一二元一次方程组的公式解

一.二元一次方程組的公式解:

例1.解方程組?????=+=-1

53

5425453y x y x

A:x=2,y=-1

<類>.解方程組?

??-=+=-94713

32y x y x

A:x=

2925,y=-29

109

例2.若方程組???=+=+f dy cx e by ax 的解為x= -3,y=8,則方程組???=+-+=+-+0

4)23(0

4)23(f y d c cx e y b a ax 的解

為何?

A:x=-36,y=16

<類>若方程組???=+=+f

dy cx e

by ax 的解為x=4,y=6,則方程組???-=+-=+d cy fx b ay ex 22的解為何?

A:3

1

,61=-=y x

例3.解 x,y 的方程組???-=-+-=-a

y a x a y ax 729)7(23

56,並就a 值討論之.

<類>1.解 x,y 的方程組?

??=++-=++8)5(2354)3(y a x a

y x a ,並就a 值討論之.

2.設a 為實數,若方程組?

??=-+=+-0)2(30

2)1(y a x y x a 除了x=0,y=0的解外,尚有其他解,試

求a 值.

A:4或-1

例4.a,b,c 為互異實數,解方程組??

?

??

++=++++=++++=++222222c b a bz ay cx c b a az cy bx c b a z y x

<類>解方程組??

?

??=-+-+-++=++++=++0)()()(z b a y a c x c b ca bc ab az cy bx c

b a z y x

二.三元一次方程組的公式解與幾何意義:

例1.解??

?

??=-+=+-=++02234232z y x z x z y x

A:11

5

,334,3313===

z y x

<類>利用克拉瑪法則解??

?

??=-+=++=-+19435422363z y x z y x z y x

A:x=2,y=1,z=-3

例2.若方程組?????=++=++=++333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的解為(1,-4,12),則??

?

?

?

?

???=+-=+-=+-3333222211

11

432432432d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的解

為何?

<類>若方程組?????=++=++=++3333

22221111d

z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 恰有一解(1,2,3),則???

??=++=++=++333322221

111432432432d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的

解為何?

例3.試就k 值,討論方程組??

?

??-=++-=++-=++223

kz y x z ky x k z y kx 的解之情形.

<類>設方程組???

??=++=++=-+174320

35bz y x a z y x z y x 為相依方程組,求(1)a,b 之值(2)此方程組的解. A:(1)a=-1,b=-58

例4.設方程組??

?

??=++=++=++az z y x ay z y x ax z y x 有(0,0,0)以外的解,(1)則a 值為何?

(2)就a 的值,討論方程組的解情形 A:(1)a=0 or 3

<類>求k 值,使方程組??

?

??=+-=--=+-kz z y x ky z y x kx z y x 222有不全為零的解

A:-2 or 1 or 3

例4.討論三平面321,,E E E 相交的情形:

(1)3936:,2624:,132:321=+-=+-=+-z y x E z y x E z y x E (2)052:,2624:,132:321=+-=+-=+-z y x E z y x E z y x E (3)1936:,1624:,132:321=+-=+-=+-z y x E z y x E z y x E (4)432:,2624:,132:321-=+-=+-=+-z y x E z y x E z y x E (5)2:,0624:,132:321=+-=+-=+-z y x E z y x E z y x E (6)023:,173:,3:321=+--=--=++z y x E z y x E z y x E (7)023:,973:,3:321=+--=--=++z y x E z y x E z y x E

(8)932:,1543:,7:321=++=++=++z y x E z y x E z y x E

<類>三平面??

?

??-=-+-=++-=-+187515243z y x z y x z y x 的相交狀況為何?

例5.若三相異平面kx+2y+3z=1,2x+ky+3z=1,2x+3y+kz=1,則(1)k= 時三平面兩兩相交於一直線(2)k= 時,三平面相交於一直線

A:(1)-5 (2)2 or 3

<類>設三平面x+y-z=1,2x+3y+az=3,x+ay+3z=2相交於一直線,求a 值

解二元一次方程组的方法技巧

???=+=-164354y x y x 解二元一次方程组的方法技巧 教学目标 知识与技能：会根据方程组的具体情况选择适合的消元法。 过程与方法：通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。 情感态度与价值观：通过学生比较几种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一方法。 教学重点：选用合适的方法解二元一次方程组。 教学难点：会对一些特殊的方程组灵活地选择特殊的解法。 教学过程： 一、复习导入，初步认识 1、 解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、 消元的方法有哪些？ 3、不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的? ⑴ ???=+=924y x y x ⑵ （3） ⑷ 归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？ 二、思考探索，获取新知 1、学生自主学习代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 ???=-=+6 341953y x y x ?-=?+=?33234x y x y

