第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案

第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准

一、参考解答

（1） 右 f 实 倒 1 。 （2） 左 2f 实 倒 1 。 评分标准：本题20分，每空2分。

二、参考解答

波长λ与频率ν的关系为 c

νλ

=

， （1）

光子的能量为 E h νν=， （2） 由式（1）、（2）可求得产生波长74.8610λ-=?m 谱线的光子的能量

194.0910E ν-=?J （3）

氢原子的能级能量为负值并与量子数n 的平方成反比： 21

n E k

n

=-，n =1，2，3，… （4） 式中k 为正的比例常数。氢原子基态的量子数n =1，基态能量1E 已知，由式（4）可得出

1k E =- （5）

把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的n =2，3，4，5，… 各能级的能量，它们是

19

22

1 5.45102E k -=-

=-?J ， 19321

2.42103E k -=-=-?J ，

19421

1.36104E k -=-=-?J ，

20521

8.72105E k -=-=-?J 。

比较以上数据，发现

1942 4.0910E E E ν-=-=?J 。 （6）

所以，这条谱线是电子从4n =的能级跃迁到2n =的能级时发出的。 评分标准：本题20分。

式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。

三、参考解答

1. 操作方案：将保温瓶中90.0t =℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分，与温度为010.0t =℃的构件充分接触，并达到热平衡，构件温度已升高到1t ，将这部分温度为1t 的水倒掉。再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为t 的构件充分接触，并达到热平衡，此时

构件温度已升高到2t ，再将这些温度为2t 的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为2t 的构件升温……直到最后一次，将剩余的热水全部倒出来与构件接触，达到热平衡。只要每部分水的质量足够小，最终就可使构件的温度达到所要求的值。

2. 验证计算：例如，将1.200kg 热水分5次倒出来，每次倒出0m ＝0.240kg ，在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中，水放热为

1001()Q c m t t =- （1）

构件吸热为

110()Q cm t t '=- （2） 由11Q Q '=及题给的数据，可得

1t ＝27.1℃ （3）

同理，第二次倒出0.240kg 热水后，可使构件升温到

2t ＝40.6℃ （4）

依次计算出1t ～5t 的数值，分别列在下表中。

可见5t ＝66.0℃时，符合要求。

附：若将1.200kg 热水分

4次倒，每次倒出0.300kg ，依次算出1t ～4t 的值，如下表中的数据：

由于4t ＝65.2℃＜66.0℃，所以如果将热水等分后倒到构件上，则倒出次数不能少于5次。 评分标准：本题20分。

设计操作方案10分。操作方案应包含两个要点：①将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。②倒在构件上的水与构件达到热平衡后，把与构件接触的水倒掉。

验证方案10分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同，但必需满足两条：①通过计算求出的构件的最终温度不低于66.0℃。②使用的热水总量不超过1.200kg 。这两条中任一条不满足都不给这10分。例如，把1.200kg 热水分4次倒，每次倒出0.300kg ，尽管验算过程中的计算正确，但因构件最终温度低于66.0℃，不能得分。 四、参考解答

设计的磁场为沿z 轴方向的匀强磁场，O 点和M 点都

处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大小。粒子由O 点射出就进入了磁场，可将与z 轴

v z v ⊥

v

θv

成θ角的速度分解成沿磁场方向的分速度Z v 和垂直于磁场方向的分速度v ⊥（见图预解20-4-1），注意到θ很小，得

cos Z v v v θ=≈ （1） sin v v v θθ⊥=≈ （2）

粒子因具有垂直磁场方向的分速度，在洛仑兹力作用下作圆周运动，以R 表示圆周的半径，有

2v qBv m R

⊥

⊥=

圆周运动的周期

2R

T v π⊥

=

由此得

2m

T qB

π=

（3） 可见周期与速度分量v ⊥无关。

粒子因具有沿磁场方向的分速度，将沿磁场方向作匀速直线运动。由于两种分速度同时

存在，粒子将沿磁场方向作螺旋运动，螺旋运动螺距为

Z h v T

v T == （4） 由于它们具有相同的v ，因而也就具有相同的螺距；

又由于这些粒子是从同一点射出的，所以经过整数个螺距（最小是一个螺距）又必定会聚于同一点。只要使OM 等于一个螺距或一个螺距的n （整数）倍，由O 点射出的粒子绕磁场方向旋转一周（或若干周后）必定会聚于M 点，如图20-4-2所示。所以

d n h =， n ＝1，2，3，… （5） 由式（3）、（4）、（5）解得 2mvn

B qd

π=

， n ＝1，2，3，… （6） 这就是所要求磁场的磁感应强度的大小，最小值应取n ＝1，所以磁感应强度的最小值为

2mv

B qd

π=

。 （7） 评分标准：本题20分。 磁场方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）给5分，求得式（7）再给2分。

