当前位置：文档库 › 书后附录积分表推导过程

书后附录积分表推导过程

积分表积分公式推导

高等数学积分表公式推导

目录（一）含有ax + b的积分（1~9） (1) （二）含有a x + b的积分（10~18） (5) （三）含有x± a 2 2 的积分（19~21）································ (9) （四）含有ax2+b (a > 0)的积分（22~28） (11) （五）含有ax2+bx +c(a > 0) 的积分（29~30）························· (14) （六）含有x 2 + a2(a > 0)的积分（31~44） (15) (a > 0)的积分（45~58）··································· (24) （八）含有a 2 ?x2(a > 0)的积分（59~72） (37) （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有± a +bx + c(a > 0)的积分（73~78） (48) 2 （十）含有± x? a x? b 或(x? a)(b?x)的积分（79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分（83~112）·························· (55) （十二）含有反三角函数的积分（其中a>0) （113~121） (68) （十三）含有指数函数的积分（122~131） (73) （十四）含有对数函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（132~136）·························· (78) （137~141）·························· (80) （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式························· (85) 说明 (86) 团队人员 (87)

常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1d (1)1 x x x c μμμμ+≠-= ++? 特别， 211d x c x x =-+? , 3 22 3 x x c =+, x c =+ ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a =+? , 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 22 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+? ? ⑻ 22 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+? ? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>,特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别， 2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 2211d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 2211d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+?

⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2(0) ===arcsin 2a a x x c a >+ ⒅ 2(ln 2 a a x x c >±+ ⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+? ?? ⒇ 12222212 123 d ()2(1)()2(1)n n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-? I I （递推公式）跟我做练习 (一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24 ⑴ 2)x x = -[套用公式⒅] 1 ln (2)2 x = - ⑵ [ 1 (24)42 x x x = -+??

学生每日课堂表现评价表

为创设一个良好的学习环境，形成健康向上的班级风貌，促进同学们养成良好的学习习惯，特制定本班学生每日课堂表现评价表考核说明 1、每人基础分0 分。 2、班干部每人加5分；寝室室长每人加5分；大小组长每人加5 分；学科科代表每人加5 分。可重复累加。3.每周汇总一次，评出优秀小组，展示之星，点评之星，质疑之星，助人之星考核标准 1. 能大胆、大声、大方地踊跃发言、讲解，有条理表达自己的意见，解决问题的过程清楚。说话文明礼貌、用语规范。（5-10 分） 2. 各科作业按时完成，书写认真，格式规范，书写正确、工整美观。（5-10 分） 3. 上课认真听讲，积极参与小组讨论，刻苦钻研难题，大胆质疑，尝试一题多解。（5-10 分） 4. 思维活跃,大胆提出和别人不同的问题，大胆尝试并表达自己的想法，有批判精神。（5-10 分） 5. 团结同学，善于组内同伴合作，积极参与交流，诚恳表述自己的观点，虚心听取别人的意见，与组内成员共同探究、解决问题。（5-10 分） 6. 主动帮助组内学困生，能耐心讲解疑难问题，直到他们弄懂为止，学困生在其帮助下，学习成绩有明显提高（5-10 分） 7. 课前准备充分（0-2 分）

8. 课堂、自习纪律良好，服从组长及值周班长管理（0-2 分）9.大胆质疑一次5 分，10.保质保量，完成各科任务者加5 分班级学习小组评价细则一、学习情况（一）、教师评价内容与方法 1. 教师评价学生的作业质量，优秀作业、合格作业、较差作业分别赋3、 2、1分，不交作业者减2 分。 2、教师评价学生完成预习的情况，预习完成情况与作业等级赋分相同，每缺一次减2 分。 3、教师评价学生订正、保存试卷的情况，与作业等级赋分相同，每丢失一份试卷减2 分。 4、教师评价课堂小组合作学习氛围，好的组酌情加1-3 分，评价学习任务完成情况对好的组酌情加1-3 分，评价代表小组发言情况，好的组酌情加1-3 分，评价小组学习纪律情况，差的酌情减1-3.分。 5. 上课指答答对的，根据学生类别分别得1、2、3 分。抢答主动回答的，答对2 分，答错不减分。 6、教师评价学生各类测试情况，测试成绩分A\B\C\D 四个等级，分别赋分4、3、2、1 分。 7、课堂表现，由任课老师及课代表监督完成。（1）课堂不专心且造成不良影响，视其行为扣1分或2分（2）课堂表现积极，展示表现（包括语言流利、字迹工整、表达准确等）突出的加1-2分（3）课堂思维活跃，有独到见解或创新思维的加2-3 分（4）小组出现不交作业或者不按时完成作业者，每人每次扣 2 分，不按时交作业者或抄袭作业，每人每次扣1 分。（二）、组间互查内容方法学习委员、课代表及任课老师课前检查相邻组的课前准备，重点检查预习的准备、完成情况、学具准备情况、准备不充分或者未完成者，每人次减1 分。（三）组长评价内

