八年级数学教材典题变式
八年级数学教材典题变式
第十六章二次根式
16.1 二次根式
第1课时二次根式的概念
P3练习第2题变式:
1.求下列式子有意义的x的取值范围.
(1)错误！未找到引用源。;(2)错误！未找到引用源。;(3)错误！未找到引用源。.
解:(1)4-3x>0,解得x<错误！未找到引用源。,当x<错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。有
意义.
(2)由题意得错误！未找到引用源。解得x≤3且x≠2,当x≤3且x≠2时,错误！未找到引用源。有意义.
(3)由题意得错误！未找到引用源。解得x≥-5且x≠0,当x≥-5且x≠0时,错误！未找到引用源。有意义.
P5习题16.1第9题变式:
2.当a取什么值时,代数式错误！未找到引用源。+1取值最小?并求出这个最小值.
解:因为错误！未找到引用源。≥0,
所以当a=-错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。有最小值,是0.则错误！未找到引用源。+1
的最小值是1.
第2课时二次根式的性质
P5习题16.1第2题变式:
1.化简:
(1)错误！未找到引用源。;(2)错误！未找到引用源。;(3)(-错误！未找到引用源。)2.
解:(1)错误！未找到引用源。=5.
(2)错误！未找到引用源。=5.
(3)(-错误！未找到引用源。)2=5.
P5习题16.1第2题变式:
2.已知:实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。-|a-b|.
解:从数轴上a,b的位置关系可知:-2
故a+1<0,b-1>0,a-b<0,
原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|
=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)
=b-3.
P5习题16.1第4题变式:
3.在实数范围内分解因式.
(1)a2-13;(2)4a2-5;(3)x4-4x2+4.
解:(1)a2-13=a2-(错误！未找到引用源。)2
=(a-错误！未找到引用源。)(a+错误！未找到引用源。).
(2)4a2-5=(2a)2-(错误！未找到引用源。)2
=(2a+错误！未找到引用源。)(2a-错误！未找到引用源。).
(3)x4-4x2+4=(x2-2)2=[(x+错误！未找到引用源。)(x-错误！未找到引用源。)]2=(x+错误！未找到引用源。)2(x-错误！未找到引用源。)2.
16.2二次根式的乘除
第1课时二次根式的乘法
P7例3变式:
1.计算:
(1)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。;(2)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。;
(3)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。;(4)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。;
(5)6错误！未找到引用源。×(-3错误！未找到引用源。);(6)6错误！未找到引用源。·3错误！未找
到引用源。;
(7)错误！未找到引用源。·-错误！未找到引用源。.
解:(1)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
(2)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=3.
(3)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
(4)错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=8.
(5)6错误！未找到引用源。×(-3错误！未找到引用源。)=-18错误！未找到引用源。
=-18错误！未找到引用源。=-18×9=-162.
(6)6错误！未找到引用源。·3错误！未找到引用源。=6×3错误！未找到引用源。
=18错误！未找到引用源。=18×6x3y=108x3y.
(7)错误！未找到引用源。·-错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。·6b错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。.
P7例3变式:
2.化简:
(1)错误！未找到引用源。;(2)错误！未找到引用源。;
(3)错误！未找到引用源。;
(4)错误！未找到引用源。.
解:(1)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。
=2a错误！未找到引用源。.
(2)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。=6×4×3=72.
(3)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=12×5=60.
(4)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(x+3y)错误！未找到引用源。.
P20复习题16第10题变式:
3.观察下列各式及其验证过程.
2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
验证:2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
3错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
验证:3错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4错误！未找到引用源。的变形结果并进行验证.
解:4错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。;
验证:4错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。.
第2课时二次根式的除法
P9例6变式:
1.计算:
(1)错误！未找到引用源。;(2)错误！未找到引用源。;(3)-错误！未找到引用源。÷错误！未找到引用源。;
(4)错误！未找到引用源。;(5)错误！未找到引用源。÷-5错误！未找到引用源。.
解:(1)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=4.
(2)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2.
(3)-错误！未找到引用源。÷错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。=-3错误！未找到引用源。.
(4)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
(5)错误！未找到引用源。÷-5错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。÷5错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。.
P10练习第2题变式:
2.在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由.
(1)错误！未找到引用源。;(2)错误！未找到引用源。;(3)错误！未找到引用源。;
(4)错误！未找到引用源。;(5)错误！未找到引用源。.
解:(1)错误！未找到引用源。=3错误！未找到引用源。,含有开得尽方的因数,因此不是最简二次根式.(2)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式.
(3)错误！未找到引用源。,被开方数不含分母,被开方数不含能开得尽方的因数或因式,因此它是最简二
次根式.
(4)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,在二次根式的被开方数中,含有小数,不是最简二次根式.
(5)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式.
P11习题16.2第8题变式:
3.计算题:
(1)9错误！未找到引用源。÷3错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。.
(2)a2错误！未找到引用源。·b错误！未找到引用源。÷错误！未找到引用源。.
解:(1)原式=9×错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。
=18错误！未找到引用源。.
(2)原式=a2·b·错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。.
P11习题16.2第11题变式:
4.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期,其计算公式为T=2π错误！未找到引用源。,其中T 表示周期(单位:秒),L表示摆长(单位:米),g=9.8米/秒2,假若一台座钟摆长为0.5米,它每摆动一个来回发生一次滴答声,那么在1分钟内,该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14).
解:T=2π错误！未找到引用源。≈1.42,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。≈42次,
所以在1分钟内,该座钟大约发出了42次滴答声.
P11习题16.2第13题变式:
5.阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式运算时,形如错误！未找到引用源。一样的式子,我们可以将其进一步化简:
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+1.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
(1)请用上述的方法化简错误！未找到引用源。;
(2)化简:
错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。.解:(1)原式=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。.
(2)原式=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。+…+
=4-2错误！未找到引用源。-4+2错误！未找到引用源。+4错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。+…+2错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。=2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。).
16.3 二次根式的加减
第1课时
P13例2变式:
1.计算:错误！未找到引用源。+6错误！未找到引用源。-2a错误！未找到引用源。.
解:原式=2错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。
=(2+3-2)错误！未找到引用源。
=3错误！未找到引用源。.
P15习题16.3第8题变式:
2.先化简,再求值:错误！未找到引用源。÷a-错误！未找到引用源。,其中a=2+错误！未找到引用源。,b=2-错误！未找到引用源。.
