2014年江苏高考数学模拟试题(一)
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......
上.
. 1.已知集合{}0,1A =,集合{}1,0,B x =-, 且A B ?,则实数x 的值为 . 1.答案:1,解析:根据子集的定义知x 的值为1.
2.已知复数(1)(1)i bi +?+为纯虚数,则实数b 的值为 .
2.答案:1,解析:(1)(1)(1)(1)i bi b b i +?+=-++ ,(1)(1)i bi +?+是纯虚数,10b ∴-=,且10b +≠ ,1b ∴=.
3.一个算法的流程图如下图所示,则输出s 的结果为 .
3.答案:11,解析:第一次循环后,3Y =,第二次循环后,5Y =,第三次循环后,7Y =,???,所以输出11Y =.
4.如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图,则甲、乙得分的中位数分别是,a b ,则a b += .
4.答案:57.5,解析:由茎叶图知甲的中位数为32a =,乙的中位数为25.5a =,
.57.5a b ∴+=. 5.一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球,编号分别为1,2,3,4,5,6,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 .
5.答案:56
,解析:设“编号不相同”为事件B ,则“编号相同”为其对立事件B ,事件B 包含的基本事件为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),61()366
P B ==, 所以 15()1()166P B P B =-=-
=,编号不同的概率为56
. 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c
B b
+
=
,则角A 的大小为 . 6.答案:π3,解析:tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +=?+=,即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=
, ∴
sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=
, ∴1cos 2A =.∵0πA <<,∴π
3
A =. 7.已知质点P 在半径为10cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,角速度是1rad/s ,设(10,0)A 为起始点,记点P 在y 轴上的射影为M ,则10π秒
I←1 WhileI <6 Y ←2I+1 I←I+2 EndWhile PrintY
x
y A
M P
时点M 的速度是 cm/s .
7.答案:10,解析:运动t s 后,(10cos ,10sin ),P t t 则M 的位移()10sin S t t =,10cos v S t '∴==,
则10π秒时点M 的速度是10cm/s .瞬时变化率就是导数是解题的关键. 8.如图,设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>长轴为AB ,短轴为CD ,E 是椭圆弧
BD 上的一点,AE 交CD 于K ,CE 交AB 于L ,则2
2
EK EL AK CL ????
+ ? ?????
的值
为 . 8.答案:1,解析:利用投影将斜距离之比转化为水平的距离或竖直的距离之比,将线段之比转化为坐标的绝对值之比,体现坐标法解决问题的思想.如图所示,设点00(,)E x y ,过点E 分别向x 、y 轴引垂线,垂足分别为N 、M ,由△MKE ∽△OKA ,故
0x EK ME AK AO a ==,同理0
y EL CL b
=
,则2
2
220022x y EK EL AK CL a b ????
+=+ ? ?????
,又点00(,)E x y 在椭圆上,故有22
00221x y a b +=,即
22
1EK EL AK CL ????
+= ? ?????
. 9.各项均为正数的等比数列
{}
n a 满足1764,8a a a ==,若函数
231012310()f x a x a x a x a x =+++
+的导数为()f x ',则1
()2
f '的值为 .
9.答案:
554
,解析: 由等比数列的性质知2
4174a a a ==,又因为各项均为正数,所以42a =.因为68a =,所以112,4
q a ==,所以3
2-=n n a ,又
91210()210f x a a x a x '=+++,其通项公式为1n n na x -,将21=x 代入得11
4
n n na x n -=,
所以1155
()(1210)244
f '=+++=.
10.已知ABC ?的三边,,a b c 满足1349c b a ≤≤≤≤≤≤,则ABC ?的面积S 最大值为 .
10.答案:6,解析: 11sin 34sin 90622
S bc A =≤???=,
当222
4,3,b c a b c ===+时,等号取得,
即当5,4,3a b c ===时,ABC ?的面积S 的最大值为6.
