当前位置：文档库 › 最新3-21 3-26 -解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微性定理

最新3-21 3-26 -解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微性定理

3-213-26-解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微

性定理

3.2 一阶微分方程解的延拓和解对初值和参数的连续依赖性定理(Extension of solution and continuous dependence of solution with respect to

initial value or parameter of ODE )

[教学内容] 1. 介绍Picard定理的证明过程; 2.介绍微分方程初值问题解的延拓定理; 3. 介绍微分方程解对初值和参数的连续依赖性定理.

[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理、知道解最大存在区间的特点以及解对初值和参数连续性定理条件和结论，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程

[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习

[考核目标]

1.知道Picard定理的证明思路;

2. 知道初值问题解的最大存在区间的特点;

3. 知道微分方程初值问题解对初值和参数连续依赖性和可微性定理..

1.Picard定理的表述（见上次课讲义）与证明：

（1）将初值问题转化为积分方程解的问题：?Skip Record If...?，?Skip Record If...?

并说明两方程为等解方程.

（2）构造函数集合?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?. 构造映射?Skip Record If...?，验证?Skip Record If...?且?Skip Record If...?.

（3）构造函数列?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?，验证?Skip Record If...?在?Skip Record If...?连续且一致收敛，记?Skip Record If...?表示?Skip Record If...?的极限函数.

（4）验证函数列?Skip Record If...?一致收敛，由求积分和极限交换次序定理知，?Skip Record If...?为积分方程的一个连续解.

（5）运用Gronwall定理证明积分方程的解是唯一的.

2. 注解：（1）两个函数之间的距离如何刻画？

2.0 1.5 1.00.5

定义?Skip Record If...?，从图像来看这样刻画是合理的！

（2）Picard函数列与精确解的误差估计：?Skip Record If...?.

（3）柯西定理及其特殊情形，线性方程解的存在唯一性的条件.

（4）一阶隐方程解的存在唯一性定理（参见教材P86定理2）

3. 微分方程初值问题的Picard近似解计算和误差估计

例42.方程?Skip Record If...?定义在矩形域?Skip Record If...?，试利用解的存在唯一性定理确定经过(0, 0)的解的存在区间，并求出在此区间上与精确解误差不超过0.05的近似解的表达式.

（参见教材P87例题1）

作业35. 教材P88，习题3，习题10.

3.解的延拓定理

（1）问题表述：由解的存在性定理知，?Skip Record If...?的解为?Skip Record If...?至少在?Skip Record If...?上存在，那么上述解函数最大的存在区间是什么呢？

（2）理解教材P90，图(3.2)，知道饱和解.

（3）解的延拓定理及其参见教材P91和P92.

考察初值问题?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?在开区域内连续，且在G内对y满足局部的Lipschitz条件，设位于G内一点?Skip Record If...?出发的解?Skip Record If...?的最大存在区间为?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?具有如下特征：当?Skip Record If...?，?Skip Record If...?趋于G的边界；当?Skip Record If...?，?Skip Record If...?趋于G的边界. 特别地，若G=?Skip Record If...?，且方程的任一解都有界，则方程任一解的最大存在区间为?Skip Record If...?.

例43. （1）讨论方程?Skip Record If...?分别通过点?Skip Record If...?的解的最大存在区间.

（2）讨论方程?Skip Record If...?分别通过点?Skip Record If...?的解的最大存在区间.

（3）讨论方程?Skip Record If...?过点?Skip Record If...?的解最大存在区间.

解：（1）参见教材P92例题1.

(2)两个解分别为?Skip Record If...?和?Skip Record If...?.

(3)右端函数?Skip Record If...?的存在域为?Skip Record If...?. 方程的通解为?Skip Record If...?

过点?Skip Record If...?的解为?Skip Record If...?，该解向左可以延伸到?Skip Record If...?，向右延伸到?Skip Record If...?；但注意到?Skip Record If...?，因此，该解向右可以延伸到?Skip Record If...?.

作业36. （1）考察?Skip Record If...?，若?Skip Record If...?在整个Otx平面上有定义，连续且有界，同时对变量x存在一阶连续偏导数，则方程的任一解的最大存在区间为?Skip Record If...?.

（2）讨论方程?Skip Record If...?和方程?Skip Record If...?解的最大存在区间.

