶函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=，则 称()f x 为偶函数。 （2）图像：奇函数图像关于原点对称，若自变量可以取0，则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。 （3）常见的奇函数：,,a k y kx y y x x ===（a 为奇数）， (),0,k y x k R k x =+ ∈≠sin ,y x =tan ;y x = 常见的偶函数：,a y m y x ==（a 为偶数），cos y x =，y x =。 （4）奇偶函数四则运算与复合：

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。 三、学习过程设计 【问题情境】 1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数； 2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数； 3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿； 4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。 教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？ 学生： 1：23631,2,2,2, ,2 2一列数：23451111122222???????? ? ? ? ?????????，，，，， 3： 青蛙 嘴 眼睛 腿 1 1 2 4 2 2 4 8 3 3 6 12 4 4 8 16

高中数学 必修五 数列 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)

数列的概念与简单表示法 【学习目标】 1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题. 2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系. 3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项. 4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】 数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决. 【要点梳理】 要点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项. 要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和 数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

数列全部题型归纳(非常全面,经典!)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８） ，则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且23 1n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么

4、已知数列{}n a 中，10a =，11 2n n a a += -，*N n ∈. 求证：11n a ?? ??-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*

（二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式. 2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2)8 n n a S +=则，数列n a 3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111 ,0,4 n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a

4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a （三） 累加与累乘 （1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* （2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式

沪教版高三C专题(二轮复习-函数与数列3星)

专题：函数与数列★★★ 教学目标 1．理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数； 2．掌握好等差数列的相关函数性质． 知识梳理 5 min 1．数列的定义：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值； 2．等差数列的通项公式：11(1)()n a a n d dn a d n N * =+-=+-∈，不难看出： 当0d =，则等差数列为一个常数列； 当0d ≠，则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数． 3．等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()()2222 n n n a a n n d d S a n d n a n n N *+-= =+=+-∈． 当0d =，则等差数列前n 项和为一次函数（10a ≠）； 当0d ≠，则等差数列前n 项和为过原点的二次函数，开口方向由d 的符号决定． 典例精讲 33 min 例1．(★★)设数列{}n a 的通项公式是14 13--=n n a n ，则该数列中最最大的项是第__________项，最小 的项是第__________项． 解：131414131413 1141414 n n n a n n n --+--= ==+---， 由函数图象可知：最大的项是第4项，最小的项是第3项． 例2．(★★★)已知数列2 n a n kn =-为递增数列，则k 的取值范围是__________． 解：结合函数图象可知：对称轴3 (,)22 k n = ∈-∞，则3k <．

例3．(★★★)已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=，则n a n 的最小值为__________． 解：由题意得：2 16n a n n =-+，16 121617n a n n n ∴ =+-≥-=， 当且仅当16 n n = ，即4n =时等号成立． 课堂检测 1．(★★★)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,51n a a ==，则n d +的最小值为__________． 解：150(1)1n a a n d d n =+-?= -，则5050 11250111 n d n n n n +=+=-++≥+--， 但n N * ∈ ，∴能成立，所以根据分析得：当115n d =?? =?或6 10n d =??=? 时，原式有最小值16． 2．(★★★)已知数列{}n a 的通项公式为9(1)( )10 n n a n =+，是否存在自然数m ，使对于一切n N *∈，n m a a ≤恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 解：本题只要求出数列n a 的最大值即可，所以根据119 8n n n n a a n a a n -+≥≤?????≥≥??， 所以8m =或9m =时满足题意． 3．(★★★)已知等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0a a a a a >+>?<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是__________． 解：由题意得：2003140054005200414007400720032004140064006000 00000 a a a S a a a S a a a a S >+>>?????? +>>???，所以4006n =． 4．(★★★★)已知函数121()(0),,4x f x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，12 1 ()()2 f x f x +=． （1） 求()f x 的解析式； （2） 数列{}n a ，若1 21(0)()()( )()n n n a f f f f f n n n n -=+++++ ，求n a ； （3） 对任意的自然数n N * ∈，1 1 n n n n a a a a ++<恒成立，求正实数a 的取值范围． 解：（1）令1212x x == ，则有111222m m +=++，得2m =.1 ()42 x f x =+；

