(北师大版)数学必修4全套教案

(北师大版)数学必修4全套教案

(北师大版)数学必修4全套教案

§1 周期现象与周期函数（1课时）

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理

解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定

义进行简单运用。

2、过程与方法

通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；

从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实

践中加以应用。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从

而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

二、教学重、难点

重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。

三、学法与教学用具

学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。

教学用具:实物、图片、投影仪

四、教学思路

【创设情境，揭示课题】

同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)

【探究新知】

1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）

（板书：一、我们生活中的周期现象）

2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：

①如何理解“散点图”？

②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？

③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？

④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？

以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。

（板书：二、周期函数的概念）

3．[展示投影]练习:

(1)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。

求f(x＋2T) ，f(x＋3T)

略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)

f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x)

本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。

(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)

略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005

(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)

略解：f(8)＝f(2＋233)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2

【巩固深化，发展思维】

1．请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。

2．例题讲评

例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？如果是，这个函数y＝f(t)是不是周期函数？

例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y＝g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t＋T)＝g(t),其中T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，函数y＝g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。

例3.图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。

3．小组课堂作业

(1) 课本P6的思考与交流

(2) (回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

五、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

六、布置作业

1．作业：习题1.1第1,2,3题．

2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点．

七、课后反思

§2 角的概念的推广（1课时）

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

2、过程与方法

类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，

在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，

以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的

关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运

用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发

学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、学法与教学用具

在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

教学用具:多媒体、三角板、圆规

四、教学思路

【创设情境，揭示课题】

同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。

初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？

我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。

【探究新知】

如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)

1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．

我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。

过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……

而形成的角是多少度?是不是仍为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程，让学生思考；为终边相同角概念做准备)．将终边OB旋转一周、两周……，分别得到390°，750°……的角．如果将OB继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将OB按顺时针方向旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三版)．如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，γ＝－660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转

体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．

角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．

2．象限角、坐标轴上的角的概念．

由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角．

(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．

3．终边相同的表示方法．

(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°，750°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十23360°，……在图(2)中，如果将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330°，－690°……的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—23360°，……

由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k2360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，那么S＝{β|β＝30°十k2360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与30°角终边相同。

【巩固深化，发展思维】

1．例题讲评

例1.判断下列各角是第几象限角.

(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．

解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵—950°12’＝－230°12’—23360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.

例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.

解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k2360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k2360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k2360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k2360°，k∈Z}.

例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.

解：S＝{β|β＝60°＋k2360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：60°－13360°＝－300°，60°＋03360°＝60°，60°＋13360°＝420°.

2．学生课堂练习

参考练习 (通过多媒体给题)。

(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

(2)与—496°终边相同的角是，它是第象限的角，它们中最小正角是，最大负角是。

(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为。

(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是；若α与β的终边关于y

轴对称，则α与β的关系是；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是；

若角α是第二象限角，则180°—α是第象限角。

[答案](1)是，不一定.

(2)—496°十k2360°(k∈Z)，三，240°，—136°.

(3)—100°，—1200°．

(4)α十β＝k2360°(k∈Z)；α十β＝180°十k2360。(k∈Z)；

α一β＝180°十k2360°(k∈Z)；一.

五、归纳整理，整体认识

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?

(2)象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?

（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

六、布置作业: 习题1.2第2,3题．

七、课后反思

§3 弧度制（1课时）

洋浦实验中学吴永和

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行

角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌

握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。

2、过程与方法

通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；

应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使

学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习

态度。

3、情感态度与价值观

通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，

但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，

而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸

多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度

制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。

二、教学重、难点

重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。

难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。

三、学法与教学用具

在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。

教学用具:多媒体、三角板

四、教学思路

【创设情境，揭示课题】

在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的

360

1

规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．

【探究新知】

1．1弧度的角的定义．

(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。

在图1（课件）中，圆心角∠AOC 所对的弧长l ＝2r ，那么∠AOC 的弧度数就是2rad ；圆心角∠AOD 所对的弧长l ＝

21r ，那么∠AOC 的弧度数就是2

1

rad ；圆心角∠AOE 所对的弧长为l ，那么∠AOE 的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．