4. 微分方程解对初值的连续性和可微性定理

（1）问题表述：由解的存在性定理知，?Skip Record If...?的解为?Skip Record If...?至少在?Skip Record If...?上存在，为了表示解与初值和参数?Skip Record If...?相关，将上述解函数记为

?Skip Record If...?. 问解函数?Skip Record If...?是否对变量?Skip Record If...?连续，是否可导，以及导函数例如?Skip Record If...?的表达式？

考察一个具体的例子：?Skip Record If...?的解为?Skip Record If...?，

这就是一个关于变量?Skip Record If...?的多元函数?Skip Record If...?.

（2）回答：教材P95 定理，P99定理，P100定理.

（3）形式推导出?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?满足的方程和表达式.

（一）、?Skip Record If...?，对上面两式两边关于?Skip Record If...?求导得到，?Skip Record If...?，

求解上述方程初值问题得到，?Skip Record If...?.

（二）、?Skip Record If...?，对上面两式两边关于?Skip Record If...?求导得到，?Skip Record If...?，

说明第二式：?Skip Record If...?，

关于?Skip Record If...?求导得到?Skip Record If...?.

求解上述方程初值问题得到，?Skip Record If...?.

例44. 假设函数?Skip Record If...?为区间?Skip Record If...?上连续函数，?Skip Record If...?为线性方程

?Skip Record If...?的解，?Skip Record If...?. 试求(1) ?Skip Record If...?; (2) 用常数变易公式求出方程的解函数再通过直接求导法来求出?Skip Record If...?. 解：（1）由公式有?Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?.

（2）由常数变易公式得到，?Skip Record If...?.

再由初值条件确定出?Skip Record If...?. 因此，?Skip Record If...?.

?Skip Record If...??Skip Record If...?；

?Skip Record If...?；

?Skip Record If...?.

作业37. 给定方程?Skip Record If...?，试求?Skip Record If...?在?Skip Record If...?时的表达式.

附录：

解对初值的连续性和可微性定理

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理在初值问题?????==) (),(00x y y y x f dx dy 中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程 ),(y x f dx dy =经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显然它是自变量和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题?????==) (),(00x y y y x f dx dy 的解记为),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质. 1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式 00(,,)y x x y ?= 证明在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点,显然1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为 11(,,)y x x y ?= 并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立. 2、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数(,)f x y 于某域内连续，且关于满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式 0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基

IT服务连续性管理之应急预案

IT服务连续性管理之应急预案 ITSCM（IT servers continuity management，IT服务连续性管理）作为BCM （business continuity management，业务连续性管理）的一个子集，关注的是组织在灾难发生时，IT基础设施和IT服务能够在规定的时间内得以恢复。 ITIL推荐的ITSCM活动可划分为确定ITSCM范围、业务影响分析、风险分析、制定业务连续性策略、制定连续性计划、回顾和测试连续性计划等步骤。其中在连续性计划中，组织会制定适用不同系统以及对应风险的应急预案，那么本文将对应急预案的编写提供参考意见。应急预案应进行分级，通常可以分为以下四个层级。一、应急预案总则应急预案总则，用以说明所有应急预案的框架，作为各类预案开发的原则和参考，指导组织的各负责人开发和维护相关的预案。总则首先要明确应急预案的框架，包括应急预案的规划与分类，并通过业务影响分析和风险分析明确组织的哪些业务或系统，需要基于哪些相应风险制定应急预案。风险通常包括自然灾害、意外事故灾难、突发卫生事件、信息安全事件、业务流程事件等。其次要明确应急的组织架构，确定各组别的职责和人员。建议建立组织级的应急管理组织，明确其制定组织的应急战略、审核批准组织应急策略和预案、决策应急响应与恢复重大事宜等职责。第三要明确各预案的编写原则与要点。确定预案的编写、更新、修改、审批、启动、终止等要求。第四确定发生突发应急事件的处理原则。包括事前预警、事中处理、事后分析、事件报告等原则。第五要明确应急准备原则。包括应急资源的准备、培训与宣导、演练等要求。

