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随机过程作业题及参考答案第一章

第一章随机过程基本概念

P39

1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。解：

1 当0cos 0t ω=，02

t k π

ωπ=+

，即0112t k πω??=

+ ???

（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02

t k π

ωπ≠+

，即0112t k πω??

≠

+ ???

（k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????.

()[]()22

000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????

. ()()20~0cos X t N t ω∴，.

则()2202cos 02cos x t

f x t t

ωπω-

；.

2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为

()cos 2t X t t π?=??

，出现正面，出现反面

假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为

12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ??

???

；和()1F x ；，以及二维分布函数12112

F x x ?

? ??

，；，

。

12??

???X 0 1

k p

12 12

11101222

??∴=≤=≤

()1X 1- 2

k p

2 12

()(){}0111112212

<-???

∴=≤=-≤

随机矢量()112????

? ?????

，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122????==-=??

????，P X X ，()11

11222

????===?? ?????，P X X . ()1212111122???

???∴=≤≤?? ? ???????

，；，，F x x P X x X x

12121212001

0110122112

<<-???=≤<≥-≥-≤

3. 设随机过程(){}

X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线

()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，

且()()()1231

P P P ωωω===。试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ，。

解：

()()1111

1sin cos 1sin cos 3333

EX t t t t t =?+?+?=++.

()()()1212X R t t E X t X t =????，

1212111

11sin sin cos cos 333t t t t =??+?+? ()12121

1sin sin cos cos 3t t t t =++ ()121

1cos 3

=+-????t t .

4. 设随机过程()Xt X t e -=，（0t >），其中X 是具有分布密度()f x 的随机变量。试求

()X t 的一维分布密度。

解：

()X t 的一维分布函数为：

()(){}{}{}1ln ln -??

=≤=≤=-≤=≥-????

；Xt F x t P X t x P e x P Xt x P X x t

111ln 1ln ????

=-<-=--?? ?????

P X x F x t t .

X 具有分布密度()f x ，

()∴X t 的一维分布密度为：

()()11111ln ln ??????

'==--??-=-?? ? ? ???

??????

；；f x t F x t f x f x t x

t tx t . P40

5. 在题4中，假定随机变量X 具有在区间()0T ，中的均匀分布。试求随机过程的数学期

望()EX t 和自相关函数()12X R t t ，。

解：由题意得，随机变量X 的密度函数为

()1

00X x T

f x T

由定义，

()()0

00111

T Xt tx

tx tx T

EX t E e e dx e d tx e T Tt Tt

----??==?=--=-???

()()1111Tt Tt e e Tt Tt

--=-

-=-. （0t >） ()()()()1212

1212X t t Xt Xt X R t t E X t X t E e e E e -+--????==?=????????

， ()

()()()1212120

012111T

T x t t x t t e

dx e d x t t T T t t T -+-+=?=-?-+???

?+?? ()

()

()()12120

12121

11x t t T t t T e e T t t T t t -+-+??=-

?++

()()121211T t t e T t t -+??=

?+.

9. 给定随机过程(){}

X t t -∞<<+∞，。对于任意一个数x ，定义另一个随机过程

()()()10X t x Y t X t x

≤??=?>??，，

试证：()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数（两个自变量都取x ）。

证明：设()1f x t ，和()21212f x x t t ，；，分别为()X t 的一维和二维概率函数，则

()()()()()()111x

Y m t E Y t y t f x t dx f x t dx F x t +∞

-∞

====?????

，，，.

()()()()1212122121212Y R t t E Y t Y t y y f x x t t dx dx +∞

+∞

-∞

==?????

，，；，

()()12

212121221212x x f x x t t dx dx F x x t t -∞-∞

==?

，；，，；，.

若考虑到对任意的t T ∈，()Y t 是离散型随机变量，则有

()()(){}(){}(){}()11100Y m t E Y t P Y t P Y t P X t x F x t ==?=+?==≤=????，. ()()()1212Y R t t E Y t Y t =????，

()(){}()(){}121211111010P Y t Y t P Y t Y t =??==+??==，， ()(){}()(){}121201010000P Y t Y t P Y t Y t +??==+??==，， ()(){}()112221212P X t x X t x F x x t t =≤≤=，，；，.

因此，()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数。 P41

14. 设随机过程()X t X Yt =+，t -∞<<+∞，而随机矢量()X Y τ

，的协方差阵为

2122σγγσ??

，试求()X t 的协方差函数。解：依定义，利用数学期望的性质可得

()12X C t t ，

()()()(){}

1122X Y X Y E X Yt m m t X Yt m m t =+-++-+???????? ()()()(){

}

1122X Y X Y E X m Yt m t X m Yt m t =-+--+-????????

()()()()2X X X Y E X m X m E X m t Y m =--+--???????? ()()()()112Y X Y Y E t Y m X m E t t Y m Y m +--+--????????

2112XX XY YX YY C t C t C t t C =+++

()22112122

t t t t σγσ=+++.

15. 设随机过程()2X t X Yt Zt =++，t -∞<<+∞，其中X ，Y ，Z 是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为1。试求()X t 的协方差函数。解：

()()()()(){}

121122X X X C t t E X t m t X t m t =--????????，

()()()(){}

2222

11112222X Y Z X Y Z E X Yt Zt m m t m t X Yt Zt m m t m t ????=++-++++-++????

……………………… ①

X ，Y ，Z 的数学期望均为0，即0X m =，0Y m =，0Z m =，将其代入①式，得：

()()()22

121122X C t t E X Yt Zt X Yt Zt ??=++++??，

()222222222221121211212E X XYt XZt XYt Y t t YZt t XZt YZt t Z t t =++++++++

()()()222222222121212121212E X XY t t XZ t t Y t t YZ t t t t Z t t ??=++++++++?? ………… ②

()()()22D X E X E X =-，

()()()222101E X D X E X ∴=+=+=.

同理，()

21E Y =，()

21E Z =.

X ，Y ，Z 相互独立，

()()()0E XY E X E Y ∴==.

同理，()0E XZ =，()0E YZ =. 将上述结果代入②式，得

()12X C t t ，

()()()()()()()()()222

222222121212121212E X t t E XY t t E XZ t t E Y t t t t E YZ t t E Z =++++++++

2212121t t t t =++.