当前位置：文档库 › 概率论与数理统计笔记

概率论与数理统计笔记

第一章概率论的基本概念

1 随机试验

1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.

2.随机试验E 的所有结果构成的集合称为E 的样本空间，记为

{}S e =，称S 中的元素e 为基本事件或样本点.

3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.

2.样本空间、随机事件

1.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本空间的元素，即E 的每个结果称为样本点.

2.一般我们称S 的子集A 为E 的随机事件A ，当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A 发生.如果将S 亦视作事件，则每次试验S 总是发生，故又称S 为必然事件。为方便起见，记φ为不可能事件，φ不包含任何样本点.

3.若A B ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件的发生。若A B ?且B A ?，即A B =，则称事件A 与事件B 相等.

4.和事件{}A B x x A x A A B =∈∈ 或：与至少有一发生.

5.当AB φ=时，称事件A 与B 不相容的，或互斥的.这指事件A 与事件B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.

,{,{,,A A S A A S

A A A

B AA AB ===?=? 的逆事件记为若则称互逆，互斥.

,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生.也记作.

,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生,也记作.

7. 事件 A 的对立事件：设 A 表示事件 “A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件. 事件间的运算规律：,,, A B C 设为事件则有

,A B B A AB BA == （１）交换律：

()(),A B C A B C = （２）结合律：()()AB C A BC = ()()()A B C A C B C AC BC == （３）分配律：

,de Morgan A B A B A B A B == （４）律：

3.频率和概率

1.记()A

n n f A n

()A n A f A A n --其中n 发生的次数（频数）；n 总试验次数.

称为在这次试验中发生的频率.

频率反映了事件A 发生的频繁程度. 2.频率的性质：

10()1

2()1n n k k

f A f S ≤≤=。

。 ()n f A

3.当重复试验次数n 逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.我们让试

验重复大量次数，计算频率

以它来表征事件A 发生可能性的大小是合适的. 随n 的增大渐趋稳定，记稳定值为p . 的稳定值p 定义为A 的概率，记为()P A p =.

4.概率定义：设E 是随机试验，S 是它的样本空间.对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为()P A ，称为事件A 的概率. 满足下列条件:

(1) 非负性：对于每一个事件A ,有()0;P A ≥ (2) 规范性：对于必然事件S ,有()1;P S =

(3) 可列可加性：设12,,A A 是两两相互不相容的事件，即对于

i j ≠，i j A A φ=，,1,2i j = ，则有

()()()1212P A A P A P A =++ ； 5.概率定义推得的重要性质. （1）()0P φ=

（2）有限可加性若123A A A A n 是两两互不相容的事件则有

()()1212A A A ()()n n P P A P A P A =++ （3）对于任一事件()P A ≤1

（4）对于任一事件A 有 ()()1P A P A =- (5) ()()()()P A B P A P B P AB =+-

()n f A ()n f A ()n f A ()n f A

4．等可能概型（古典概型）

1.当试验的样本空间只含有有限个元素，并且试验中每个基本事件发生的可能性相同，具有这样特点的试验是大量存在的，则称这种试验为等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为等可能概型.

2. (){}()

1A j

i j k A P P e n ====∑包含的基本事件数

S 中基本事件的总数

即是等可能概型中事件A 的概率的计算公式.

5.条件概率

1. 条件概率定义：设,A B 是两个事件,且()0P A >，称()

()()P AB P B A P A =

为在A 事件发生条件下B 事件发生的条件概率. 2.符合条件概率的三个条件，即：

（1）非负性对于每一事件B , 有 ()A 0P B ≥ （2）规范性对于必然事件S ，有 ()A 1P S =

（3）可列可加性设12B B 是两两互不相容的事件，则有()1

1i i i i P B A P B A ∞∞

==??= ???∑ 3. 乘法定理：设()A 0P >，则有 ()()()AB P P B A P A =

推广: 一般设 12n A A A 为n 个事件，2n ≥，且()1210n P A A A -

有

121211122211()()()()()n n n n n P A A A P A A A A P A A A A P A A P A ---=? . 4.全概率公式：设试验E 的样本空间为S