11.用[]x 表示不超过x 的最大整数.已知()[]f x x x =+的定义域为[1,1)-,则函数()f x 的值域为 .
11.答案:[2,1)[0,1)--,解析:根据[]x 的定义分类讨论.当[1,0)x ∈-时,1y x =-,21y -≤<-;当[0,1)x ∈时,y x =,01y ≤<;所以函数()f x 的值域为[2,1)[0,1)--. 12.已知点G 、H 分别为ABC ?的重心(三条中线的交点)、垂心(三条高所在直线的交点),若4,6AC AB ==,则HG BC ?的值为 . 12.答案:203-
,解析:1
()()()3HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB ?=-?=?=+?- 22120
()33
AC AB =-=-
.另解:注意到题中的ABC ?形状不确定,因此可取特殊情形90ACB ∠=,则点H 即为点A ,由此可迅速得到答案.
13.设,x y 是正实数,且1x y +=,则22
21
x y x y +++的最小值是 . 13.答案:
1
4
,解析:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=. 所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t --+=-++-+41
()()6s t s t
=+++-. 41()2s t =+-.因为41141149
()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥,等号当且仅当4,4t s s t s t =+=取得,84,33s t ==,即当且仅当21
,33x y ==时,
2221x y x y +++的取得最小值1
4
.
B
1
1
D 1
14.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,若点P 是棱上一点,则满足12PA PC +=的点P 的个数为 .
14.解析:方法1:利用椭圆的定义.一方面点P 在以1,A C 为焦点,长轴长为2的椭圆上;另一方面,P 可能在AB ,AD ,1AA ,11C B ,11C D ,1C C 上,或者在
111111,,,,,BB DD CD A B BC A D 上.
因为1122BA BC +=+>,故点B 在以,A C 为焦点,长轴长为2的椭圆外,所以椭圆必与线段AB 相交,同理在AD ,1AA ,11C B ,11C D ,1C C 上各有一点满足条件. 又若点P 在1BB 上,则2
2
11112PA PC BP B P +=+++>.
故1BB 上不存在满足条件的点P ,同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P . 故满足题设条件的点P 的个数为6.
方法2:若P 在AB 上,设AP x =,有2
2
1(1)(2)2,PA PC x x +=+-+=解得1
2
x =. 故AB 上有一点P (AB 的中点)满足条件.
同理在AD ,1AA ,11C B ,11C D ,1C C 上各有一点满足条件. 又若点P 在1BB 上,则2
2
11112PA PC BP B P +=+++>.
故1BB 上不存在满足条件的点P ,同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P . 故满足题设条件的点P 的个数为6. 二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)如图2,点P 在ABC ?内,23AB CP BC ===, ,
πP B ∠+∠=,记B α∠=.
(1)试用α表示AP 的长;
(2)求四边形ABCP 的面积的最大值,并求出此时α的值.
15.解:(1)△ABC 与△APC 中,由余弦定理得,22223223cos AC α=+-??, ①
()222222cos AC AP AP α=+-??π-,
②
由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π,
,,解得34cos AP α=-; (2)()()1123sin 2sin 0 22ABC APC S S S AP ααα??=-=??-??π-∈π,
, 由(1)得4sin cos S αα=?2sin2 α=,()0 α∈π,
,所以当4απ=时,max 2S =.
16.(本小题满分14分)已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面,点E 、F 分别为线段BC 、PA 的中点. (1)求证:BD PC ⊥; (2)求证:BF ∥平面PDE .
16.证明:(1)PA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,
PA BD ∴⊥,
又
ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥,
又,PA AC ?平面PAC ,PA
AC A =,
BD ∴⊥平面PAC ,
又PC ?平面PAC , ∴BD PC ⊥.
(2)取线段PD 的中点G ,连结,EG FG , 则FG ∥AD ,且12FG AD =
,又BE ∥AD ,且1
2
BE AD =, FG ∴∥BE ,FG BE =,∴四边形BEGF 是平行四边形,
BF ∴∥EG ,
又BF ?平面PDE ,EG ?平面PDE ,
BF ∴∥平面PDE .
