高一下学期第一次月考数学试题
一、选择题(本大题共12小题,5分/题,共60分) 1.设,,a b c R ∈,且a b >,则( )
A .ac bc >
B .
11a b
< C .22
a b >
D .33
a b >
2.下列函数中,最小值为4的是( ) A .y =x +4
x
B .y =sinx +
4
sinx
(0 -x D .y =log 3x +log x 3(0 3. 已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=5,a 7+a 8+a 9=10,则a 4+a 5+a 6=( ) A .52 B .7 C .6 D .4 2 4.不等式x 2-x -6 x -1>0的解集为( ) A.{}x|x<-2或x>3 B.{}x|x<-2或1 C.{}x|-2 D.{}x|-2 5. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)。这个问题中,甲所得为( ) A . 45钱 B .34钱 C .23钱 D .3 5钱 6.不等式(x +2y +1)(x -y +4)≤0表示的平面区域为( ) 7.已知等比数列{}n a 的公比是q ,首项01 31 a S k >,则正整数k 的最大值是( ) A. 4 B. 5 C. 14 D.15 8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若310101009=?a a ,则201832313log log log a a a +++ 的值为( ) A .2018 B .2018- C .1009 D .1009- 9.已知不等式(x +y)(1x +a y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 10. 已知g(x)是R 上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),且f(x)=? ????x 3,x ≤0, g (x ),x>0. 若f(2-x 2)>f(x),则实数x 的取值范围是( ) A .(-1,2) B .(1,2) C .(-2,-1) D .(-2,1) 11.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 15 > 0 ,S 16 < 0 ,则 S n 取最大值时 n 的值为( ) A .6 B .7 C .8 D .13 12.若正数a ,b 满足:1a +1 b =1,则1a -1+9 b -1 的最小值为( ) A .16 B .9 C .6 D .1 二、填空题(本大题共4小题,5分/题,共20分) 13.若角βα,满足2 2 π βαπ < <<- ,则βα-2的取值范围是________. 14.用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 . 15.满足的约束条件101030x y x y x y ?? ??? +-≥--≤-3+≥,则z =x +2y 的最大值为_____________. 16.对于数列{}n a ,定义11222n n n a a a A n -++ += 为数列{}n a 的“好数”,已知某数列{}n a 的“好数” 12n n A +=,记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ,若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数k 的取值范围 是______. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(本小题满分10分)已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k<0(k ≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k 的值; (2)若不等式的解集为{x|x ∈R ,x ≠1 k },求k 的值; (3)若不等式的解集为?,求k 的取值范围. 18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是等比数列,24a =,32a +是2a 和4a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设22log 1n n b a =-,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 19.(本小题满分12分)已知不等式x 2-5ax +b>0的解集为{x|x>4或x<1}. (1)求实数a ,b 的值; (2)若0 1-x ,求f(x)的最小值. 20.(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),该厂是否应考虑接受此优惠条件?请说明理由. 21.(本小题满分12分)正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足:222 (1)()0n n S n n S n n -+--+= (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令221(2)n n n b n a +=+,数列{bn}的前n 项和为Tn ,证明:对于任意的n ∈N*,都有Tn < 5 64 . 22.(本小题满分12分)设函数()21f x x =+,()g x x =,数列{}n a 满足条件:对于*n N ∈,0n a >,且 11a =,并有关系式:()()()11n n n f a f a g a ++-=,又设数列{}n b 满足()1log n n a b a +=(0a >且1a ≠, *n N ∈). (1)求证数列{}1n a +为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)试问数列1n b ?? ???? 