初中圆垂径定理

垂径定理

2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°

初三圆垂径定理

垂直于弦的直径 学习要求 1．理解圆是轴对称图形． 2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论． 课堂学习检测 一、基础知识填空 1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________． 2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题 4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm． 5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm． 5题图 6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______． 6题图 7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______． 7题图 8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD 的距离是______． 8题图 9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．

9题图 10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm． 10题图 综合、运用、诊断 11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长． 12．已知：如图，试用尺规将它四等分． 13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．

初中数学垂径定理中考题精选

初中数学垂径定理练习 一．选择题（共13小题） 1．（2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015?东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（） A．6B．13 C．D．2 3．（2015?上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（） A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：1 4．（2014?乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（） A．B．C．3D．2 5．（2014?安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014?简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（） A．3B．6C．9D．12 7．（2014?宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（） A．B．C．6D． 8．（2014?河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）

九年级数学垂径定理

初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲 一. 本周教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()() 1234 ??? O B' M' A' B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案

3.3垂径定理;; 一、教学目标;; 1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 四、教学难点 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 五、教学过程 （一）导入新课 引导学生说出点与圆的位置关系： （二）讲授新课 活动内容1： 探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径 1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. ２.连接圆上任意两点的线段叫做弦. ３.经过圆心的弦叫做直径 探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

小明发现图中有: 理由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 和重合和重合 AC BC,AD BD. ∴== AC BC,AD BD. 活动2：探究归纳 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

（三）重难点精讲 例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求 AB. 证明：连接OA ， ∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形. 在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：2 22AO OM AM =+， AM 8===， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16. 例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？

初三数学垂径定理讲义

学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识梳理

二、知识概念 垂径定理 1、内容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 2、逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧 （2）平分弦 (不是直径) （3）垂直于弦 （4）经过圆心 考点一：垂径定理及其推论 例1、下列说法不正确的是（） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影 部分的面积为（） A．B．π C．2πD．4π

例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A 的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标 是（） A．（0，0）B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1） 例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点 D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（） A．6B．9﹣ C．D．25﹣3 例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点 有（）个． A．1B．2C．3D．0 考点二：应用垂径定理解决实际问题 例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

初三数学圆的垂径定理

圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）. A.24 B.28 C.52 D.54 答案：D ． 考点:垂径定理与勾股定理. 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 答案：C 解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4 5 ，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453 CE =，所以， CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】 （A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠ 【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为 ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧 AC ，根据同弧所对的圆周角相等 可知（D ）一定正确。 【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ， cm B cm cm 或cm D cm 或cm B

九年级上学期圆的定义及垂径定理

【圆的认识】第11份 1、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。 2、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有 3、下列四个命题：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中假命题有 4、若OP的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点O与OP的位置关系是（ ) A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定 5、圆上各点到圆心的距离都等于 , 到圆心距离等于半径的点都在 . 6、一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为9，则此圆的半径是__________. 7、如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形． 8、⊙0的半径为13cm，圆心O到直线l的距离d=OD=5cm．在直线l上有三点P,Q,R，且PD = 12cm, QD<12cm, RD>12cm，则点P在，点Q在，点R在 . 9、如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO均为矩形，BC=a,EF=b, NH=C，则a,b,c有什么关系？ 10、⊙0的半径为2，点P到圆心的距离OP=m, 且m使关于二的方程2x2-22x+m-1=0有实根，试确定点P 的位置． 11、如图，点P的坐标为（4,0),圆P的半径为5，且圆P与x轴交于点A,B，与y轴交于点 C,D, 试求出点A , B,C,D的坐标．12、下列说法正确的是（ ) A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线 C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆 13、直角三角形两直角边长分别为3和l，那么它的外接圆的直径是（ ) 14、下图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整． 15、_______ 三角形的外心在它的内部,_______三角形的外心在它的外部；直角三角形的外心在 ______________. 16、下列命题正确的个数有（ ) ①矩形的四个顶点在同一个圆上；②梯形的四个顶点在同一个圆上； ③菱形的四边中点在同一个圆上；④平行四边形的四边中点在同一个圆上． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17、在Rt△ABC中，AB=6 , BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（） A. 5 B.10 C.5 或4 D. 10或8 18、已知等腰三角形ABC中，AB=AC，O是ABC ?的外接圆，若O的半径是4，120 BOC ∠=，求AB的长. 19、如图所示，平原上有三个村庄A、B、C，现计划打一口水井p，使水井到三个村庄的距离相等。 （1）在图中画出水井p的位置； （2）若再建一个工厂D，使工厂D到水井的距离等于水井到三个村庄的距离，且工厂D到A、C两个村庄的距离相等，工厂D应建在何处？请画出其位置. .A