解:原式=错误！未找到引用源。÷错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
当a=2+错误！未找到引用源。,b=2-错误！未找到引用源。时,
原式=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
P13练习第3题变式:
3.教师节快到了,为了表示对老师的敬意,小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给老师,其中一张面积为800 cm2,另一张面积为450 cm2,他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮,他手上现有1.2 m长的金色彩带,请你帮助算一算,他的金色细彩带够用吗?如果不够,还需买多长的金色细彩
带?(错误！未找到引用源。≈1.414,结果保留整数)
解:镶壁画所用的金色彩带的长为
4×(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)=4×(20错误！未找到引用源。+15错误！未找到引用源。)
=140错误！未找到引用源。≈197.96(cm),
因为1.2 m=120 cm<197.96 cm,
所以小号的金色彩带不够用.197.96-120=77.96≈78(cm),即还需买78 cm的金色彩带.
第2课时二次根式的混合运算
P14例3变式:
1.计算:
(1)错误！未找到引用源。×9错误！未找到引用源。÷错误！未找到引用源。;
(2)3错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。÷2错误！未找到引用
源。+错误！未找到引用源。2.
解:(1)原式=错误！未找到引用源。×9×错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。×9×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
(2)原式=6错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+4×错误！未找到引用源。÷2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。÷2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=5.
P15习题16.3第4题变式:
2.计算:(错误！未找到引用源。-1)2+2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。).
解:原式=2-2错误！未找到引用源。+1+2错误！未找到引用源。×(3-2)
=2-2错误！未找到引用源。+1+2错误！未找到引用源。=3.
P15习题16.3第4题变式:
3.计算:
(1)(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。);
(2)错误！未找到引用源。-(错误！未找到引用源。+2)÷错误！未找到引用源。.
解:(1)原式=[错误！未找到引用源。+(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)][错误！未找到引用源。-(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)]
=(错误！未找到引用源。)2-(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)2
=2-(9-2错误！未找到引用源。)=2-9+6错误！未找到引用源。
=-7+6错误！未找到引用源。.
(2)原式=错误！未找到引用源。-(错误！未找到引用源。+2)÷错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-1-错误！未找到引用源。.第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时勾股定理
P24练习第2题变式:
1.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形
A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是10 .
解析:根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.
P24练习第1题变式:
2.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13 cm,BC=5 cm,CD⊥AB于D.
(1)求AC的长;
(2)求S△ABC;
(3)求CD的长.
解:(1)因为在△ABC中,∠ACB=90°,
AB=13 cm,BC=5 cm,
所以AC=错误！未找到引用源。=12 cm.
(2)因为S△ABC=错误！未找到引用源。CB·AC=错误！未找到引用源。×5×12=30 cm2.
所以S△ABC为30 cm2.
(3)因为S△ABC=错误！未找到引用源。AC·BC=错误！未找到引用源。CD·AB,
所以CD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 cm.
P28习题17.1第8题变式:
3.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上高AD=12,试求△ABC周长.
解:此题应分两种情况说明:
①当△ABC为锐角三角形时,如图(1),
在Rt△ABD中,
BD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=9,
在Rt△ACD中,CD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=5,
所以BC=5+9=14,
所以△ABC的周长为15+13+14=42;
②当△ABC为钝角三角形时,如图(2),
在Rt△ABD中,
BD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=9.
在Rt△ACD中,CD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=5,
所以BC=9-5=4,
所以△ABC的周长为15+13+4=32,
所以当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;
当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.
P23勾股定理证明变式:
4.探索与研究:
(方法1)如图,
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;
(方法2)如图,是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?
解:法一S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE
即b2=错误！未找到引用源。c2+错误！未找到引用源。(b+a)(b-a),
整理得2b2=c2+(b+a)(b-a),
所以a2+b2=c2.
法二此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°,再向下平移得到.一方面,四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和,另一方面,四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和,所以S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,
即错误！未找到引用源。b2+错误！未找到引用源。ab=错误！未找到引用源。c2+错误！未找到引用源。a(b-a),
整理得,b2+ab=c2+a(b-a),
b2+ab=c2+ab-a2,
所以a2+b2=c2.
第2课时勾股定理的应用
P25例1变式:
1.
如图,在离水面高度为5米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13米,此人以0.5米每秒的速度收绳.问6秒后船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结果保留根号)
解:在Rt△ABC中,BC=13,AC=5,
则AB=错误！未找到引用源。=12,
6秒后,BC=10,则AB=错误！未找到引用源。=5错误！未找到引用源。,
则船向岸边移动距离为(12-5错误！未找到引用源。)米.
P29习题17.1第10题变式:
2.
如图,在树上距地面10 m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路程都是15 m,求树高AB.
解:Rt△ABC中,∠B=90°,
设BC=a m,AC=b m,AD=x m,
则10+a=x+b=15 m.
所以a=5 m,b=(15-x)m.
又在Rt△ABC中,由勾股定理得
(10+x)2+a2=b2,
所以(10+x)2+52=(15-x)2,
解得x=2,
即AD=2 m,
所以AB=AD+DB=2+10=12(m).
答:树高AB为12 m.
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时勾股定理的逆定理
P33练习第2题变式:
1.写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题.
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)相等的角是内错角;
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
解:(1)同旁内角互补,两直线平行,真命题.
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内),真命题.
(3)内错角相等,假命题.
(4)等边三角形有一个角是60°,真命题.
P32例1变式:
2.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( B )
(A)4 cm,5 cm,6 cm
(B)1 cm,1 cm,错误！未找到引用源。 cm
(C)6 cm,8 cm,11 cm
(D)5 cm,12 cm,23 cm
解析:42+52=41≠62,故不是直角三角形,A错误;12+12=2=(错误！未找到引用源。)2,故是直角三角形,B正确;62+82=100≠112,故不是直角三角形,C错误;52+122=169≠232,故不是直角三角形,D错误.故选B.
P39复习题17第9题变式:
3.
如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为( A )
(A)直角三角形
(B)锐角三角形
(C)钝角三角形
(D)以上答案都不对
解析:因为正方形小方格边长为1,
所以BC=错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,
AC=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
AB=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
在△ABC中,
因为BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,
所以BC2+AC2=AB2,
所以△ABC是直角三角形.
故选A.
P34习题17.2第5题变式:
4.
