北师大版八年级下册全册数学教案

教案

第一章三角形的证明

C=90度，点D在BC上，

2.1 不等关系

教学目的和要求：

理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点：

重点：对不等式概念的理解 难点：怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。

1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。

（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？

（4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？

分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2

)4

(l ，圆的面积可以表示

为2

2??

? ??ππl 。

（1） 要使正方形的面积不大于25㎝2

，就是25)4(2≤l ，即

2516

2

≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2

，就是2

2??? ??ππl ＞100，即

π42l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682

2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π

， 4＜5.1，此时圆的面积大。

当l =12时，正方形的面积为)(916122

2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π

， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。

（4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，

用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积

总大于正方形的面积，即π42l ＞16

2

l

2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干

离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）

（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？

答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。

（2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全：

410＜2

.0x 分析巩固练习：

用不等式表示：

（1） a 的相反数是正数；

（2） m 与2的差小于3

2； （3） x 的

3

1

与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。

解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0；

（2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于32”即是m-2＜3

2； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3

1

x+4≤0；

（4）“y 的一半”不是2

1

y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故

“y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2

1

y+2x ≥3。

3. 下列各数：2

1

，-4，π，0，5.2，3其中使不等式2-x ＞1，成立是 （ ）

A ．-4，π，5.2

B ．π，5.2，3

C ．2

1

，0，3 D ．π，5.2

答案：D

4. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图1-2所示，所

b

a b

a +-的值 （ ）

A ．＞0

B ．＜0

C ．＝0

D ．≥0 答案：B

小结提问，快速回答：

1. 表示不等式关系的符号有哪些?

2. 用适当的符号表示下列关系:

（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的

4

1

的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。

3. 下列不等式中，总能成立的是 （ ）

A ．2

a ＞0 B ．02

≤-a C ．2a ＞a D ．2

a ＞a 作业：习题2.1

2.2不等式的基本性质

一、教学目标

1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 2．掌握不等式的基本性质。 二、教学重难点

不等式的基本性质的掌握与应用。 三、教学过程设计 1.比较归纳，产生新知

我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。

请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例试一试，并与同伴交流。

类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以 3-5＜7-5；3+a ＜7+a ；3＜7,3-a ＜7-a 等。都能说明猜想的正确性。 2.探索交流，概括性质

完成下列填空。

2＜3，235 335；

2＜3，23（-1） 33（-1）； 2＜3，23（-5） 33（-5）；

你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。

通过计算结果不难发现：前两个空填“＜”，后三个空填“＞”。 得出不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

（通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象）

3.练习巩固，促进迁移

1．（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。

①6+2 -3+2；②63（-2）-33（-2）；

③6÷2 -3÷2；④6÷（-2）-3÷（-2）

（2）如果a＞b，则

2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：

（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;

（2）若＜10，则y -8；

（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；

（4）若a＞0，b＜0，c＜0，（a-b）c 0。

4.巩固应用，拓展研究.

1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。

（1）a＞b两边都加上-4；（2）-3a＜b两边都除以-3；

（3）a≥3b两边都乘以2；（4）a≤2b两边都加上c；

2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：

5.课内深化，提升能力

比较下列各题两式的大小：

6.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

7.课外作业与拓展

课外作业：课本第42页“习题2.2”

2.3不等式的解集

一、教学目标

1．理解不等式解与解集的意义。

2．了解不等式解集的数轴表示。

二、教学重难点

重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。

三、教学过程设计

1.创设情景，导出问题

（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？

（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足够的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。）设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得

即x>5

2.探索交流，得出概念

1．想一想：（1）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？

（2）x＝5,6,8能使不等式x>5成立吗？

(字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母x，它能够取任意数吗？如果不能，它能取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与方程解的不同之处。)

能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x>5一个解，7,8,9,……也是不等式x>5的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x2>0的解集是所有非零实数。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

2．议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和x-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流。