五、参考解答

摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为m ，则摆球受重力mg 和摆线拉力T 的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为v ，如图预解20-5所示。用α表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式

2

c o s mv T mg l x

α+=- （1）

运动过程中机械能守恒，令θ表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取O 点为势能零点，则有关系

21

cos [()cos )]2

mgl mv mg x l x θα-=--- （2）

摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时T ＝0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运

动。设在该位置时摆球速度0v v =，摆线与竖直线的夹角0αα=，由式（1）得

2

00()cos v g l x α=-， （3）

代入（2）式，求出

02cos 3()cos 2l x l x θα=-+ （4）

要求作斜抛运动的摆球击中C 点，则应满足下列关系式：

000()sin cos l x v t αα-=， （5）

2

0001()cos sin 2

l x v t gt αα-=-+ （6） 利用式（5）和式（6）消去t ，得到

220

()sin 2cos g l x v αα-= （7）

由式（3）、（7）得到

0cos α= （8） 代入式（4），求出

arccos θ=??

（9）

θ越大，cos θ越小，x 越小，θ最大值为/2π，由此可求得x 的最小值：

(2x ，

所以

3)0.464x t l == （10）

评分标准：本题20分。

式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。

六、参考解答

（1）规定运动员起跳的时刻为0t =，设运动员在P 点（见图预解20-6）抛出物块，以0t 表示运动员到达P 点的时刻，则运动员在P 点的坐标P x 、P y 和抛物前的速度v 的分量px v 、

py v 分别为

0cos px v v α=， （1） 00sin py v v gt α=- （2） 00cos p x v t α=， （3）

2

000

1sin 2

p y v t gt α=- （4） 设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度V 的分量大小分别为px V 、py V ，物块相对运动员的速度u 的分量大小分别为x u 、y u ，方向分别沿x 、负y 方向。由动量守恒定律可知 ()()px px x px MV m V u M m v +-=+， （5） ()()py py y py MV m V u M m v +-=+ （6） 因u 的方向与x 轴负方向的夹角为θ，故有

cos x u u θ= （7） sin y u u θ= （8） 解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得 0cos cos px mu V v M m θ

α=++ （9）

00sin sin py

mu V v gt M m

θ

α=-+

+ （10） 抛出物块后，运动员从P 点开始沿新的抛物线运动，其初速度为px V 、py V 。在t 时刻（0t t >）运动员的速度和位置为

x px V V =， （11）

0()y py V V g t t =--， （12） 000()(cos )x x

p px mu mu x x V t t v t t M m M m

α=+-=+

-++， （13） 21

()()y y V t t g t t =+--

- （14） α

V px

V py u x

u y

v 0

由式（3）、（4）、（9）、（10）、（13）、（14）可得

00cos cos cos mu mu x v t t M m M m θθ

α?

?=+

-

?++?

?

（15） 2

00sin 2sin 2sin mu mu y v t gt t M m M m θθα?

?=+

-- ?

++?

?

（16） 运动员落地时，

0y =

由式（16）得

200sin 2sin 2sin 0mu mu gt v t t M m M m θθ

α?

?-+

+

= ?++?

?

， （17） 方程的根为

t =

（18）

式（18）给出的两个根中，只有当“±”取“＋”时才符合题意，因为从式（12）和式（10），可求出运动员从P 点到最高点的时间为式

0s i n

s i n mu v M m g

θα??+

?+??