如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=8,BC=6,CD=24,AD=26,求四边形ABCD的面积.
解:连接AC,
因为∠B=90°,
所以△ABC为直角三角形,
因为AC2=AB2+BC2=82+62=102,
因为AC>0,
所以AC=10,
在△ACD中,
因为AC2+CD2=100+576=676,AD2=262=676,
所以AC2+CD2=AD2,
所以△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°,
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=错误！未找到引用源。×6×8+错误！未找到引用源。×10×24=144.
第2课时勾股定理的逆定理的应用
P33例2变式:
如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意.反走私艇A和走私艇C的距离是13海里,A,B两艇的距离是5海里;反走私艇B测得距离C艇12海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时候进入我国领海.
解:设MN与AC相交于E,则∠BEC=90°,
因为AB2+BC2=52+122=132=AC2,
所以△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,
由于MN⊥CE,所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE,
由S△ABC=错误！未找到引用源。AB·BC=错误！未找到引用源。AC·BE,
得BE=错误！未找到引用源。(海里),
由CE2+BE2=122,得CE=错误！未找到引用源。(海里),
所以错误！未找到引用源。÷13=错误！未找到引用源。≈0.85(h)=51(min).
9时50分+51分=10时41分.
答:走私艇C最早在10时41分进入我国领海.
第十八章平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时平行四边形的边、角的特征
P43练习第1题变式:
如图,平行四边形ABCD中,CE⊥AB于E,若∠A=125°,则∠BCE的度数为( A )
(A)35°
(B)55°
(C)25°
(D)30°
解析:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD∥BC,
所以∠A+∠B=180°,
因为∠A=125°,
所以∠B=55°,
因为CE⊥AB于E,
所以∠BEC=90°,
所以∠BCE=90°-55°=35°.故选C.
第2课时平行四边形的对角线的特征
P44练习第1题变式:
1.
已知:?ABCD的周长为60 cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm,求这个平行四边形各边的长.
解:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OB=OD,AB=CD,AD=BC,
因为△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm,
所以AB-AD=5(cm),
又因为?ABCD的周长为60 cm,
所以AB+AD=30 cm,
则AB=CD=错误！未找到引用源。 cm,AD=BC=错误！未找到引用源。 cm.
P44练习第2题变式:
2.
如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F,求证:OE=OF.
证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OD=OB,DC∥AB,
所以∠FDO=∠EBO,
在△DFO和△BEO中,错误！未找到引用源。
所以△DFO≌△BEO(ASA),
所以OE=OF.
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时平行四边形的判定(1)
P47练习第2题变式:
1.
已知,如图,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD中点.
求证:(1)△AOC≌△BOD;
(2)四边形AFBE是平行四边形.
证明:(1)因为AC∥BD,
所以∠C=∠D,
在△AOC和△BOD中,
所以△AOC≌△BOD(AAS).
(2)因为△AOC≌△BOD,
所以CO=DO.
因为E,F分别是OC,OD的中点,
所以OF=错误！未找到引用源。OD,OE=错误！未找到引用源。OC,
所以EO=FO.
又因为AO=BO,
所以四边形AFBE是平行四边形.
P50习题18.1第9题变式:
2.
如图,在?ABCD中,AC交BD于点O,点E,点F分别是OA,OC的中点,请判断线段BE,DF的位置关系和数量关系,并说明你的结论.
解:BE=DF,BE∥DF,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=OC,OB=OD,
因为E,F分别是OA,OC的中点,所以OE=OF,
所以四边形BFDE是平行四边形,
所以BE=DF,BE∥DF.
第2课时平行四边形的判定(2)
P51习题18.1第11题变式:
1.
如图,在△ABC中,D,E分别为AC,BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于点F.若DF=3,则AC的长为( C ) (A)错误！未找到引用源。(B)3
(C)6 (D)9
解析:如图,
因为D,E分别为AC,BC的中点,
所以DE∥AB,
所以∠2=∠3,
又因为AF平分∠CAB,
所以∠1=∠3,
所以∠1=∠2,
所以AD=DF=3,
所以AC=2AD=6.故选C.
P49习题18.1第1题变式:
2.
如图,C,D分别为EA,EB的中点,∠E=30°,∠1=110°,则∠2的度数为( A )
(A)80°
(B)90°
(C)100°
(D)110°
解析:因为C,D分别为EA,EB的中点,
所以CD是三角形EAB的中位线,
所以CD∥AB,
所以∠2=∠ECD,
因为∠1=110°,∠E=30°,
所以∠ECD=80°,故选A.
P51习题18.1第11题变式:
3.
如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,点N为BC的中点,AM平分∠BAC,CM⊥AM,垂足为点M,延长CM交AB于点D,求MN的长.
解:因为AM平分∠BAC,CM⊥AM,
所以∠DAM=∠CAM,∠AMD=∠AMC.
在△AMD与△AMC中,
所以△AMD≌△AMC(ASA),
所以AD=AC=3,DM=CM.
而BN=CN,
所以MN为△BCD的中位线,
所以MN=错误！未找到引用源。(5-3)=1.
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时矩形的性质
P53练习第2题变式:
1.矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD=90°,矩形ABCD的周长为24 cm,则AB长为( D )
(A)1 cm (B)2 cm (C)2.5 cm (D)4 cm
解析:矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD=90°,根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO,则OA=OD,∠DAO=45°,所以∠BOA=∠BAO=45°,即BC=2AB,由矩形ABCD的周长为24 cm得到,24=2AB+2×2AB,解得AB=4 cm.故选D.
P60习题18.2第4题变式:
2.
如图,△ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中点.
(1)若AB=10,AC=8,求四边形AEDF的周长;
(2)求证:EF垂直平分AD.
(1)解:因为AD是高,E,F分别是AB,AC的中点,
所以DE=AE=错误！未找到引用源。AB=错误！未找到引用源。×10=5,
DF=AF=错误！未找到引用源。AC=错误！未找到引用源。×8=4,
所以四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18.
(2)证明:因为DE=AE,DF=AF,
所以EF垂直平分AD.
第2课时矩形的判定
P54例2变式:
1.
如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长OA到N,ON=OB,再延长OC至M,使CM=AN,
求证:四边形NDMB为矩形.
证明:因为四边形ABCD为平行四边形,
所以AO=OC,OD=OB,
因为AN=CM,所以ON=OM,
所以四边形NDMB为平行四边形,
又因为ON=OB,所以ON=OM=OD=OB,
所以MN=BD,
所以平行四边形NDMB为矩形.
