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必修2 第1讲点直线平面教师版

第一讲点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,?=??αα；

②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；

④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =??? 其中为假命题的是

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α?

m ，α?n ，β||m ，β||n ，则βα||；

③若βα||，α?l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则n m ||个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ??；

④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??。其中真命题是

A ．①和②

B ．①和③

C ．③和④

D ．①和④

4．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是

A ．若//l m ，//m n ，则//l n .

B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.

C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.

D ．若//l α，//n α，则//l n .

5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：

①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直．其中正确命题的个数为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面

B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D ．垂直于同一个平面的两个平面平行

8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：

①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m 其中真命题的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：

①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；

③若b a b a //,,//则ββ?；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；

⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

A ．18对

B ．24对

C ．30对

D ．36对

11．正方体1111ABC D A B C D -中，P 、Q 、R 分别是A B 、A D 、11B C

的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是

A ．三角形

B ．四边形

C ．五边形

D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有

A ．3个

B ．4个

C ．6个

D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是

A ．l m l ⊥=?⊥,,βαβα

B ．γβγαγα⊥⊥=?,,m

C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,

D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,

14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ?

α，m ?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l

∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么

A ．①是真命题，②是假命题

B ． ①是假命题，②是真命题

C ． ①②都是真命题

D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；

③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β，其中，可以判定α与β平行的条件有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题1．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当

满足条件时，有β//m ；

（ii ）当满足条件时，有β⊥m （填所选条件的序号）

2．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'

CC 于F ，则

① 四边形E BFD '

一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '

有可能是正方形

③ 四边形E BFD '

在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '

以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）

3．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号） 4．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：

①若//,,,m n αβαβ??则//m n ②若,,//,//,m n m n αββ?则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ

④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)

5．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：

① 若//m α，则m 平行于平面α

② 若//,,,m n αβαβ??则//m n

③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,m αβα?,则//m β

上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)

6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形

④平行四边形

⑤有一组对角相等的四边形

三、计算题

1．如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，

AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，3417

15=CF ，点

E 在线段AB 上，

且EF ⊥PB.

（Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ；（Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.

[解]（I ）证明：∵2

1006436PC AC

==+=+

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证

△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形故PA ⊥平面ABC 又∵11||||106302

P B C S P C B C ?=

??=

而

PBC S CF PB ?==?

3017

34153422

1||||2

故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB ∴PB ⊥平面CEF

（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE

在平面PAB 内，过F 作FF 1垂直AB 交AB 于F 1，则FF 1⊥平面ABC ， EF 1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC

故∠FEB 是二面角B —CE —F 3

10cot =

∠=∠AP

AB PBA FEB

二面角B —CE —F 的大小为3

5arctan

2．如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，

=∠=∠=∠120CDE BCD BAE

⑴ 求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵ 证明：BC ⊥平面SAB ；

⑶ 用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小（本小问不必写出

解答过程）

[解]（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，

∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF

又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，

∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD

所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角

∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，

∴SB=22，同理SE=22，

又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=

6，

∴∠6

所以异面直线CD 与SB 所成的角是arccos

(Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600，

∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA ∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ?底面ABCDE ，

∴SA ⊥BC ，又SA BA=A ， ∴BC ⊥平面SAB （Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小82

arccos

-π3．已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点,△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.

（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长.

[解]（Ⅰ）证明：连结CF.

.,2

1PC AP AC BC EF PE ⊥∴=

.,,PCF AB AB PF AB CF 平面⊥∴⊥⊥

..,PAB PC AB PC PCF PC 平面平面⊥∴⊥∴? （Ⅱ）解

法一：,,CF AB PF AB ⊥⊥

PFC

∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则AB=a ，则

a CF a EF PF 23,2=

=.3

o s ==∠∴a

P F C

解法二：设P 在平面ABC 内的射影为O. PAF ? ≌PAB PAE ?∴?,≌.PAC ? 得PA=PB=PC. 于是O 是△ABC 的中心. PFO ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则.2

1,2

a OF a PF ?

3c o s =

∠∴PF

OF PFO

（Ⅲ）解法一：设PA=x ，球半径为R. ,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面

ππ124.232

==∴R R x ，ABC x R ?∴==∴.2.3得的边长为22.

解法二：延长PO 交球面于D ，那么PD 是球的直径.

连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.

tan

42x

PFO

∠

∴

)

(2的边长为

于是ABC

∴

∴.

4. 已知正三棱锥ABC

P-的体积为3

72，侧面与底面所成的二面角的大小为

60。

（1）证明：BC

PA⊥；（2）求底面中心O

[证明]（1）取BC边的中点D，连接AD、PD，

则BC

AD⊥，BC

PD⊥，故⊥

BC平面APD.

