最新线性回归练习题
线性回归练习
一、选择题
1.下列两个变量之间的关系中，哪个是函数关系 （ ） A.学生的性别与他的数学成绩 B.人的工作环境与健康状况 C.女儿的身高与父亲的身高 D. 正三角形的边长与面积
2．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x (cm)和体重y (kg)的回归方程为 ?0.84985.712y
x =-，则身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重 （ ）
A.为6 0.316kg
B. 约为6 0.316kg
C.大于6 0.316kg
D.小于6 0.316kg
3. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为?160180y
x =+，下列判断正确的是 （ ）
A ．劳动生产率为1000元时，工资为340元
B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高180元
C ．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高180元 D.工资为520元时，劳动生产率为2000元 4．由右表可计算出变量,x y 的线性回归方程为（ ）
A. ?0.350.15y x =-+
B. ?0.350.25y x =-+
C. ?0.350.15y x =+
D. ?0.350.25y x =+
二、填空题
5．下列说法中正确的是 （填序号）
①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数r ；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法. 6．三点()3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是
三、解答
[2016高考新课标Ⅲ文数]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；
（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：
7
1
9.32i
i y
==∑，7
1
40.17i i i t y ==∑，
7
2
1
()
0.55i
i y
y =-=∑，7≈2.646.
参考公式：相关系数1
22
1
1
)()
()(y y)n
i
i i n
n
i
i i i t y r t
t ===--=
--∑∑∑，
回归方程$$y a
b =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b
t
t ==--=-∑∑$，
$a
y bt =-$
【2015高考重庆，文17】随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t
1
2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元） 5 6
7
8
10
(Ⅰ)求y 关于t 的回归方程
^
^
^
t y b a =+
常见非线性回归模型
常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通 过直接代换或间接代换转化为线性回归模型,但也有一些非线性回归模型却无 法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 y AKL 其中L和K分别是劳力投入和资金投入, y是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型,只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性,那么这个联立方程模型就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 y f(x1,x2, ,xk; 1, 2, , p) 2.可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为
线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。 （1）y 0 1e x （2）y 0 1x2x2p x p （3）y ae bx (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x即可化为y对x是线性的形式y01x，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 对于（2）式，可以令x1=x,x2=x2,?,x p=x p,于是得到y关于x1,x2,?, x p 的线性表达式y 0 1x12x2 pxp 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得lnylnabx ,令 y lny, 0 lna, 1 b，于是得到y关于x的一元线性回归模型： y 0 1x。 乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为yt本身是异方差的，而lnyt是等方差的。加性误差项模型认为yt是等 方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了y t值大的项（近期数据）的作用， 强化了y t值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则 对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。 异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用 加权最小二乘。
04非线性回归模型的线性化 (3)
非线性回归模型的线性化 以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t 上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。 ⑴ 指数函数模型 y t = t t u bx ae + (4.1) b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然x t 和y t 的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得 Lny t = Lna + b x t + u t (4.2) 令Lny t = y t *, Lna = a *, 则 y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。其中u t 表示随机误差项。 图4.1 y t =t t u bx ae +, (b > 0) 图4.2 y t =t t u bx ae +, (b < 0) ⑵ 对数函数模型 y t = a + b Ln x t + u t (4.4) b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。x t 和y t 的关系是非线性的。令x t * = Lnx t , 则 y t = a + b x t * + u t (4.5) 变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
非线性回归分析
SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！ 非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型 还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？ 答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究： 第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型 点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：
点击确定按钮，得到如下结果：
放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！ 点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面
在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果： 通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于
可线性化的回归分析
1.2可线性化的回归分析学案备注【学习目标】 1.能直观的判断两个变量是否满足线性相关 2.用非线性的函数关系来描述不好用线性关系刻画的两个 变量之间的关系 【重点、难点】用非线性的函数关系来描述不好用线性关系 刻画的两个变量之间的关系 【自主学习】 1.若两个变量不呈现线性关系，不能直接利用线性回归方程 建立两个变量的相关关系，那我们应如何建立两个变量的 关系？例如bx y=怎么化成线性相关问题解决？（阅读教 ae 材第9页到13页） 2. 在具体问题中，我们首先应该作出原始数据) x , (y 的，从中看出数据的大致规律，再 根据这个规律选择适当的函数进行拟合。 3. 对于非线性回归模型一般可转化为模 型从而得到相应的回归方程。 4.几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型 （1）幂函数曲线x ab y=，作变换____________,得线性函数__________________ （2）指数曲线bx ae y=，作变换______________,得线性函数_______________
（3）倒指数曲线x b ae y =，作变换______________得线性函数 ________________ （4）对数曲线x b a y ln +=，作变换_______________得线性函数_____________ 【例题分析】 例1.（1）有5组（x,y ）数据(1,3),(2,4),(4,5),(3,10),(10,12)，去掉一组______数据后，剩下的四组数据的线性相关系数最大。 （2）已知幂函数曲线b ax y =做线性变换后得到的回归方程为v u 4.02+=，则a=_______,b=__________ 例2.为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数 x /天 1 2 3 4 5 繁殖个数y /个 6 12 25 49 95 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求 非线性回归方程为0.69 1.112?y =e x +.） 小结：利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.