P60习题18.2第2题变式:
2.
已知:如图,?ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,
求证:四边形EFGH是矩形.
证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD∥BC,
所以∠DAB+∠ABC=180°,
因为AH,BH分别平分∠DAB与∠ABC,
所以∠HAB=错误！未找到引用源。∠DAB,∠HBA=错误！未找到引用源。∠ABC,
所以∠HAB+∠HBA=错误！未找到引用源。(∠DAB+∠ABC)=错误！未找到引用源。×180°=90°,
所以∠H=90°,
同理∠HEF=∠F=90°,
所以四边形EFGH是矩形.
18.2.2 菱形
第1课时菱形的性质
P61习题18.2第11题变式:
1.
如图,O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点,CD=5 cm,OD=3 cm;过点C作CE∥DB,过点B作BE∥AC,CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长;
(2)求四边形OBEC的面积.
解:(1)因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD,所以在Rt△OCD中,
OC=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=4(cm).
(2)因为CE∥DB,BE∥AC,
所以四边形OBEC为平行四边形,
又因为AC⊥BD,即∠COB=90°,
所以平行四边形OBEC为矩形,
因为OB=OD,
所以S矩形OBEC=OB·OC=4×3=12(cm2).
P60习题18.2第5题变式:
2.
如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,
求证:∠DHO=∠DCO.
证明:因为四边形ABCD是菱形,
所以OD=OB,∠COD=90°,
因为DH⊥AB,
所以OH=错误！未找到引用源。BD=OB,
所以∠OHB=∠OBH,
又因为AB∥CD,
所以∠OBH=∠ODC,
在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,
在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,
所以∠DHO=∠DCO.
第2课时菱形的判定
P61习题18.2第10题变式:
1.
已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.求证:四边形BCFE是菱形.
证明:因为BE=2DE,EF=BE,
所以EF=2DE.
因为D,E分别是AB,AC的中点,
所以BC=2DE且DE∥BC.
所以EF=BC.
又EF∥BC,
所以四边形BCFE是平行四边形.
又EF=BE,
所以四边形BCFE是菱形.
P60习题18.2第6题变式:
2.
如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD,求证:
(1)AC⊥BD;
(2)四边形ABCD是菱形.
证明:(1)因为AE∥BF,
所以∠BCA=∠CAD,
因为AC平分∠BAD,
所以∠BAC=∠CAD,
所以∠BCA=∠BAC,
所以△BAC是等腰三角形,
因为BD平分∠ABC,
所以AC⊥BD.
(2)因为△BAC是等腰三角形,
所以AB=CB,
因为∠CBD=∠ABD=∠BDA,
所以△ABD也是等腰三角形,
所以AB=AD,
所以DA=CB,
因为BC∥DA,
所以四边形ABCD是平行四边形,
因为AC⊥BD,
所以四边形ABCD是菱形.
18.2.3 正方形
P62习题18.2第13题变式:
1.
如图所示,正方形ABCD的边长为1,AC是对角线,AE平分∠BAC,EF⊥AC于点F.
(1)求证:BE=CF;
(2)求BE的长.
(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,
所以∠B=90°,
因为EF⊥AC,
所以∠EFA=90°,
因为AE平分∠BAC,
所以BE=EF,
又因为AC平分∠BCD,
所以∠ACB=45°,
所以∠FEC=∠FCE,
所以EF=FC,
所以BE=CF.
(2)解:设BE=x,则EF=CF=x,
在Rt△CEF中可求得CE=错误！未找到引用源。x,
因为BC=1,
所以x+错误！未找到引用源。x=1,解得x=错误！未找到引用源。-1,
即BE的长为错误！未找到引用源。-1.
P62习题18.2第15题变式:
2.
在正方形ABCD中,点F是边AB上一点,连接DF,点E为DF中点.连接BE,CE,AE.
(1)求证:△AEB≌△DEC;
(2)当EB=BC时,求∠AFD的度数.
(1)证明:在正方形ABCD中,AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,
因为点E为DF的中点,
所以AE=EF=DE=错误！未找到引用源。DF,
所以∠EAD=∠EDA,
因为∠BAE=∠BAD-∠EAD,
∠CDE=∠ADC-∠EDA,
所以∠BAE=∠CDE,
在△AEB和△DEC中,错误！未找到引用源。
所以△AEB≌△DEC(SAS).
(2)解:因为△AEB≌△DEC,
所以EB=EC,
因为EB=BC,
所以EB=BC=EC,
所以△BCE是等边三角形,
所以∠EBC=60°,
所以∠ABE=90°-60°=30°,
因为EB=BC=AB,
所以∠BAE=错误！未找到引用源。(180°-30°)=75°,
又因为AE=EF,
所以∠AFD=∠BAE=75°.
P62习题18.2第15题变式:
3.
如图,AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE分别交BD,BC于F,E,AC,BD相交于O,
(1)求证:BE=BF;
(2)求证:OF=错误！未找到引用源。CE.
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,
所以AC⊥BD,
所以∠ABE=∠AOF=90°,
因为∠CAE=∠BAE,
所以∠AFO=∠AEB,
所以∠BFE=∠AEB,
所以BE=BF.
(2)证明:连接O和AE的中点G,
因为AO=CO,AG=EG,
所以OG∥BC,OG=错误！未找到引用源。CE,
所以∠OGF=∠FEB,
因为∠AFO=∠AEB,
所以∠OGF=∠AFO,
所以OG=OF,
所以OF=错误！未找到引用源。CE.
P62习题18.2第15题变式:
4.
如图,正方形AFCE中,D是边CE上一点,B是CF延长线上一点,且AB=AD,若四边形ABCD的面积是24 cm2.则AC长是4错误！未找到引用源。 cm.
解析:因为四边形AFCE是正方形,
所以AF=AE,∠E=∠AFC=∠AFB=90°,
因为在Rt△AED和Rt△AFB中,错误！未找到引用源。
所以Rt△AED≌Rt△AFB(HL),
所以S△AED=S△AFB,
因为四边形ABCD的面积是24 cm2,
所以正方形AFCE的面积是24 cm2,
所以AE=EC=错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。(cm),
根据勾股定理得
AC=错误！未找到引用源。=4错误！未找到引用源。(cm).