数列公式大全

数列公式大全 设An为等差数列,d为公差 性质1)An=A1+(n-1)d=Am+(n-m)d Sn=n(A1+An)/2=nA1+n(n-1)d/2 2)An=Sn-S(n-1),2An=A(n-1)+A(n+1)=A(n-k)+A(n+k) 3)若a+b=c+d,则Aa+Ab=Ac+Ad 设An为某数列,Sn为前n项和,则有以下几点性质: 4)形如Sn=an^2+bn+c(ab≠0),当且仅当c=0时,An为等差数列.即当An为等差 数,Sn是不含常数项的关于n的二次函数. 5)形如aAn=bA(n-1)+c(a≠b)的数列,总可以化为等比数列,即令ax=bx+c,即 x=c/(a-b),即An-c/(a-b)=a[A(n-1)-c/(a-b)] 所以Bn=An-b/(1-a)为等比数列 6)形如aAn+bA(n-1)+cA(n-2)=0(abc≠0)的数列,总可以化为等比数列,即令 ax^2+bx+c=0的根为x1,x2,则 An-x1A(n-1)=x2[A(n-1)-x1A(n-2)] An-x2A(n-1)=x1[A(n-1)-x2A(n-2)] 令B(n-1)=An-x1A(n-1) (1) B(n-1)'=An-x2A(n-1) (2) 则Bn,Bn'为等比数列,从而可以求出Bn,Bn'。再解(1)(2)方程组可求出An。 7)若An>0,形如An^a=cA(n-1)^b的数列可化为5)的形式,即两边取对数 即:algAn=blgA(n-1)+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB(n-1)+c 等差数列：Sn=a1n+n(n-1)d/2

等比数列：1:q=1时;Sn=na1 2:q#1时;Sn=a1(1-q的n次方）/（1-q） 求和 等差“(首数+末数)*项数/2 等比数列求和公式＝首项*(1-比值^项数)/(1-比值) 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、 等比数列求和公式： 自然数方幂和公式： 3、 4、 5、 [例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项 当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨

数列与函数相结合题型求解方法

数列与函数相结合的题型求解方法 在解数列综合题中经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是有的学生难以运用函数知识进行解题。本文通过具体的例子来说明这类题型的求解方法。 1．与一次函数相结合 例1．设数列{a n }的前n项之和是，a, b是常数，且b≠a。 (1)证明：数列{a n }是等差数列； (2)证明：以为坐标的点P n (n=1,2,3,……）都在同一直线上，并写出此直线方程。 （1993年上海高考题） 分析：要证数列{a n }是等差数列，只要证a n =kn+t (其中k, t是常数)，即数列的通项是关于n的一次函数即 可， ∵ S n =an+bn(n-1), ∴ 即 ∴a n =a+2(n-1)b，从而数列a n 的通项是关于n的一次函数，所以数列{a n }是等差数列。 (2)要证以为坐标的点P n (n=1,2,3,……）都在同一直线上， 只要证P n (n≥2且n∈N)与第一点连线的斜率为定值即可。因为 ， 所以，以为坐标的点P n (n=1,2,3,……）都在过(a, a-1)且斜率为的同一直线上，

所以所求的直线方程为，即x-2y+a-2=0。2．与二次函数相结合 例2．在直角坐标平面上有一点列P 1(a 1 ,b 1 ),P 2 (a 2 ,b 2 ),P 3 (a 3 ,b 3 ),……,P n (a n ,b n ),……,对每一个自然数n,点 P n (a n ,b n )在函数y=x2的图象上，且点P n (a n ,b n ),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点P n (a n ,b n )为顶点的等腰三角 形。 (1)求对每一个自然数n，以点P n 纵坐标构成的数列b n 的通项公式； (2)令，求的值。 分析：(1) 由P n A=P n B可得。 又∵ P n (a n ,b n )在函数y=x2的图象上，∴. (2)∵ , ∴ 3．与指数函数相结合 例3．在xOy平面上有一点列P 1(a 1 ,b 1 ),P 2 (a 2 ,b 2 ),P 3 (a 3 ,b 3 ),……,P n (a n ,b n ),……对每一个自然数n，点 P n (a n ,b n )在函数y=的图象上，且点P n (a n ,b n )，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点 P n (a n ,b n )为顶点的等腰三角形。 (1)求点P n (a n , b n )的纵坐标b n 的表达式； (2)若对每一个自然数n, 以b n , b n+1 , b n+2 为边长能构成一个三角形，求a的范围； (3)设B n =b 1 b 2 b 3 ……b n (n∈N + )，若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{B n }的最大项是第几项？

高中数学数列教学课件

高中数学数列教学课件 高中数学数列教学课件 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于

发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法，对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对"数学建模"的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情教法分析： 对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导： 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的

函数导数与数列结合题

1已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求ａ的值； (2)讨论)(x f 的单调性； (3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<++ +为自然对数的底数） （本题满分14分） （1）()()的使x f x a x x x f 0,122=++=' 一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件…………………….3分 （2）()2221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a=0时， ()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减； 2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤? ??≤?<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………6分 3）若()020012 >++>'<<-a x ax x f a 得时，由 a a x a a 2 21111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f a a x a a x 2 21111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减， 若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-