17.(本小题满分14分)某商场分别投入x万元,经销甲、乙两种商品,可分别获得利润
1
y、2
y万元,利润曲线分别为
1
C:
1
=x
y m a b
?+,
2
C:
2
=
y cx,其中,,,
m a b c都为常数.如图所示:
(1)分别求函数
1
y、
2
y的解析式;高考资源网
(2)若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最小值.
(可能要用的数ln20.7
≈)
17.解(1)由函数
1
=x
y m a b
?+过点
525
(0,0),(2,),(4,)
1616
可得
2
4
5
16
25
16
m b
m a b
m a b
?
?+=
?
?
?+=
?
?
?
?+=
??
,可得
2
5
48
5
48
a
b
m
?
?=
?
?
=-
?
?
?
=
??
,
1
55
2
4848
x
y
∴=?-
由函数
2
=
y cx过点7
(3,)
4
可得
7
12
c=,
2
7
=
12
y x
∴
(2)设该商场经销甲商品投入x万元,乙商品投入12x
-万元,该商场所获利润为y万元
则
12
55757331
2(12)2
484812481248
x x
y y y x x
=+=?-+-=?-+
5757777
2ln222
48124810129612
x x x
y'=?-=??-=?-
令0y '=可得3x =,(11分)y '在(0,3)单调递增,
∴当(0,3),0,x y '∈
当3x =时,利润y 有最小值
287
48. 答:该商场所获利润的最小值
287
48
. 18.(本小题满分16分)已知圆221:(1)1C x y ++=和圆22
2:(4)4C x y -+=.
(1)过圆心1C 作倾斜角为θ的直线l 交圆2C 于,A B 两点,且A 为1C B 的中点,求sin θ; (2)过点(,1)P m 引圆2C 的两条割线1l 和2l ,直线1l 和2l 被圆2C 截得的弦的中点分别为
,M N .试问过点2,,,P M N C 的圆是否过定点(异于点2C )?若过定点,求出该定点;若不
过定点,说明理由;
(3)过圆2C 上任一点00(,)Q x y 作圆1C 的两条切线,设两切线分别与y 轴交于点S 和T ,求线段ST 长度的取值范围.
18.解:(1)设直线l 的方程为(1)y k x =+,则圆心2C 到直线l
的距离d =
设AB 的中点为R
,则11123AR AB C R ==
== 则2
118d =
,所以在12Rt C RC ?
中,212sin 520
C R d C C θ===. (2)依题意,过点2,,,P M N C 的圆即为以2PC 为直径的圆,
所以(4)()(1)(0)0x x m y y --+--=,即2
2
(4)40x m x m y y -+++-= 整理成关于实数m 的等式2
2(4)40x m x x y y -+-+-=恒成立
则22
40
40
x x x y y -=??
-+-=?,所以40x y =??
=?或4
1
x y =??=?
即存在定点(4,1).
(3)设过00(,)Q x y 的直线与圆1C 切线,
则1d =
=,即
2200()1k kx y k +-=+,
整理成关于k 的方程222
000000(2)(22)10x x k y x y k y +-++-=, (☆) 判别式22222
000000000(22)4(1)(2)448y x y y x x x y x ?=+--+=++,
所以00k =
直线00()y y k x x -=-与y 轴的交点为00(0,)y kx -,
不妨设010(0,)S y k x -,020(0,)T y k x -,则210||ST k k x =-. 而12,k k 是(☆)方程的两根,
则2100||ST k k x =-=
,又22
00(4)4x y -+=,
所以000ST =
=
=.
(t t =∈
,则2
51616t ST t t t
==++, 考察关于t
的函数16
()([2,f t t t t
=+
∈,函数()f t 在区间[]2.4是单调递减,在区
间4,??上单调递增,所以max (())10f t =,min (())8f t =.