∴BC

PA⊥.

则PDA

∠是侧面与（2）如图，由（1）可知平面⊥

PBC平面APD，

底面所成二面角的平面角.

过点O作E

OE,

⊥为垂足，则OE就是点O

设OE为h，由题意可知点O在AD上，

∴

∠PDO，h

OP2

OD4

∴

∴2

)

ABC

，

∵3

72h

=，∴3

h. 即底面中心O到侧面的距离为3.

5．如图,在直四棱柱

1111

ABC D A B C D

-中,

AB AD D C

===,

AA AD DC

=⊥，A C B D

⊥垂足为E

(Ⅰ)求证

B D A C

⊥;(Ⅱ)求二面角

A BD C

--的大小;(Ⅲ)求异面直线

A D与

[解]（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，

∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；

（II）连结A1E，C1E，A1C1．与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．

∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝90°，又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝23，AA1=3且AC⊥BD，

∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝23，

在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，即二面角A1－BD－C1的大小为90°．

（III）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，

则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴

FC1=7，BC1＝在△BFC1 中，

cos

C B F

∠==∴∠C1BF=arccos

即异面直线

AD与BC1所成角的大小为arccos

．

解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，

D A D C D D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系

连结

111 1.

A E C E A C

与(1)同理可证,

BD A E BD C E

⊥⊥,

∴

A EC

∠为二面角

A ED C

--的平面角.

由

(2,(0,0).

A C E

得1

EA=-

(

EC=-

∴

30,

E A E C

?=--+=

∴

EA EC

⊥

即11

EA EC

⊥∴二面角

A ED C

--的大小为90 （Ⅲ）如图,由(0,0,0)

D,(2,0,0),

(0,(3,0),

C B得

(2,0,0),(

AD BC

=-=-

∴11

6,2,

AD BC AD BC

?===

∴1

cos,,

AD BC

===

∵异面直线A D与

所成角的大小为arccos

解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结

1111

A E C E A C.

与（Ⅰ）同理可证

BD A E BD C E

⊥⊥

∴

A EC

∠为二面角

A BD C

由

(0,0,0),(0,(0,3,

E A C

得

(0,(0,

EA EC

=-=

∵

330,

EA EC=-+=

∴

EA EC

⊥

即

EA EC

⊥∴二面角

A BD C

--的大小为90

6．如图, 在直三棱柱

111

A B C A B C

-中，

3,4,5,4

A C

C A B A A

====，点D为A B的中点(Ⅰ)求证1

A C

B C

⊥;

(Ⅱ) 求证

AC C D B

平面;

(Ⅲ)求异面直线

AC与

B C所成角的余弦值

[解]（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；

（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，

∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；

（III）∵DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，

在△CED中，ED=

AC 1=

，CD=

AB=

，CE=

CB1=22，

∴

cos

C ED

∠==

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值

解法二：∵直三棱锥

111

A B C A B C

-底面三边长

3,4,5

A C

C A B

===，

AC BC C C两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(

,2,0)

(Ⅰ)

(3,0,0),(0,4,4)

AC BC

=-=

1111

AC BC AC BC

∴?=∴⊥

(Ⅱ)设

C B与

C B的交点为E，则E(0,2,2)

(,0,2),(3,0,4),

D E A C

=-=-

,//

D E A C D E A C

∴=∴

111

,,D E C D B AC C D B ?? 平面平面 1//AC CDB ∴平面

(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-=

111111cos ,,5||||

AC CB AC CB AC CB ∴<>==

∴异面直线1

AC 与1B C

7．如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ．将11C AB ?沿11C B 折起到111C B A ?的位置，使点1A 在平面C C BB 11上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：

（1）二面角M C B A --111的大小；（2）异面直线11B A 与1CC 所

成角的大小（用反三角函数表示）．

[解] （Ⅰ）连接AM ，A 1G

∵G 是正三角形ABC 的中心，且M 为BC 的中点， ∴A ，G ，M 三点共线，AM ⊥BC ．∵B 1C 1∥BC ， ∴B 1C 1⊥AM 于G ，即GM ⊥B 1C 1，GA 1⊥B 1C 1， ∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角．

∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ，∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG=90°在Rt △A 1GM 中，由A 1G=AG=2GM 得∠A 1GM=90°即二面角A 1—B 1C 1—M 的大小是60°