上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 。 若()()分单调递减，单调递增，在在时，9..................0,0)(0∞-+∞=x f a (3)由（2）知，当()单调递减，在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由 分14.......................,.........)3 11)...(8111)(911(21311213 113113131......3131)3 11ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x x n n n n n n =<+++∴

数列的函数特性

数列的函数特性 【学习目标】 利用函数研究数列 【学习重点】 利用函数的性质研究数列的性质 【课前预习案】 1. 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an 与它的 前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。 2. 数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…， n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________。 3. 一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项， 即__________，那么这个数列叫做递增数列。如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列。 【课堂探究案】 自学指导：围绕下列问题阅读课本6到8页， 1.数列的图像有什么特征： 2.什么是递增数列，递减数列，常数列，它们的图像有什么特点。 3.如何判断数列的增减性： 探究一：作数列的图像 例1.画出下列数列的图像，并判断增减性。 （1） （2） 探究二：判断数列的增减性 例2.判断下列数列的增减性； (1) (2) 归纳总结：（1）数列图像的特征： 1n n a =-+12n n a -=231n n n a +=+23n a n =-

（2）数列增减性的判断方法： 【课后检测案】 一、选择题 1．已知an ＋1－an －3＝0，则数列{an}是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数项 D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．an ＋1＝an ＋n ，n ∈N ＋ B ．an ＝an －1＋n ，n ∈N ＋，n≥2 C ．an ＋1＝an ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n≥2 D ．an ＝an －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n≥2 3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an ＋1＝12an ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.58 4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 5．已知数列{an}满足an ＋1＝????? 2an ? ????0≤an <12，2an －1 ? ?? ??12≤an<1.若a1＝67 ，则a201的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17 6．已知an ＝n －98n －99 ，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a1，a30 B ．a1，a9 C ．a10，a9 D ．a10，a30

2020年最新高考数学--以数列或集合为背景的解答题(原卷版)

专题二 压轴解答题 第五关 以数列或集合为背景的解答题 【名师综述】 以数列、集合为背景的数列解答题是上海高考常考题型之一，也是上海高考必考的重要考点．解答这类问题的思路依据题设条件，综合运用所学的知识和数学思想方法去分析问题和解决问题．本题的解答过程中，所有计算与求解都是推理论证能力的体现和数学思想方法的运用． 中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法． 【典例解剖】 类型一 运用反证法处理排序数列问题 典例1．（2020·上海高三月考）有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当 ，称集合具有性质． （1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素 从小到大排序，即满足，求； （3） 已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由． {}12,,,n A a a a =L *n N ∈A ()d A {} ,A A x y x A y A +=+∈∈A A +()d A A +()()()() 12 d A d A d A A ?++= A Γ{}1,,M x y =ΓM {}n d n n S 1123n n S S +=+ 11 3 d ={}n d 20201232020,,,,d d d d L {}1232020,,,,d d d d L D D D +()*123,,,,k t t t t k N ∈L 123,,,,k t t t t L 123k t t t t <<<C Γ

数列教案、考点、经典例题_练习

澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：

三角函数与数列

三角函数与数列（高考题） 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac. (1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值． 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值．

5.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值． 6.设f(x)＝sin x cos x－cos2. (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 7.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

8.已知向量＝，＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝·. (1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值． 9.已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，， ． （1）若知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1. (1)求数列{b n}的通项公式； (2)令c n＝.求数列{c n}的前n项和T n. 11.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*. (1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和． 12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。 （Ⅰ）求，的值；

数列常见数列公式(很全)

常见数列公式 等差数列 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差数列的通项公式： 或=pn+q (p、q是常 数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=－② d=③ d= 4．等差中项：成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n项和公式 6.等差数列的前项和公式 （1）（2）（3），当d≠0，是一个常数项为零的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用：当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n 的值 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n 的值 （2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 等比数列 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比数列的通项公 式:，

3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q， 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性： 当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列; 当q=1时, {}是常数列; 当q<0时, {}是摆动数列; 等比数列前n项和 等比数列的前n项和公式： ∴当时，①或② 当q=1时， 当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②. 数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 解：设数列公差为 ∵成等比数列，∴， 即 ∵，∴………………………………① ∵∴…………② 由①②得：，

7.数列的综合应用之一(数列与函数的综合)

