二次函数的图像与性质专项练习
【知识要点】
1.二次函数:形如 的函数叫做二次函数.
2.二次函数的图像性质:(1)二次函数的图像是 ;(2)二次
函
数
)
,,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得
c b a a a
b a
c a b x a y ,,,0(44)2(2
2≠-++=为常数),其顶点坐标为 。
(3)当0>a 时,抛物线开口 ,并向上无限延伸;在对称轴左侧)2(a b x -<即时,y 随x 的增大而减小;在对称轴右侧)2(a
b
x ->即时,y 随x 的增
大而增大;当a
b
x 2-=时,函数有 .
当0 2(a b x -<即时,y 随着x 的增大而增大;在对称轴右侧)2(a b x ->即时,y 随着x 的增大而减 小;当,2时a b x -=函数有 。 3.二次函数的图像平移: (1)二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同(a 的取值决定抛物线的形状).将2ax y =的图像向右(h>0)、向左(h<0)平移h 个单位,就得到函数2)(h x a y -=的图像;再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是:“h 值正、负、右、左移;k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点: (1)抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++= % (2)若方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 核心考点突破 考点㈠二次函数的图像性质 例1定义[,,a b c ]为函数2 y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ,1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论: ① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是( 31,3 8 ); ② 当m > 0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于2 3 ; ③ 当m < 0时,函数在x > 4 1 时,y 随x 的增大而减小; ④ 当m 0时,函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ ( 变式训练 1.已知二次函数2 y ax bx c =++的图像如图所示,则下列结论正确的是( ) A.0a > B. 0c < C.240b ac -< D.0a b c ++> : 第(1)题 第(3)题 2.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示,有下列结论:( ) ①240b ac ->;②0abc >;③80a c +>;④930a b c ++<. 3. 已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论: ① 0>abc ;② c a b +<;③ 024>++c b a ;④ b c 32<;⑤ )(b am m b a +>+,(1≠m 的实数)其中正确的结论有( )A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 考点㈡二次函数图像平移 例2. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322 --=x x y ,则b 、c 的值为( ) A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 变式训练 > 1.把抛物线2 y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式 ( ) 2.若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,……则 第(2)题 y x O 1x = 1- 2- · O y x 1 E (x ,122+-x x )可以由E (x ,2x )怎样平移得到 3.如图,点A ,B 的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线n m x a y +-=2 )(的顶点在线段AB 上运动,与x 轴交于C 、D 两点(C 在D 的左侧),点C 的横坐标最小值为3-,则点D 的横坐标最大值为( ) A .-3 B .1 C .5 D .8 . 考点㈢确定二次函数解析式 例3如图,在平面直角坐标系中,OB OA ⊥,且2OB OA =,点A 的坐标是(12)-,. (1)求点B 的坐标; (2)求过点A O B 、、的抛物线的表达式; (3)连接AB ,在(2)中的抛物线上求出点P ,使得ABP ABO S S =△△. 变式训练 1.二次函数2 3y x mx =-+的图象与x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m 的值是 . * 第2题图 2.已知二次函数()()2 21y x a a =-+-(a 为常数),当a 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当1a =-,0a =,1a =,2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是y = . 3.如图,已知二次函数c bx x y ++- =2 2 1的图象经过A (2,0) 、B (0,-6)两点。 (1)求这个二次函数的解析式 y x O (第3题) D C B (4,4) A (1,4) y O B A · 1 1 | (2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ,连结BA 、BC ,求△ABC 的面积。 《 4.如图,已知抛物线y =x 2+bx +c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ,AB 平行于x 轴,对角 线BD 与抛物线交于点P ,点A 的坐标为(0,2),AB =4. (1)求抛物线的解析式; (2)若S △APO = 2 3 ,求矩形ABCD 的面积. 5.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)若点P 是线段BC 上一动点,过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ,连接AP ,当△APE 的面积最大时,求点P 的坐标; (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ,使△AGC 的面积与(2)中△APE 的最大面积相等若存在,请求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由. # 考点⑷确定二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数 例1. 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示,则一次函数2 4b ac bx y +--=与反比例函 数 a b c y x ++= 在同一坐标系内的图像大致为( ) y x ' C A O B 第3题 A B } D y P x O (第4题图) y x C B O A # x , x x x , x A B x O y · 第15题图 变式训练 1.若正比例函数2y kx =与反比例函数()0k y k x = ≠的图象交于点()1A m ,,则k 的值是( ). 考点5二次函数与几何的综合题 例5.如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (4,0)、B (2,2),连结OB 、AB . · (1)求该抛物线的解析式; (2)求证:△OAB 是等腰直角三角形; (3)将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转135° 得到△OA ′B ′,写出A ′B ′的中点P 的坐标, 试判断点P 是否在此抛物线上,并说明理由. [ 变式训练 1.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A )0,4(-,B )4,0(-,C )0,2(三点. (1)求抛物线的解析式;(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S .求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值. (3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标. M C B A O x y P A C D E B o y 1 -1 1 第1题 第2题 2.