积分公式大全

2 常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4 5 6．2 d () x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2 d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8． 2 2d ()x x ax b +?＝ 2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d () x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ?＝ C 11 ．x ?＝2 2(3215ax b C a -

4 22 23．2 d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ 24． 2 2d x x ax b +?＝2 d x b x a a ax b -+? 25．2d () x x ax b +? ＝ 2 21ln 2x C b ax b ++ 26．2 2 d ()x x ax b +?＝2 1d a x bx b ax b --+? 27．32d () x x ax b +? ＝ 2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．2 2 d ()x ax b +?＝2 2 1d 2()2x x b ax b b ax b +++? （五）含有2 ax bx c + +(0) a >的积分 29．2 d x ax bx c ++?＝ 22(4) (4) C b ac C b ac +<+> 30．2 d x x ax bx c ++? ＝2 21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c ++- ++? (0) a >的积分 31．＝1 arsh x C a +＝ln(x C +

常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-=++? 特别， 2 11 d x c x x =-+? , 32 23 x x c =+ , x c = ⑶ 1d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a = +?, 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>, 特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别，2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ??

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv

附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

小学奖惩制度及积分表

六年级数学奖惩制度一、课堂加分 ①每节课每人最多加2分，最多扣3分。 ②小组表现良好的加1分。细则：上课积极讨论，回答积极。 ③小组讨论时，若是1号同学发言加1.5分，获得同学们认可后，小组内每位同学加1.5分，其余同学发言加1分，4号同学发言加0.5分。同时小组加一笔。 ④口答答题，正确的个人加0.5分，同时小组加一笔，不正确的不加分。 ⑤因讲话、插嘴等被批评个人每次扣0.5分，小组减去一笔。二、作业加分 ①作业得优+，加1分。得良—扣1分，其余的不加分不减分。抄袭者和被抄袭者每次扣2分，且作业加倍。 ②作业订正（不限当天）：订正合格每次加0.5分（重复订正的不给分），不合格不加分。 ③作业未按时交的：已写作业说明书且当天交作业的，不扣分；作业说明书但当天不补交作业的，扣0.5分；不写作业说明书也不补交的，扣1分。三、小组加分小组加分采用正字计数法，每周得分最高的小组评为优秀小组，优秀组长加2分,组员在新的一周内各加0.5分。组长收集的作业中每日作业中，姓名，座位号，日期没有写的，解决问题中“答”没有写完整的，组长扣0.1分，当事人扣0.5分，小组减一笔。四、考试加分每次单元考100分的加3分，97~99分加2分，90~96加1分，80分~89分加0.5分，不及格的扣0.5分。其余不加不减。每次考试凭一个进步奖，加2分。五、其他 ①小组长每周加0.5分，数学科代表每周加1.5分。

② 每周对上一周的进步之星和校园之星加1分。 ③ 每周积分倒数五位同学的惩罚：抄本周的数学笔记一遍或打扫班级卫生一天。 ④ 加0.5分记作：+0.5；扣1分记作：-1。每周五午休后马上交给科代表。六、组长和科代表工作职责由小组长每日收集作业，汇总组员作业的名单给数学科代表。在交作业前需要检查组员的组长收集的作业中每日作业中，姓名，座位号，日期是否有写，解决问题中“答”是否有写完整。小组长检查并订正每周的周末作业，并敦促组员改正。如果没有完成好，小组减一笔。数学科代表1每日收集每组作业并上交老师，每日检查同学们是否抄作业，数学科代表2收集每单元的数学考卷并汇总数学成绩。六（）班第___小组组长:__________ 第____周星期周一课堂作业订正周二课堂作业订正周三课堂作业订正周四课堂项目姓名

积分表积分公式推导

高等数学积分表公式推导

页眉内容目录（一）含有 ax + b 的积分（1~9） (1) （二）含有 ax + b 的积分（10~18） (5) （三）含有 x ± a 2 2 的积分（19~21） (9) （四）含有 2 +b (a > 0)的积分（22~28）............................................11 （五）含有 ax 2 +bx +c (a > 0) 的积分（29~30）. (14) （六）含有 x 2 + a 2 (a > 0)的积分（31~44） (15) (a > 0)的积分（45~58）·········································24 （八）含有 a 2 ? x 2 (a > 0)的积分（59~72）·········································37 （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有 ± a +bx + c (a > 0)的积分（73~78） (48) 2 （十）含有 ± x ? a x ? b 或 ( x ? a)(b ? x)的积分（79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分（83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a>0)（113~121）·······················68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十四）含有对数函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（132~136） (78) （137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式 (85) 说明 .....................................................................................86 团队人 (87)