P62习题18.2第13题变式:
5.
已知:如图,点E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE.
求证:(1)EF=FP=PQ=QE;
(2)四边形EFPQ是正方形.
证明:(1)因为四边形ABCD是正方形,
所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=AD,
因为AF=BP=CQ=DE,
所以DF=CE=BQ=AP,
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中,
所以△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),
所以EF=FP=PQ=QE.
(2)因为EF=FP=PQ=QE,
所以四边形EFPQ是菱形,
因为△APF≌△BQP,
所以∠AFP=∠BPQ,
因为∠AFP+∠APF=90°,
所以∠APF+∠BPQ=90°,
所以∠FPQ=90°,
所以四边形EFPQ是正方形.
第十九章一次函数
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
第1课时常量与变量
P71练习变式:
1.设路程为s km,速度为v km/h,时间为t h,指出下列各式中的常量与变量.
(1)v=错误！未找到引用源。;
(2)s=45t-2t2;
(3)vt=100.
解:(1)常量是8,变量是v,s.
(2)常量是45,2,变量是s,t.
(3)常量是100,变量是v,t.
P71练习变式:
2.分析并指出下列关系中的变量与常量:
(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S=4πR2;
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2;
(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h=错误！未找到引用源。gt2(其中g取9.8 m/s2);
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元,则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8W.
解:(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S=4πR2,其中,常量是4π,变量是S,R.
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2,常量是v0,4.9,变量是h,t.
(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h=错误！未找到引用源。gt2(其中g取9.8 m/s2),其中常量是错误！未找到引用源。g,变量是h,t.
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元,则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8W,常量是1.8,变量是x,W.
第2课时函数
P74练习第1题变式:
最新初中数学中的几道变式训练题
初中数学中的几道变式训练题一、已知：点O是等边△ABC内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC的度数。 变式1：在△ABC中，AB=AC，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC的度数。 变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、 OB、OC为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM A B C O A C A B C O
（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质） 探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图 并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； M A C B B A l
人教版八年级上册数学三角形教案
第十一章三角形全章教案 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。 教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进 行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的 有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学 生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例 研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的 稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3、 会证明三角形内角和等于 1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会 运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形 或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数 学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性 质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决 一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务 于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是 难点。 课时分配 7.1与三角形有关的线段???????????????2课时 7.2与三角形有关的角????????????????2课时 7.3多边形及其内角和????????????????2课时 7.4课题学习镶嵌?????????????????1课时 本章小结?????????????????????? 2 课时 11． 1． 1 三角形的边 【教学目标】 1、知识与技能、理解三角形的表示法，分类法以及三边存在的关系，发展空间观念。 2、过程与方法： ⑴经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单，最基本的几何图形， 提高推理能力。 ⑵ 培养学生数学分类讨论的思想。 3、情感态度与价值观： ⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价
八年级上数学_全等三角形典型例题(一)
全等三角形典型例题： 例1：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求 证：AF ⊥BE ． 练习1：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。 例2： △DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD ； (2)CM=CN ； (3) △CMN 为等边三角形；（4）MN ∥BC 。 例3：（10分）已知，△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，过A 任作一直线l ，作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，观察三条线段BD ，CE ，DE 之间的数量关系． ⑴如图1，当l 经过BC 中点时，DE = （1分），此时BD CE （1分）． ⑵如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ．（1分） 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D
练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF B A F E 练习2： 如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？
八年级上册数学《三角形的高中线角平分线》教案
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 课时：1课时 一、〔教学目标〕 1、知识目标：认识三角形的高、中线与角平分线. 2、能力目标：会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点. 3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。 二、〔教学重点〕 三角形的高、中线与角平分线是重点； 三、[教学难点] 三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点. 四、[教学方法]：讲解、探究式、讲练结合。 五、[学法指导]：启发、交流合作。 六、[教材分析]：这节课是在学生已经在感官上认识了三角形的高、会画角的平分线的 基础上进行教学的，三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，学习了这一课，对于学生增长几何知识，运用几何知识解决生活中的有关问题，起着十分重要的作用。它也是学习三角形的角、边以及三角形全等、三角形的相似等后继知识的延续。 七、[学情分析]： 八、[教具]：三角板、圆规、量角器。 九、〔教学过程〕 （一）、导入新课 我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。 （二）、三角形的高 请你在图中画出△ABC的一条高并说说你的画法。 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所 得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。 注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。 （学生活动）：请你再画出这个三角形AB 、AC边上的高，看看有什么发现？ 结论：三角形的三条高相交于一点。 如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？ 现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。D C B A
初中数学概念的变式教学研究阶段报告详解