计量经济学基础_非线性回归模型
第四节 非线形回归模型 一、 可线性化模型 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。 1．倒数模型 我们把形如: u x b b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。 设：x x 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。 倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。 2．对数模型 模型形式： u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2） (该模型是将u b e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。 上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。 令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3） 变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。 模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：
非线性回归分析
非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+， 可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.
非线性回归分析(常见曲线及方程)
非线性回归分析 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析 常见非线性规划曲线 1.双曲线1b a y x =+ 2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a / e b x其中a>0， 7.S型曲线(Logistic) 1 e x y a b-= + 8.对数曲线y=a+b log x,x>0 9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0 1．回归： （1）确定回归系数的命令 [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0） （2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） 2．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA. 例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s 2 解： 1. 对将要拟合的非线性模型y=a/ e b x，建立M文件volum.m如下：
第三章1.3可线性化的回归分析
1.3 可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程 曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数
y＝ax b c＝ln a v＝ln x u＝ln y u＝c＋bv y＝a e bx c＝ln a u＝ln y u＝c＋bx y＝a e b x c＝ln a v＝ 1 x u＝ln y u＝c＋bv y＝a＋b ln x v＝ln x u＝y u＝a＋bv 要点一线性回归分析 例1 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元)423 5 销售额y(万元)49263954 (1)由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝9.4，求线性回归方程y＝a＋bx； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解(1)x－＝ 4＋2＋3＋5 4 ＝3.5，y－＝ 49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a＝y－－b x－＝42－9.4×3.5＝9.1
非线性回归分析
非线性回归分析(转载) (2009-10-23 08:40:20) 转载 分类：Web分析 标签： 杂谈 在回归分析中，当自变量和因变量间的关系不能简单地表示为线性方程，或者不能表示为可化为线性方程的时侯，可采用非线性估计来建立回归模型。 SPSS提供了非线性回归“Nonlinear”过程，下面就以实例来介绍非线性拟合“Nonlinear”过程的基本步骤和使用方法。 应用实例 研究了南美斑潜蝇幼虫在不同温度条件下的发育速率，得到试验数据如下： 表5-1 南美斑潜蝇幼虫在不同温度条件下的发育速率 温度℃17.5 20 22.5 25 27.5 30 35 发育速率0.0638 0.0826 0.1100 0.1327 0.1667 0.1859 0.1572 根据以上数据拟合逻辑斯蒂模型： 本例子数据保存在DATA6-4.SAV。 1）准备分析数据 在SPSS数据编辑窗口建立变量“t”和“v”两个变量，把表6-14中的数据分别输入“温度”和“发育速率”对应的变量中。 或者打开已经存在的数据文件（DATA6-4.SAV）。 2）启动线性回归过程 单击SPSS主菜单的“Analyze”下的“Regression”中“Nonlinear”项，将打开如图5-1
所示的线回归对话窗口。 图5-1 Nonlinear非线性回归对话窗口 3) 设置分析变量 设置因变量：从左侧的变量列表框中选择一个因变量进入“Dependent(s)”框。本例子选“发育速率[v]”变量为因变量。 4) 设置参数变量和初始值 单击“Parameters”按钮，将打开如图6-14所示的对话框。该对话框用于设置参数的初始值。 图5-2 设置参数初始值
浅谈非线性回归模型的线性化
浅谈非线性回归模型的线性化 广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213) 回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。 一、什么是可线性化的非线性回归模型 线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++ ，其中变量i x 是以其原型(而不是以n i x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。 在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。 二、非线性回归模型的线性化的基本思路 非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2 R 进行拟合效果分析，2 R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。 三、非线性回归模型的线性化的常用方法 可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型： (1)双曲线型，其形式为 1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1 x x '=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为b y ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+ (3)指数函数型，其形式为bx y ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+ (4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明 【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。
非线性回归分析(教案)
1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系.