???=+=-16 4354y x y x （1） （2）???=+=-,1225423y x y x 2、 合作探究：几种解二元一次方程组的特殊方法。 （一）整体代入法 分析:方程①及②中均含有2x + 3y 。可用整体思想解。由①得2x+3y= 2代入②而求出y 。 学生练习：用整体代入消元法解下列方程组。 （二）换元法 学生练习： （三）化繁为简法

学生练习 三、当课练习 四、课堂小结 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、本节课我们学习了哪些解二元一次方程组的方法？ 五、课后作业布置 ()2018x-2017y=4040 12017x-2018y=4030???()()2x+y -2y=03222x+y -5=7y ?????()x y =3363x+y=-15?????

二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有个； 例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝． 变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x

例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是（ ） A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ． 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．

《解二元一次方程组》教案(例题+练习+答案)

二元一次方程组的解法 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做 二元一次方程。 例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个方程是为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程 想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。 例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解 2(1)3x y y z +=?? +=?， 5(2)6 x y xy +=?? =?，7(3)6 a b b -=??=?， 2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122 y x x y =-?? ?+=??，25(6)312 x y -=?? +=?，213257m n x y --+=211321 m n -=??-=?1 (2)2 a x a y -+-=

二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 练一练：1、若 =-?? =? x 1 y 2是关于 x 、y 的方程 5x +ay = 1 的解，则a=（ ）. 2、方程组 +=?? -= ?y z 180y z （）的解是 =??=?y 100 z （）. 3、若关于x 、y 的二元一次方程组––=?? + =?4x 3y 1 kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（ ）. 3、用一个未知数表示另一个未知数 想一想：(1)24x y ，所以________x ； (2)345x y ，所以________x ，________y ； (3) 2y x =,所以x = ，________y ． 总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤： ①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边． ②把被表示的未知数的系数化为1． 4.二元一次方程的解法 （1）用代入法解二元一次方程组 将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数； ②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解.

二元一次方程组的应用教学案例

从平时自测与正规考试分析，有的题型我们教师讲过，甚至几乎一模一样，但是学生仍然不会。学生存在“知其然，不知其所以然”现象。这是因为在备课时，我们往往只习惯于备教学内容，而忽视备学生。如果教师不去研究学生对所教内容的掌握情况，不去研究学生的个体差异，一切从本本出发，课堂教学的适切性就会大打折扣，课堂教学的高效更无从谈起。 案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题。 （一）提出问题，导入新课 1、问题1 解二元一次方程组 问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？ 解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。 由题意得 26+x=3x 解法二：设母亲的年龄为x岁。 由题意得 x=3（x－26） （二）精选讲例，探求新知 例某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？

巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。 （三）变式训练，激活学生思维 问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。 问题2 已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。 （四）课堂练习，巩固新知 1、A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B 地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲乙两人的速度。

选择合适的方法解二元一次方程组

① ② ???=+=-164354y x y x ① ② ① ② ???=+-=65732y x y x 选择合适的方法解二元一次方程组 学习目标：1、会根据二元一次方程组的特点,选择解法——代入消元法或加减消元法. 2、能灵活的解二元一次方程组. 【记忆大比拼】 1、 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是什么？ 2、 什么是代入消元法？什么是加减消元法？ 【自主学习】 3、 用代入法解方程组 由①得，y= ③ 把③代入②，得 ， 解此方程，得 ， 把 代入 ，得y= 。 所以这个方程组的解是： 。 4、 观察方程组???=+=-,1225423y x y x 方程组中的两个方程，未知数y 的系数的关系是： ，为达到先消去y 的目的，应让① ②，得 。 5、 观察方程组???=-=-,1235332b a b a 方程组中的两个方程，未知数b 的系数的关系是： ，为达到先消去b 的目的，应让② ①，得 。 【能说会道】 不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的? ⑴???=+=924y x y x ； ⑵ ???=+=+321y x y x ???=+=-2 4513y x y x ⑷ 归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？ 【动手动脑】 选择合适的方法解下列方程组： ()?? ?-=+=-12441y x y x ()? ??=+=+3.16.08.05.122y x y x ???-=+-=+765432z y z y ???=-=+6341953y x y x ⑶ ⑸ ⑹