课题名称：初中数学概念的变式教学研究阶段报告 研究内容：初三阶段数学概念的变式教学研究 关键词：数学概念变式教学 一、问题提出： （一）问题提出的背景： 十年来，我一直担任初中数学的教学工作，也做了很多全国各地中考题和辅导书上的练习题，慢慢发现很多题实际上考查的知识点都是同一个内容，只是题目的立意，创设的情景不同而已。在平时的教学中，我们认为学生已经很熟知的知识，但只要对问题的背景或情景做一些改变，学生就做不出来了。现在社会需要的是创新人才，需要有独立解决问题能力的人才，为了培养学生思维习惯，提高学生的应变能力，我在实际的教学中进行了“关于初中数学概念的变式教学研究”的课题研究。 针对以上背景，也为了进一步提高我校数学教师的整体教学水平，为进一步适应时代的要求，着眼学生的终身学习，着眼学生的发展，让学生积极主动地参与学习活动，在主动参与的过程中掌握学习的方法与技能，进一步提高学生数学的综合素养，我们组内全体成员以饱满的热情、高度的责任感和使命感，围绕这一研究课题展开工作。 （二）研究的目的、意义 1、研究的目的： （1）学生能够更好的理解数学中的重要概念以及相关概念的联系和区别，熟悉概念在解题中的运用。 （2）提高我校初三学生的自主探究能力，优化学生的思维能力，提高课堂教学质量。同时，提高教师的专业水平。 2、研究的意义： 数学概念的学习是学生学习数学知识的起点，变式教学是提高学生解题能力的一种重要途径，而数学概念的变式教学能够更好的帮助学生理解所学的知识，以及利用概念来解决相关的问题，使教学过程成为一种有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。 传统的数学教学模式早已不适合现代的教学节奏，一些有识之士已经对于数学变式教学进行过研究。如：形式变式、内容变式和方法变式等。结合我校实际，我的研究课题，力求在数学概念的变式教学研究中，找到符合知识体系，符合学生发展认知规律的课堂教学模式。 （三）、概念界定： 1、变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条
最新人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
最新人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案) 【知识要点】 一．认识三角形 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形. 2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边. 3．与三角形有关的线段 ．．：三角形的角平分线、中线和高 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段； 三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分； 三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高. 注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线； ②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高； ③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部.但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部. ④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点.（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部.） 4．三角形的内角与外角 （1）三角形的内角和：180° 引申：①直角三角形的两个锐角互余； ②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； ③一个三角中至少有两个内角是锐角. （2）三角形的外角和：360° （3）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度 ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.——常用来比较角的大小 5.多边形的内角与外角
人教版八年级数学上册《三角形的外角》拔高练习
《三角形的外角》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（） A．75°B．105°C．110°D．120° 2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（） A．60B．65C．70D．80 3．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（） A．20°B．30°C．40°D．60° 4．（5分）如图，∠1的度数为（） A．100°B．110°C．120°D．130° 5．（5分）如图所示的图形中x的值是（） A．60B．40C．70D．80
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于． 7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为． 8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝． 9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝°． 10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
最新人教八上英语典中点答案
Unit 1标准检测卷 听力材料 一、1.I went to the beach on vacation. 2．There are many hens on my uncle's farm. 3．Did you go camping last weekend? 4．My father didn't buy anything for me yesterday. 5．We went to school by bike yesterday. 二、6.W：What do you usually do on weekends? M：I usually go to the beach. Q：What does the man usually do on weekends? 7．M：Do you walk to school? W：No，I don't. M：How do you go to school? W：I go to school by bike. Q：How does the girl go to school? 8．W：Did your father buy an umbrella for you? M：Yes，he did. Q：What did the boy's father buy? 9．M：Where did you go on vacation? W：I went to the mountains. Q：Where did the woman go on vacation? 10．M：Did you have a good time at the Great Wall? W：Yes. Q：Where did the woman go? 三、Text 1 M：Do you like travelling, Amy? W：Of course. I went to Hangzhou last month. M：Did anyone go with you? W：Yes，I went with my cousin.
初中数学人教版七年级下册教材变式题.doc
初中数学人教版七年级下册教材变式题 学号： 班级： 姓名： 一、选择题 1、如图，用量角器画∠AOB 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ， 过点P 画PE ⊥OB ，重足为E ，过P 画FG ∥OB 交OA 于F ， 并指出与∠OPE 互余的角有（ ）个 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、某市市区内出租车的收费标准是：起步价（在3千米以内的收费）是1人4元，2人以上5元，超过3千米以后每增加1千米加收1元，（不足1千米按1千米计算）小红在市区乘出租车从甲地到乙地共用去8元，设甲地到乙地的路程为x 千米，那么x 的取值范围（ ） A 、5≤x ＜6 B 、5＜x ≤6 C 、6≤x ＜7 D 、6＜x ≤7 3、把二元一次方程的每组解可看成是平面直角坐标系内一点的坐标。如方程53=+y x 的解：x=2,y=－1则其坐标为（2，－1），试判断下列各点的坐标是方程53=+y x 的解的是（ ） A.（1，－2） B.（－1,2） C.（0,5） D.（2,0） 4、关于x 的不等式03>-a x 只有3个负整数解，则a 的取值范围是（ ） A. 912<≤-a B.912≤<-a C.34-≤<-a D. 34-<≤-a 5、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身，用多少张制盒底可使盒身与盒底正好配套？设制盒身x 张，制盒底y 张，可列方程组为（ ） A ．?? ?==+y x y x 402536B ．???==+y x y x 254036C ．???=?=+y x y x 4025236 D ．????==+y x y x 4022536 6、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐变行驶角度后，仍在原来的方向上平行前行，那么两次拐变的角度是（ ） (A)第一次右拐50°,第二次左拐30° （B ）第一次左拐50°,第二次右拐30° （C ）第一次左拐50°,第二次左拐130° （D ）第一次右拐50°,第二次右拐50 7、如图所示，两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角沿BC 方向平移得到△DEF ，如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，则图中阴影部分面积为( ) （A ）16cm 2 （B ） 2350cm （C ）26cm 2 （D ）2320 cm 8、不等式组??? ??≤<-15112x x x 的解集在数轴上表示正确的是 （ ） 二、填空题 9、若点P （2a －3，1+a ）到两坐标轴的距离相等等，则点P 的坐标为_________。 10、已知：线段MN 的两个端点坐标分别是M （－4，－1），N （0，3）。将线段MN 平移后得到线段M’N’，若点M 的对应点M’为（－2，2），则线段M’N 的中点Q 的坐标为______。 11、一辆匀速行驶的汽车在11：10距李庄60千米，现在因有紧急任务，要在12:00前赶到李庄，车速应满足的条件是 12、若不等式组?? ?>-<-3 21 2b x a x 的解集为21<<-x ，那么（a －1）(b+1)的值是 。 13、已知A （－2，4）过点A 的直线AB ∥x ，且AB=3，则点B 的坐标为___________。 14、已知点M （2a+b,4）和N(－3，3a+b)关于y 轴对称，则a=____，b=_______。 15、某商品的售价为150元，商家售出一件这种商品可获得的利润率预计要在10%~20%范围内，则进价的范围是____________。 16、售货员李阿姨在一次糖果销售中误将单价为3元/千克的甲种糖果m 千克与单价为5元/千克的乙种糖果n 千克混装在一起，已知n m >，现决定将混装糖果以4元/千克的单价出售，试问在此次销售中时盈利还是亏损？______（填“盈利”或“亏损”） 17、关于x 的不等式组? ??>-≥-1250 x a x 只有四个整数解，则a 的取值范围是___________。 18、苹果的进价为每千克1.5元，销售中估计有5%的苹果正常损耗。为避免亏本，商家应把售价至少 定为 元； 19、一条船顺流航行，每小时行20km ；逆流航行，每小时行16km ，求轮船在静水中的速度和水流速 度。设船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，则所列的方程组为 。 20、已知N （1－2m ，m －2）是第三象限内的整数点，则点N 的坐标为____________。 21、若b a <，则a b 23 1 ______231----（用“>”或“<”填空） 三、解答题 22、解方程组：（1）4(1)3(1)2223x y y x y --=--???+=?? （2）2313424575 6 15 u v u v ?+=????+=? ? 23、已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，当MN 与EF 满足什么条件时，AB 平行于CD ，请说明理由。
