浙江大学20062007学年夏季学期《+微积分》...

浙江大学2006–2007学年夏季学期

《微积分Ⅲ》课程期末考试试卷

开课学院: 理学院 考试形式:闭卷 考试时间:2007年7月6日 所需时间:120 分钟 考生姓名: _____学号: 专业: ________

浙江大学20062007学年夏季学期《+微积分》...

一、 填空题(每小题5分,满分25分)

1. 设曲线C : ???=-=++0

2222y x z y x ,则

=?c

ds z 2.

2. 设l 为圆周222R y x =+,沿正向,则=+-?

+→l

R y

x y

d x x d y 4

4lim . 3. 设y d y x y x x x d y x y y du ???? ?

?-+???? ??+=2)sin()sin(1,则=),(y x u .

4.

=???

≤++z d y d x d z y x z y x 1

222

.

5. 设k y x j x z i z y z y x f 52),,(++=,则==f rot iv d f rot ,.

二、 计算题(每小题10分,共40分)

1. 求

?

+L

ds y x )(2,其中L 为由3x y =与x y =所围成的闭曲线.

2. 设{}

2

2

2

2

),,()(t z y x z y x t V ≤++=,求???+++→)

(2

22

2

0)(1

lim t V b t z d y d x d z y x

t

α

其中b a ,为常数,且03>-≥a b .

3.设l 为从点??? ??52,5A 沿直线到点??? ??32,3B 的直线段,计算?

-++l

y x y

x y d y

x x e x d y x e x 2

2

2

2

.

4.计算()ds z y x S

??++,其中S 为)0(2222>=++a a z y x .

三、 (13分)设222)3()1()1(-+-+-=z y x r ,分别计算

y d dx r z dx dz r y dz dy r x I S

??-+-+-=

3333

11,其中: (1) S 为立体{

}

2,2,2),,(≤≤≤z y x z y x 的表面,取外侧;

(2) S 为立体{}4,4,4)

,,(≤≤≤z y x z y x 的表面,取外侧;

四、 (12分)求非负连续函数)(x f y =,使其满足1)1(=f ,且对任意的0>a ,由曲线

)(x f y =和直线a x x y ===,0,0围成的平面图形绕x 轴旋转一周而得的旋转体的形

心的x 坐标为a 3

2

.

五、 (10分)计算 ?

?

?

=

1

1

1

4

y

z x

dz e y dy

dx

I .

参考解答:

一、1.π22; 2. 0; 3.

);cos(xy y

x

- 4. 61; 5. },4,3{z y x -, 0.

二、1.x s x x y L d 2d ,)10(:1=≤≤=x x s x x y L d 91d ,)10(:232+=≤≤=,

???

+==+2

1d 2

d d )(333L L L

L

s x s x s y x ??++=1

2310

3d 91d 2x x x x x

+=

3

2

2(不易积分) 2.设 ???++=

)

(2

22

2

)()(t V b z d y d x d z y x

t I

3

t

20

20

34d sin d d ++=

=???b b t b π??ρρ?θππ 原式ααπ-+→→+===+

+

300

34lim )(1lim b t t t b

t V t ??

?

??->-=+=3,03,34a b a b b

π

3.y

P

y x e x e y x x Q y x y x ??=

--=??222,积分与路径无关,取路径35:,2:→=x xy L 原式?-++=l y d y

x e x d x e x 2

22221835-===?dx x

4.2222222:),0(:a y x D a a z y x S y x ≤+>=++,

σd z

a dS z y x a n ==},,,{10

原式??????

=?===y

x D S S

a z a z S z S z 3

6d 6d 6

d ||31πσ 三、

0=??+??+??z

R

y Q x P , (1)V 中无奇点,则I = 0.

)3,1,1(V )2(中有奇点,设表面外侧,

为1)3()1()1(:2221≤-+-+-z y x V S

则 ??-+-+-=1

d d )3(d d )1(d d )1(S y x z x z y z y x I ???=V

V d 3π4=

四、 旋转曲面)(),(:2

22a x x f z y S ≤≤=+0,

旋转体 ),(:,:222x f z y D a x V x ≤+≤≤0?

=a x d x f V 0

2)(π

??

?????==a

a D V

x d x f x d x d x dV x z

20

)(πσ

a x

d x f x

d x f x V

dV

x x a a

V

32)()(0

20

2==

=

?

????ππ, ??=?a a x d x f a x d x f x 0202

)(2)(3

方程两边对a 求导)(2)(2

)(320

22

a f a x d x f a f a a +=??

?

=?a x d x f a f a 0

22)(2

)( 方程两边对a 再求导,

)(2)()(2)(22a f a f a f a a f ='+?

)(2)(a f a a f '=?

解得 ,1,1)1(,)(=?==C f a C a f x x f =∴)(

五、交换积分次序

?

?

?=1

1

1

4

y

z x

dz e y dy

dx

I ?

??=y z z x y y z e 0

1

d d d 4

??=z

z y y z e 0

2

1

d d 4

?

?=z z y y z e 0

2

1

d d 4

)1(12

1

d 311034-==

?e z e z z

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