（Ⅱ）过B 1作C 1C 的平行线交BC 于P ，则∠A 1B 1P 等于异面直线A 1B 1与CC 1所成的角．

由PB 1C 1C 是平行四边形得B 1P=C 1C=1=BP ，PM=BM —

BP=

1A 1B 1=AB 1=2．

∵A 1M ⊥面BB 1C 1C 于M ，∴A 1M ⊥BC ，∠A 1MP=90°．在Rt △A 1GM 中，A 1M=A 1G ·.2

3360sin =

在Rt △A 1MP 中，.2

)21()23(222

1=+=+=PM

A P

在△A 1B 1P 中，由余弦定理得8

12225

122cos 2

21112

1111=??-+=

??-+=

∠P

B B A P

A P

B B A P B A ，

arccos

∴异面直线A 1B 1与CC 1所成角的大小为8．如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧

AM 的值；

面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点.求：（Ⅰ）

（Ⅱ）二面角S —BC —A 的大小；（Ⅲ）正三棱锥S —ABC 的体积.

[解] （Ⅰ）∵SB=SC ，AB=AC ，M 为BC 中点， ∴S M ⊥BC ，AM ⊥BC. 由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即11332,.2

A M

C SM B C A M SM

?=?

得

（Ⅱ）作正三棱锥的高SG ，则

G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，.3

1AM GM =∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角.

在Rt △SGM 中，∵,2333

2GM GM AM SM ==?=

∴∠SMA=∠SMG=60°即二面角S —BC —A 的大小为60°。

（Ⅲ）∵△ABC 的边长是3，∴,2

332

360

3,2

33=

GMtg SG GM AM

∴.8

923439313

1=??=

?-SG S V ABC ABC S 9．如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的

大小；（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.

[解]（I ）,,BF ACE BF AE ⊥∴⊥ 平面

D-AB-E ABCD ABE ∴⊥ 二面角为直二面角，平面平面，

BC AB BC ABE BC ,AE ⊥∴⊥∴⊥又，平面，

BF BCE BF BC=B BCE AE ?∴⊥ 又平面，，平面。

（II ）连结AC 、BD 交于G ，连结FG ，∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，∵BF ⊥平面ACE ，

∴FG ⊥AC ，∠FGB 为二面角B-AC-E 的平面角，由（I ）可知，AE ⊥平面BCE ，

∴AE ⊥EB ，又AE=EB ，AB=2，

在

直

角

三角形

BCE

中

，

CE=2BC BE BF C E

?==

在正方形中，

BFG

中，sin 3

BF FG B BG

∠=

∴二面角B-AC-E 为

arcsin

（III ）由（II ）可知，在正方形ABCD 中，BG=DG ，D 到平面ACB 的距离等于B 到平面ACE 的距离，BF ⊥平面ACE ，

线段BF 的长度就是点B 到平面ACE 的距离，即为D 到平面ACE 的距离所以D

另法：过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.

D B

∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD.设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --=

1EO S h S ACD ACB ?=

?∴

??⊥AE 平面BCE ，

.EC AE ⊥∴ .3

326

22212121

???=???=∴EC

AE EO DC AD h ∴

点D 到平面ACE 的距离为

解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz ，如图.

⊥AE 面BCE ，BE ?面BCE ， BE AE ⊥∴，

在AB O AB AEB Rt 为中,2,=?的中点，).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.

1C E A OE -∴=∴

).2,2,0(),0,1,1(==AC AE 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x n =，则?

??=+=+?????=?=?.022,

0,0,0x y y x n AC n AE 即解得???=-=,,x z x y

令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面AEC 的一个法向量.

又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=m ，

1,),cos(=

∴n m n m

∴二面角B —AC —E 的大小为.3

3arccos

（III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=AD ，

∴点D 到平面ACE 的距离.33

2,cos |||=

10．如图，在四棱锥P —ABC 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底

面ABCD ，AB=

3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点

（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离

[解] 解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，（

3，0，

则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0），B

0），C （

3，1，0），D （0，1，0），P （0，0，2），E （0，

1，2）从而AC =（

3，1，0），PB =（3，0，-2）

设AC 与PB 的夹角为θ，则14

737

23cos =

θ，

∴AC 与PB 7

（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ），则)1,2

(z x ME --=

由NE ⊥面PAC 可得：?????=?=?,0,

0AC NE AP NE 即

???

=?--=?--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,2

1,(z x z x 化简得??

???==

???