Mathematica线性回归和非线性拟合
线性回归和非线性拟合 线性回归和非线性拟合都是根据随机观测的一些数据，按照最小二乘法的原理，得到要分析的量和与它相关的量之间近似的函数关系的过程。此外，还要求对结果做显著性检验、区间估计、预测、模型的优劣讨论和改进等。 Mathematica中，使用函数Regress来进行线性回归分析，其使用格式和做曲线拟合的Fit函数是一样的：（如果你只想得到拟合的函数而不需要分析结果，可以使用Fit函数） Regress[拟合数据，用于拟合的函数列表，变量] 下面是其常用的几种形式： 例：数学模型（姜启源），第294页，牙膏的销售量 1．输入数据 2．调入统计函数包，这是使用回归函数必须做的准备。 3．进行回归分析 4．根据选项RegressionReport输出参数的置信区间 关于结果分析和改进工作请参考书第297页~300页。 Mathematica中，使用函数NonlinearFit进行非线性拟合（在5.0版中，可以用内部函数FindFit代替），使用函数NonlinearRegress进行非线性回归分析，它们的使用格式是一样的，但NonlinearFit只
给出最优拟合函数，而NonlinearRegress还可以对结果进行分析，此外它还有和Regress函数一样的选项RegressionReport。下面是它们的使用格式： NonlinearFit[数据,拟合函数形式,变量表,参数表] NonlinearRegress[数据,拟合函数形式,变量表,参数表] 例：数学模型（姜启源），第312页，酶促反应，混合模型的求解和分析 上机练习： （1）数学模型（姜启源）第326页，第1题（答案：参见配套的习题解答） （2）数学模型（姜启源）第330页，第4题（答案：参见配套的习题解答） （3）2004年数学建模竞赛C题中，人一次性喝下含酒精Q 的啤酒后，假设血液中酒精的浓度与时间 的关系为： ()() () bt at aQ C t e e V a b -- =- - ，这里V0=420百毫升,a,b为待定参数，一瓶啤酒含有的酒 精量为21700毫克。试根据题目给出的数据拟合求出参数a,b，作出相应的图形比较拟合的结果，并计算血液中酒精的浓度什么时候达到最大值。 附：某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下： （答案：可参考我校获奖论文）
最新高中数学选修2-3《回归分析的初步应用--探究非线性回归模型》教案精编版
2020年高中数学选修2-3《回归分析的初步应用--探究非线性回归模型》教案精编 版
回归分析的初步应用（教案） ——探究非线性回归模型 佛山市第三中学张云雁 一、教材分析 1. 教材的地位与作用： “回归分析的初步应用”是人民教育出版社A版《数学选修2-3》统计案例一章的内容，是《必修3》“线性回归分析”的延伸。根据高中课程标准，这里准备安排4个课时，本次说课的内容为第3课时。 虽然线性回归分析具有广泛的应用，但是大量实际问题的两个变量不一定都呈线性相关关系，所以有必要探究如何建立非线性回归模型，进行更有效的数据处理。 2. 教学重点、难点： 教学重点：探究用线性回归模型研究非线性回归模型。 教学难点：如何选择不同的模型建模，以及如何将非线性回归模型转化为线性回归模型。 二、学情分析 教学对象是高二的学生，通过前面的学习，具有一定的线性回归分析、相关指数和残差分析的知识，这为探究非线性模型奠定了良好的基础，但由于学生较少接触数学建模的思想，思路不够开阔，为模型间的转化带来了一定的困难。 三、教学目标 知识与技能目标：能根据散点图的特点选择回归模型，通过函数变换，借助线性回归模型研究非线性回归模型。 过程与方法目标：经历非线性回归模型的探索过程，掌握建立非线性模型的基本步骤，体会统计方法的特点。
情感、态度与价值观：以探究问题为中心，感受研究非线性回归模型的必要意义，体验数学的文化内涵，形成学习数学的积极态度。 四、教学方法 1. 教法分析 主要采用“引导发现，合作探究”的教学方法，通过组织学生观察、分析、计算、交流、归纳，让学生在探究学习的过程中经历知识形成的全过程。 利用多媒体辅助教学，优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。 2.学法分析 重点指导学生通过观察思考、类比联想，形成“自主探究、合作交流”的学习形式，培养学生从“学会知识”到“会学知识”。 五、教学过程 （一）知识回顾 首先以07年广东的一道高考题引入新课： 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程?y bx a =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 师：回忆并叙述建立线性回归模型的基本步骤？ 生：选取变量、画散点图、选择模型、估计参数、分析与预测。 [设计意图]：为建立非线性回归模型作准备。
第2章(8)非线性回归模型的线性化
第4章非线性回归模型的线性化（1）多项式函数模型 （2）双曲线函数模型 （3）对数函数模型 （4）生长曲线(logistic) 模型 （比教材中的模型复杂些） （5）指数函数模型 （6）幂函数模型 （7）不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）
第4章非线性回归模型的线性化 有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。 以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 y t = α0 + α11β x+ u t t y t = α0t x e1α+ u t 下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