2．弧度制的定义：

一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是o ；角α的弧度数的绝对值|α|＝

r

l

，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆 的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制． 在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明： (论证)如图1—13（见教材），设∠α为n °(n °＞0)的角，圆弧AB 和A l B l 的长分别为l 和l 1，点A 和A l 到点O 的距离(即圆的半径)分别为r(r ＞0)和r l (r l ＞0)，由初中所学的弧长公式有l ＝

180πn r ，l 1＝180πn r 1，所以r l ＝11r l ＝180

π

n ，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算． 3．角度制与弧度制的换算． 现在我们知道：1个周角＝360°＝r

π

2r ，所以，(板书)360°＝2πrad ，由此可以得到180°＝πrad ，1°＝

180

π

≈0．01745rad ，1rad ＝（

π

180

）°≈57.30°＝57°18’。

说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad 这一关系式．

今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad ”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad 的角，sin

3π就表示3

π

rad 的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝

4

π

rad ，不必写成

45°＝0．785弧度．

前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．

角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。 【巩固深化，发展思维】 1．例题讲评

例1．把45°化成弧度。

解：45°＝180

π

345rad＝

4

π

rad. 例2．把

5

3π

rad 化成度。 解：5

3π

rad ＝533180°＝108°.

例3．利用弧度制证明扇形面积公式S ＝2

1

lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径。 证：∵圆心角为1的扇形的面积为

π

212πr 2

，又∵弧长为l 的扇形的圆心角的大小为r l ，∴扇形的面积S ＝r l 2π212πr 2＝2

1lr. 2．学生课堂练习 （1）填表 度 0°

45°

60°

180°

360°

弧度

6π

2π

2

3π

说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算． （2）用弧度制写出终边落在y 轴上和x 轴上的角集合。 五、归纳整理，整体认识

（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。 （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 六、布置作业：习题1—3中的1、2、6. 七、课后反思

§4.1 锐角的正弦函数§4.2 任意角的正弦函数§4.3正弦函数y ＝sinx 的图像

（2课时）

洋浦实验中学 吴永和

一、 教学目标：

1、 知识与技能

（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。 2、 过程与方法

初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，

而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、 情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。 二、教学重、难点

重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。 2.正弦函数图像的画法。 难点: 1.正弦函数值的几何表示。

2.利用正弦线画出y ＝sinx ，x∈[0， 2π]的图像。 三、学法与教学用具

在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y ＝sinx 图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。

教学用具:投影机、三角板

第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正弦函数 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。（板书课题）

【探究新知】 在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：sin α＝斜边

对边

， 如图：sinA ＝

c

a

，由于a 是直角边，c 是斜边，所sinA∈(0，1)。由于我

们通常都是将

角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？

B

C

A

a b

c

y

P(a ，b)

r

在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，2π

））

的终边与半经为r 的圆交于点P （a ，b ），则角α的正弦值是：

sin α＝

r b .根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，r

b

都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r ＝1(即为单位圆)，那么sin α＝b ，也就是说，若角α的终边与单

位圆相交于P ，则点P 的纵坐标b 就是角α的正弦函数。

直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数?

一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与单位圆交于点P （a ，b ），我们可以唯一确定点P （a ，b ）的纵坐标b ，所以P 点的纵坐标b 是角α的函数，称为正弦函数，记作y ＝sin α(α∈R)。通常我们用x ，y 分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y ＝sinx.

正弦函数值有时也叫正弦值.

请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：3

π角与

3

7π

角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？3π角和38π角呢？－3π角和3

5π

角呢？

－32π角和－3

14π角呢？

通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即

sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2k π（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。

2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。 【巩固深化，发展思维】

1． 课本P17的思考与交流。 2． 课本P18的练习。

3．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sin α＝—

3

2

，求y 值． 4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在函数y ＝—3x (x ≤0) 的图像上，则sin α＝ 。

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思

第二课时 §4.3正弦函数y ＝sinx 的图像 一、教学思路

O

M x

【创设情境，揭示课题】 三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数y ＝sinx 的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？

作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。

【探究新知】

1． 正弦函数线MP

下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示， 角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），提出问题

①线段MP 的长度可以用什么来表示?

