浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测四导数及其应用单元检测含解析201905072122

单元检测四 导数及其应用

(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列求导运算正确的是( ) A.? ??

??x ＋1x

2′＝1＋1x

3B

．(log 3x )′＝

1x lg3

C ．(3x )′＝3x

·ln3 D ．(x 2

sin x )′＝2x cos x

答案 C

解析 由求导法则可知C 正确．

2．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2

f ′(a )，且f (1)＝－1，则实数a 的值为( ) A ．－1

2或1

B.12 C ．1 D ．2

答案 C

解析 令x ＝1，则f (1)＝ln1＋f ′(a )＝－1， 可得f ′(a )＝－1.

令x ＝a >0，则f ′(a )＝1

a

＋2af ′(a )，

即2a 2

－a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－12

(舍去)．

3．若函数f (x )＝x e x

的图象的切线的倾斜角大于π2，则x 的取值范围是( )

A ．(－∞，0)

B ．(－∞，－1)

C ．(－∞，－1]

D ．(－∞，1)

答案 B

解析 f ′(x )＝e x

＋x e x

＝(x ＋1)e x

， 又切线的倾斜角大于π

2

，

所以f ′(x )<0，即(x ＋1)e x

<0，解得x <－1.

4．函数f (x )＝e

|x |

3x

的部分图象大致为( )

答案 C

解析 由题意得f (x )为奇函数，排除B ； 又f (1)＝e

3<1，排除A ；

当x >0时，f (x )＝e

x

3x

，

所以f ′(x )＝(x －1)e

x 3x 2

，函数f (x )在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增，排除D.

5．若函数f (x )＝ln x ＋ax 2

－2在区间? ??

??12，2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是

( )

A ．(－∞，－2] B.? ??

??－18，＋∞

C.? ????－2，－18 D ．(－2，＋∞)

答案 D

解析 对f (x )求导得f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2

＋1

x

，

由题意可得2ax 2

＋1>0在? ????12，2内有解，

所以a >? ????－12x 2min . 因为x ∈? ??

??12，2，

所以x 2

∈? ????14，4，? ????－12x 2∈? ????－2，－18，

所以a >－2.

6.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )

①f (b )>f (a )>f (c )；

②函数f (x )在x ＝c 处取得极小值，在x ＝e 处取得极大值； ③函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值； ④函数f (x )的最小值为f (d )．

A ．③B．①②C．③④D．④ 答案 A

解析 由导函数的图象可知函数f (x )在区间(－∞，c )，(e ，＋∞)内，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在区间(－∞，c )，(e ，＋∞)内单调递增，在区间(c ，e )内，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在区间(c ，e )内单调递减． 所以f (c )>f (a )，所以①错；

函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值，故②错，③对； 函数f (x )没有最小值，故④错．

7．已知函数f (x )＝(x 2

－mx －m )e x

＋2m (m ∈R )在x ＝0处取得极小值，则f (x )的极大值是( )

A ．4e －2

B ．4e 2

C ．e －2

D ．e 2 答案 A

解析 由题意知，f ′(x )＝[x 2

＋(2－m )x －2m ]e x

，

f ′(0)＝－2m ＝0，解得m ＝0，

∴f (x )＝x 2e x

，f ′(x )＝(x 2

＋2x )e x

. 令f ′(x )>0，解得x <－2或x >0， 令f ′(x )<0，解得－2

则函数f (x )在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2,0)上单调递减， ∴函数f (x )的极大值为f (－2)＝4e －2

.故选A.

8．设函数f (x )＝min ?

?????

x ln x ，x 2

e x (min{a ，b }表示a ，b 中的较小者)，则函数

f (x )的最大值为

( )

A.32ln2B ．2ln2C.1e D.4

e 2 答案 D

解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 由y 1＝x ln x 得y 1′＝ln x ＋1， 令y 1′＝0，解得x ＝1e

，

∴y 1＝x ln x 在? ????0，1e 上单调递减，在? ??