???=+-=-.1,63

021

01z x x z 即N 点的坐标为（6

3，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为13

解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，

∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角在ΔAOE 中，AO=1，OE=

1PB=

7，AE=

1PD=

5，

∴1417

245

71cos =??-

EOA 即AC 与PB 17 （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则=

∠ADF

连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=

tan ,3

32cos =

ADF AD AF ADF

设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面P AC NE ⊥面PAC ∴N 点到AB 的距离=

1AP=1，N 点到AP 的距离=

11．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，

BC=2，CC 1=3，BE=1

（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离

[解] 本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力

解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD.

又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..622

=+=

∴DF

（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ，则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG.过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，

由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面

AEC 1F 的距离

,1,EB BG BG AG C C C G

===由

可得从而

,3cos 3cos 3GAB M CG CM M CG GAB ∠=∠===?

由知

C M C C C Q M C ?∴=

解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形1,AEC F ∴由为平行四边形

1,(2,0,)(2,0,2),AF EC z ∴=-=-

由得

2.(0,0,2).z F ∴=∴

(2,4,2)E F ∴=--

||BF BF =

于是即的长为

（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然

??=+?+?-=+?+??????=?=?02020

140,0,011y x y x AF n AE n 得由 ??

???-==∴

???=+-=+.

41,1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则

.33

3341

1133

cos 1111=

n CC α

∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11

33433

3343cos ||1

==αCC

12．如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2.

（Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；

（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小. [解] 解法一（I ）证明由题设知 OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1.

所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1

所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），

B （0，3，0），

C （0，1，

3）O 1（0，0，3）.

从而1(3,1,(0,AC BO =-=-

130.AC BO ?=-+

所以AC ⊥BO 1.

（II ）因为,03331=?+

-=?OC BO 所以BO 1⊥

OC ，

由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量.

设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量，

由,3.0,

033001=

???==++-???

???=?=?z y z y x C O n AC n 取得)3,0,1(=n

设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，

所以cos <=cos θn ，1BO .

4311

即二面角O —AC —O 1的大小是.4

3arccos

解法二（I ）证明由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1，所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，

即OA ⊥OB. 从而AO ⊥平面OBCO 1， OC 是AC 在面OBCO 1内的射影.

因为3tan 1

=∠OO OB B OO 3

3t a n 1

11=

∠OO C O OC O ，图1

所以∠OO 1B=60°，∠O 1OC=30°，从而OC ⊥BO 1 由三垂线定理得AC ⊥BO 1. （II ）解由（I ）AC ⊥BO 1，OC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面AOC. 设OC ∩O 1B=E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图4），则EF 是O 1E

在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC.

所以∠O 1FE 是二面角O —AC —O 1的平面角. 由题设知OA=3，OO 1=3，O 1C=1，

所

以

13,322

1212

+==+=

O A O AC OO OA

A O ，

从而13

32111=?=

O A O F O ，又O 1E=OO 1·sin30°=

3，

所以.4

13sin 111=

∠F

O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.4

3arcsin

13．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为

[解] 解法（一）

（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E AC=CD 1=5，

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AD 1=

2，

故.2

1,2

1522

11=

??=

??BC AE S S ACE C AD 而

11111131,1,.3

D A

E C A E C A D C V S D D S h h h -??∴=

?∴

?=?∴=

（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x

11,, 1.4

R t D D H D H D D H π

?∠=

∴= 在中

,Rt ADE DE ?= 在中,,Rt DHE EH x ∴?=在中

A 1

Rt DHC CH Rt CBE CE

?=?=

在中在

中2

x x

∴+=?=-

2,.

A E D E C D

∴=---

二面角的大小为

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）.

,1(

1,0,1(

DA⊥

=所以

因为

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），

从而)0,2,1

(

,1,1(

=AC

D，

)1,0,1

(

AD，

设平面ACD1的法向量为)

n=，

则

也即

，得

，从而)2,1,2(

n，所以点E到平面AD1C的距离为

（3）设平面D1EC的法向量)

n=，∴),1,0,0(

,2,0(

0,2

,1(

=DD

由

(

令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴).

2,1,

2(x

依题意.

(

cos

∴3

x（不合，舍去），3

x.∴AE=3

2-时，二面角D

—EC—D的大小为

14．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，⊥

∠PA

DAB,

90 底面ABCD，

PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中点（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

[解]方案一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD.因而，CD与面P AD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD.