②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计

一种方法加以解决?引出有向线段的概念．

有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP 看作是带方向的线段， ① y ＞0时，把MP 看作与y 轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在 一、二象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴同向)． ② y ＜0时，把MP 看作与y 轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴反向)．

师生归纳：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M →P ，而PM 则是从P →M 。②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sin α＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．

(投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在x 轴上时，正弦线变为一个点，即 sin α＝0。

2．作图的步骤

边作边讲（几何画法）y=sinx x ∈[0,2π]

（1） 作单位圆，把⊙O 十二等分（当然分得越细，图像越精确）

（2） 十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π

,…2π等角，并作出相应的正弦线， （3） 将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应

“变形”

（4） 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 （5） 描图（连接）得y=sinx x ∈[0,2π]

（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x ∈[2k π，2(k+1)π] （k ∈Z ，k ≠0） 与函数y=sinx x ∈[0,2π]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长。

可以得到y ＝sinx 在R 上的图像

3． 五点作图法： 由上图我们不难发现，在函数y=sinx ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有以下五

α的终边

P M O x y x

6π y o

-π -1 2π 3π 4π 5π -2π

-3π -4π 1 π

个关键点： (0,0) (

2π,1) (π,0) (2

3π,-1) (2π,0)。描出这五个点后，函数y=sinx ，x ∈[0,2π]的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。 【巩固深化，发展思维】 1．例题讲评

例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。 （1）y ＝－sinx （2）y ＝1＋sinx 解：（1）列表

x 0 2

π

π 2

3π 2π y ＝－sinx

1

－1

描点得y ＝－sinx 的图像：（略，见教材P22） 2．学生练习 教材P22

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业

作业：习题1—4第1,2题． 四、课后反思

§4.4 正弦函数的性质（2课时）

洋浦实验中学 吴永和

一、 教学目标：

1、 知识与技能

（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。 2、 过程与方法

通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数

的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、 情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点

重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 三、学法与教学用具

在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。

教学用具:投影机、三角板

第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。

【探究新知】 1． 复习：（公式1）sin(360?k +α) = sin α

2． 对于任一0?到360?的角，有四种可能（其中α为不大于90?的非负角）

[

[

[[

???

????β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角

），当为第三象限角），

当为第二象限角

），

当为第一象限角

，当

36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角）

3． 公式2：

设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180?+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知： sin(180?+α) = -sin α

4．公式3： 如图：在单位圆中作出α与－α角的终边，

同样可得：

sin(-α) = -sin α,

5． 公式4：由公式2和公式3可得：

sin(180?-α) = sin[180?+(-α)] = -sin(-α) = sin α,

同理可得： sin(180?-α) = sin α, 6．公式5：sin(360?-α) = -sin α

【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评 例1． 求下列函数值

x y

o P’(x ,-y ) P(x ,y ) M x

y

o P (x ,y )

P ，(-x ,-y )

（1）sin(－1650?)； （2）sin(－150?15’)； (3)sin(－

4

7π) 解：（1）sin(－1650?)＝－sin1650?＝－sin(43360?＋210?)＝－sin210? ＝－sin(180?＋30?)＝sin 30?＝

2

1

(2) sin(－150?15’)＝－sin150?15’＝－sin(180?－29?45’) ＝－sin29?45’＝－0.4962 (3) sin(－

47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4π＝2

2 例2．化简：

()()()()()π

ααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin 解：（略，见教材P24）

2． 学生练习

教材P24练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思

第二课时 正弦函数的性质 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y ＝sinx 在R 上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？

【探究新知】 让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：

（1） 正弦函数的定义域是什么？

（2） 正弦函数的值域是什么？ （3） 它的最值情况如何？ （4） 它的正负值区间如何分？ （5） ?(x)＝0的解集是多少？ 师生一起归纳得出：

1． 定义域：y=sinx 的定义域为R

2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1]

x

6π y o

-π -1 2π 3π 4π 5π -2π -3π -4π 1 π

3．最值：1?对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋

2

π

,k ∈Z 时 y max ＝1 当且仅当时x ＝2k π－

2

π

, k ∈Z 时 y min ＝－1 2?当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0 当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜0