九年级《圆》垂径定理练习及答案资料

九年级《圆》垂径定理练习及答案

九年级《圆》垂径定理练习 一、选择题 1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC 为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是( ) A. D在圆内 B．D在圆上 C．D 在圆外 D．不能确定 2．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；④半径相等的两个半圆是等 弧．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下面的四个判断中，正确的一个是( ) A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦； B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦； C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦； D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦．

4．下列说法中，正确的有( )①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上； ③正方形四条边的中点在同一个圆上；④平行四边形四条边的中点在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是( ) A．AC=CB B. C. D. OC=CN 6．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 c( ) A．B． C. 8 cm D． 7．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于( ) A．6 cm B． C．8 cm D． 8．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4， CE=2，那么⊙O的半径等于( )A. 5 B. C.

人教版九年级数学垂径定理练习题

人教版九年级数学垂径 定理练习题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

垂径定理练习题 班级：姓名： 一.选择题 1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（） A．4B．6 C．7D．8 2．如图2，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（） A．2B．3 C．4D．5 3．过⊙O内一点M的最长弦为10?cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cmB．6cmC．3cmD．cm 41 4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位 5．如图5，O ⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cm CD=，则直径AB的长是（） A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 6．如右下图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中错误的是（） A.CE=DE B. ? ? =BD BC C.BAD BAC∠ = ∠ D.AD AC> 图5 7．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm, 则AB与CD之间的距离为() A．1 cmB．7cmC．3 cm或4 cmD．1cm或7cm 二.填空题 1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C， OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm 3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米 6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.

圆的基本性质和垂径定理

圆中的计算垂径定理 教学设计 【内容分析】 垂径定理及其推论是圆的性质部分非常重要的定理。垂径定理为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在中考考点上属于高频考点。垂径定理的学习无论从知识上，还是从学生能力的培养及学习信心的提升都起着重要的作用。 【学情分析】 学生是我自己所任教班级的学生，整体学习能力薄弱，中下生若多。他们在初三上学期已经完成垂径定理的学习，在运用定理方面仍不够灵活、熟练，又因为圆的知识点长时间运用，遗忘率很高。学生的基础弱，遇到不懂的题目，容易放弃，他们的自信心明显不足，大部分学生口头语言表达能力较弱，自我探索解题思路欠缺，分析问题需要老师引导。目前，有大部分学生，肯在老师的引导下，努力解题，由被动转向主动学习。 【教学目标】 1.进一步熟悉垂径定理及其推论的应用； 2.通过教学，提高学生分析基本图形、添加适当的辅助线探索解题思路的能力；通过 把实际问题转化一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问 题的能力； 3.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形等数学思想； 4. 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学 的信心和热情。 【教学重点】 1.垂径定理及其推论的灵活运用； 2.定理应用过程的方法提炼和计算能力的训练提升。 【教学难点】 添加辅助线和把实际问题转化成数学问题，并用定理及其推论解决问题。 【任务分析】 学生中下面较广，知识点掌握不牢固，遗忘率很高。通过感知基础图形，动手画变式图形，达到巩固垂径定理，从而用垂径定理解决圆中有关计算。 【教学策略】 引入采用启发、类比，教学过程采用变式训练、分组训练、数学建模。