??1e ，＋∞上单调递增． 由y 2＝x 2

e x ，x >0得y 2′＝2x －x

2

e x ，

令y 2′＝0，x >0，解得x ＝2，

∴y 2＝x 2

e

x 在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，作出示意图如图，

当x ＝2时，y 1＝2ln2，y 2＝4

e

2.

∵2ln2>4e 2，∴y 1＝x ln x 与y 2＝x

2

e x 的交点在(1,2)内，

∴函数f (x )的最大值为4

e

2.

9．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )

x

>0，则对于任意的a ，b ∈ (0，＋∞)，当a >b 时，有( ) A ．af (a )bf (b ) C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )

答案 B

解析 由f ′(x )＋f (x )x >0，得xf ′(x )＋f (x )

x

>0， 即

[xf (x )]′

x

>0，即[xf (x )]′x >0.

∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，

由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.

10．(2018·温州“十五校联合体”联考)已知函数f (x )＝2x －e 2x

(e 为自然对数的底数)，g (x )＝mx ＋1(m ∈R )，若对于任意的x 1∈[－1,1]，总存在x 0∈[－1,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，1－e 2

]∪[e 2

－1，＋∞) B ．[1－e 2

，e 2

－1]

C ．(－∞，e －2

－1]∪[1－e －2

，＋∞) D ．[e －2

－1,1－e －2

] 答案 A

解析 ∵f ′(x )＝2－2e 2x

，∴f (x )在区间[－1,0]上为增函数，在区间[0,1]上为减函数， ∵f (－1)－f (1)＝(－2－e －2

)－(2－e 2

)＝e 2

－e －2

－4>0， ∴f (－1)>f (1)，

又f (0)＝－1，则函数f (x )在区间[－1,1]上的值域为

A ＝[2－e 2，－1]．

当m >0时，函数g (x )在区间[－1,1]上的值域为

B ＝[－m ＋1，m ＋1]．

依题意有A ?B ，则有???

??

－m ＋1≤2－e 2

，m ＋1≥－1，

得m ≥e 2

－1.

当m ＝0时，函数g (x )在区间[－1,1]上的值域为B ＝{1}，不符合题意． 当m <0时，函数g (x )在区间[－1,1]上的值域为

B ＝[m ＋1，－m ＋1]．

依题意有A ?B ，则有???

?

?

m ＋1≤2－e 2

，－m ＋1≥－1，

得m ≤1－e 2

.

综上，实数m 的取值范围为(－∞，1－e 2

]∪[e 2

－1，＋∞)．

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)

11．已知直线y ＝kx 与函数f (x )＝e x

(其中e 为自然对数的底数)的图象相切，则实数k 的值为________；切点坐标为________． 答案 e (1，e)

解析 设切点坐标为(x ，y )，需满足???

??

e x

＝y

e x

＝k

y x ＝k ，

所以解得x ＝1，y ＝e ，k ＝e ， 所以k ＝e ，切点坐标为(1，e)．

12．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________________；函数f (x )＝x ln x 的最小值为________． 答案 x －y －1＝0 －1

e

解析 由题意得f ′(x )＝1＋ln x ， 所以f ′(1)＝1，

则所求切线方程为x －y －1＝0. 由f ′(x )＝1＋ln x <0得0

e ；

由f ′(x )＝1＋ln x >0得x >1

e

，

所以函数f (x )＝x ln x 在? ????0，1e 上单调递减，在? ??

??1e ，＋∞上单调递增， 所以函数f (x )＝x ln x 在x ＝1e 处取得最小值，最小值为f ? ????1e ＝1e ln 1

e

＝－1e .