(1)多项式函数模型(1) （第2版教材第111页）（第3版教材第90页） 一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0+b 1 x t + b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t 令x t 1 = x t ，x t 2 = x t 2，x t 3 = x t 3，上式变为 y t = b 0+b 1 x t 1+ b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的 总成本与产品产量曲线与左图相似。 (b 1>0, b 2>0, b 3>0) (b 1<0, b 2>0, b 3<0)
(1)多项式函数模型(1) 例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页） y t= b0+b1 x t+ b2 x t2+ b3 x t3+ u t （第2版教材第112页） （第3版教材第91页）
计量经济学 第四章 非线性回归模型的线性化范文
第四章 非线性回归模型的线性化 以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t 上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。 4.1 可线性化的模型 ⑴ 指数函数模型 y t = t t u bx ae + (4.1) b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然x t 和y t 的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得 Lny t = Lna + b x t + u t (4.2) 令Lny t = y t *, Lna = a *, 则 y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。其中u t 表示随机误差项。 010 20 30 40 50 1 2 3 4 X Y 1 图4.1 y t =t t u bx ae +, (b > 0) 图4.2 y t =t t u bx ae +, (b < 0)
⑵对数函数模型 y t = a + b Ln x t+ u t(4.4) b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。x t和y t的关系是非线性的。令x t* = Lnx t, 则 y t = a + b x t* + u t(4.5) 变量y t和x t* 已变换成为线性关系。 图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0) ⑶幂函数模型 y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。x t和y t的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得 Lny t = Lna + b Lnx t + u t(4.7) 令y t* = Lny t, a* = Lna, x t* = Lnx t, 则上式表示为 y t* = a* + b x t* + u t(4.8) 变量y t* 和x t* 之间已成线性关系。其中u t表示随机误差项。(4.7) 式也称作全对数模型。 图4.5 y t = a x t b t u e图4.6 y t = a x t b t u e
实验三 多元线性回归模型和非线性回归模型
实验三多元线性回归模型和非线性回归模型 【实验目的】 掌握建立多元线性回归模型和非线性回归模型，以及比较、筛选模型的方法。【实验内容】 建立我国国有独立核算工业企业生产函数。 根据生产函数理论，生产函数的基本形式为：(,,,) Y f t L Kε =。其中，L、K 分别为生产过程中投入的劳动与资金，时间变量t反映技术进步的影响。表3.1列出了我国1978-1994年期间国有独立核算工业企业的有关统计资料；其中产出Y为工业总产值（可比价），L、K分别为年末职工人数和固定资产净值（可比价）。 表3.1 我国国有独立核算工业企业统计资料 年份时间t 工业总产值 Y（亿元） 职工人数 L（万人） 固定资产 K（亿元） 1978 1 3289.18 3139 2225.70 1979 2 3581.26 3208 2376.34 1980 3 3782.17 3334 2522.81 1981 4 3877.86 3488 2700.90 1982 5 4151.25 3582 2902.19 1983 6 4541.05 3632 3141.76 1984 7 4946.11 3669 3350.95 1985 8 5586.14 3815 3835.79 1986 9 5931.36 3955 4302.25 1987 10 6601.60 4086 4786.05 1988 11 7434.06 4229 5251.90 1989 12 7721.01 4273 5808.71 1990 13 7949.55 4364 6365.79 1991 14 8634.80 4472 7071.35 1992 15 9705.52 4521 7757.25 1993 16 10261.65 4498 8628.77 1994 17 10928.66 4545 9374.34 【实验步骤】 一、建立多元线性回归模型 （一）建立包括时间变量的三元线性回归模型； 在命令窗口依次键入以下命令即可： ⒈建立工作文件：CREATE A 1978 1994
高考数学复习点拨-非线性回归问题