新人教版九年级数学上圆的概念与垂径定理

圆的概念与垂径定理 知识点一、圆的定义 1、圆的第一定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O． 2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也． 3．圆的第二定义： 由圆的定义可知： (1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ：一个是圆心，另一个是半径，其中，注意：由圆的概念可知：○1“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而 不是圆面。 ○2确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。 例题1 ○1经过P点的圆有无数个； ○2以P为圆心的圆有无数个； ○3半径为3cm且经过P点的圆有无数个； ○4以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 知识点二、圆的有关概念 1．弦： 连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦． 2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作?AC， 读作圆弧AC或弧AC． 3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ABC叫做优弧） 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示? 小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）?AC或?BC叫做劣弧．5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 例题2：下列命题中，正确的个数是（）。 ○1直径是圆中最长的弦；○2弧是半圆；○3过圆心的直线是直径；○4半圆不是弧。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例题3：下列几个命题中，正确的是（）

中学垂径定理总结归纳

中学垂径定理总结归纳 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米O 图 4 E D C B A 答案：63 cm ★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm. 答案：63 cm ★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm

初中数学垂径定理(中考题精选)

45。的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相 2: 1,则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（ ） C . 2: 1 D. - L : 1 初中数学垂径定理练习 ?选择题（共13小题） 1.（ 2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm ， 2. （ 2015?东河区一模）如图，O O 过点B 、C,圆心O 在等腰直角三角形的 ABC 的内部, BC=6，则O O 的半径为（ ） 4. （20PP?乌鲁木齐）如图，半径为3的O O 内有一点 A , OA= 乙点 P 在O O 上，当/ OPA 最大时，PA 的长等于（ ） C. 3 5. （ 20PP?安溪县校级二模）如图，在 5X5正方形网格中，一条圆弧经过 A , B, C 三点, 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） 则该半圆的半径为（ ） A . （ 4+寸 5）cm B ? 9cm B . 13 3. （ 2015?上城区一模）一张圆心角 为 同的长方形，若长方形长和宽的比值 为

C . 9 D . 12 7. （ 20PP?宝安区二模）如图，将半径为 6的O O 沿AB 折叠，.「与AB 垂直的半径 0C 交 于点D 且CD=20D ，则折痕AB 的长为（ ） A . 「 B .2 C. 6 D | '； &（20PP?河北区三模）如图，以（3, 0）为圆心作O A , O A 与P 轴交于点B （ 0, 2），与 G 轴交于 C 、 D , P 为O A 上不同于C 、D 的任意一点，连接PC 、PD,过A 点分别作A E 丄PC 2 2 于E, AF 丄PD 于F.设点P 的横坐标为G, AE +AF =P.当P 点在O A 上顺时针从点 C 运 到点D 的过程中，下列图象中能表示 P 与G 的函数关系的图象是（ ） O A . 3

2020苏教版九年级数学上册 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习含答案

【文库独家】 九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ A D B O C E 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5 10.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

初中数学垂径定理(中考题精选).

D ． （ 初中数学垂径定理练习 一．选择题（共 13 小题） 1． （2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2， 则该半圆的半径为（ ） A ． cm B ．9 cm C ． cm cm 2． （2015?东河区一模）如图，⊙O 过点 B 、C ，圆心 O 在等腰直角三角形的 ABC 的内部， ∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O 的半径为（ ） A ．6 B ．13 C ． D ．2 3． （2015?上城区一模）一张圆心角为 45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相 同的长方形，若长方形长和宽的比值为 2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（ ） A ．2 ：1 B ． ：1 C ．2：1 D ． ：1 4． 2014?乌鲁木齐）如图，半径为 3 的⊙O 内有一点 A ，OA= 最大时，PA 的长等于（ ） ，点 P 在⊙O 上，当∠OP A A ． B ． C ．3 D ．2 5． （2014?安溪县校级二模）如图，在5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点，那 么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

（ A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．2014?简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（） A．3B．6C．9D．12 7．（2014?宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠， 于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（） 与AB垂直的半径OC交 A．B．C．6D． 8．（2014?河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与 x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）

中考数学专题练习圆的垂径定理的应用(含解析)