所以4ST ∈?
.
19.(本小题满分16分)数列{}n a 满足
,2,021==a a ,,3,2,1,2
sin 4)2cos 1(22
2 =++=+n n a n a n n π
π (1)求3456,,,a a a a ; (2)设1321k k S a a a -=+++,k k a a a T 242+++= ,分别求,k k S T 关于k 的表达式;
(3)设22k
k k
S W T =
+,求使1>k W 的所有k 的值,并说明理由. 19.解:(1)∵2,021==a a ,∴42
sin 4)2
cos
1(2
12
3=++=π
π
a a ,
422sin 4)22cos 1(222
4=++=ππa a ,225333(1cos )4sin 822a a ππ
=++=, 226444(1cos )4sin 822
a a ππ
=++=.
(2)当)(12*
N k k n ∈-=时,
42
1
2sin 4)212cos 1(122122
12+=-+-+=--+k k k a k a k a ππ, ∴{}12-k a 是以0为首项,4为公差的等差数列,则)1(412-=-k a k , 当)(2*
N k k n ∈=时,
k k k a k
a k a 2222
2222
2sin 4)22cos 1(=++=+ππ, ∴{}k a 2是以2为首项,2为公比的等比数列,则k
k a 22=,
∴{}n a 的通项公式为???
??∈=∈-=-=)(2,2)(12),1(2*2*N k k n N k k n n a n n .
)1(2)1(4401231-=-+++=+++=-k k k a a a S k k , 2222212242-=+++=+++=+k k k k a a a T ,
(3)1
12
)
1(2)1(422-+-=-=+=
k k k k k k k k k T S W , 于是16
15
,45,23,23,1,0654321====
==W W W W W W . 下面证明:当6≥k 时,1 -+k k k k k W W 2)1(102 ) 3(2)1(1<-=--k k k k k k ,即k k W W <+1, 又16 20.(本题满分16分)已知函数||)(3 a x ax x f -+=(R a ∈). (1)是否存在实数a ,使得函数)(x f 在]0,(-∞上单调递减,在),0[+∞上单调递增?请说 明理由; (2)若10< (3)求证:对任意的实数a ,存在0x ,恒有0)(0≠x f ,并求出符合该特征的0x 的取值范围. 20.解:(1)当0≠a 时,) ()()(3 3a x a x a x ax a x ax x f ≥??-++-=, 令a x ax x g +-=3)((a x <),a x ax x h -+=3 )((a x >), 13)(2-='ax x g ,13)(2+='ax x h , 无论0>a 还是0 (2)若10< ()()(3 3a x a x a x ax a x ax x f ≥??-++-=, 当a x <时,13)(2 -='ax x f ,a x ax x f 31013)(2 ± =?=-=', 当a x >时,13)(2 +='ax x f , ①当3 1 0≤ 131≥a ,此时)(x f 在],1[a -上单调减,在]1,[a 上单调 增,则在]1,1[-上1)1()1()(max ==-=f f x f ; ②当 33131≤ ,1[a --上单调增, 在],31 [a a - 上单调减,在]1,[a 上单调增, 由于)1()1()31 (f f a f =->- , 则在]1,1[-上a a a f x f 3132)31()(max +=- =; ③当1313 < ,1[a --上单调增, 在]31,31[a a - 上单调减,在],31 [a a -上单调增,在]1,[a 上单调增, 则在]1,1[-上a a a f x f 31 32)31()(max +=-=; 综合①②③有 当3 1 0≤ 13 1 < =. (3) ①当0=a 时,||)(x x f =,方程0||)(==x x f 只有0根; ②当0>a 时,方程0||)(3 =-+=a x ax x f 没有0根和正根, P 当0>a ,0 )(, 由方程0)(3 =+-=a x ax x f 得1 3 += x x a , 则0101033<+??? ???>+= =-+=a x ax x f 没有0根和负根, 当0x 时,a x ax x f -+=3)(, 由方程0)(3 =-+=a x ax x f 得1 3-- =x x a , 则0101033>-??? ???<--=>x x x a x ,得1>x ; 综上可知,对任意的实数a ,存在]1,0()0,1[0 -∈x ,恒有0)(0≠x f . 数学附加题 21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题....纸指定区域内...... 