13．(2018·宁波九校期末)函数f (x )＝x 3

－2x ＋e x －e －x

是________函数(填“奇”或“偶”)，在R 上的增减性为________．(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”) 答案 奇 单调递增

解析 ∵函数f (x )＝x 3

－2x ＋e x －e －x

， ∴它的定义域为R ，

且满足f (－x )＝－x 3

＋2x ＋e －x

－e x

＝－f (x )， 故函数f (x )为奇函数．

由于函数的导数f ′(x )＝3x 2

－2＋(e x ＋e －x )≥3x 2－2＋2＝3x 2

≥0， 故函数在R 上单调递增．

14．(2018·诸暨检测)已知函数f (x )＝x 3

－3x ，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程是________；函数f (x )在[0,2]内的值域是________． 答案 y ＝－3x [－2,2] 解析 ∵f (x )＝x 3

－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2

－3，

又∵f (0)＝0，f ′(0)＝－3，

∴函数f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝－3x . 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，

当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表.

↗

∴在[0,1]上，f (x )是减函数，其最小值为f (1)＝－2，最大值为f (0)＝0；在[1,2]上，f (x )是增函数，其最小值为f (1)＝－2，最大值为f (2)＝2.综上，在[0,2]上，f (x )的值域为[－2,2]．

15．已知函数f (x )＝ln x 2＋1

2

，g (x )＝e x －2，若g (m )＝f (n )成立，则n －m 的最小值为________．

答案 ln2

解析 令f (n )＝g (m )＝k (k >0)， 则由ln n 2＋1

2＝k ，解得n ＝2e

k

e ，

由e

m －2

＝k ，解得m ＝ln k ＋2， 则n －m ＝2e k

e

－ln k －2， 令h (k )＝

2e

k

e

－ln k －2，

则h ′(k )＝

2e

k

e

－1

k

，

由h ′(k )＝0得k ＝12，且当k ∈? ????0，12时，h ′(k )<0，h (k )单调递减，当k ∈? ??

??12，＋∞时，h ′(k )>0，h (k )单调递增，

则h (k )min ＝h ? ??

??12＝ln2，

即n －m 的最小值是ln2.

16．设实数λ>0，若对任意的x ∈(0，＋∞)，不等式e λx

－ln x λ≥0恒成立，则λ的最小值

为________． 答案 1e

解析 当x ∈(0,1]时，λ>0，不等式e λx

－ln x λ≥0显然成立，λ可取任意正实数；

当x ∈(1，＋∞)时，e λx －ln x λ≥0?λe λx ≥ln x ?λx ·e λx ≥ln x ·e ln x

，

设函数f (x )＝x ·e x

(x >0)，而f ′(x )＝(x ＋1)·e x

>0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，

那么由λx ·e λx ≥ln x ·e ln x

可得λx ≥ln x ?λ≥ln x x

.

令g (x )＝ln x

x

(x >1)，

而g ′(x )＝1－ln x

x

2

， 易知函数g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 那么g (x )max ＝g (e)＝1e ，则有λ≥1e .

综上分析可知，λ的最小值为1

e

.

17．对于定义在R 上的函数f (x )，若存在非零实数x 0，使函数f (x )在(－∞，x 0)和(x 0，＋∞)上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“折点”．现给出下列四个函数： ①f (x )＝3

|x －1|

＋2；

②f (x )＝lg|x ＋2019|； ③f (x )＝x 3

3－x －1；

④f (x )＝x 2

＋2mx －1(m ∈R )．

则存在“折点”的函数是________．(填序号) 答案 ②④ 解析 因为f (x )＝3

|x －1|

＋2>2，

所以函数f (x )不存在零点， 所以函数f (x )不存在“折点”；

对于函数f (x )＝lg|x ＋2019|，取x 0＝－2019， 则函数f (x )在(－∞，－2019)上有零点x ＝－2020， 在(－2019，＋∞)上有零点x ＝－2018，

所以x 0＝－2019是函数f (x )＝lg|x ＋2019|的一个“折点”； 对于函数f (x )＝x 3

3－x －1，

则f ′(x )＝x 2

－1＝(x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )>0，得x >1或x <－1； 令f ′(x )<0，得－1

所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减． 又f (－1)＝－1

3

<0，

所以函数f (x )只有一个零点，

所以函数f (x )＝x 3

3－x －1不存在“折点”；

对于函数f (x )＝x 2

＋2mx －1＝(x ＋m )2

－m 2

－1， 由于f (－m )＝－m 2－1≤－1，

结合图象(图略)可知该函数一定有“折点”． 综上，存在“折点”的函数是②④.