在平面直角坐标系中,已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (-2,0),B (6,0),C (0,3). (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式; , (2)过C点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ,写出D 点的坐标,并求AD 、BC 的交点E 的坐标; (3)若抛物线的顶点为P,连结PC 、PD ,判断四边形CEDP 的形状,并说明理由. | 基础演练 1. 若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为( ) 2.在直角坐标系中,若解析式为5422 +-=x x y 的图像沿着x 轴向左平移两个单位,再沿着y 轴向下平移一个单位,此时图像的解析式为( ) 3.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,反比例函数y = a x 与正比例函数y =(b +c ) x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )A . B . C . D . 4.如图,两条抛物线12 121+- =x y 、121 22--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )A.8 B.6 C.10 D.4 … (4题图) 5. 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴 绳子的地方距地面高都是米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵 树米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米. 第7题 6.二次函数1 )1 (2- + =x y,当2 1< __________ 7.图为二次函数2 y ax bx c =++的图象,给出下列说法: ①0 ab<;②方程20 ax bx c ++=的根为 12 13 x x =-= ,;③0 a b c ++>;④当1 x>时,y随x值的增大而增大;⑤当0 y>时,13 x -<<. ) 其中,正确的说法有.(请写出所有正确说法的序号) 8.已知点A(1,1)在二次函数22 y x ax b =-+图像上。 (1)用含a的代数式表示b; (2)如果该二次函数的图像与x轴只有一个交点,求这个二次函数的图像的顶点坐标。9.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC. (1)若m为常数,求抛物线的解析式; (2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点 (3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. ] 能力提升 1.方程x2+2x-1=0的根可看成函数y=x+2与函数 1 y x =的图象交点的横坐标,用此方法可第9题图 B D A C O x y 推断方程x 3+x -1=0的实根x 所在范围为( ) A . 102x - << B .102 x << C .1 12x << D . 2.已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2 的最大值为 3.如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =1,且抛物线经过A (—1,0)、B (0,—3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小, 并求出此时点M 的坐标; (3)设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点,求使∠PCB =90°的点P 的坐标. > 4.已知二次函数 2 y x bx c =++中,函数y 与自变量x 的部分对应值如下表: (1)求该二次函数的关系式; (2)当x 为何值时,y 有最小值,最小值是多少 (3)若 1() A m y ,, 2(1) B m y +,两点都在该函数的图象上,试比较 1 y 与 2 y 的大小. 5.已知平面直角坐标系xOy ,抛物线y =-x 2+bx +c 过点A(4,0)、B(1,3) . (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; (2)记该抛物线的对称轴为直线l ,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P 关于直线l 的 对称点为E ,点E 关于y 轴的对称点为F ,若四边形OAPF 的面积为20,求m 、n 的值. < 6.已知抛物线y =-x 2+2x +2. (1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ; (2)选取适当的数据填入下表,并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象; (3)若该抛物线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的横坐标满足x 1>x 2>1,试比较y 1 与y 2的大小. 7.如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1,2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G . (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标; (2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大并求出最大面积. 二次函数图象专题训练 1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下列结论①a 、b 异号;②当x =1和x=3时,函数值相等;③4a +b =0,④当y =4时,x 的取值只能为0.结论正确的个数有( ) 个 A .1 B.2 C.3 D.4 2、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的 图象如图所示,有下列结论: ①240b ac ->; ②0abc >; ③80a c +>; ④930a b c ++<.其中,正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3.已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-,、1(0)x , ,且112x <<,与y 轴的正半轴的交点在(02),的下方.下列结论:①420a b c -+=;②0a b <<;③ 20a c +>;④210a b -+>.其中正确结论的个数是 个. A .1 B .2 C .3 D .4 4、已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( ) A . a >0 B . b <0 C . c <0 D . a +b +c >0 5、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)2 40b ac ->;(2)c >1;(3)2a -b <0;(4)a +b +c <0。你认为其中错误.. 的有 A .2个 B .3个 C .4个 D .1个 6、已知二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( ) A .a >0 B .当x >1时,y 随x 的增大而增大 C .c <0 D .3 是方程ax 2 +bx +c =0的一个根 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗? 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); .. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3,下列判断正确的是() A.开口方向向上,y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是(﹣1,﹣2) D.当x<1 时,y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为() A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是() A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是() A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是() A.a>0,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 8.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0 3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0二次函数图像和性质专题训练(答案)
二次函数的图像及性质
二次函数图像与性质总结
二次函数图像性质及应用
二次函数的图像和性质总结
二次函数图像与性质