函数与方程及应用

专题一：

第四讲——函数与方程及其应用

一、基础训练：

1.（2010·天津高考理科）函数f(x)=的零点所在的一个区间是( )

(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）

2.（2010·福建高考理科）函数的零点个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

3.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.

4.（2011北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c 和A的值分别是

A. 75，25

B. 75，16

C. 60，25

D. 60，16

二、例题：

例1：（函数零点的判断）

（1）（2009天津卷理）设函数则

A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。

C在区间内有零点，在区间内无零点。

D在区间内无零点，在区间内有零点。

（2）（2011天津理）对实数a和b，定义运算“”：ab= 设函数f(x)=() (),x为实数。若函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）

A B

C D

变式训练：（2011北京）.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

【例2】（函数零点的应用）

m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

①有且仅有一个零点？

②有两个零点且均比－1大？

(2)若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

变式：(2010·扬州调研)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．

(1)求k的值；(2)若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范围．

例3：（函数应用）

（2011湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

变式：.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示.在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是_________.（填写所有正确的图象的编号）

三、练习巩固:

1．对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间（a,b)内( )

(A)一定有零点(B)一定没有零点

(C)可能有两个零点(D)至多有一个零点

2.方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内()．

A．没有根B．有且仅有一个根

C．有且仅有两个根D．有无穷多个根

3．关于x的方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，则a的取值范围为________

4.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则

5.(2011山东).已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点.

6．(2011·襄阳一调)利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()

A．240 B．200

C．180 D．160