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

积分公式表

1 2 基本积分表 kdx kx C (k 是常数) 1 x x dx C, (u 1 1 dx In | x | C x dx 2 arl tanx C 1 x sin xdx cosx C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C e x dx e x C a x dx - C , (a 0,且 a 1) In a shxdx chx C chxdx shx C 1 丄 x arc tan C a a (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (⑵ (13) (14) (15) (16) cosxdx sinx C 1) —dx cos x —V-dx sin x tan x C cot x C y dx

1 dx 1 2 2 .a x x arc sin- C a 从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 类换元法也叫凑微分法。务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 (17) 2-ln —| C 2a x a (19) ,1 dx a 2 x 2 ln( x .a 2 x 2) C (20) dx .x 2 a 2 In |x x 2 a (21) tan xdx In | cosx | C (22) cot xdx In | sinx| C (23) secxdx In | secx tanx (24) cscxdx In | cscx cotx C C I I (18) 注：1、 ?2 sin x 2 2 cos x 1,ta n x 2 2 sec x,sin 2x 2sin xcosx, cos x 1 cos2x ， sin 2 x 1 cos2x 注：由 f[ (x)] '(x)dx f[ (x)]d (x)，此步为凑微分过程，所以第此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如,

常用积分公式

常用积分公式 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

小组课堂表现评价标准

高效学习小组课堂积分标准 1.每次按要求完成上交目标本，加2分。 2.课前分小组坐好，准备好三本二笔加1分。 3.他人展示过程中、他人点评时都认真、全心投入、不说话，加2分。 4.自主学习时目标明确、专注扎实，不讲跟所学无关的话，加3分。 5.主动回答不正确不得分，正确加2分。老师提问回答不正确，减1分，回答正确加1分。 6.开始和结束讨论时都迅速起立，移动凳子不出声；讨论过程中都站好、不趴在桌子；讨论积极热烈，声音洪亮，加3分。 7.展示积极迅速，按规定时间完成，加2分。 8.点评过程中都坐姿端正、面向点评同学，点评准确有效，加2分。 9.课堂学习中被老师点名表扬的小组每人加1分，被批评的小组每人减1分，被批评的个人扣2分。 10.每次默写、听写单词词组按正确数的双倍、句子按正确数的四倍积分，测验按卷面成绩等量加分。附则：值日班长由组员轮流承担（轮到前由本组组长指定，值日所耽误的听课内容由组长帮助弥补），全程负责观察各小组的学习表现并记录、打分，有扣分项目应注明原因，当天结束将当日积分表累计后交值周班长（由学科班长指定）；值周班长由副组长轮流承担，将周一至周七的积分累计后交学科班长；学科班长按月累计积分并公布积分报学科教师评定晋级。 2016.3.6

小组长对每一个小组成员评价：首先要在每一节课结束前，对每个同学的课堂表现和学习目标达成率进行打分量化、排队、公布，并对每个成员的学习过程、学习表现进行总结，搞好记录，对本节课表现不足的地方要实事求是地指出，以利于不断改进。最后要评选出本节课最佳学习个人。学科组长每天对小组成员进行综合评价，一周一汇总、一公布，激励每位同学都以极度的热情全心投入学习，做最好的自己。 ①学科组长每天及时从课堂表现、学习目标达成率、学案使用和清底整理、典型题本使用和整理、自主学习表现等方面对本组成员进行综合评价，并做好记录。按时收齐本组同学的学案，依据学案完成情况、书写是否认真规范、做学案是否积极主动和能否独立思考等给每位同学按A、B、C、D进行组内评价。一周一汇总、一公布，评选出一周学习的优胜个人。说明： 1.课堂表现评价标准见小组课堂表现评价标准。 2.学习目标达成率按当堂学案的整理落实情况分层打分，A层同学整理落实了学案的100%加2分，B层同学整理落实了学案的90%加2分，C层同学整理落实了学案的80%加2分（注意：百分数可根据课

(完整word版)证明微积分基本公式

定义（定积分）设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：（1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ；（2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1（可积的必要条件）如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。引理（微分中值定理）设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：

积分公式表

基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）（2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且（14）shxdx chx C =+?