三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知函数f (x )＝e x

＋ln x .

(1)求函数y ＝f ′(x )在区间[1，＋∞)内的最小值；

(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，恒有f (x )≥e＋m (x －1)，求实数m 的取值范围． 解 (1)令y ＝h (x )＝f ′(x )＝e x

＋1x

，

则h ′(x )＝e x

－1x

2，

则当x ∈[1，＋∞)时，e x

≥e，1x

2≤1，

所以h ′(x )>0，即h (x )在区间[1，＋∞)内是增函数， 于是y ＝f ′(x )在区间[1，＋∞)内的最小值为h (1)＝e ＋1.

(2)令g (x )＝f (x )－e －m (x －1)，则g (x )≥0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 且发现g (1)＝0，g ′(x )＝1x

＋e x

－m .

由(1)知当m ≤e＋1时，g ′(x )≥0，

此时g (x )单调递增，于是g (x )≥g (1)＝0，成立； 当m >e ＋1时，则存在t ∈(1，＋∞)，使得g ′(t )＝0， 当x ∈(1，t )时，g ′(x )<0，当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>0， 此时g (x )min ＝g (t )

综上得m ≤e＋1，即实数m 的取值范围为(－∞，e ＋1]． 19．(15分)已知函数f (x )＝2x ＋2

x

＋a ln x ，a ∈R .

(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；

(2)记函数g (x )＝x 2

[f ′(x )＋2x －2]，若g (x )的最小值是－6，求函数f (x )的解析式． 解 (1)由题意知f ′(x )＝2－2x 2＋a

x

≥0在区间[1，＋∞)内恒成立，

所以a ≥2

x

－2x 在区间[1，＋∞)内恒成立．

令h (x )＝2

x

－2x ，x ∈[1，＋∞)，

因为h ′(x )＝－2

x

2－2<0恒成立，

所以h (x )在区间[1，＋∞)内单调递减， 所以h (x )max ＝h (1)＝0，所以a ≥0， 即实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)g (x )＝2x 3

＋ax －2，x >0.

因为g ′(x )＝6x 2

＋a ，当a ≥0时，g ′(x )>0恒成立，

所以g (x )在区间(0，＋∞)内单调递增，无最小值，不合题意，所以a <0. 令g ′(x )＝0，则x ＝

－a

6

或x ＝－－a

6

(舍去)， 由此可得函数g (x )在区间? ?

???0，－a 6内单调递减，在区间?

??

??

－a 6，＋∞内单调递增， 则x ＝

－a

6

是函数g (x )的极小值点，也是最小值点， 所以g (x )min ＝g (x )极小值＝g ?

??

??

－a 6＝－6， 解得a ＝－6，所以f (x )＝2x ＋2

x

－6ln x .

20．(15分)(2019·舟山模拟)已知函数f (x )＝ln x －x ，g (x )＝ax 2

＋2x (a <0)．

(1)求函数f (x )在区间????

??1e ，e 上的最值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的极值点． 解 (1)依题意，f ′(x )＝1

x

－1，

令1

x

－1＝0，解得x ＝1.

因为f (1)＝－1，f ? ????1e ＝－1－1e ，f (e)＝1－e ， 且1－e<－1－1

e

<－1，

故函数f (x )在区间????