4．周期性：（观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2?规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3?这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明 结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π 5.奇偶性

sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x∈R)是奇函数 6．单调性

增区间为[－

2π＋2k π， 2π

＋2k π]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[2π＋2k π， 2

3π

＋2k π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】

1． 例题讲评

例1．利用五点法画出函数y ＝sinx －1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。 解：（略，见教材P26） 2．课堂练习

教材P27的练习1、2、3

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题． 四、课后反思

§5 余弦函数（2课时） 洋浦实验中学 吴永和

一、 教学目标：

1、 知识与技能

（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2、 过程与方法

类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推

广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函

x －

2

π ... 0 (2)

π ... π (2)

3π sinx

－1

1

－1

数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。 3、 情感态度与价值观

使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点

重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。 难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。 三、学法与教学用具

我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y ＝cosx 在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。 教学用具:投影机、三角板

第一课时 余弦函数的概念和诱导公式 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin α＝斜边

邻边

。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。

下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31. 【探究新知】 1．余弦函数的定义

在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P （a ，b ）, 那么点P 的横坐标a 叫做角α余弦函数，记作：a ＝cos α(α∈R). 通常我们用x ，y 分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示 为y ＝cosx(x∈R).

如图，有向线段OM 称为角α的余弦线。

其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α 的终边上任意一点P 的坐标（a ，b ），求出|OP|，记为r ，则 角α的正弦和余弦分别为：sin α＝

r b ，cos α＝r

a

. 在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。 2．余弦函数的诱导公式

从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；

角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数， O

r x

y P(a ，b) M

π－α π＋α －α

α

所以，它们的余弦函数值互为相反数。

由此归纳出公式：

cos(2π＋α)＝cos α cos(－α) ＝ cos α cos(2π－α) ＝cos α cos(π＋α) ＝－cos α

cos(π－α) ＝－cos α 请同学们观察右图，角α与角

2

π

＋α的正弦、余弦函数值有什么关 系？由图可知，R t⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P 的横坐标cos α与点P ’的纵坐标sin(2

π

＋α) 相等；点P 的纵坐标sin α与点P ’的横坐标cos(

2

π

＋α)互为相反数。我们可以得到： sin(2π＋α)＝cos α cos(2

π

＋α)＝－sin α

问题与思考：验证公式 sin(2π＋α)＝cos α cos(2

π

＋α)＝－sin α

以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、

余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。 【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评

例1．已知角α的终边经过点P （2，－4）(如图)，求角α的余弦

函数值。

解：∵x ＝2，y ＝－4 ， ∴ r ＝|OP|＝25

∴cos α＝

r x ＝5

5 例2．如果将例1中点P 的坐标改为（2t ，－4t ）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数

值。

解：(提示：在r ＝|OP|＝25|t|中，分t ＜0和t ＞0两种情况，见教材P31) 例3．求值：

（1）cos

611π （2）cos 89π （3）cos(－43π

) （4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’) 解：（1）cos

611π＝cos （2π－6π）＝cos 6π＝2

3

（2）cos

89π＝cos （π＋8π）＝－cos 8

π

≈－0.9239 (3)、（4）、（5）略，见教材P33 例4．化简：

()()()()()

πααπαπαπαπ---+-+-cos 3cos cos 3cos 2cos 解：（略，见教材P33） 2． 学生练习

x

y o P’

P(x,y) M M’ 2 y

－4 P

x

教材P31的练习1、2、3 和 P34的练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思

第二课时 余弦函数的图像与性质 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

在上一次课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？

【探究新知】

1．余弦函数y ＝cosx 的图像 由诱导公式有：

与正弦函数关系 ∵y ＝cosx ＝cos(－x)＝sin[2π－(－x)]＝sin(x ＋2

π

) 结论：（1）y ＝cosx, x ∈R 与函数y ＝sin(x ＋2

π

) x ∈R 的图象相同 （2）将y ＝sinx 的图象向左平移

2

π

即得y ＝cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：y ＝cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2

π

,0) (π,-1) (

2

3π

,0) (2π,1)