是否为等差数列,如果是,请写出公差,如果不是,说明理由; (3)若2a =,记()11n n n c a b = +?,*n N ∈,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,数列1n b ?? ???? 的前n 项和为n R , 若对任意的* n N ∈,不等式23211n n n n R nT n a a λλ?? +<+ ?++?? 恒成立,试求实数λ的取值范围. 高一下学期第一次月考数学试题解析 一、选择题(本大题共12小题,5分/题,共60分) 1.设,,a b c R ∈,且a b >,则( )D A .ac bc > B . 11a b < C .22 a b > D .33 a b > 2.下列函数中,最小值为4的是( ) C A .y =x +4 x B .y =sinx + 4 sinx (0 -x D .y =log 3x +log x 3(0 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a =b”,同时考虑函数的定义域,A 中x 的定义域为{x|x ∈R ,且x≠0},函数没有最小值;B 中若sinx =4 sinx 取到最小值4,则sin 2x =4,显然不成立.D 中没有最小值.故 选C. 4. 已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=5,a 7+a 8+a 9=10,则a 4+a 5+a 6=( )A A .52 B .7 C .6 D .4 2 4.不等式x 2-x -6 x -1>0的解集为( )C A.{}x|x<-2或x>3 B.{}x|x<-2或1 C.{}x|-2 D.{}x|-2 解 x 2-x -6x -1>0?(x -3)(x +2)x -1 >0?(x +2)·(x -1)(x -3)>0, 由数轴标根法得-2 5. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)。这个问题中,甲所得为( )B A . 45钱 B .34钱 C .23钱 D .3 5钱 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++, 则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-, 又225, a d a d a a d a d -+-+++++=1a , 则 4422633a a d a a ??-=-?-== ???,故选B. 6.不等式(x +2y +1)(x -y +4)≤0表示的平面区域为( ) 解析 方法一:可转化为①?????x +2y +1≥0,x -y +4≤0或②???? ?x +2y +1≤0,x -y +4≥0. 由于(-2,0)满足②,所以排除A ,C ,D 选项. 方法二:原不等式可转化为③?????x +2y +1≥0,-x +y -4≥0或④? ??? ?x +2y +1≤0,-x +y -4≤0. 两条直线相交产生四个区域,分别为上下左右区域,③表示上面的区域,④表示下面的区域,故选B. 7.已知等比数列{}n a 的公比是q ,首项01 31a S k >,则正整数k 的最大值是( )A A. 4 B. 5 C. 14 D.15 【解析】14413113112131121216212 k k k a a a a a a q S a a ????-?? ?????????=+-?==?=>? ???- 5 152k ?? >?< ??? max 4k ?=,故选A. 8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若310101009=?a a ,则201832313log log log a a a +++ 的值为( )C A .2018 B .2018- C .1009 D .1009- 解:在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若310101009=?a a , 可得3101010092017220181=?==?=?a a a a a a , 则201832313log log log a a a +++ )(log 20183213a a a a =10093 log 1009 3==. 9.已知不等式(x +y)(1x +a y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )B A .2 B .4 C .6 D .8 解析 (x +y)(1x +a y )=1+a·x y +y x +a≥1+a +2a =(a +1)2, 当且仅当a·x y =y x ,即ax 2=y 2时“=”成立. ∴(x +y)(1x +a y )的最小值为(a +1)2≥9. ∴a≥4. 11. 已知g(x)是R 上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),且f(x)=? ????x 3,x ≤0, g (x ),x>0. 若f(2-x 2)>f(x),则实数x 的取值范围是( )D A .(-1,2) B .(1,2) C .(-2,-1) D .(-2,1) 解析 若x>0,则-x<0,因为g(x)是R 上的奇函数,所以g(x)=-g(-x)=ln(x +1),所以f(x)= ?????x 3,x ≤0,ln (1+x ),x>0, 则函数f(x)是R 上的增函数,所以当f(2-x 2)>f(x)时,2-x 2>x ,解得-2 11.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 15 > 0 ,S 16 < 0 ,则 S n 取最大值时 n 的值为( )C A .6 B .7 C .8 D .13 12.