??1e ，e 上的最大值为－1，最小值为1－e. (2)依题意，h (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax 2

＋x (x >0)， h ′(x )＝1x ＋2ax ＋1＝2ax 2

＋x ＋1

x

，

当a <0时，令h ′(x )＝0，则2ax 2

＋x ＋1＝0. 因为Δ＝1－8a >0，

所以h ′(x )＝2ax 2

＋x ＋1x ＝2a (x －x 1)(x －x 2)

x

，

其中x 1＝－1－1－8a 4a ，x 2＝－1＋1－8a 4a .

因为a <0，所以x 1<0，x 2>0， 所以当00； 当x >x 2时，h ′(x )<0，

所以函数h (x )在区间(0，x 2)内是增函数，在区间(x 2，＋∞)内是减函数， 故x 2＝－1＋1－8a

4a 为函数h (x )的极大值点，无极小值点．

21．(15分)已知函数f (x )＝5＋ln x ，g (x )＝

kx

x ＋1

(k ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数y ＝g (x )的图象相切，求k 的值； (2)若k ∈N *

，且x ∈(1，＋∞)时，恒有f (x )>g (x )，求k 的最大值． (参考数据：ln5≈1.6094，ln6≈1.7918，ln(2＋1)≈0.8814) 解 (1)∵f (x )＝5＋ln x ，∴f (1)＝5，且f ′(x )＝1

x

，

从而得到f ′(1)＝1.

∴函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －5＝x －1，即y ＝x ＋4. 设直线y ＝x ＋4与g (x )＝

kx

x ＋1

(k ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，

从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0＋4， 又g ′(x )＝k

(x ＋1)

2，

∴?????

k (x 0＋1)2

＝1，kx 0

x 0

＋1＝x 0

＋4，

解得?

??

??

x 0＝2，

k ＝9或?

??

??

x 0＝－2，

k ＝1.

∴k 的值为1或9.

(2)由题意知，当x ∈(1，＋∞)时，5＋ln x >kx

1＋x 恒成立， 等价于当x ∈(1，＋∞)时，k <(x ＋1)(5＋ln x )

x

恒成立．

设h (x )＝(x ＋1)(5＋ln x )x

(x >1)，

则h ′(x )＝

x －4－ln x

x 2

(x >1)，

记p (x )＝x －4－ln x (x >1)， 则p ′(x )＝1－1x ＝x －1

x

>0，

∴p (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增． 又p (5)＝1－ln5<0，p (6)＝2－ln6>0，

∴在x ∈(1，＋∞)上存在唯一的实数m ，且m ∈(5,6)， 使得p (m )＝m －4－ln m ＝0，①

∴当x ∈(1，m )时，p (x )<0，即h ′(x )<0， 则h (x )在x ∈(1，m )上单调递减，

当x ∈(m ，＋∞)时，p (x )>0，即h ′(x )>0， 则h (x )在x ∈(m ，＋∞)上单调递增，

∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )min ＝h (m )＝(m ＋1)(5＋ln m )m

，

由①可得ln m ＝m －4，

∴h (m )＝(m ＋1)(m ＋1)m ＝m ＋1m

＋2，

而m ∈(5,6)，∴m ＋1m ＋2∈? ????365，496，

又当m ＝3＋22时，h (m )＝8，

p (3＋22)＝22－1－ln(3＋22)>0，

∴m ∈(5,3＋22)，∴h (m )∈? ??

??365，8.

又k ∈N *

，∴k 的最大值是7.

22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －m e x

的图象在点(1，f (1))处的切线与直线l ：x ＋(1－e)y ＝0垂直，其中e 为自然对数的底数．

(1)求实数m 的值及函数f (x )在区间[1，＋∞)内的最大值． (2)①求证：函数f (x )有且仅有一个极值点． ②求证：f (x )

－2x －1.

(1)解 由题意得f ′(x )＝1x

－m e x

，

直线l ：x ＋(1－e)y ＝0的斜率为－1

1－e

，

故函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为1－e ， 即f ′(1)＝1－m e ＝1－e ，所以m ＝1.