（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图像与 y ＝cosx x ∈[0,2π] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）

2．余弦函数y ＝cosx 的性质 观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质： （1）定义域：y=cosx 的定义域为R （2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）

y x

o 1

-1

2π23π2π-ππ2y

x 1 －1

x 6π

y o -π -

1 2π 3π 4π 5π

-2π

-3π -4π 1 π x

y

(3)最值：1?对于y ＝cosx 当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时 y max ＝1

当且仅当时x ＝2k π＋π, k ∈Z 时 y min ＝－1

2?当2k π-2π

π

(k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+

2π

3π (k ∈Z)时 y=cosx<0 (4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为2π (5)奇偶性

cos(－x)＝cosx (x∈R) y＝cosx (x∈R)是偶函数 (6)单调性

增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。 【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评

例1．请画出函数y ＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。 解：（略，见教材P36） 2．课堂练习

教材P37的练习1、2、3、4

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：P38的习题8、9、10、11 四、课后反思

§6 正切函数（2课时） 洋浦实验中学 吴永和

一、 教学目标：

1、 知识与技能

（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2、 过程与方法

类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；

让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。 3、 情感态度与价值观

使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点

重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教学用具

我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板

第一课时 正切函数的定义、图像及性质 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】

1． 正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2

π

＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值

a b .根据函数定义，比值a

b

是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠

2π

＋k π，k∈Z. 比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2

π

＋k π，k∈Z).

由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为

三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.

如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α

的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T 点。从图中可以看出：

当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。 分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两

个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。因此， 我们称有向线段AT 为角α的正切线。

2．正切函数的图象 （1）首先考虑定义域：()z k k x ∈+

≠2

π

π

（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： ()()()??

?

??∈+≠∈=--=++=

+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且

x

y o T A 210? 30? P

∴??

?

?

?∈+

≠∈=z k k x R x x y ,2,tan π

π且的周期为π=T （最小正周期） （3）因此我们可选择???

?

?-2,2ππ的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，

且()z k k x ∈+≠

ππ

2

的图像，称“正切曲线”

从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x ＝2

π

＋k π(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。

3．正切函数y ＝tanx 的性质 引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：?

??

?

??∈+≠z k k x x ,2|ππ

， （2）值域：R

观察：当x 从小于()z k k ∈+

2

π

π，2

π

+π?→?k x 时，∞?→?x tan

当x 从大于

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（3）周期性：π=T

（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。

x

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新课标高一数学人教版必修1教案全集

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角

高中数学必修五全套教案(非常好的)

（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

北师大版数学必修4全套教案

北师大版高中数学必修4教案集 北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》全部教案 定边中学杜卫军整理 §1.1周期现象与周期函数 一、教学目标 知识与技能 （1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。 过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。 情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。 三、学法与教学用具 学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。 教学用具:实物、图片、投影仪 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海

水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题) 【探究新知】 1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等） （板书：一、我们生活中的周期现象） 2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题： ①如何理解“散点图”？ ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？ ③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？ ④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？ 以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。 （板书：二、周期函数的概念） 3．[展示投影]练习: 已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。 求f(x＋2T) ，f(x＋3T) 略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x) f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x) 本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。 (2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005 (3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8) 略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 【巩固深化，发展思维】

最新北师大版高中数学必修二教案(全册)

最新北师大版高中数学必修二教案（全册） 第一章 推理与证明 合情推理（一）——归纳推理 课时安排：一课时 课型：新授课 教学目标： 1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程： 一、课堂引入： 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解： 1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、 三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是 由此我们猜想：凸边形的内角和是 3、，由此我们猜想：（均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 三、例题讲解： 例1已知数列的通项公式，，试通过计算的值，推测出的值。 【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下） （1） 180?360?540?(2)180n -??221222221,,,331332333+++<<<+++ a a m b b m +<+,,a b m {}n a 2 1()(1)n a n N n +=∈+12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-(1),(2),(3)f f f ()f n 113(1)1144 f a =-=-=