，

A 为E 的事件,

12,,....,n B B B 为S 的一个划分，且()0(1,2,...,)i P B i n >=，则

()()()()()()()1122n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =+++

5.贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S

，

A 为E 的事件,

12,,....,n B B B 为S 的一个划分，且()0(1,2,...,)i P B i n >=，则

()()()

()()

i i i n

j P A B P B P B A P A B P B ==

∑

6.独立性

1.定义：设,A B 是两事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立，简称,A B 独立.

若()0,()0P A P B >>,则,A B 相互独立与,A B 互不相容不能同时成立. 2. 定理一：设,A B 是两事件，且()A P >0，若,A B 相互独立，则

()P B A =()P B .反之亦然.

3.定理二：若事件A 与B 相互独立则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.

4.推广定义：设,,A B C 是三个事件，如果满足等式

()()()P AB P A P B =,()()()P BC P B P C =，

()()()P AC P A P C =,()()()()P ABC P A P B P C =则称事件,,A B C 相互独立.

()()()()()()()()()()(),,,,1A B A B A B A B P AB P A P B P AB P A AB P A P AB P A P B P A P B ???=?=-=-=-=????相互独立相互独立相互独立相互独立当时

第二章随机变量及其分布

1. 随机变量

1.定义：设随机试验的样本空间{}{},S e X X e ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称{}X X e =为随机变量. 常见的两类随机变量{

离散型连续型

2.本书中一般以大写字母如,,,,...X Y Z W 表示随机变量，而以小写字母,,,,...x y z w 表示实数.

2. 离散型随机变量及其分布律

1.定义：有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.

2.定义：取值可数的随机变量为离散量.

X 一般地，设离散型随机变量所有可能取的值为(1,2,)k

x k =????

x 取各个可能值的概率论，即事件的概率为{},1,2,k k P X x p k ===???称为离散型随机变量X 的分布律。k p 满足如下两个条件：

（1）0k p ≥ （2）11k k p ∞

==∑

3.（0－1）分布

设随机变量X 只可能取0与1两个值,它的分布律是

，则称 X 服从（0－1）分布或

两点分布.

)1,10(1,0,}{1=+<<===-q p p k q p k X P k k

（0－1）分布的分布律也可写成

4.设试验只有两个可能结果：A 及A , 则称E 为伯努利试验．设

()(01)P A p p =<<，此时()1P A p =-,将E 独立重复地进行n 次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验.

k k n k n C p q -刚好是二项式()n p q +的展开式中出现k P 的那一项，故称随

机变量X 服从参数,n p 的二项分布，记为~(,)X B n p .特别，当1n =时二项分布化为{}1,0,1k k P X k p q k -===，这就是（0-1）分布. 5.泊松分布

设随机变量X 所有可能取值为0,1,2…..而取各个值的概率为

0λ>其中是常数，

. 3.随机变量的分布函数

1. 分布函数的定义

设X 是一个连续随机变量，称()()()F x p X x x =≤-∞<<+∞为 X 的分布函数.X 是随机变量, x 是自变量.

由定义，对任意实数 12x x <，随机点落在区间(]12,x x 的概率为：

{}{}{}122121()()P x X x P X x P X x F x F x <<=≤-≤=-. 2. 分布函数性质

{}012k k n k

n P X k C p q k n

-=== ，

，，，，{}！

k k X P k λ

λ-==e ，，，， 210=k X λ则称

服从参数为的泊松分布，~()X P λ记为

1212(1)0()1,(,)

(2)()(),()()

F x x F x F x x x ≤≤∈-∞∞≤<单调不减性

00(3)()lim ()0,()lim ()1

(4)lim (),()

x x x x F F x F F x F x x +→-∞→∞

→-∞==∞===-∞<<∞

即任一分布函数处处右连续. 3.公式

4.连续型随机变量及其概率密度

1.如果对于随机变量X 的分布函数()F x ，存在非负函数()f x ，使对任意实数x 有()()x

F x f t dt -∞=?，则称X 为连续型随机变量，其中

函数()f x 称为X 的概率密度函数简称概率密度。在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量. 2.概率密度()f x 性质：（1）()0f x ≥

（2）()1f x dx ∞

-∞=?