二、应急预案的执行指引建议各预案有单独的执行指引，说明当该类事件发生时的应急组织架构和职责、应急响应流程和恢复步骤，用于应急工作小组负责人指挥整个应急操作。例如针对网络安全预案的执行指引，规定发生网络安全事件的指挥小组，响应步骤等内容。其中对应应急预案总则，也应有详细的目标范围、组织结构、应急资源、启动应急预案条件、恢复计划、灾后重建与回复等内容。三、应急预案的应对方案应对方案针对不同场景的应对措施和技术方案，供应急指挥负责人员使用。应对方案中建议明确启动应急预案的检查表，检查关键业务系统的运行情况和应急切换准备工作就绪情况。并明确各预案的应对事件描述、处理方案简述、处理方案步骤等信息。四、应急预案的操作手册针对各个预案的操作步骤，每个应急恢复小组要制定有针对性的恢复操作手册，该手册应详细到命令级，用于指导具体的恢复操作。此操作手册应该包含各预案涉及人员清单、联系清单、应急操作的详细步骤，供具体员执行人员成员使用。目前业界没有对IT服务连续性的应急预案有统一的内容、格式要求，上文仅对一般组织的应急预案应该包括的内容进行了罗列，供读者参考。

函数知识点及例题(有答案)解读

集合与函数 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况，注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0，不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈--0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 5、熟悉命题的几种形式、

(整理)函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.

3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数（五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．

三角函数有界性

Tony Maths Tony 状元课堂专业成就未来三角函数有界性 1. 函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是 2. 已知x ∈R 2(1)1x x x x +++的值为 3. 已知22arcsin(1)arcsin(1)2a b π +--≥，则22arccos()a b -= 4. 已知22sin 2sin cos 4ααβ-+=，那么αβ+= 5. 已知2020cot 21sin 1 θθ+=+，那么2(sin 2)(cos 1)θθ++的值为 6.（2019松江一模15）将函数()2sin(3)4f x x π =+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ?=，其中12,[0,4]x x π∈，则12 x x 的最大值为 7.（2016闵行二模理18）若函数()2sin 2f x x =的图像向右平移?(0)?π<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12|()()|4f x g x -=的1x 、2x ，有12||x x -的最小值为6π，则?= 8.（2014年虹口区二模理17 文18）已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为 9.若实数,x y 满足()()()2221122cos 1,1x y xy x y x y ++--+-=-+则xy 的最小值为 10. 设12,αα∈R ，且121122sin 2sin(2) αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于 11. 设ω为正实数，若存在a 、b ，2a b ππ≤<≤，使得cos cos 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 12.（2018金山12）若2018100922sin (2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββα βα--≥---+，则sin()2β α+= 13.（2020浦东一模12）如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++???+=?? ++???+=? 有实数解，则正整数n 的最小值是

商业银行业务连续性管理办法规定

商业银行业务连续性管理暂行办法第一章总则第一条为加强商业银行业务连续性管理，降低或消除因信息系统服务异常导致重要业务运营中断的影响，快速恢复被中断业务，根据银监会《商业银行信息科技风险管理指引》和《商业银行业务连续性监管指引》以及相关法律法规，制定本办法。第二条本办法所称业务连续性管理是指农信社为有效应对重要业务运营中断事件，建设应急响应、恢复机制和管理能力框架，保障重要业务持续运营的一整套管理过程，包括策略、组织架构、方法、标准和程序。第三条本办法所称重要业务是指面向客户、涉及账务处理、时效性要求较高的银行业务，其运营服务中断会对农信社产生较大经济损失或声誉影响，或对公民、法人和其他组织的权益、社会秩序和公共利益、国家安全造成严重影响的业务。第四条本办法所称重要业务运营中断事件（以下简称运营中断事件）是指因下述原因导致信息系统服务异常、重要业务停止运营的事件。主要包括：（一）信息技术故障：信息系统技术故障、配套设施故

障；（二）外部服务中断：第三方无法合作或提供服务等；（三）人为破坏：黑客攻击、恐怖袭击等；（四）自然灾害：火灾、雷击、海啸、地震、重大疫情等。第五条农信社应将业务连续性管理纳入全面风险管理体系，建立与本机构战略目标相适应的业务连续性管理体系，确保重要业务在运营中断事件发生后快速恢复，降低或消除因重要业务运营中断造成的影响和损失，保障业务持续运营。第六条农信社应根据业务发展的总体目标、经营规模以及风险控制的基本策略和风险偏好，确定适当的业务连续性管理战略。第七条农信社应确定重要业务及其恢复目标，制定业务连续性计划，配置必要的资源，有效处置运营中断事件，并积极开展演练和业务连续性管理的评估改进。第八条业务连续性管理的基本原则是：（一）切实履行社会责任，保护客户合法权益、维护金融秩序；（二）坚持预防为主，建立预防、预警机制，将日常管理与应急处置有效结合；（三）坚持以人为本，重点保障人员安全；实施差异化管理，保障重要业务有序恢复；兼顾业务连续性管理