当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )＝1x

－e x

单调递减，

即f ′(x )≤f ′(1)＝1－e<0，

所以f (x )在区间[1，＋∞)内单调递减，

所以当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝ln1－e ＝－e. (2)证明 ①f ′(x )＝1x

－e x

，令h (x )＝f ′(x )，

则h ′(x )＝－1x

2－e x

<0在(0，＋∞)上恒成立，

即有h (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．

又h ? ??

??12＝2－1

2e >0，h (1)＝1－e<0， 所以h (x )＝0在区间(0，＋∞)内有且仅有一个实根，

设此实根为x 0，则x 0∈? ??

??12，1. 当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0，故f (x )单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )<0，故f (x )单调递减， 所以函数f (x )在x ＝x 0处取得唯一的极大值， 即函数f (x )有且仅有一个极值点．

②由①知f ′(x )＝1x

－e x

在区间(0，＋∞)内为减函数，

又f ′(1)＝1－e<0，f ′? ??

??12＝2－e>0， 因此存在实数x 0∈? ??

??12，1满足方程f ′(x )＝1x －e x ＝0， 此时f (x )在区间(0，x 0)内为增函数，在区间(x 0，＋∞)内为减函数， 且f ′(x 0)＝1x 0

－0e x

＝0，

由此得到1x 0

＝0e x

，x 0＝－ln x 0.

由单调性知f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－0e x

＝－x 0－1x 0

＝－? ??

??x 0＋1x 0，

又x 0∈? ????12，1，故－? ????x 0＋1x 0<－2，

所以f (x )max <－2.

又x 2

－2x －1＝(x －1)2

－2≥－2， 所以f (x )

－2x －1.

k52006年高考第一轮复习数学：14.1 导数的概念与运算

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※第十四章
●网络体系总览
导 概 数 念 的 导 数
导数
的 性 导 求 函 单 数 法 数 调 的 的 导 应 函 极 数 用 数 值 的 函 最 数 大 的 值 小 与 值 最
●考点目标位定位 要求： （1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等） ，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. （2）熟记基本求导公式〔C，xm（m 为有理数） ，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕 ，掌握 两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. （3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件（导数在极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值 和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求 导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解 决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数 运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.
14.1
●知识梳理
导数的概念与运算
1.导数的概念： （1）如果当Δ x→0 时，
?y 有极限，我们就说函数 y=f（x）在点 x0 处可 ?x
导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 f （ x ） 在 点 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ′ （ x0 ） 即 f ′ （ x0 ） = ，
?x ?0
lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x
（2）如果函数 f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说 f（x）在开区间（a,b）内 可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′（x0）,这样 就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做 f（x）在开区间（a,b）内的导函 数，记作 f′（x）,即 f′（x）= lim
?x ?0
f ( x ? ?x) ? f ( x) ，导函数也简称导数. ?x
2.导数的几何意义：函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0,f（x0） ）处的切线的斜率. 3.几种常见的导数： － C′=0（C 为常数）;（xn）′=nxn 1;（sinx）′=cosx;（cosx）′=－sinx;（ex）′=ex;

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高三数学一轮复习导数导学案

课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理： 1.导数、导数的计算 （1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式 （5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值 （1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目专题汇编：函数

浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目 专题汇编 函数 一、选择、填空题 1、(温州市2019届高三8月适应性测试)已知32=a ,则=a 8_________.a -6log 2=________. 2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)偶函数f (x)满足f (x 一1)＝f(x ＋1),且当x ∈［0,1］时,f (x)＝x,则f( 43)＝＿＿ 若在区间［1,3］内,函数g(x)＝f (x)－kx 一k 有4个零点,则实数k 的取值范围是＿. 3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)已知R a ∈,函数||||||)(||||a x e a x e x f x x --+-+=,记)(x f 的最小值为)(a m ,则( ) A. )(a m 在)0,(-∞上是增函数,在),0(+∞上是减函数 B. )(a m 在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是增函数 C. )(a m 在R 上是奇函数 D. )(a m 在R 上是偶函数 4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)已知函数13()log 3x f x x -=+,且(1)10f x -≤,则实 数x 的取值范围是( ) A. (0,4)(4,)+∞ B. (0,4] C. (4,)+∞ D. (1,4] 5、(温州九校2019届高三第一次联考)若2log ,323==b a ,则=ab ________,=+-b b 33________ 6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)函数 f (x) = (x + 1)ln(| x - 1|)的大致图象是 7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)已知a ,b ∈R ,f (x )＝e x ﹣ax +b , 若f (x )≥1恒成立,则b a a -的取值范围是