（3）对于任意实数12,x x ，()12x x ≤，

{}()()()2

11221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=?

（4）若()f x 在点x 处连续则有 ()F x '=()f x

3.均匀分布：设连续型随机变量X 具有概率密度

()f x =1

,0,a x b b a ?<

=-???其他

，则称X 在区间(),a b 上服从均匀分布.记为(1){}()()P a X b F b F a <≤=-).

(1}{)2(a F a X P -=>

(),X U a b .易知-()0,()=1

f x f x dx ∞

∞≥?且. 4指数分布：设连续型随机变量X 具有概率密度

()/1,00,x e x f x θ

θ-?>?=???其他，其中0θ>为常数，则称X 服从参数为θ的指

数分布.易知-()0,()=1f x f x dx ∞

∞≥?且.

5 正态分布：设连续型随机变量X 具有概率密度

()()22

,2x f x e x μσπσ

-∞<<∞，则称X 服从参数为,μσ的正态分

布.特别的，当0,1μσ==时，称X 服从标准正态分布.

5.随机变量的函数分布

定理：设随机变量X 具有概率密度()X f x ，x -∞<<∞，又设函数()g x 处处可导且恒有''()0(()0)g x g x ><或恒有，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为 ()[]{

()()

X f h y h y y Y f x αβ

'<<=

其它

第三章多维随机变量及其分布

1.二维随机变量

1.设随机试验E 的样本空间为：{}()(),S e X e Y e =、为定义在S 上的随机变量，由它们构成一个随机向量 ()X Y 、,叫二维随机向量或二维随机变量.

2.定义：设二维随机变量()X Y 、，对任意实数x y 、,二元函数{}(),F X Y P X x

Y y =≤≤,,称为()X Y 、的(联合)概率分布函数.

二维随机变量分布函数的性质：

（1）(),F x y 是变量x 和y 的不减函数，即对任意固定的y ，当21x x >时()2,F x y ≥()1,F x y ;对于任意固定的x ，当21y y >时

()2,F x y ≥()1,F x y .

（2）()0,1F x y ≤≤，且对于任意固定的y ，(),0F y -∞=，对于任意固定的x ,(),0F x -∞=,(),0F -∞-∞=,(), 1.F ∞∞=

(3) (),F x y =()0,F x y +，(),F x y =(),0F x y +，即(),Fxy 关于x 右连续，关于y 也右连续.

(4) 对于任意()11,x y ，()22,x y ，21x x >，21y y >，下述不等式成立: ()()()()22211112,,,,0F x y F x y F x y F x y -+-≥.

如果二维随机变量(,)X Y 全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(,)X Y 是离散型的随机变量.

3. 对于二维随机变量(),X Y 的分布函数(),F x y .如果存在非负的函数(),f x y 使对于任意()X Y 、有()(),,y x

F x y f d d μυμυ-∞-∞

则称(),X Y 是连续型的二维随机变量，函数(),f x y 称为二维随机变量(),X Y 的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度. 概率密度(),f x y 具有以下性质：（1）(,)0f x y ≥ （2） (,)(,)1f x y dxdy F ∞∞

-∞-∞

=∞∞=?

(3) 设G 是xOy 平面上的区域，点()X Y 、落在G 内的概率为

{}(,)(,)G

P X Y G f x y dxdy ∈=??