（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，让学生用具体实数对应的点加以说明）

3.练习巩固，促进迁移

1.判断下列说法是否正确：

（1）x=2是不等式x+3＜4的解；

（2）x=2是不等式3x ＜7的解集； （3）不等式3x ＜7的解是x=2； （4）x=3是不等式3x ≥9的解。

答案：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确； （4）正确。 2.在数轴上表示出下列不等式的解集：

（1）x ＞-1； （2）x ≥-1；（3）x ＜-1； （4）x ≤-1 答案：

（1）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。

（2）数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。

4.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．） 5.课外作业与拓展

课外作业：课本第44页“习题2.3”

2.4一元一次不等式(1)

教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。 教学重点和难点：

重点：一元一次不等式的解法

难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。

教学过程：

1. 观察下列不等式：

（1）155.22≥-x ； （2）75.8≤x （3）x ＜4 （4）x 35+＞240 这些不等式有哪些共同特点？

这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，象这样的不等式，叫做一元一次不等式。

2. 先阅读每（1）题的解法，然后仿做第（2）题，最后谈谈自己读题、做题的体会。

（1）解不等式

3

722x

x -≥-，并把它的解集表示在数轴上。 解 去分母，得 )7(2)2(3x x -≥- 去括号，得 x x 21463-≥-

移项、合并同类项，得

205≥x

两边都除以5，得

4≥x

这个不等式的解集在数轴上表示如下（图1-13）

（2）解不等式

2235-+≥x x ，并把它的解集表示的数轴上。 答案：3

20

-≤x

其解集在数轴上表示如下图1-40

3. 解不等式)1(2)3(410-≤--x x ，并把它的解集在数轴上表示出来。 解答：去括号，得2212410-≤+-x x ， 移项，得x x 4212210+≤++。 合并同类项，得 24x 6≤

系数化为1，得x ≤4。得4≥x 。 在数轴上表示不等式解集如图

4. 解不等式

6

1

2131-≥--+y y y ，并把它的解集在数轴上表示出来。 解答：去分母，得11)(3)1(2-≥--+y y y

答案：3≤y

这个不等式的解集数轴上表示如图

5. y 取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值。 解答：根据题意列出不等式：

)3(410)1(2--≤-y y

答案：解这个不等式，得4≤y ，解集4≤y 中的正整数解是：1，2，3，4。 6. 解关于x 的不等式： k(x+3)＞x+4; 解答：去括号，得kx+3k ＞x+4;

答案：若k-1=0，即k=1时，0＞1不成立，∴不等式无解。

若k-1＞0，即k ＞1时，134-->k k

x 。 若k-1＜0，即k ＜1时，1

34--

x 。

7. m 取何值时，关于x 的方程2

1

53166--=--m x m x 的解大于1。

解答：解这个方程：

)15(36)16(2--=--m x m x ∴ 51

3-=m x 根据题意，得

15

1

3>-m 解得 m ＞2

8. 是否存在整数m ，使关于x 的不等式2

2931m m x m

x +>+

与132+<+-x m

x 是同解不等式？如果存在，求出整数m 和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。

答案：x ＞-8

因此，存在符合题意的m ，当m=-11时，两个不等式同解，解集为x ＞-8。 小结：本节课我们学了什么？ 作业布置

一元一次不等式（2）

目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法及用数轴表示不等式的解集了解不等式在生活中的应用

重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用

例。解下列不等式。并把它们的解集s 在数轴上表示出来

解：在不等式的两边同时解乘以8得；即 化简得；

例一教师师范板演。其他学生模仿联系

解下列不等式．并把它们的解集在数轴上表示出来

例3、一次环保知识竞赛，共有25道题，规定答对一题得4分，答错一或不答扣一分。

○

1小明得了85分，他答对了多少题？ ○

2小立在这次竞赛中被评为优秀（85分或85分以上），小立可能答对了多少题？她至少答对了多少题？

解：○1设小明答对了x 道题，那么答错或不答（25-x ）道题。

根据题意、得 4x-（25-x ）=85 解这个方程、得 x=22 所以小明答对了22道题。

○

2设小立可能答对了x 道题，那么答错或不答（25-x ）道题。 ()()()311238421251017

12341137131373625

y y x x x x x x x +-+<-

-+-->++--<--()311

8[2][3]884

y y +-?+

<-?36246163

y y +<+--119

y <11

234

x x -+<-110.5 1.4(045)524

x x +≥--

根据提意，得4x-（25-x）>=85

解这个不等式，得x>=22

因为x答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有25道题，因此小立可能答对了22，23，24，25道题。她至少答对了22道题。