连续函数性质

§ 连续函数的性质 ? 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。定理1（局部有界性）若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。定理2（局部保号性）若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x < （或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切 0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。注：在具体应用局部保号性时，常取01 ()2 r f x =，则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01 ()()2 f x f x > 。定理3（四则运算）若函数f 和g 在点0x 连续，则,, f f g f g g ±?（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数g f 在点0x 连续。证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ?>?>，使得当01||u u δ-<时有 0|()()|g u g u ε-<。（1）

又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε -<。这就证明了g f 在点0x 连续。注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为 0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→== 定理 5 ()x f x x 0 lim →存在的充要条件是()() 0lim 00 0+=+→x f x f x x 与 ()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在并且相等．证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0 0lim ()x f x x 00 lim -→=，从而对任给的0>ε，存在01>δ和02 >δ，当 100δ<-=δδδ 时，当δ<-<00x x 时，则 δ <-<00x x 和 00<-<-x x δ 二者必居其一，从而满足①或②，所以 ()ε<-A x f ．定理 6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续．证明：()x f 在0x 点连续即为()()00 lim x f x f x x =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．

业务连续性管理与风险

业务连续性与风险标准的角色在世界范围内提高标准的地位行动纲要关于外界风险的认识近几年有了更多的认识波动，再加上由公司管理需求提供的监管动力，已经有效的将风险管理提上公司管理的日程。更改风险管理的态度也将直接导致出现一个全盘的积极的态度来管理风险的出现。在这个演化过程中，业务持续性管理已经成为一个组织风险规避战略日益重要的组成部分。发展中的情报安全性和灾难管理领域，有效的业务持续性管理可以降低一个组织在业务工作过程和操作中发生风险事件的机率，并提供最艰难情况下的声誉恢复能力。然而缺乏方法的一致性，混乱的定义和条款，以及对业务持续性管理战略无力的标准检查程序，都已经阻碍了它的发展，这就导致需要一个正式的标准。基于行之有效的方法基础，BS25999业务持续性管理确立了有效的业务连续性管理过程、原则和术语。风险管理在一个企业议程中不断上升反映了一个组织包括公众和个人在内，他们关于风险预测和需要有效的风险规避管理不断增强的认知。备受瞩目的时间，诸如安然，911，卡塔里娜飓风，英国夏季的洪水，……一些事件在调整结构实施的影响方面，如萨班斯法案，巴塞尔第二和特恩布尔报告，已经在风险管理方面形成有力的态度和达成更大的会议共识。更加具有前瞻性的组织在他们的风险管理和发展策略方面越来越具有前瞻性，而不是简单的依赖部门的参数设臵。与此同时，监管机构在立场方面发生了巨大变化，更加趋向基于方法管理的原则化，此举也让组织自身在风险管理战略方面承担更大的责任。茱莉亚。格雷厄姆，DLA的首席风险官和BS31100执业守则风险管理委员会主席，认为监管机构的这一态度转变是非常积极的一步，因为这意味着一个组织能够按照他们自己的环境，性质，规模，以及他们业务延伸的复杂度和管辖权来进行风险管理。

商业银行业务连续性管理办法

障；（二）外部服务中断：第三方无法合作或提供服务等；（三）人为破坏：黑客攻击、恐怖袭击等；（四）自然灾害：火灾、雷击、海啸、地震、重大疫情等。第五条农信社应将业务连续性管理纳入全面风险管理体系，建立与本机构战略目标相适应的业务连续性管理体系，确保重要业务在运营中断事件发生后快速恢复，降低或消除因重要业务运营中断造成的影响和损失，保障业务持续运营。第六条农信社应根据业务发展的总体目标、经营规模以及风险控制的基本策略和风险偏好，确定适当的业务连续性管理战略。第七条农信社应确定重要业务及其恢复目标，制定业务连续性计划，配臵必要的资源，有效处臵运营中断事件，并积极开展演练和业务连续性管理的评估改进。第八条业务连续性管理的基本原则是：（一）切实履行社会责任，保护客户合法权益、维护金融秩序；（二）坚持预防为主，建立预防、预警机制，将日常管理与应急处臵有效结合；（三）坚持以人为本，重点保障人员安全；实施差异化管理，保障重要业务有序恢复；兼顾业务连续性管理成本与