(4) 若(),f x y 在点()X Y 、连续则有

2(,)

(,)F x y f x y x y

?=?? 4. 两个常用的分布

（1）均匀分布：定义设D 为闭区域面积为A ，若随机变量()X Y 、的(联合)密度为：则称: ()X Y 、服从D 上的均匀分布.

(2)二维正态分布：若二维随机变量 ()X Y 、的概率密度为：则称: ()X Y 、服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布.其中σ1>0，σ2>0，|ρ|≤1是常数.记为：()X Y 、~N (μ1、μ2、σ12、σ22、ρ) .

2.边缘分布

1.二维随机变量(),X Y 作为一个整体，具有分布函数(),F x y ，而X 和Y 都是随机变量，也有也有分布函数，将他们分别记为()X F x ，

()Y F y ，依次称为二维随机变量(),X Y 关于X 和Y 的边缘分布函数。边缘分布函数可以由(),X Y 的分布函数(),F x y 所确定，事实上()X F x =(,)F x ∞.

2.X 是一个连续型随机变量，则其概率密度()(),X f x f x y dy ∞

-∞=? 和

()(),Y f y f x y dx ∞

-∞=?分别称()X f x ，()Y f y 为(),X Y 关于X 和关于Y 的边

缘概率密度函数.

?∈=其它

),(/1),(D y x A

y x f 2

12221122222

11221(,)211()()()()exp 22(1);f x y x x y y x y πσσρ

μμμμρρσσσσ=

???-----??

-+????-??????

-∞<<+∞-∞<<+∞

3. 离散型随机变量的边缘概率分布： 3.条件分布

1.定义:设(),X Y 使二维离散型随机变量，对于固定的j ，若有

{}0j P Y y =>，则称

{}

{}{}

·,,1,2,i j ij i j j

j P X x Y y p P X x Y y i p P Y y =====

== ，为在j Y y =条件

下随机变量X 的条件分布律。同样，对于固定的i ，若{}0

P X x =>则称{}{}{}

,,1,2,i j ij j i i P X x Y y p P Y y X x j P X x p =====

== ，为在i

X x =条件下随机变量Y 的条件分布律.

2.定义：设二维随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，(),X Y 关于

Y 的边缘概率密度为()Y f y .对于固定的y ，()0Y f y >,则称

()

,Y f x y f y 为在Y y =的条件下X 的条件概率密度，记为()()

()

,X Y Y f x y f x y f y =. 称()()

()

X Y Y f x y f x y dx dx f y -∞-∞

=??

为在Y y =的条件下，X 的条件分布函数，记为{}()X Y P X x Y y F x y ≤=或即

(){}()

()

,x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y -∞

=≤==?

，类似的，可以定义()()

(),Y X X f x y f y x f x =和()()()

,y Y X X f x y F y x dy f x -∞=?. 3. 离散型随机变量的条件分布

??∞-+∞

∞-x dx

dy y x f ]),([

{}{}{}{}

0,,,1,2,...=i j ij i j j j

j Y j P X x Y y p P X x Y y i Y y p P Y y X =>=====

=== 设（X,Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若P 则称为在条件下随机

变量的条件分布律.

4.连续型随机变量的条件分布

{}()X Y Y y X P X x Y y F X Y =≤=存在，则称此极限为在条件下得条件分布函数，

写成或记为。

4.相互独立的随机变量

1.定义:设(,)F x y , ()x F x , ()y F y 分别为二维随机变量(,)X Y 的(联合)分布函数和边缘分布函数，若对于所有,x y 有： (,)F x y ＝ ()x F x ·()y F y ，即：{}{}{},P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤ ，则称X 与Y 相互独立.

2.定理 a. ,X Y 相互独立 ? (,)()()x y f x y f x f y =

b.离散型随机变量,X Y 相互独立充要条件是对于任意,x y 有：

{}{}{},P X x Y y P X x P Y y ===== .