2019中考数学专题练习-圆的垂径定理的应用（含解析） 一、单选题 1.如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（） A. 5cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 2.下列命题：①三点确定一个圆，②弦的平分线过圆心，③弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径，④平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（） A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0个 3.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB 的长是( ) A. 4 B. 6

C. 8 D. 10 4.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8 米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4 5.如图，⊙O的弦AB=8，C是AB的中点，且OC=3，则⊙O的半径等于( ) A. 8 B. 5 C. 10 D. 4 6.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径 为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 7.如图，以O为圆心的两个同心圆中，半径分别为3和5，若大圆的弦AB与小 圆相交，则弦AB的长的取值范围是（）

A. 8≤AB≤10 B. 8

初三垂径定理练习题及答案

垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB 的长是（） A．4 B．6 C．7 D．8 答案：D ★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段 OM长的最小值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B ★★3．过⊙O一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（） A．9cm B．6cm C．3cm D．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在 O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8 个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cm CD ， 则直径AB的长是（） A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径 为13米，则拱高为( ) A．5米B．8米C．7米D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之 间的距离为( ) A． 1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 答案：D

初三数学培优卷(垂径定理+圆中的角)

?第2题图 G F O E D C B A 垂径定理+圆中的角 【例】如图，半径为2的圆有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则2 2CD AB +＝（ ） A 、28 B 、26 C 、18 D 、35 练习1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、 BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。 2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。 例 图 E O D C B A

3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。 4. 圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜5 圆中的角度问题 例.如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000 ，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。 一、选择题： 2、已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝500，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是（ ） A 、650 B 、1150 C 、650或1150 D 、1300或500 P ' ? 例 1 图 P C B A

初三数学垂径定理及其推论

垂径定理及其推论 （垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.巧妙地应用常用辅助线将会使你在解题过程中感受“山重水重疑无路，柳暗花明又一村”的惊喜，也会大大提高你的解题能力.） 一.填空题 1.圆内一弦与直径相交成30°，且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为 . 2. 已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，且DM=5cm，CM=10cm，则AB= cm. 3. 圆的两弦AB=18cm，CD=24cm，AB∥CD，又两弦之间的距离为3cm，则此圆的半径为. 4.在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB=11，CD=5，大圆的半径为R，小圆的半径为r，则（R+r）（R-r）的值= 二.选择题 1.如右图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB＝10cm，CD＝8cm， 那么A、B两点到直线CD的距离之和为（） A.5cm B.6cm C.4cm D.9cm 2.如右图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上的 ）个。 一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ A.2 B.3 C.4 D.5 三.证明题 1.如图，AB是O的直径，C是AE的中点， CD AB，垂足为D，CD与AE相交于F。 求证：AF=CF

B A 2.如图，△ABC 是O 的内接三角形，AE ⊥BC 于E,D 是BC 的中点，连结OA 、AD. 求证：AD 平分∠ OAE D 3.如图，△ABC 内接于O ，BD ⊥AO 交AC 于D ， 求证：AB AC BD BC =

初三数学圆的性质定理

初三数学圆的性质定理 1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴. 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 4、垂径定理的应用： ①用直尺和圆规平分一条弧. 作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理； ②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这 个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段. 例1、如图，已知以点 O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AD交小圆于 B、C. (1)求证： AB=CD (2)如果 AD=6cm， BC=4cm，求圆环的面积 . 1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半 . 3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等 . ②半圆（或直径） 所对圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径 . ③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 4．圆的内接四边形： ①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形， 这个圆叫做这个多边形的外接圆. ②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 例2、如图， AB是⊙ O的直径， BC是弦， OD⊥BC于 E，交 BC于 D.若 BC=8， ED=2，求⊙O的半径 . 解： 1、如图，已知 AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点 P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙ O的半径是（ ）

九年级数学初三下册：3.3 垂径定理教案 教学设计

*3.3 垂径定理 1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________. 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误. (1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________. 第2题图第3题图 3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm. 4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长. 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( ) A.32 B.33 C. 22 3 D. 23 3

第1题图第2题图 2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( ) A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ 5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于 今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米. 6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C. (1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法) (2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保 留根号) (3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.