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高考数学第一轮复习导数概念和几何意义

第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2014年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝ li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ；

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

2020高考数学复习-导数部分

-2 2 x y O 1 -1 -1 1 2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！ 1、(广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为(D) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 2.（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（B ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 3. （湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π的 点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 4．(江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(中'()f x 是函数()f x 的导函数)象中()y f x =的图象大致是(C ） 5.(浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( B ) (A) 18 (B)41 (C) 2 1 (D)1 6. (重庆卷)曲线y x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x 2所围成的三角形的面积为______8/3____。 7.（江苏卷）（14）曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是41y x =- O -2 2 x y 1 -1 -2 1 2 O x y -2 -2 2 1 -1 1 2 O -2 4 x y 1 -1 -2 1 2 O -2 2 x y -1 2 4 A

8. ( 全国卷III)曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0 9. （北京卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ． 10.(全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点. 解：(I)'()f x =32x －2x －1 若'()f x =0，则x ==－13 ，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表： ∴()f x 的极大值是()3 27 f a -= +，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++- 由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点 结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值 527a +<0，即5 (,)27 a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13 )上。 ∴当5 (,)27 a ∈-∞- ∪(1， +∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 2x -2ax ）x e

(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?ab，ab>0?1 a < 1 b .

②a <0b >0，0b d . ④0b >0，m >0，则 ①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b > a ＋m b ＋m ；a b 0)． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( ) (6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修5P74练习T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2 －b 2 >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.a －b >0?a >b ?a >b ?a 2 >b 2 ， 但由a 2 －b 2 >0?/ a －b >0. 2．(必修5P75A 组T2改编) 1 5－2______1 6－5(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有 1 5－2＝5＋2，1 6－5 ＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

届高三数学第一轮复习导数

导 数 第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义 重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义． 经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数． 当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（ ） 2 3 ） 4 5A C 6A ．7A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在 8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A ．f ′(x0) B ．0 C ．2f ′(x0) D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____． 14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的 瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ??． 法则3 2()()v x v x ???? 经典例题：求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习： 1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6

2020年浙江高考数学一轮复习：排列与组合

第三节排列与组合 1．排列与排列数 (1)排列： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n. 2．组合与组合数 (1)组合： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n. 3．排列数、组合数的公式及性质 [小题体验] 1．将8种不同的菜种任选4种种植在不同土质的4块地里，不同的种植方法有()

A ．24 B ．1 680 C ．70 D ．840 解析：选B 由题可得，不同的种植方法有A 4 8＝8×7×6×5＝1 680种． 2．(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种． 解析：依题意得知，满足题意的选法共有C 14·C 13·C 12＝24种． 答案：24 3．(2019·舟山模拟)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________． 解析：依题意得，满足题意的组成方法有C 12A 34＝48个． 答案：48 1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 2．计算A m n 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )． 3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． [小题纠偏] 1．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________． 解析：由排列数公式可知 3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， ∵x ≥3且x ∈N *， ∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0， 解得x ＝5或x ＝2 3(舍去)， ∴x ＝5. 答案：5 2．已知圆上有9个点，则任取三点构成一个三角形，这样的三角形的个数为________． 解析：由题可得，三角形的个数为C 39＝9×8×73×2×1＝84. 答案：84 考点一 排列问题(重点保分型考点——师生共研) [典例引领]