5.两个随机变量函数的分布

1. Z X Y =+的分布

设(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则Z X Y =+分布函数为

{},,0,,y P y Y y x εεε-<≤+>给定设对于任意固定的正数且若对于任意实数极限{}εεε+≤<-≤+→y Y y x X P 0

lim {}{}

εεεεε+≤<-+≤<-≤=+

→y Y y P y Y y x X P ,lim 0

)

()

,()(x f y x f x y f X X Y =

(){}(),z x y z

F z P Z z f x y dxdy +≤=≤=

??,由概率密度的定义，即得到Z 的

概率密度为()(),z f z f z y y dy ∞-∞

=-?,由(),X Y 的对称性，()z f z 又可

写成()(),z f z f x z x dx

∞

-∞

=-?

.特别，当X 和Y 相互独立是，设边缘概率密度为()X f x ，()Y f y ，则上面两个公式可以化为

()()()z X Y f z f z y f y dy ∞

-∞

=-?，()()()z X Y f z f x f z x dx ∞

-∞

=-?,这两个公

式称为卷积公式，记为X Y f f *即

()()()()X Y X Y X Y f f f z y f y dy f x f z x dx ∞∞

-∞

*=-=-??

更一般地，有限个相互独立得正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

2.()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布

设(),X Y 是两个相互独立的随机变量，他们的分布函数分别为

()x F x , ()y F y ，现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函

数。{}{},P M z P X z Y z ≤=≤≤

又由于X 和Y 相互独立，得到()max ,M X Y = 的分布函数为

(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤

即有()()()max X Y F z F z F z = 类似的，可得到()min ,N X Y =的分布函数为

(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z =≤=->=->>=->?> 即()()()min 111X Y F z F z F z =---????????.

第四章随机变量的数字特征

1. 数学期望

1. 定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}k P X x ==k p ，1,2k = 若级数1

k k k x p ∞

=∑绝对收敛，则称级数1

k k k x p ∞

=∑的和为随机变量X 的数

学期望，记为()E X =1

k k k x p ∞

=∑.

2. 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,若积分()xf x dx ∞

-∞

?的

值为随机变量X 的数学期望,即()E X =()xf x dx ∞

-∞

数学期望简称期望，又称均值.

3. 定理：设Y 是随机变量X 的函数: ()Y g X =（g 是连续函数）.

1) 若X 是离散型随机变量，它的分布律为{}k P X x ==k p ，1,2k = 若级数1

()k k k g x p ∞

=∑绝对收敛，则有()E Y =[]()E g X =1

()k k k g x p ∞

=∑.

2) 若X 是连续型随机变量，它的概率密度为()f x 若

()()g x f x dx ∞

-∞

绝对收敛则有()E Y =[]()E g X = ()()g x f x dx ∞

-∞

4.数学期望的重要性质：

（1）设C 是常数，则有 ()E C C =

（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()E CX CE X = （3）设,X Y 是两个随机变量，则有 ()()()E X Y E X E Y +=+.这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况.

（4）设,X Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =；

这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.

5. 几个重要随机变量的期望（1）0-1分布的数学期望：()E X p = （2）二项分布(,)b n p =：()E X np =

(3) 泊松分布:

{}1

~,0,1,2,...

()!

(1)!

k k k X P X k e k k E X k

e e k k λλλλλ

λλ

--∞

∞

--====

====-∑∑

(4) 均匀分布~(,)X U a b . 1~(),0X f x a x b b a ??

=<<-???，，其他

()=()2

a x a

b E X xf x dx dx b a ∞

-∞

+==

-??

(5) 指数分布：0

()=()0

E X xf x dx x e dx e

θθθ

∞

-∞

∞

==-=?? (6)正态分布2(,)N μσ: ()E X μ=

2. 方差

1.定义:设X 是一个随机变量，若(){

E X E X -????

存在，则称

(){

}

E X E X -????

为X 的方差，记为()()D X Var X 或即

()()D X Var X ==(){

}

E X E X -???? .在应用上引入()D X ，记为

()X σ 称为标准差或均方差.