人教版初二数学上册三角形的高、中线
七年级数学教学设计 课题11.1.2三角形的高、中线与角平分线 课型新授讲课老师：大同中学李志辉 三维目标知识 目标 通过观察、画、实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、中线、角平分线；会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的三条 高线、三条中线、三条角平分线所在直线会交于一点。 能力 目标 经历画、实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神。 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实 践能力。 情感 目标 通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。 教学重点 能够正确地画出三角形的“高线”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别。 教学难点在钝角三角形中作高。教学方法引导讲授法 教学过程知识回顾： 垂线定义线段中点定义角平分线定义 引入新课 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?（引出三角形高） 活动1 （一）探究三角形的高 1．三角形高的定义：（通过画图引出三角形的高的定义） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。（总结三角形的画法） 2.理解三角形高：如图，在△ ABC 中， AD是△ABC 的一条高。 ∵AD是△ ABC的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 3．做一做： ⑴在学案中给出的锐角三角形画出三条高，完成时同桌交流发现了什么？ 学生归纳总结：锐角三角形三条高线交于同一点。 ⑵在学案中给出的直角三角形画出三条高，完成时同桌交流发现了什么？
学生归纳总结：直角三角形的三条高交于直角顶点。 ⑶在学案中给出的钝角三角形画出三条高，观察三条高是否交于一点？同桌交流 学生归纳总结：钝角三角形三条高不交于一点。 钝角三角形三条高所在的直线交于一点。 ⑷教师引导学生归纳：三角形三条高的特性（表格显示） 三角形三条高所在的直线交于一点。 活动2 （二）探究三角形的中线 1．直接引出三角形中线的定义： 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。 2.三角线中线的理解：如图，D 是BC 的中点，则线段AD 是△ABC 的中线。 ∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=DC=2 1BC 3．做一做，利用刻度尺在学案中的三角形中画出三条中线，你发现了什么?(同桌交流) 学生归纳总结：三角形的三条中线交于一点。 活动3 (三)探究三角形的角平分线 1．直接引出三角形角平分线定义： 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 2.三角形角平分线的理解：如图,BD 是∠ABC 的角平分线。 ∵BD 是△ABC 角平分线 ∴∠ABD=∠DBC=2 1∠ABC 3. 做一做:利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线，你发现了什么？ 学生归纳总结：三角形的三条角平分线交于一点。 4.三角形高线、中线和角平分线三个知识点的总和运用，学生通过做题理解知识点。 活动3 学生通过做学案课堂知识巩固，进一步理解本课知识。 A C D B
北师版八上数学典中点答案-北师版八年级思品我们的权利教案
北师版八上数学典中点答案|北师版八年级思品 我们的权利教案 北师版八年级思品我们的权利教案 我们享有广泛的权利教案 教学内容：第一单元第一课第二框我们享有广泛的权利 教学目标：我国公民享有的基本权利;如何正确行使公民权利;正确认识自己主人翁地位的能力;分辨公民和人民的能力;认清公 民可以享有的宪法和法律规定的权利的能力;提高正确行使权利的能力;自觉遵纪守法，学会寻求法律保护;增强热爱社会主义祖国 的情感和我们是中国公民的自豪感。在行使权利时，不能我行我素，要重视他人的权利，要维护国家、社会、集体的利益，要遵 循法定程序和法律规定。 教学重难点：如何正确行使公民权利 教学方法：讲授、讨论、分析、归纳。 教学过程： 【导入新课】 书本田甜的案例导入。从案例中我们可以发现，一个公民享 有的权利是广泛的。学生讨论完成书本的填空，回答书本的问 题：1、这些权利对她有什么好处?你认为我们还应该享有哪些权利?
【讲授新课】 二、我们享有广泛的权利(板书) (一)公民权利的广泛性(板书) 公民的基本权利的内容(宪法规定的9点)，请同学们齐读，老师做简单解释。 (二)正确行使权利(板书) 我们已经知道公民的权利是广泛的，但是要注意，权利多并不意味着可以滥用权利，我们要正确行使权利，不正确行使，可能就会作出违法甚至犯罪的事情。先让我们来看一个案例。 1、学生阅读书本冯某养狗的案例 2、提问： (1)在都市生活的冯某由养狗的权利吗?(有) (2)冯某不文明养狗侵犯了邻居和其他居民的哪些权利?(休息权、环境权、人身权) (3)你认为文明养狗应注意什么?(冯某养狗不应该损害他人的休息权、环境权、人身权。进而提升为公民在行使权利时，不得损害他人的权利，对他人权利的侵害，就是对自身权利的侵害。应该在不损害他人合法权利的前提下，行使自己的权利，满足自己的需求。) 结论1：公民在行使权利时要尊重他人权利。(作简要解释) 3、学生阅读书本非典的案例
八年级数学《三角形》单元经典易错题大全
八年级数学《三角形》单元经典易错题大全 1. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm ，那么它的第三边长为___cm 。 2. 如图，∠A=32°∠B=45°∠C=38°，则∠DFE=( ） A 、120° B 、115° C 、110° D 、105° 3. 如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P ，若∠A=500，则∠BPC 等于( ） A 、90° B 、130° C 、270° D 、315° 4. 已知△ABC 的周长为45cm ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ∶b ∶c=4∶5∶6，求三边的长. 5. 如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，求∠ACB 。 南北 E D C B A 6. 等腰三角形底边为4.腰长为b,则b 一定满足( ） A ．b ＞2 B.2＜b ＜4 C.2＜b ＜8 D.b ＜8 7. △ABC 中，∠A=12∠B ＝13 ∠C ，则这个三角形是( ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.含30°角的直角三角
形 8. 已知，如图CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 内任一射线，交CE 于E ．求证：∠EBC ＜∠ACE ． 9. 三角形___ 两边组成的角叫三角形的内角. 10.如图中，BD=DE=EF=FC ，那么_________是△ABE 的中线. A.AD B.AE C.AF D.以上都是 11.如图所示,∠1=_______. 140?80? 1 12. 如图，一面小红旗其中∠A=60°,∠B=30°,则∠BCD=___。 13. 三角形的任何两边的和___第三边. 三角形的任何两边的差___第三边. 14. 如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是( ）
八年级上册数学三角形测试题(含答案)
八年级数学第11章三角形 一、选择题 1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是（ ）．A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ） 3．（2008年??福州市）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．属于哪一类不能确定 5．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高， DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ， 则∠AOC+∠DOB=（ ） A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800 7．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第5题图 第6题图
初中数学变式题与应用题的研究
初中数学变式题与应用题的研究 桦南四中王玉光 初中数学变式题和应用题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何变式证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何变式证明题的求解过程叙述清楚呢?根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。 一、“读”——读题 如何指导学生读题,仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步:第一步，粗读(类似语文阅读的浏览)。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求;第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么,并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来(如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等)，若题中给出的条件不明显的(即有隐含条件的)，还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们;第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。