连续函数的性质1

§2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容一连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态．定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界．定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）. 注在具体应用局部保号性时，常取()021x f r = 则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02 1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,?±(这里 ()00≠x g )也都在点0x 连续．以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数 ()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()() x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点都连续．关于复合函数的连续性，有如下定理：定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基

本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量

实数的连续性公理证明确界存在定理

实数的连续性公理证明确界存在定理定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知 A、B不漏。又，

则，使，即 A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上，对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时，有。注意到，便有。故当n>N时有，于是。这就证明了。若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则。定理二证完。定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X 非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对，与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。用的中点二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取。继续用二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对

业务连续性管理体系认证实施规则-中国信息安全认证中心

业务连续性管理体系认证实施规则 ISCCC-BCMS-001:2016 中国信息安全认证中心

目录 1.适用范围 (2) 2.认证依据 (2) 3.术语和定义 (2) 3.1.信息收集 (2) 3.2.现场审核 (2) 3.3.现场见证（验证） (2) 4.认证类别 (2) 5.审核人员及审核组要求 (2) 6.认证信息公开 (2) 7.认证程序 (3) 7.1.初次认证 (3) 7.2.监督审核 (6) 7.3.再认证 (9) 7.4.管理体系结合审核 (9) 7.5.特殊审核 (9) 7.6.暂停、撤消认证或缩小认证范围 (10) 8.认证证书 (11) 8.1.证书内容 (11) 8.2.证书编号 (11) 8.3.对获证组织正确宣传认证结果的控制 (12) 9.对获证组织的信息通报要求及响应 (12) 10.附录A：审核时间 (13)

1.适用范围本规则用于规范中国信息安全认证中心（简称中心）开展业务连续性管理体系（BCMS）认证活动。 2.认证依据以国家标准GB/T 30146-2013/ISO/IEC22301:2012《公共安全业务连续性管理体系要求》为认证依据。 3.术语和定义 3.1.现场审核中心指派审核组到受审核方或获证组织所在办公地点进行管理体系运行的符合性进行审核。 3.2.现场见证（验证）现场见证是针对受审核方或获证组织为满足相关方利益诉求、实现组织业务目标和处置组织风险所实施的关键活动而进行的，对关键活动的执行过程进行跟踪见证；现场验证是针对关键活动所采取的关键技术而进行的，以验证这些技术措施的功能能够得到实现。 3.3.现场评价现场评价包括现场审核和现场见证（验证） 4.认证类型认证类型分为初次认证，监督审核和再认证。一个认证周期内至少进行一次现场见证（验证）。为满足认证的需要，中心可以实施特殊审核，特殊审核可以采取现场审核和现场见证（验证）等方式进行。 5.审核人员及审核组要求认证审核人员必须取得其他管理系注册审核员资格或者取得业务连续性管理体系审核员资格，取得资格的审核员中心应对其进行专业能力评价，以确定其能够胜任所安排的审核任务。审核组应由能够胜任所安排的审核任务的审核员组成。必要时可以补充技术专家以增强审核组的技术能力。具有与管理体系相关的管理和法规等方面特定知识的技术专家可以成为审核组成员。技术专家应在审核员的监督下进行工作，可就受审核方或获证组织管理体系中技术充分性事宜为审核员提供建议，但技术专家不能作为审核员。 6.认证信息公开

四类具有特殊性质的函数

§1 . 2四类具有特殊性质的函数 (一)教学目的: 理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判断函数是否具有这些性质. （二）教学内容：函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法. 基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念,掌握其判断方法. （三）教学重点：有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数. （四）教学难点：有界函数的概念教学建议： (1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法． (2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性. （五）教学方法：以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习。（六）计划课时：2课时. （七）教学过程：在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本12-13页）。一、有界函数 1、定义设函数)(x f 在数集A 有定义。若函数值的集合{}A x x f A f ∈=)()(有上界（有下界、有界），则称函数)(x f 在A 有上界（有下界、有界），否则称函数)(x f 在A 无上界（无下界、有