2.离散型随机变量：[]2

1()()k k k D X x E X p ∞

==-∑, 其中

{},1,2

k k P X x p k === .

连续型随机变量：()D X =[]2

()()k x E X f x dx ∞

-∞

-? 其中()f x 是X

的概率密度.

随机变量X 的方差可按()()()2

2D X E X E X =-????计算. 3.方差的重要性质

（1）设C 是常数，则有()0D X =

（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X = (3) 设,X Y 是两个随机变量，则有

()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E

X E X Y E Y +=++--

若,X Y 相互独立，则有 ()()()D X Y D X D Y +=+这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况

(4) ()0D X =的充要条件是X 以概率1取常数C ，{}1P X C == 4. 几个重要随机变量的方差

(1)~(,):()(1)X b n p D X np p =- (2) 泊松分布: ()D X λ=

(3) 均匀分布(,)U a b : 2()()12

b a D X -=

(4) 指数分布: 2()D X θ= (5) 正态分布2(,)N μσ: 2()D X σ=

3. 协方差及相关系数

1 定义:()(){}

E X E X Y E Y --????????称为随机变量X 与Y 的协方差，记为(),C o v X Y ,即()()(){}

,Cov X Y E X E X Y E Y =--????????

，

()()()

,XY Cov X Y D X D Y ρ=

称为随机变量X 与Y 的相关系数.

2.协方差性质

1) (,)(,)Cov X Y Cov Y X = 2) (,)(),(,)0Cov X Y D X Cov X c == 3) (,)(,),,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 4) (,)(,)(,)Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z +=+ 5) 若,X Y 相互独立，则(,)0Cov X Y = 6) (,)()()2(,)D X Y Z D X D Y Cov X Y ±=++ 3. 定理：（1）1XY ρ≤

（2）1XY ρ=的充要条件是，存在常数,a b 使{}1P Y a bX =+= （3）当XY ρ=0时，称X 和Y 不相关

（4）当X 和Y 相互独立时由(),Cov X Y =0，知XY ρ=0即X,Y 不相关，反之，若,X Y 不相关，,X Y 却不一定相互独立.

4.矩、协方差矩阵

1．定义：设X 和Y 是随机变量，若()k E X ，1,2k = 存在，称它为

X 的k 阶矩。若{}

(),2,3

E X E X k ??-=?? 存在，称它为X 的k 阶中心矩。若 (),,1,2k l E X Y k l = 存在，称它为X 和Y 的1k +阶混合

矩.若 [][]{

}

()()k

E X E X Y E Y --，,1,2k l = 存在，称它为X 和Y 的

1k +阶混合中心矩.

2.设n 维随机变量12(,,...)n X X X 的二阶混合中心距

()(){}

(,),ij i j i i j j c Cov X X E X E X X E X ????==--????,1,2,...,i j n =都存在，则称矩阵1111n n nn a a a a ??

? ? ?

?? 为n

维随机变量12(,,...)n X X X 的协方差矩阵.

3. n 维正态变量的性质：

1212121)(,,,),1,2,,;,,,,,,(,,,).n i n n n X X X X i n X X X X X X n = 维随机变量的每一个分量都是正态变量反之若都是正态变量且相互独立则是维正态变量12121122122)(,,,),,,(,,,).

n n n n n n X X X n X X X l X l X l X l l l +++ 维随机变量服从维正态分布的充要条件是的任意的线性组合服从一维正态分布其中不全为零121123)(,,,),,,(1,2,,),(,,,).

n k j k X X X n Y Y X j n Y Y Y = 若服从维正态分布设是的线性函数则也服从多维正态分布11212 4)(,,), ,,, , ,, .

n n n X X n X X X X X X 设服从维正态分布则“相互独立”与“两两不相关”是等价的

第五章大数定律和中心极限定理

1. 大数定律

μσ1.定理（契比雪夫不等式）：设随机变量X 具有数学期望E(X)=,方差D(X)= {}2

20,()P X E X σεεε

>-≥≤则对于任意都有：

{}2

2()1.

