2015年高考理科数学试题及答案(新课标全国卷2)

2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word 精校版）

一、选择题：已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝

（2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )

（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )

（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （5）设函数21

1log (2),1,()2,1,

x x x f x x -+-

≥?,2(2)(log 12)f f -+=( )

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A ）

81 （B ）71 （C ）61 （D ）5

1 （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =

（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序

框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=

A.0

B.2

C.4

D.14

（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为

A ．36π B.64π C.144π D.256π

10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为

（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为

（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2

（12）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'

()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 （A ） （B ）

（C ）

（D ）

10.

二、（13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．

（14）若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

，

，则z x y =+的最大值为____________．

（15）4

()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． （16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 三．解答题

（17）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求

C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若A

D =1，DC =2

2

求BD 和AC 的长.

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率

19． 如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1

= 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F

的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。 20．（本小题满分12分）

已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O

且不

平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为

M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（2）若l 过点(,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，

求此时l 的斜率；若不能，说明理由。 21．（本小题满分12分）

设函数2()mx f x e x mx =+-。

（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22．（本小题满分10分） 选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ； （2）若AG 等于⊙O

的半径，且AE MN ==四边

形EBCF 的面积。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α

α=??=?

（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3

：ρθ=。 （1）求C 2与C 3交点的直角坐标；

（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。 24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：

（1）若ab > cd

（2

||||a b c d -<-的充要条件。

G A

E F O N

D

B C

M

D

D 1 C 1

A 1 E

F A

B

C

B 1

附：全部试题答案

1. A

2. B

3.D

4. B

5. C

6. D.由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=

?=，故剩余几何体体积为33315

66

a a a -=，所以截去部 分体积与剩余部分体积的比值为5

1

．

C

B

A

D

D 1

C 1

B 1

A 1

7. C

8.B 程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．

9. C 如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球

O 的半径为R ，此时23111

36326O ABC C AOB V V R R R --==??==，故6R =，则球O 的表面积为

24144S R ππ==，故选C ．

B

O

A

C

10.【答案】B

的运

动过程可以看出，轨迹关于直线2

x π

=对称，且()()42

f f ππ

>，且轨迹非线型，故选B

．

11.【答案】D

(,1)(0,1)-∞-，故选A ．

12. A 记函数()()f x g x x

=，则''2

()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'

()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数

()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立

的x 的取值范围是

15. 3.由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4

()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分

别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 16.【答案】1n

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