（1） （2） ()???=+=+10 4320294y x y x ()???-=-=-5571325y x y x ()???=--=-0232436y x y x 【超越自我】 【七嘴八舌】今天你的收获有哪些？你的困惑有哪些？ ()?? ?=-=+523323y x y x

解二元一次方程组计算题

解二元一次方程组计算题 解二元一次方程组计算题 1. 3x+y=34 2x+9y=81 2．．3．． 4. 9x+4y=35 8x+3y=30 5．．6． 7. 7x+2y=52 7x+4y=62 ．8．9． 10. 4x+6y=54 9x+2y=87 11．．12． 13. 2x+y=7 2x+5y=19 14．．15． 16. x+2y=21 3x+5y=56 17．．18．． 19. 5x+7y=52 5x+2y=22 20．．21． 22. 5x+5y=65 7x+7y=203 23．．24．． 25. 8x+4y=56 x+4y=21 26． 27. 28. 5x+7y=41 5x+8y=44 29．．30． 31. 7x+5y=54 3x+4y=38 32．33．．

x+8y=15 34. 4x+y=29 35． ．． 36 37. 3x+6y=24 9x+5y=46 38．39． 40. 9x+2y=62 4x+3y=36 41．．42． 15. 9x+4y=46 7x+4y=42 44．45． 46. 9x+7y=135 3x+8y=51 4x+7y=95 48. x+6y=27 47. 4x+y=41 9x+3y=99 49. 9x+2y=38 2x+3y=7 3x-2y=7 50. 51. 3x+6y=18 3x+y=7 2x-3y=3 ．． 52. 5x+5y=45 53. 8x+2y=28 x+6y=14 3x+3y=27 54. 7x+9y=69 7x+8y=62 55. 7x+4y=67 5x+3y=8 57. 6x-7y=5 x+2y=4 56. 3x+5y=8 2x+8y=26 58. 5x+4y=52 4x-3y=18 60. x-2y=5 59. x+3y=-5 7x+6y=74 2x-y=8 61. 7x+y=9 62. 3x-2y=5 63. 3x-5y=2 4x+6y=16 7x-4y=11 2x-y=3 64. 6x+6y=48 y-3x=2 66. 10x-8y=14 6x+3y=42 65. x-2y=6 x+y=5 55.8x+2y=16 9x-3y=12 3x-5y=2 7x+y=11 68. 2x+y=6 69. 2x-y=3

人教版初一数学下册解二元一次方程组导学案

8.2.2 加减消元法解二元一次方程组 学习目标： 用加减消元法解二元一次方程组. 学习重、难点： 消元的思想和方法 预习案 一．问题探究： 甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助.甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？ 二、探究讨论 我们知道，对于方程组 22 2 x y x y += ? ? += ? 可以用代入消元法求解. 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 导学案 1.问题的解决 上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 即x=18,把x=18代入①得y=4. 另外，由①－②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4. 2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 410 3.6 15108 x y x y += ? ? -=?

分析：这两个方程中未知数y 的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y ，从而求出未知数x 的值. 解：由①＋②得： _______ x= 5895 把x=5895 代入①得y=____________ ∴这个方程组的解为5895995x x ?=????=-?? 3.加减消元法的概念 从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以_______一个未知数，得到一个一元一次方程. 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 4.例题探究 用加减法解方程组34165633 x y x y +=??-=? 5.想一想 (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么? (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些? 练习案 1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法. (1) 32155423x y x y -=??-=? ,消元方法_________. (2) 731232m n n m -=??+=-?,消元方法_________. 2.用加减法解下列方程组:

解二元一次方程组计算题

解二元一次方程组计算题1. 3x+y=34 2x+9y=81 2．．3．．4. 9x+4y=35 8x+3y=30 5．．6． 7. 7x+2y=52 7x+4y=62 ．8．9． 10. 4x+6y=54 9x+2y=87 11．．12． 13. 2x+y=7 2x+5y=19 14．．15． 16. x+2y=21 3x+5y=56 17．．18．． 19. 5x+7y=52 5x+2y=22 20．．21． 22. 5x+5y=65 7x+7y=203 23．．24．． 25. 8x+4y=56 x+4y=21 26． 27. 28. 5x+7y=41 5x+8y=44 29．．30． 31. 7x+5y=54 3x+4y=38 32．33．． x+8y=15