P X E X σεε-<≥-定理的等价形式为：

2. {}{}123,,,,0,

0,n n X X lim P X X μεμεμ?>-≥= 定义：设随机变量序列X 若存在某常数，使得均有：则称随机变量序列依概率收敛于常数，

4. 2.中心极限定理

(){}122

1,,,,101lim lim 1.n n

n k k n n k n n k X X n Y X n P Y P X n μσεμεμε=→∞→∞

==?>??-<=-<=????

∑∑

定理契比雪夫不等式的特殊情形：设随机变量序列X 相互独立，且具有相同的数学期望和相同的方差，作前个随机变量的算术平均：则，有：()

,0, 1.

A A n A p n n n A lim P p n εε→+∞??

?>-<=????

定理贝努里大数定理设事件在每次试验中发生的概率为，记为次独立重复试验

中发生的次数则有：()

定理独立同分布的中心极限定理()()()22121

2,,,,,,1,2,,1.2n i i n

i n n i t x i n n n X X E X D X i X

n n Y x R n X n lim P Y x lim P x e dt n μσμ

μσπ=-=→+∞→+∞

-∞===-=

?∈??

- ?≤=≤= ? ? ?∑∑? 设随机变量X 相互独立同分布，则前个变量的和的标准化变量为：有：

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197 选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝。！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业第1题您的答案:B 题目分数：0.５此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题您的答案:A 题目分数:０.５此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。第６题您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。第８题您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。第10题您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。第12题您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计初步综合练习卷

概率论与数理统计初步综合练习一．填空题 1设事件A 、B 、C , 则三个事件中至少有一个事件发生表示为 2. 设()3.0=A P ，()15.0=AB P ，且A 与B 相互独立，则()=?B A P ____________ 3. 设]5,1[~U X ，则X 落入[2，4]的概率为 4. 若).(~p n B X ，且 2=EX ， 2.1=DX ， =n 5. 已知()2=X E ，() 52=X E ，()=+12X D _____________。 6. 设1X ，2X ，……，n X 是总体()2 ,σμN 的样本，X ，2 S 分别是样本平均值和样本方差，则 n S X μ -服从分布二．选择题 1. 将一枚硬币连掷三次, 至少出现一次正面的概率为 ( ) A. 21 B. 43 C. 87 D 3 2 2 )(x F 是分布函数，则)2 3(F = （） A.0.1 B.0.3 C.0.6 D.1 3. 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立同分布, 且已知其边缘分布律为 {}{ }2111=-==-=Y P X P , {}{ }2 1 11====Y P X P 则 ==+)0(Y X P （） A. 21 B. 4 1 C.1 D .0 4. 如果X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则必有（） A. Y X 与独立 B. Y X 与不相关 C. 0(=） Y D D. 0)()(=Y D X D

5. 21,X X 为取自正态总体()2 ,~σμN X 的一个样本以下四个关于μ的无偏估计量中，方差最小的是（） A. 1X B. ()2121 X X +, C. 214341X X + D. 213 132X X + 6. 设总体X 服从正态分布，E(X)=2,E(X 2 )=8, X 1,X 2,…,X n 是X 的样本，1 1n i i X X n ==∑,则X 的分布为（） A. 4(2,)N n B. (2,1)N C. 2(,4)N n D. 24(,)N n n 三．计算题1. 两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.05，第二台加工的废品率为0.06，加工出来的零件放在一起，已知这批零件中，由第一台车床加工和由第二台加工的各占一半，从这批零件中任取一件。求：（1）取到合格品的概率。（2）取到的合格品是由第一台车床加工的概率。设随机变量X 的密度函数?????=0 )(2x k x f 其他2 1<

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？（3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件：（1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

自考概率论与数理统计基础知识.