若正数a ,b 满足:1a +1b =1,则1a -1+9b -1 的最小值为( ) C A .16 B .9 C .6 D .1 解析 方法一:因为1a +1b =1,所以a +b =ab ,即(a -1)·(b -1)=1,所以1a -1+9 b -1≥2 1a -1×9 b -1 =2×3=6. 方法二:因为1a +1b =1,所以a +b =ab ,1a -1+9b -1=b -1+9a -9ab -a -b +1=b +9a -10=(b +9a)(1a +1 b )-10≥16- 10=6. 方法三:因为1a +1b =1,所以a -1=1b -1,所以1a -1+9b -1=(b -1)+9 b -1≥29=2×3=6. 二、填空题(本大题共4小题,5分/题,共20分) 13.若角βα,满足2 2 π βαπ < <<- ,则βα-2的取值范围是________.)2 ,23(ππ- 14.用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 .12+=n a n 【解析】第一个三角形用了3个火柴棒,所以31=a ,以后每增加一个三角形,就增加2个火柴棒,所以成等差数列2=d ,所以122)1(3+=?-+=n n a n . 15.满足的约束条件101030x y x y x y ?? ??? +-≥--≤-3+≥,则z =x +2y 的最大值为_____________.7 16.对于数列{}n a ,定义11222n n n a a a A n -++ += 为数列{}n a 的“好数”,已知某数列{}n a 的“好数” 12n n A +=,记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ,若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数k 的取值范围是______.916,47?? ???? 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(本小题满分10分)已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k<0(k ≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k 的值; (2)若不等式的解集为{x|x ∈R ,x ≠1 k },求k 的值; (3)若不等式的解集为?,求k 的取值范围. 解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}, 所以k<0,且-3与-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根, 所以(-3)+(-2)=2k ,解得k =-2 5 ………………3分 (2)因为不等式的解集为{x|x ∈R ,x≠1 k }, 所以?????k<0,Δ=4-24k 2=0,解得k =-66.………………6分 (3)由题意,得? ????k>0,Δ=4-24k 2≤0,解得k≥6 6.………………10分 18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是等比数列,24a =,32a +是2a 和4a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设22log 1n n b a =-,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 解:(1)设数列{}n a 的公比为, 因为24a =,所以34a q =,2 44a q =. 因为32a +是2a 和4a 的等差中项,所以()32422a a a +=+. 即()2 24244q q +=+,化简得2 20q q -=. 因为公比0q ≠,所以2q . 所以2 22422n n n n a a q --==?=(*n N ∈).………………5分 (2)因为2n n a =,所以22log 121n n b a n =-=-.()212n n n a b n =-.…………6分 则()()2 3 1 123252232 212n n n T n n -=?+?+?+???+-+-,① ()()23412123252232212n n n T n n +=?+?+?+???+-+-.② ①-②得, ()2312222222212n n n T n +-=+?+?+???+?-- ()()()11141222212623212 n n n n n -++-=+? --=----,………………11分 所以()1 6232 n n T n +=+-.………………12分 19.(本小题满分12分)已知不等式x 2-5ax +b>0的解集为{x|x>4或x<1}. (1)求实数a ,b 的值; (2)若0 1-x ,求f(x)的最小值. 解析 (1)因为不等式x 2-5ax +b>0的解集为{x|x>4或x<1}, 所以x 2-5ax +b =0的两根分别为1和4,由根与系数的关系得5a =1+4,b =1×4, 所以a =1,b =4.………………4分 (2)由(1)知f(x)=1x +41-x , 所以f(x)=1x +41-x =(1x +4 1-x )[x +(1-x)]=5+1-x x +4x 1-x ,………………8分 因为0 1-x >0, 所以f(x)≥5+2 1-x x ×4x 1-x =9,………………10分 当且仅当1-x x =4x 1-x ,即x =1 3时等号成立.所以f(x)的最小值为9.………………12分 20.(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),该厂是否应考虑接受此优惠条件?请说明理由. 解析 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉,则其购买量为6x 吨.