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

人教版英语高中必修四全套教案

Module4 Unit 1 Women of achievement Teaching goals 1．Target language a. Key words achieve, achievement, condition, welfare, institute, connection, campaign, organization, specialist, behave, behavior, worthwhile, nest, observe, observation, respect, argue, entertainment, inspire, support, devote ... to b. Key sentences Watching a family of chimps wake up is our first activity of the day. Everybody sits and waits while the animals in the group begin to wake up and move. But the evening makes it all worthwhile. ... we see them go to sleep together in their nest for the night. Only after her mother came to help her for the first few months was she allowed to begin her project. For forty years Jane Goodall has been helping the rest of the world understand and respect the life of these animals. 2．Ability goals a. Learn Warming Up, and know how to tell the great women and the famous women. b. Learn the way to describe a person from what the person did, what she/he looks like 3．Learning ability goals Teach Ss how to describe a person. Teaching important points a. By reading A protector of African wildlife, students can learn from Jane Goodall in at least two aspects: one is what is the humane way to study animals; the other is that it was her great personality - universal love and mercy（博爱与慈悲）that made her successful. If everyone had such kind of heart, they would give everything benefit for all living things. Then our world will be full of love and peace, without any war and starvation. b. Ask students to answer these questions: 1) What made her a great success? 2) What should we learn from Jane Goodall? Teaching difficult points Let everyone believe that all of us can become Jane Goodall. Teaching methods Inspiration, Questioning and Discussion. Teaching procedures & ways Period 1-2. Warming up and pre-reading Step 1. Lead in.

2019-2020年北师大版数学必修2试题及答案

2019-2020年北师大版数学必修2试题及答 案 参考公式： 球的表面积公式S 球 24R π=，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V 锥体 1 3 Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积V 台体 1 ()3 h S S '=+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高． 球的体积公式V 球 34 3 R π=，其中R 是球半径． 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的 （ ） 2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ． 相交 B ． 异面 C ． 平行 D ．异面或相交 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、 11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 4．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为（ ） A.39 B.183 C.9(3+6) D. 6 5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为 ( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（ ） A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2 ，36πcm 3 D.以上都不正确

7一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（） Ａ、８Лｃｍ２Ｂ、１２Лｃｍ２Ｃ、１６Лｃｍ２Ｄ、２０Лｃｍ２ 8、已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB， 则EF与CD所成的角为（） Ａ、９００Ｂ、４５０Ｃ、６００Ｄ、３００ 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是（） A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10.下列四个命题 ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行； ④垂直于同一个平面的两个平面相互垂直. 其中错误 ．．的命题有（） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 11．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（） A.B.C. D. 12．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（） A、2 3 B、 7 6 C、 4 5 D、 5 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 1．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________. 2.如图：四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面 都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为度 3.已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是. 4．有下列命题：（m，n是两条直线，α是平面） ○1若m║α，n║α，则m║n ○2若m║n ，n║α，则m║α ○3若m║α则m平行于α内所有直线○4若m平行于α内无数直线，则m║α以上正确的有个