又CD?面PCD，∴面P AD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角. 连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=

2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由P A ⊥面ABCD 得∠PEB=90°在Rt △PEB

中BE=

2，PB=5， .5

10cos ==∠∴PB

BE PBE

10arccos

所成的角为与PB AC ∴

（Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN.在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=

AC AC CM

?-2

(

，

522

∴AN . ∴AB=2，3

22cos 2

=??-+=

∠∴BN

AN AB

ANB 故所求的二面角为

).3

2arccos(-

方法二：因为PA ⊥PD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A （0，0，0）

B （0，2，0），

C （1，1，0），

D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2

（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD

（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

10,cos ,2,5||,2||=

?>=

<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC 所以

故

由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos

（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=

..2

1,1,1),2

1,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-

=---=z y x MC z y x NC

要使.54,02

10,=

=?⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN

),5

,1,51(),52,1,51(,.0),5

,1,51(,54

=?-===?=

MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ

ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为所求二面角的平面角

4||,||,.5

55AN BN AN BN =

=?=-

c o s (,).

3||||

A N

B N A N B N A N B N ?∴==-?

2arccos().3-

故所求的二面角为

15．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点．（Ⅰ）求证：EF 垂直于平面PAB ；（Ⅱ）设AB=

2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的大小．

[解] 方法一：（Ⅰ）证明：连接EP 。

∵PD ⊥底面ABCD ，DE 在平面ABCD 内， ∴PD ⊥DE ，又CE=ED ，

PD=AD=BC 。 ∴Rt △BCE ≌Rt △PDE ∴PE=BE.∵F 为PB ∴EF ⊥PB 。由三垂线定理得：PA ⊥AB 。 ∴在Rt △PAB 中，PF=AF ，又PE=BE=EA ，∴△EFP ≌△EFA 。EF ⊥FA

∵PB 、FA 为平面P AB 内的相交直线。 ∴EF ⊥平面PAB 。

（II ）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1。

AB PA AC =

21PAB PB F BF AF PB ∴?==⊥为等腰直角三角形，且，为其斜边中点，，且。

PB PB ∴⊥ 与平面AEF 内两条相交直线EF 、AF 都垂直。平面AEF 。

BE AC 连结交与G 。作GH BP

EF H GH AEF GAH AC AEF ⊥∠交于，则平面。为与平面所成的角。

1122

EG C BG A EG G B EG EB AG AC ??==== 由可知，，

113

EG H EBF G H BF ?=

由可知。

sin 6

6G H G AH AG

AC AEF ∴∠=

∴与平面所成的角为arcsin

方法二：以D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。

（Ⅰ）E 证明：设（a,0,0）,其中a>0,则C （2a,0,0）,A(0,1,0),B(2a,1,0)。

11P （0，0，1），F(a,,)2211(0,,),(2,11),(2,0,0)22

E F P B a A B a ==-=

，。

0,.E F P B E F P B ?=∴⊥ 0,.

A B E F E F A B ?=∴⊥

,,.PB PAB AB PAB PB AB B ???=又平面平面 .E F P A B

∴⊥平面（Ⅱ）解：

AB =由，得a=

A C P

B == 可得1，-1），1，-1）。6

A C P

B A

C P B ?=?

cos （AC ，PB ）= arccos 6

异面直线AC 、PB 所成的角为 AF =

（

，）。

0AF PB PB AF ∴?=⊥

，。

PB EF EF AF AEF ⊥又，、为平面内两条相交直线。 P B A E F ∴⊥平面。

arccos

(arcsin

AC AEF π

∴-=与平面所成的角为

。

arcsin

AC AEF 即与平面所成的角为

16．在四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形,平面V AD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明AB ⊥平面V AD ．

（Ⅱ）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． [解] 证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，则A （

，0，0），B （

，1，0），C （-

，1，0），D （-

，0，0），V

（0，0

），

∴1(0,1,0),(1,0,0),(,2

2AB AD AV ===-

由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ?=?=?⊥

1(0,1,0)(,022

AB AV AB AV ?=?-=?⊥

又AB ∩A V=A ∴AB ⊥平面V AD

（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =

是面V AD 的法向量

设(1,,)n y z =

是面VDB 的法向量，则

110(1,,)(,1,0(1,1,2230(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-????=?--=???

???=-???=-?=????

?--=??

∴(0,1,0)(1,1,

cos ,7

AB n ?-<>=

，

又由题意知，面V AD 与面VDB

所成的二面角，所以其大小为arccos 7

17．如图，已知长方体1111

ABC D A B C D -，12,1AB AA ==，直线B D 与平面11AA B B 所成的角为0

30，A E

垂直B D 于,E F 为11A B 的中点．

（Ⅰ）求异面直线A E 与B F 所成的角；

（Ⅱ）求平面B D F 与平面1A A B 所成二面角（锐角）的大小；

（Ⅲ）求点A 到平面B D F 的距离

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