由题意知,面粉的保管等其他费用为3[6x +6(x -1)+…+6×2+6×1]=9x(x +1).设每天所支付的总费用为y 1元, 则y 1=1x [9x(x +1)+900]+6×1 800=900 x +9x +10 809 ………………3分 ≥2 900 x ·9x +10 809=10 989, 当且仅当9x =900 x ,即x =10时取等号. 所以该厂每隔10天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少为10989元.………………6分 (2)若该厂家接受此优惠条件,则至少每隔35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后,每隔x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y 2,则 y 2=1x [9x(x +1)+900]+6×1 800×0.90=900x +9x +9 729(x≥35).………………8分 令f(x)=x +100 x (x≥35),x 2>x 1≥35,则 f(x 1)-f(x 2)=(x 1+100x 1)-(x 2+100x 2)=(x 1-x 2)(x 1x 2-100) x 1x 2. 因为x 2>x 1≥35,所以x 1-x 2<0,x 1 · x 2 >100,即 x 1x 2-100>0. 所以f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1) x 在[35,+∞)上为增函数. 所以当x =35时,y 2有最小值,约为10 069.7.………………11分 此时y 2<10 989,所以该厂应该接受此优惠条件.………………12分 21.(本小题满分12分)正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足:222 (1)()0n n S n n S n n -+--+= (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令221(2)n n n b n a += +,数列{bn}的前n 项和为Tn ,证明:对于任意的n ∈N*,都有Tn < 5 64 . 【解】(1)因为数列的前项和 满足: , 所以当时, , 即解得 或 ,因为数列都是正项,所以 ;……1分 因为,所以 , 解得或 ,因为都是正项,所以 ;………………3分 当时,有 , 所以,解得 , 当 时,,符合 所以数列的通项公式 , ;………………5分 (2)因为,………………8分 所以数列 的前项和为: ,………………11分 当时,有 ,所以, 所以对于任意,数列 的前项和 .………………12分 22.(本小题满分12分)设函数()2 1f x x =+,()g x x =,数列{}n a 满足条件:对于*n N ∈,0n a >,且 11a =,并有关系式:()()()11n n n f a f a g a ++-=,又设数列{}n b 满足()1log n n a b a +=(0a >且1a ≠, *n N ∈). (1)求证数列{}1n a +为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)试问数列1n b ?? ? ??? 是否为等差数列,如果是,请写出公差,如果不是,说明理由; (3)若2a =,记()11n n n c a b = +?,*n N ∈,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,数列1n b ?????? 的前n 项和为n R , 若对任意的*n N ∈,不等式23211n n n n R nT n a a λλ?? + <+ ?++? ?恒成立,试求实数λ的取值范围. 【解】(1)证明:∵()2 1f x x =+,()g x x =,()()()11n n n f a f a g a ++-=, ∴22 1(1)11n n n a a a +++--=,即121n n a a +=+,112(1)n n a a ++=+, 又112a +=,所以 11 21 n n a a ++=+,∴{1}n a +是等比数列. 12n n a +=,∴21n n a =-.………………3分 (2)证明:∵()1log n n a b a +=,∴ 1 log (1)a n n a b =+, ∴111111 log (1)log (1)log log 211 n a n a n a a n n n a a a b b a ++++-=+-+==++ ∴数列1n b ?? ? ??? 是等差数列,首项为11log 2a b =,公差为log 2a .………………6分 (3)由2a =及(1)(2)得 1 n n b =,2n n n c =,(1)2 n n n R +=, 2 3 1 232 222n n n T , ∴ 23411123 12222 22 n n n n n T +-=++++ +, 两式相减得:23 111111222222n n n n T += ++++-1 111) 221212 n n n +-=--(, ∴11222222 n n n n n n T -+=- -=-,………………9分 ∴不等式23211n n n n R nT n a a λλ?? + <+ ?++?? 为: 2(1)3(2)2()222n n n n n n n n λλ++-+<+,整理得22 6 2n n n n λ+->+对*n N ∈恒成立, 令22266()122n n n f n n n n n +-+==-++2 11 11242(6)1066 n n n n n =-=-+++-++, 由67n +≥,因此24 (6)106 y n n =++ -+递增,且大于0, 所以()f n 递增,当n →+∞时,()1f n →,且()1f n <,故1λ≥, 所以λ的范围是[1,)+∞.………………12分高一数学第一学期第一次月考测试题(有详细答案)