而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大，故从起跳到落地所经历的时间为

t =

（19）

（2）由式（15）可以看出，t 越大，0t 越小，跳的距离x 越大，由式（19）可以看出，当

0t ＝0

时，t 的值最大，由式（3）和式（4）可知，抛出物块处的坐标为

0p x =， 0p y = （20）

即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。由式（19）可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为 0sin sin 2

2v m u T g M m g

αθ

=++ 把00t =和t T =代入式（15），可求得跳远的距离，为

2

22

002sin 22sin()sin 2()()v mv u m u x g M m g M m g

αθαθ=

+++++ （21）

可见，若

sin 21,sin()1,sin 21αθαθ=+==，

即 /4απ=， /4θπ= （22）

时，x 有最大值，即沿与x 轴成45?方向跳起，且跳起后立即沿与负x 轴成45?方向抛出物块，则x 有最大值，此最大值为

222

0022()()m v mv u m u x g M m g M m g

=++

++ （23） 评分标准：本题20分。

第一小问13分：求得式（15）、（16）各3分，式（17）2分，求得式（19）并说明“t ”取“＋”的理由给5分。第二小问7分：式（20）2分，式（22）2分，式（23）3分。

七、参考解答

在电压为0U 时，微粒所受电场力为0/2U q l ，此时微粒的加速度为00/2a U q lm =。将此式代入题中所给的等式，可将该等式变为

2

03162T l a ??

= ???

（1）

现在分析从0到/2T 时间内，何时产生的微粒在电场力的作用下能到达A 板，然后计算

这些微粒的数目。

在0t =时产生的微粒，将以加速度0a 向A 板运动，经/2T 后，移动的距离x 与式（1）相比，可知

2

0122T x a l ??

=> ???

（2）

即0t =时产生的微粒，在不到/2T 时就可以到达A 板。在A 0U U =的情况下，设刚能到达A 板的微粒是产生在1t t =时刻，则此微粒必然是先被电压0U 加速一段时间1t ?，然后再被电压

02U -减速一段时间，到A 板时刚好速度为零。用1d 和2d 分别表示此两段时间内的位移，1v 表

示微粒在1t ?内的末速，也等于后一段时间的初速，由匀变速运动公式应有

21011

()2

d a t =? （3）

210202(2)v a d =+- （4）

又因

101v a t =?， （5） 12d d l +=， （6）

112

T

t t +?=

， （7） 由式（3）到式（7）及式（1），可解得

12

T

t =

， （8） 这就是说，在A 0U U =的情况下，从0t =到/4t T =这段时间内产生的微粒都可到达A 板（确切地说，应当是/4t T <）。

为了讨论在/4/2T t t <≤这段时间内产生的微粒的运动情况，先设想有一静止粒子在A 板附近，在A 02U U =-电场作用下，由A 板向B 板运动，若到达B 板经历的时间为τ，则有

2012(2)2

l a τ=

根据式（1）可求得

14

T τ=

由此可知，凡位于MN 到A 板这一区域中的静止微粒，如果它受02U U =-的电场作用时间大于τ，则这些微粒都将到达B 板。

在/4t T =发出的微粒，在A 0U U =的电场作用下，向A 板加速运动，加速的时间为/4T ，接着在A 02U U =-的电场作用下减速，由于减速时的加速度为加速时的两倍，故经过/8T 微粒速度减为零。由此可知微粒可继续在A 02U U =-的电场作用下向B 板运动的时间为

11

133128824

T T T T τ=-==

? 由于1ττ>，故在/4t T =时产生的微粒最终将到达B 板（确切地说，应当是/4t T <），不会再回到A 板。

在t 大于/4T 但小于/2T 时间内产生的微粒，被A 0U U =的电场加速的时间小于/4T ，在

A 02U U =-的电场作用下速度减到零的时间小于/8t T =，故可在A 02U U =-的电场作用下向B

板运动时间为

11128

T T ττ'>-=

所以这些微粒最终都将打到B 板上，不可能再回到A 板。

由以上分析可知，在0t =到/2t T =时间内产生的微粒中，只有在0t =到/4t T =时间内产生的微粒能到达A 板，因为各个时刻产生带电微粒的机会均等，所以到达A 板的微粒数为

1

320804

N =?

= （9） 评分标准：本题20分。

论证在0t =到/4t T =时间内产生的微粒可能到达A 板给10分；论证/4t T =到/2t T =时间