人教A版高中数学必修四教案全

高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

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人教版高中语文必修四全套教案 窦娥冤 【教学目标】 1、初步了解元杂剧的特点。 2、通过窦娥冤这一冤案，认识元代社会黑暗和统治者的残暴，认识当时阶级矛盾的尖锐。认识窦娥的刚烈性格和反抗精神。 3、从文学鉴赏的角度理解关汉卿设计三桩誓愿应验的用意。 【课时安排】二课时。 【教学过程】 一、导入新课 1、介绍关汉卿：关汉卿，号己斋叟，金末元初大都（现北京）人。元代杂剧的代表作家，也是我国戏剧史上最早也最伟大的戏剧作家。他与郑光祖、白朴、马致远齐名，被称为“元曲四大家”。元代人说他：“生而凋搅，博学能文，滑稽多智，蕴籍风流，为一时之冠。”他曾在散曲《南吕一枝花·不伏老》中说自己精音律，会吟诗，能吹萧弹琴，歌唱舞蹈，也会下棋射猎，多才多艺。他一生创作杂剧有60多部，但大都散失，现仅存15部。《窦娥冤》《救风尘》《望江亭》《单刀会》等流传很广。其中的《窦娥冤》是我国十大古典悲剧之一。1956年，他的名字被列入世界文化名人之列。 2、关于元杂剧： 元杂剧有一套较严格的体制： 结构：元杂剧一般是一本四折演一完整的故事，个别的有五折、六折或多本连演。折是音乐组织的单元，也是故事情节发展的自然段落，它不受时间、地点的限制，每一折大都包括较多的场次，类似于现代戏剧的“幕”。有的杂剧还有“楔子”，通常在第一折之前起交代作用。相当于现代剧的序幕，用来说明情节，介绍人物。杂剧每折限用同一宫调的曲牌组成的一套曲子。 角色：扮演的角色有末、旦、净、丑等。元杂剧每本戏只有一个主角，男主角称正末，女主角称正旦。此外，男配角有副末（次主角）、外末（老年男子）、小末（少年）等；女配角有副旦、外旦、小旦等。 净：俗称“大花脸”，大都扮演性格、相貌上有特异之处的人物。如张飞、李逵。丑：俗称“小花脸”，大抵扮演男次要人物。此外，还有孛（bó）老（老头儿）、卜儿（老妇人）、孤（官员）、徕儿（小厮）。 演出时一本四折都由正末或正旦独唱。（其他角色只有说白），分别称为“末本”或“旦本”。 剧本的构成：剧本由唱、科、白三部分构成。 唱词是按一定的宫调（乐调）、曲牌（曲谱）写成的韵文。元杂剧规定，每一折戏，唱同一宫调的一套曲子，其宫调和每套曲子的先后顺序都有惯例规定。元杂剧的唱词按一定宫凋写成。共分五个宫(五个全音阶)：正宫、中吕宫、南昌宫、仙吕宫、黄钟宫，分别个当于现在的C、D、E、G、A五个乐调(谱号)；曲牌，相当于现在的调号和板号(如二黄散板、西皮快板等)，也即简谱中的曲谱和节拍。元杂剧中一折限于一调一韵。 科是戏剧动作的总称。包括舞台的程式、武打和舞蹈。科范或叫“科”“介”，是关于动作、表情或其他方面的舞台提示，如“笑科”“见科”“把盏科”“做掩泪科”“内作起风科”等。

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第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

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高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、

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窦娥冤 教学目的： １．初步了解元杂剧的特点。 ２．结合“单元知识和训练”，掌握研究性阅读的特点，学会研究性阅读的方法。 教学重点和教学难点： １．通过窦娥冤这一历史冤案，认识元代社会黑暗和统治者的残暴，认识当时阶级矛盾的尖锐。 ２．认识窦娥的刚烈性格和反抗精神。 ３．介绍元杂剧的体制。 教学时数： 3课时 第一课时 导入新课 １．介绍关汉卿： ２．介绍元杂剧： 指导阅读 １．阅读“自读提示”中与本折有关的情节。 ２．阅读课文。 ３．提问式阐述：文学史上公认课文所选部分是全剧的高潮。但在前两折里，已经把窦娥受害的故事情节交待得清楚明白。窦娥与张驴儿的冲突，窦娥在公堂上的斗争，都已在前两折里表现出来，那么高潮为什么出现在第三折里？ 通过阅读课文，我们发现；第三折里仅有窦娥指天发誓，刑场受戮，故事情节简单，而构成窦娥矛盾冲突的对立面，如社会恶势力的代表张驴儿、元代残酷统治的典型官府都隐藏在幕后，没有冲突，就没有戏剧，更没有高潮，可见，全剧高潮出在第三折里是与戏剧本身的特点分不开的。 ４．提问：在课文中共出现多少曲牌？都属什么宫调？ 明确：共出现10个曲牌，都属于正宫调。 ５．提问：根据10个曲牌和故事情节，把课文分成若干层次。（按“思考和练习”一的要求） 明确：10个曲牌有3个层次。使剧情有张有弛，有烘托、有渲染，扣人心弦，催人泪下。 ６．分析第1层。齐读第1层两支曲子。 ７．提问：窦娥为什么要指斥天地鬼神？ 明确：窦娥诉说自己莫名其妙犯法受刑，冤屈之大可“动地惊天”。又因为窦娥的冲突对象隐于幕后，而天地鬼神便成了她的指斥对象。由于内心的悲愤难以控制，便构成了对天地的怨恨与控诉。 布置作业 １．默写［滚绣球］曲牌，整理“思考和练习”五。 ２．结合“思考和练习”三，研究阅读第2、3两个层次。 ３．熟悉剧本的三个组成部分。