（15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）22 11ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+ （19） ln(x C =++ （20） ln ||x C =++ （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ，

(完整word版)积分公式

2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1，x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注．(1)不是在m=-1的特例． (2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算． 3.不定积分的四则运算根据微分运算公式 d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)

d(kf(x))=k d f(x) 我们得不定积分的线性运算公式 (1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x (2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是非零常数. 现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x 解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x =+7ln|x|－5cos x－4sin x+C . 注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成一个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x 解.原式=∫(1+3+3x+)d x =∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x =x+3+C =x+2x++C . 注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式= = =－x+arctan x+C . 注.被积函数是分子次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出一个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分子次数低于分母的次数．

课堂表现

三2班评分细则一、课评价：要求每节课上教师或学生都要对参与高效课堂的学生进行合理评价，采用以下的评价细则： 1、自主学习：（1）课前预习：课前主动预习的，老师根据情况酌情给以奖分；（2）按照导学案自学步骤进行自主学习，学习投入认真，能够独立、保质、保量的完成各科各项自学任务。科任老师根据自学情况对小组进行评价。此两项赋分区间为3—5分。 2、课前板书：各个小组推选组员提前把该组所分配的任务板书在黑板上。视其板书的质量赋分（字迹是否工整、是否详略得当、内容是否准确、是否有彩色粉笔突出重点）；赋分区间为3—5分。 3、合作学习：不说与课堂无关的话；有团队精神和责任意识，尊重他人，互帮互学，主动帮助别人、请教别人，有“帮助别人就是帮助自己”的合作共赢的意识和精神；自主学习时，认认真真；小组互动时，轻声细语；大组讨论时，站立交流，积极踊跃，且“忙而不乱”。任课教师视小组分工的合理性，小组成员的合作方式，小组成员的参与度，小组全作的在成效等赋分。赋分区间为3—5分。 4、课堂展示：（一人展示多次就不如多人展示获得奖励的多。）（1）规定展示：对老师规定的学习内容进行的展示评价分是下列几项分值的累加： ①是小组轮流的同学展示的得5分，若由学习成绩比较落后的学生展示的得10分； ②板书工整、正确，评讲时大方、声音洪亮、语言精练、规范等，得8—10分。 ③对学生提出的疑问和不同见解，能进行正确的解答和评析的，得3—5分。本项成绩最高分为10分，评分由小组之间交叉评定。（2）自由展示 ①能主动提出问题、敢于质疑、辩论的学生得3—5分。 ②能积极主动地回答问题的学生得3分。若又能正确的回答问题的再加5分。本项评分最高分为5分，由小组之间交叉评定。（3）口头展示，依据展示者是否字正腔圆，声音洪亮，讲姿是否大方得体、是否能把问题讲得清晰正确等给分，分值区间：3—5分。（4）听展者，对别人的正确意见或高明见解以点头、微笑、鼓掌表示赞赏的，适当给分，分值区间：3—5分。（5）在仔细观察分析别人的发言或操作的基础上提出不同的意见；肯定对方意见正确的一面，再批评错误的一面；摆事实讲道理，以理服人；视其参与率和精彩程度赋分。赋分区间为5—10分。 5、对抗质疑：在别小组展示的过程中，看其他小组成员能否发现该组的板书错误或讲解错误，是否有其他更好的答案或解题方法等进行赋分，并且对该

附录简单积分表

简单积分表 A ．1含有a+bx 的积分 ()()()() () ()1 222232 2222 23()(1)(1) 1.1ln ||(1) 2.ln ||11 3.2ln ||21 4.ln ||2 5.a bx C b a bx dx a bx C b xdx x a a bx C a bx b b x dx a bx a a bx a a bx C a bx b xdx a a bx C b a bx a bx x dx x a a b b a bx b a bx ααααα+?++≠-??++=? ?++=-??=-+++??=+-++++??+???? =+++ ?+??+=--++????? ()()() ()3222 2ln ||16.ln 17.ln 118.ln a bx C dx x C x a bx a a bx dx b a bx C x a bx ax a x dx a bx C a a bx a x x a bx ++=++++=-++++=-+++??? A ．2

()( ) ()( ) ( ( ) 3 2 2 3 2222 2 2 2 222 2 3 232 9. 15 215128 10. 105 22 11. 3 2348 12. 15 ln(0) 13. 2 arctan(0) bx a a bx C b b x abx a a bx x C b bx a xdx C b b x abx a C b C a dx C a -+ =+ -++ =+ - =+ -+ =+ ? +> = +< ? ? ? ? ? 2 14. 2 15. 16. 2 dx a dx ax b dx a x b dx x x =-- =+ =-+ ?? ?? ?? A．3 含有22 a x ±的积分

常用积分公式

第3章牛顿-莱布尼茨积分和积分法 130 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-=++? 特别， 2 11 d x c x x =-+? , 32 23 x x c =+ , x c =+ ⑶ 1d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a = +?, 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>, 特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别，2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+

(完整word版)基本积分表

基本积分表 1、? +=c kx kdx 2、?++=+c a x dx x a a 11 3、?+=c x dx x ln 1 4、?+=+c x dx x arctan 112 5、?+=-c x dx x arcsin 112 6、? +=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin 8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12 2 9、??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec 11、? +-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x 13、?+=c a a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数 15、?+=c shx chxdx 其中2 x x e e chx -+=为双曲余弦函数

基本积分表的扩充 16、? +-=c x xdx cos ln tan 17、?+=c x xdx sin ln cot 18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1 sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]