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1:几何证明选讲 如图,PA 切⊙O 于点A ,D 为PA 的中点,过点D 引 割线交⊙O 于B 、C 两点.求证: DPB DCP ∠=∠. A .证明:因为PA 与圆相切于A , 所以2DA DB DC =?, 因为D 为PA 中点,所以DP =DA , 所以DP 2 =DB ·DC ,即PD DB DC PD = . 因为BDP PDC ∠=∠, 所以BDP ?∽PDC ?, 所以DPB DCP ∠=∠. B .选修4—2:矩阵与变换 已知1 0 4 31 2 4 1-???? =????-???? B , 求矩阵B . B .解:设 , a b c d ??=????B 则1 0 1 2 2 2a b a c b d ????=????++???? B , 故4,4, 3,3, 4 3.24,4, 4 221, 2. a a b b a c c b d d =-=-????==-??? ?=????+==-???? ??+=-=-??解得故B C .选修4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l 的参数方程为,1x y t ?=??=+?? (t 为参数,t ∈R ).试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大. C .解:曲线C 的普通方程是2 213 x y +=. 直线l 的普通方程是0x +=. 设点M 的直角坐标是,sin )θθ,则点M 到直线l 的距离是 d = = 因为)4 +π θ 当πsin()14θ+=-,即ππ2π(42k k θ+=-∈Z ),即3π 2π(4k k θ=-∈Z )时,d 取得最大值. ==θθ. 综上,点M 的极坐标为7π )6 或点M 的直角坐标为(时,该点到直线l 的距离最大. D .选修4—5:不等式选讲 设函数()f x = . (1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域; (2)若函数()f x 的定义域为R ,试求a 的取值范围. D .解:(1)由题设知:1250x x ++--≥, 如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++- 和5y =的图象(如图所示),知定义域为(] [),23,-∞-+∞. (2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥, 即12x x a ++-≥- 由(1 )123x x ++- ≥,∴ 3,a a -≤∴.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内.......... 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.求证:对于任意的正整数 n , (2n s N *∈. 22.解:由二项式定理可知, 0 1 2 11 22 (22 2 22 n n n n n n n n n n C C C C --=++++, 设(2n x = 而若有(2n +=, a b N *∈ , 则(2 n =,a b N *∈, ∵ (2(21n n ? -=+?-=, ∴令,a s s N *=∈,则必有1b s =-. ∴(2n +s N *∈. 注:本题也可用数学归纳法证明,证明正确的也给相应的分数. 23.已知抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点A 在抛物线C 上,设以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交准线l 于,M N 两点. (1)若90MFN ∠=?,且AMN ?的面积为24,求p 的值; (2)若,,A F M 三点共线于直线m ,设直线m 与抛物线C 的另一个交点为B ,记A 和B 两 点间的距离为()f p ,求()f p 关于p 的表达式. 23.解:(1)由对称性可知,MFN ?为等腰直角三角形,则斜边2MN p =, 且点A 到准线l 的距离d FA FM === . 11 222 AMN S MN d p ?= ?=?=2p =. (2) 由对称性可设2000(,)(0)2y A y y p >,,02p F ?? ??? . 由点A ,M 关于点F 对称,得2 00,2y M p y p ??-- ??? , 所以2022y p p p -=- ,解得0y = ,即32p A ?? ??? . 直线m 的方程为2p y x ?=-?? ,与抛物线方程联列222y px p y x ?=???=-? ??? 得2 203y py p - -= ,解得1y = ,23 y p =-. 所以,63p B p ??- ? ?? ?. 这样8()3f p AB p ===.