非线性回归问题 两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。分析非线性回归问题的具体做法是： （1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决． （2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法． 例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式 e b x y A =（b <0）表示，现测得实验数据如下： 试求对的回归方程． 分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为e b x y A =（b <0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程． 解：由题意可知，对于给定的公式e b x y A =（b <0）两边取自然对数，得ln ln b y A x =+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1 u x = ，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1 u = ，ln v y =变为如表所示的数据： 由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-$，$0.548a =， ∴v =$0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得$0.146 ln 0.548y x =-， ∴$ 0.146 0.1460.1460.5480.548 e 1.73x x x y e e e - - - ===g ， ∴回归曲线方程为$ 0.146 1.73e x y - =． 点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤． 例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下：
第三章 1.3可线性化的回归分析
1.3可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程
要点一 线性回归分析 例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： (1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝9.4，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y － ＝49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a ＝y － －b x － ＝42－9.4×3.5＝9.1 ∴回归直线方程为y ＝9.1＋9.4x . (2)当x ＝4时，y ＝9.1＋9.4×4＝46.7， 故广告费用为6万元时销售额为46.7万元． 跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据： (1)对变量x ，y 进行相关性检验； (2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．
多重共线性和非线性回归的问题
多重共线性和非线性回归的问题 前几天她和我说，在百度里有个人连续追着我的回答，三次说我的回答错了。当时非常惊讶，赶紧找到那个回答的问题，看看那个人是怎么说。最终发现他是说多重共线性和非线性回归的问题，他认为多个自变量进行不能直接回归，存在共线性的问题，需要进行因子分析（或主成分分析）；说非线性回归不能转换成线性回归的方法，这里我详细说说这两方面的问题到底是怎么回事（根据我的理解），我发现很多人很怕这个多重共线性的问题，听到非线性回归，脑袋就更大了。。。 （1）多重共线性问题 我们都知道在进行多元回归的时候，特别是进行经济上指标回归的时候，很多变量存在共同趋势相关性，让我们得不到希望的回归模型。这里经常用到的有三种方法，而不同的方法有不同的目的，我们分别来看看： 第一个，是最熟悉也是最方便的——逐步回归法。 逐步回归法是根据自变量与因变量相关性的大小，将自变量一个一个选入方法中，并且每选入一个自变量都进行一次检验。最终留在模型里的自变量是对因变量有最大显著性的，而剔除的自变量是与因变量无显著线性相关性的，以及与其他自变量存在共线性的。用逐步回归法做的多元回归分析，通常自变量不宜太多，一般十几个以下，而且你的数据量要是变量个数3倍以上才可以，不然做出来的回归模型误差较大。比如说你有10个变量，数据只有15组，然后做拟合回归，得到9个自变量的系数，虽然可以得到，但是精度不高。这个方法我们不仅可以找到对因变量影响显著的几个自变量，还可以得到一个精确的预测模型，进行预测，这个非常重要的。而往往通过逐步回归只能得到几个自变量进入方程中，有时甚至只有一两个，令我们非常失望，这是因为自变量很多都存在共线性，被剔除了，这时可以通过第二个方法来做回归。 第二个，通过因子分析（或主成分分析）再进行回归。 这种方法用的也很多，而且可以很好的解决自变量间的多重共线性。首先通过因子分析将几个存在共线性的自变量合为一个因子，再用因子分析得到的几个因子和因变量做回归分析，这里的因子之间没有显著的线性相关性，根本谈不上共线性的问题。通过这种方法可以得到哪个因子对因变量存在显著的相关性，哪个因子没有显著的相关性，再从因子中的变量对因子的载荷来看，得知哪个变量对因变量的影响大小关系。而这个方法只能得到这些信息，第一它不是得到一个精确的，可以预测的回归模型；第二这种方法不知道有显著影响的因子中每个变量是不是都对因变量有显著的影响，比如说因子分析得到三个因子，用这三个因子和因变量做回归分析，得到第一和第二个因子对因变量有显著的影响，而在第一个因子中有4个变量组成，第二个因子有3个变量组成，这里就不知道这7个变量是否都对因变量存在显著的影响；第三它不能得到每个变量对因变量准确的影响大小关系，而我们可以通过逐步回归法直观的看到自变量前面的系数大小，从而判断自变量对因变量影响的大小。 第三个，岭回归。 通过逐步回归时，我们可能得到几个自变量进入方程中，但是有时会出现自变量影响的方向出现错误，比如第一产业的产值对国民收入是正效应，而可能方程中的系数为负的，这种肯定是由于共线性导致出现了拟合失真的结果，而这样的结果我们只能通过自己的经验去判断。通常我们在做影响因素判断的时候，不仅希望得到各个因素对因变量真实的影响关系，还希望知道准确的影响大小，就是每个自变量系数的大小，这个时候，我们就可以通过岭回归的方法。