无界）.列表如下: 注意:函数)(x f 在数集A 有上界（有下界、有界）必有无限多个上界(无限多个下界、无限多个界)。 2、函数)(x f 在区间[]b a ,有界的几何意义：函数)(x f 在区间[]b a ,上的图像位于以二直线M y M y -==与为上、下边界的带形区域之内，如右下图： 3、举例如下例1、正弦函数x y x y cos sin ==余弦函数与在R 有界，如下图所示：说明：1cos 1sin ,,01≤≤∈?>=?x x R x M 与有例2、反正切函数x y arctan =与反余切函数x arc y cot =在R 有界，如x

实数基本定理与函数的连续性

§1.3 实数基本定理与函数的连续性一、主要知识点和方法 1、实数基本定理闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++?及 0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。聚点定理：有界无限点集必有聚点。致密性定理：有界点列必有收敛子列。有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε??>?>>-<收敛当时。（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列）以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。 2、连续函数概念（1）连续与间断设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x a f x f a →=，则称)(x f 在点a 连续。 “εδ-”定义：若0,0εδ?>?>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。则称)(x f 在点a 连续。若(0)lim ()()x a f a f x f a - →-==，则称)(x f 在点a 左连续。若(0)lim ()()x a f a f x f a + →+==，则称)(x f 在点a 右连续。 )(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立： ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在；

管理沟通的十大原则

管理沟通的十大原则 1、管理沟通的公开性原则管理沟通的公开性原则，是指在同一个企业管理沟通过程中、管理沟通的方式、方法和渠道及其沟通的内容要求必须公开。即应当对参与沟通的个人和团队、部门都全面公开。公开性指的不是企业的所有信息都应该公开，而是指管理沟通的规则、方式、方法、渠道、内容要求必须公开，没有公开的管理沟通规则，正确的沟通行为过程就会失去方向和指引. 2、管理沟通的简捷性原则管理沟通的简捷性原则是指： ①沟通的具体方式、方法设计应当尽量简单明了，以便于所有沟通成员掌握和运用。这一层意思的简捷性，主要指的是具体的沟通方式、方法简捷性。 ②管理沟通应当采用最短沟通渠道或路径进行沟通。渠道简捷性的目的在于提高信息传递速度，通过减少渠道环节降低信息损耗或变形的可能性。管理沟通的简捷性也包括沟通内容的编码简捷性及解码简捷性，防止将简单的管理信息人为地复杂化，致使沟通双方无法准确互相理解。总之、管理沟通的简捷性要求体现在管理沟通的各个方面，即体现在管理沟通的整个沟通模式里面。因此、管理沟通的简捷性应该是企业管理沟通总体模式的简捷性。 3、管理沟通的明确性原则管理沟通的明确性是指管理沟通在公开性的基础上，必须将沟通的各项事宜，如渠道的结构、沟通的时间要求、地点要求、内容要求、频率要求等等，进行明确、清晰的告示，要尽量避免含糊不清。其目的在于使全体沟通成员准确理解企业所期望的管理沟通要求，明白他们在沟通中所担当的角色，即他们所应当履行的沟通职责和义务，从而最大限度地排除沟通成员对沟通要求的模糊和误解，保证管理沟通能够顺畅高效地进行，顺利达到管理沟通的预期目标。明确性原则要求企业管理者与被管理者修炼和提高准确分辨、总结、表达、传递管理信息的能力。管理信息的沟通尽量做到言简意赅,深入浅出，便于信息接受者准确把握自己所传递信息的真实内在意义。 4、管理沟通的适度性原则管理沟通的适度性原则，是指管理沟通的渠道设置及沟通频率不能太多，也不能太少；而应当根据企业具体业务与管理的需要，适度适当，以能达到管理目的为基准。 5、管理沟通的针对性原则管理沟通的针对性原则是指，所有管理沟通的活动与过程设计，都是为了解决企业管理中的某些具体问题，支持、维护企业正常高效运行而设置，每一项管理沟通活动都有其明确合理的针对性。设置企业管理沟通模式时，必须充分考虑到具体企业的实际情况；所设置和采用的管理沟通模式，必须切合该企业的管理实际需要，企业管理沟通模式的设置必须有针对性。具体到企业管理沟通模式里面的具体沟通渠道、方式、内容等等的设计，也