八年级上册数学三角形经典好题附答案
1、如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、 间的距离不可能是（） A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米 2、一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是( ) A．21 B．22 C．23 D．24 3、如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF＝4cm2， 则S△ABC的值为…………………………………………………………………（） A．1cm2 B．2cm2 C．8cm2 D．16cm2 4、按照定义，三角形的角平分线（或中线、或高）应是（） A.射线 B.线段 C.直线 D.射线或线段或直线 5、如图，在△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是…………………………（） 6、若三角形三条边长分别是3，1-2a，8，则a的取值范围是（） A．a>-5 B．-5
A．16°B．36°C．48°D．60° 8、如图，△ABC中，，点D、E分别在AB、AC上，则的大小为（） A、 B、 C、 D、 9、如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=． 10、如图，小林从点向西直走12米后，向左转，转动的角度为，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点，则（） A． B． C． D．不存在 11、如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（） A．230°B．210°C．130°D．310° 12、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=
初中数学中的几道变式训练题
初中数学中的几道变式训练题 一、 已知：点O 是等边△ABC 内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC 的度数。 变式1： 在△ABC 中，AB=AC ，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC 的度数。 变式2：如图,点O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135° 试问:(1)以OA 、OB 、OC 为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角 形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB 的大小保持不变,那么当∠BOC 等于多少度时, 以OA 、 OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM （分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可 A B C O A C A B C O M A C B
培养学生的创新素质） 探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； 方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边； 小华家 河流 B A l
完整初二数学三角形六大经典例题
，AE⊥于EBD交BCAB=AC、如图，1Rt△ABC中，∠BAC=90°，，D是AC的中点，CDE ADB=∠连接ED，求证；∠ D ，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4ABC，PC＝5．求∠2APB度数、。正三角形△ 3、P是等边三角形ABC内一点，∠APC、∠APB、∠BPC之比为5、6、7，以PA，PB，PC为边的三角形三个内角的大小。 求证：AE=CF.的中点，AB为D点AC=BC,，°ACB=90中，∠ABC已知：在三角形、4．DF? ⊥DE
，FAB于且延长线上一点，AD=1/2AC，DE交E5、△ABC中，是BC的中点，D是CA 。求证：DF=EF 6、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC， 连接EF、EB． （1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形． 答案：1、解：过C作CG⊥AC交AE延长线于G 互余）EAB都与∠GAC(∠DBA=，所以∠F于BD⊥AE∵． °DAB=∠GCA=90又∵AB=CA，∠)≌△GCA(角边角∴△DAB∴∠ADB=∠CGA,AD=CG 又∵AD=DC,所以CD=CG 又∵∠GCE=∠DCE=45°，CE=CE ∴△GCE≌△DCE（边角边） ∴∠CGA=∠CDE ∴∠ADB=∠CDE 2、解：以PA为一边，向外作正三角形APQ，连接BQ，可知 PQ=PA=3，∠APQ=60°， 由于AB=AC，PA=QA，∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ，即：∠CAP=∠BAQ 所以△CAP≌△BAQ 可得：CP=BQ=5， 在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5，由勾股定理，知△BPQ是直角三角形。所以 ∠BPQ=90° 所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。 3、解：在AP的一侧以AP长为边作等边△APD，使D位于△ABC外AC边一侧， 易证△ABP≌△ACD（SAS） 因此，CD＝PB，PD＝PA，△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形 设∠APB＝5x,∠BPC=6x,∠APC=7x, 由周角为360°，得∠APB+∠BPC+∠APC=18x＝360°∴x=20°,
人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》拓展练习
《三角形的高、中线与角平分线》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM 的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个． A．4B．5C．6D．7 2．（5分）下列说法中，正确的个数是（） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条 高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A．1B．2C．3D．4 3．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，则△ABC斜边AB上的高为（） A．CD B．AC C．BC D．BD 4．（5分）若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．（5分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（） A．6B．3C．2D．不确定 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段． 7．（5分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB 的周长多2cm，则AC＝cm． 8．（5分）如图所示：在△AEC中，AE边上的高是． 9．（5分）如图 ①AD是△ABC的角平分线，则∠＝∠＝∠， ②AE是△ABC的中线，则＝＝， ③AF是△ABC的高线，则∠＝∠＝90°． 10．（5分）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
初中数学九上课本变式题
九年级上册·课本亮题拾贝 课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养． 21．1 二次根式 题目 计算：2 )3 2(-．（人教课本P 8 2（4）题） 解 原式=3 2)32()32(22==-． 点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如3 2)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算． 演变 变式1 填空：（1） 94= ；（2）4 12= ．（答案：（1）32 （2）23） 变式2 当x 时，式子2 31-x 在实数范围内有意义？ （答案：＞32） 变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）． （答案：n = 1，2，9，17等．） 变式4 是否存在正整数n ，使得2 31+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在正整数n ，使2 31+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数． 假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数， 从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使2 31+n 是有理数． 21．2 二次根式的乘除 题目 计算：65027÷?．（人教课本P 15 6（4）题） 解 原式=6)23(15625336253322÷?=÷?=÷???= 15． 另法 原式=152596 5027=?=?． 点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =?（a 、b ≥0），b a b a =（a ≥0， b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法
人教版八年级数学《三角形》练习题
八年级数学《三角形》单元测试题 一、选择题： 1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（） A、3cm，5cm ，8cm B、8cm，8cm，18cm C、0.1cm，0.1cm，0.1cm D、3cm，40cm，8cm 2．若三角形两边长分别是4、5，则周长c的范围是（） A. 1
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