说明：第一小题是列一元一次方程解应用题，第二小题是列一元一次不等式解应用题，目的是让学生认识两者的区别与联系。

二、出示投影片2：例四、小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，请你帮她算一算她还可能买几支笔。

解：设小颖还可能买n支笔。

根据题意，得3n+2.2≦21

解这个不等式，得n≦16.6∕3

因为n表示笔的支数，所以应取不等式的正整数解。因此小颖还可能买1支，2支，3支，4支或5支笔。

三、让学生交流对列不等式解应用题的认识，归纳列不等式解应用题的基本步骤。

四、做17页随堂练习第二题

五、课下作业，习题1.5,1题，2题

六、课后小结；列不等式解应用题的一般步骤：1、分析题意，清楚已知量与未知量之间的关系，找到题中适当的不等关系。2、正确的设未知数，根据不等关系列出不等式。

3、解不等式。

4、在不等式的解集中选取符合题意的解。

5、做出正确的结论。

随堂练习

作业布置

2.5一元一次不等式与一次函数

1.学习目标：

通过具体问题进一步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题，并增加社会地知识，渗透德育教育。

2.学习重点：综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题

3.学习难点：认真审题，找出题中的等量或不等关系，全面地考虑问题

[课前导学]

1、课前复习

1.解一元一次不等式的步骤是什么？

2.列一元一次不等式解应用题的步骤是什么？

3.已知函数y=-x+8，当x___________时，函数值y小于零；当x___________时，函数值y 等于零；当x___________时，函数值y大于零。

4、已知一次函数y1=-3x+12与y2=-x+3的图象的交点坐标是_________，当x___________时，y1＜y2，当x___________时，y1＞y2。

2、课前预习：请认真阅读课本P51—P52，并完成下列各题，相信你一定会有很大的收获！（1）我们先到电信大厅走一趟，看看商家为顾客准备了什么消费套餐，我们又应该想何对策呢？

某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1 min收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1 min收费0.4 元.你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？

（2）放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠来吸引你，那么究竟应该选哪一家呢？

某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

请大家先计划一下，你选哪家旅行社？

分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较。而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于。据此，你能利用不等式知识给出答案吗？试一试

3、课前学记（课前学习的疑难点、教学要求建议）

[课堂研讨]

1、新知探究

（1）交流互动

课前预习中的两题你是怎么思考的？说一说你的想法、解法。

（2）议一议：通过本节课的学习，说说你对一次函数和一次不等式的认识，它们之间有怎样的内在联系呢？

2、巩固练习:

a.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费。

(1) 什么情况下选择甲公司比较合算？

(2) 什么情况下选择乙公司比较合算?

(3) 什么情况下两公司的收费相同?

b.某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由.

[课外拓展]

1. 课后记（收获、体会、困惑）

一元一次不等式在解决一次函数问题的优点是什么?

2、分层作业（班级：_____________，学生姓名：____________）

A、必做题（限时5钟，实际完成时间：_______分钟）

a、某电信公司有甲乙两种手机收费业务。甲种业务规定月租费是25元，每分钟的通话费用是0.4元；乙种业务不收月租费，每分钟的通话费用是0.6元。

（1）分别写出甲乙两种收费标准下每月应交费用元和通话时间分钟之间的关系式。（2）根据自己的通话时间，选择哪种业务更适合你？

b、红枫湖门票是每位45元，20人以上（包含20人）的团体票七五折优惠，现在有18位