数列的综合应用 数列综合应用题型分类: 一、数列与函数的综合; 二、数列与不等式的综合； 三、数列与平面解析几何的综合； 四、数列与极限、数学归纳法、导数等知识的综合。 数列与函数的综合应用 ——数列的综合应用之一 一、典例培析 1、已知函数2*1 ()(,,)ax f x a b N c R bx c += ∈∈+是奇函数，在区间(0,)+∞上()(1)f x f ≥恒成立，且(1)1f ≥ （1）求函数()f x 的解析式； （2）是否存在这样的区间D ：①D 是()f x 定义上的一个子区间；②对任意12,,x x D ∈当 1212120,|()||()|x x x x f x f x ><<且时有，若存在，求出区间D ；若不存在，说明理由。 （3）若数列{}n a ，{}n b 满足关系：111 ,()12n n n n n b a a f a b ++==-，当13a =时，求数列{} n b 的通项公式，且当{}n b 的前n 项之积1 128 n T ≥时，求n 的最大值。 2 、已知函数()2)f x x = <- （1）求()f x 的反函数1 ()f x -； （2）设1*11 1 1,()()n n a f a n N a -+==-∈，求n a ； （3）设22 2121, n n n n n S a a a b S S +=+++=- 是否存在最小正整数m ，使得对任意* n N ∈，都有25 n m b <成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。

3、定义：称 12n n p p p +++ 为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”。若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 1 21 n +， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21 n n a C n =+，试判断并说明*1()n n C C n N +-∈的符号； （3）设函数2()421 n a f x x x n =-+-+是否存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切* n N ∈， 都有()0f x ≤成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。 4、设数列{},{}n n a b 满足：1122336,4,3a b a b a b ======且数列1{}n n a a +-是等差数列，{2}n b -是等比数列。 （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）是否存在* k N ∈，使1 02 k k a b <-< ？若存在，求出k ；若不存在，说明理由。 5、已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且，若数列*122,(),()(),24()n f a f a f a n n N +∈ 成等差数列， （1）求{}n a 的通项公式； （2）若01a <<，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞ ； (3)记n m S →表示这个数列的第n 项到第m 项共1m n -+项的和，求证： ,,n n m p p m S S →+→+*(2,,,)r r m S p r n m n p r N →+=+∈且成等比数列； （4）若2a =，设()n n n b a f a =?对任意* n N ∈，都有1()n b f t ->，求t 的范围。 6、已知*111 1()23n S n N n =++++∈ ，设211()n n f n S S ++=-，试确定实数m 的取值范围，使得对于任意2n ≥，不等式：2 2111()[log (1)][log ]20 m m f n m m ->--恒成立。

函数与数列综合复习

学员编号： 年 级：高二 课 时 数：2小时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：曾老师 课程主题：函数与数列综合复习 授课时间：2019. 学习目标 1．函数综合复习 2．数列综合复习 3．推升学生解题经验和运算巧 教学内容 数列综合卷一 一、选择题 1. 已知等差数列{}n a 满足56=28a a +，则其前10项之和为 （ ） A . 140 B . 280 C . 168 D . 56 2. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是 A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列 3. 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为( ) A.130 B.170 C. 210 D. 260 4．已知数列 满足：10a > ，11 2n n a a +=，则数列是（ ）[ A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 不确定 5. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．－90 B ．－180 C ．90 D ． 180 6．设数列的前n 项和，则8a 的值为（ ） A . 15 B. 16 C. 49 D. 64 7. 已知等比数列满足，且，则当 时， （ ） {}n a {}n a {}n a 2n S n ={}n a 0,1,2,n a n >=L 25252(3)n n a a n -?=≥1 n ≥2123221log log log n a a a -+++=L

数列的函数特征(学生版)

数列的函数特征 1、数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n＝f(n)(n∈N*)．数列的函数图像是一群孤立的点。 2、数列的增减性 (1)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递增数列； (2)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递减数列； (3)若，n∈N*，则数列{a n}叫作常数列； (4)若a n的符号或大小交替出现，则数列{a n}叫作摆动数列． 3、数列的最大项与最小项 (1)若a n是最大项，则；(2)若a n是最小项，则。 4、数列的周期性 对于数列{a n}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使a n＋T＝a n，对一切n∈N*恒成立，则称数列{a n}为周期数列，T就是它的一个周期． 考向一数列的单调性 例1—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2 n2＋1 ，判断数列{a n}的增减性．

例1—2 已知数列{a n}的通项公式是a n＝an bn＋1 ，其中a，b均为正常数，则该数列是单调递__________数列． ①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n＋1的大小关系，若a n＞a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递减数列；若a n＜a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n}的通项公式a n＝f(n)对应函数的单调性来确定数列的单调性． 变式1—1 已知数列{a n}的通项公式是a n＝ kn 2n＋3 (k∈R)． (1)当k＝1时，判断数列{a n}的单调性；(2)若数列{a n}是递减数列，求实数k的取值范围． 变式1—2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ 1 1＋n2－n ，n∈N*，则该数列是单调递__________数列． 考向二数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4 (n∈N*)，则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．