(完整版)北师大版高一数学必修2测试题及答案

考试时间：100 1 A 圆 2位置关系是A 平行3、一个西瓜切34 5．三个球的半径之比是1：2：3，那么最大的球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．541倍 D ．4 31倍 6．以下四个命题中正确命题的个数是（ ） ①过空间一点作已知平面的垂线有且只有一条 ②过空间一点作已知平面的平行线有且只有一条 ③过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条 ④过空间一点作已知直线的平行线有且只有一条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 8．已知直线06:1=++my x l 和直线023)2(:2=++-m y x m l 互相平行，则实数m 的值是（ ） A ．-1或3 B ．-1 C ．-3 D ．1或-3 A

9．已知直线l 的方程为02543=-+y x ，则圆12 2=+y x 上的点到直线l 的最大距离是( ) A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 10．点)1,3,2(-M 关于坐标原点的对称点是（ ） A ．（-2，3，-1） B ．（-2，-3，-1） C ．（2，-3，-1） D ．（-2，3，1） 二、填空题（每题4分共16分） 11、从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6、8、12，则其对角线长为 12．将等腰三角形绕底边上的高旋转180o ，所得几何体是______________； 13．圆C ：1)6()2(2 2=-++y x 关于直线0543=+-y x 对称的圆的方程是___________________； 14．经过点)4,3(--P ，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程是______________________。 三、解答题（15、16、17题各题10分，18题14分） 15．过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程. 16．经过点P )3,2(-作圆2022=+y x 的弦AB ，使P 平分AB ， 求：（1）弦AB 所在直线的方程；（2）弦AB 的长。 17．如图，Rt △ABC 所在平面外一点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，D 为斜边BC 上的中点，求证：PD ⊥平面ABC 。 18题：（14分） 已知圆C:25)2()1(22=-+-y x ， 直线l :047)1()12(=--+++m y m x m （1）求证：直线l 过定点； （2）判断该定点与圆的位置关系； A B C P D

人教版高中数学必修二-全册教案

第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作，增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法：观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1. 教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平

北师大版高一数学必修2试卷及答案

高一数学必修2考试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边 长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个 底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为 （ ） （A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192 2、已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB |=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） B. 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上， 则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5、已知正方体外接球的体积是 323π，那么正方体的棱长等于 （ D ） （A ） （B ） （C （D 6、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为 真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则 //l m 7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为 1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） A F D B C G E 1B H 1C 1D 1A

Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 8、方程（x-2）2+(y+1)2=1表示的曲线关于点T （-3，2）的对称曲线方程是： （ ） A 、 (x+8)2+(y-5)2=1 B 、(x-7)2+(y+4)2=2 C 、 (x+3)2+(y-2)2=1 D 、(x+4)2+(y+3)2=2 9、已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为： （ ） A 、7 B 、-5 C 、3 D 、-1 10、方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范围是 ( ) A 、 m ≤2 B 、 m<2 C 、 m<21 D 、 m ≤2 1 11、过直线x+y-2=0和直线x-2y+1=0的交点，且垂直于第二直线的直线方程 为 （ ） A 、+2y-3=0 B 、2x+y-3=0 C 、x+y-2=0 D 、2x+y+2=0 12、圆心在直线x=y 上且与x 轴相切于点（1,0）的圆的方程为： （ ） A 、(x-1)2+y 2=1 B 、(x-1)2+(y-1)2=1 C 、(x+1)2+(y-1)2=1 D 、(x+1)2+(y+1)2=1 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13、直线x=2y-6到直线x=8-3y 的角是 。 14、圆：x 2+y 2-2x-2y=0的圆心到直线xcos θ +ysin θ=2的最大距离 是 。 15．正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 16如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直 角三角形。 三 解答题:(共70分) 17．（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面 PBC 求证：AB ⊥BC P A C