34. 4x+y=29 35． ．． 36 37. 3x+6y=24 9x+5y=46 38．39． 40. 9x+2y=62 4x+3y=36 41．．42． 15. 9x+4y=46 7x+4y=42 44．45． 46. 9x+7y=135 3x+8y=51 4x+7y=95 48. x+6y=27 47. 4x+y=41 9x+3y=99 49. 9x+2y=38 2x+3y=73x-2y=7 50. 51. 3x+6y=18 3x+y=72x-3y=3 ．． 52. 5x+5y=45 53. 8x+2y=28 x+6y=14 3x+3y=27 54. 7x+9y=69 7x+8y=62 55. 7x+4y=67 5x+3y=8 57. 6x-7y=5 x+2y=4 56. 3x+5y=8 2x+8y=26 58. 5x+4y=52 4x-3y=18 60. x-2y=5 59. x+3y=-5 7x+6y=74 2x-y=8 61. 7x+y=9 62. 3x-2y=5 63. 3x-5y=2 4x+6y=16 7x-4y=112x-y=3 64. 6x+6y=48 y-3x=2 66. 10x-8y=14 6x+3y=42 65. x-2y=6x+y=5 55.8x+2y=16 9x-3y=123x-5y=2 7x+y=11 68. 2x+y=6 69. 2x-y=3 70. 4x+9y=77 8x+6y=94 71. 4x+7y=3 x+y=0 72. 3x+y=10 7x-y=20 73. 44x+10y=27 x+y=1 74. 8x-y=0

二元一次方程组教学案例

二元一次方程组教学案 惠州市惠港中学郑志勇 教材、学生简析： 本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上进行的，它是一元一次方程的一种延伸和拓展.同时它又是本章用方程组解决实际问题的开篇.因此，本节课在教材中起着承上启下的作用. 在七年级上学期，学生学习了一元一次方程，并能够运用方程解决部分实际问题.经过一学期训练，学生的合作交流意识已经有显著提高.另外，七年级学生具有好奇心强、爱发表见解和注意力易分散等特点，对生活中的数学有较强的求知欲，但缺乏理性的认识和有效探究方法. 教学目标： 1.知识与技能： 理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，会检验一对数是不是它们的解. 2. 过程与方法： （1）在对一元一次方程已有认识的基础上学习二元一次方程实现从一元到多元的转化，使学生学会用类比的方法迁移知识. （2）在解决问题的过程中，体会方程是刻画现实世界的一个比较有效的模型，进而感受方程思想．初步体验用二元一次方程组解决实际问题的优势. 3. 情感态度与价值观： （1）通过问题情景，使学生明白数学学习来源于生活，学习数学是为了解决实际问题，进一步认识数学与生活的密切联系。 （2）通过探究学习，增强发现问题、解决问题的意识，养成合作交流的习惯，使学生在数学学习活动中感受到学习的快乐. 教学重难点： 1.重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。 2.难点：二元一次方程组解的理解和应用。 教学方法及教学手段： 教法：遵循以学生为本的原则，我采用情景教学法及活动探究法教学。 学法：引导学生采取讨论、交流、观察、类比、猜想的学习方法。 教学手段：采用多媒体教学，直观形象地创设情景，激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高课堂效率。用游戏作载体，使学生在游戏中愉快学习数学知识。 教学过程： 一、创设情境，引入新课：

二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：

《用代入法解二元一次方程组》教学案例

《用代入法解二元一次方程组》教学案例 一、教材分析 《代入法解二元一次方程组》是选自人教版《义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册》第八章《二元一次方程组》中的第2节内容，这节课的主要内容是用代入法解二元一次方程组，是在学生学习了一元一次方程后，又一次数学建模思想的教学，培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是为今后学生学习三元一次方程组，二元二次方程组、函数奠定基础。通过实际问题中二元一次方程组的应用，进一步增强学生学习数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义。 二、设计理念 《新课程标准》所主张的教育理念是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。我以建构主义理为指导，在教学过程中，以探究为主线，通过设置带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，引导学生思考、讨论，让学生亲身体验知识的产生过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。我也将采用多种形式诱导学生及时作出反馈，并利用学生的反馈信息，因势利导，及时调控教学进程，把教与学有机地统一在一

个最佳的程序之中，使课堂教学收到满意的效果。考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，提高课堂效率，我采用了多媒体辅助教学。

三、教学目标 知识与能力：体会消元的思想，会用代入法解二元一次方程组。过程与方法：引导学生通过观察、类比、对比、探索等活动，感受从已知知识中探求解决问题的过程，初步体验化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强解决问题的能力。 情感态度价值观：通过学生的自主探索活动，培养学生从已有知识出发探究新知的能力，激发他们自主创新、合作交流的热情，同时渗透化归的数学美的思想。 四:教学重点、难点 教学重点：会用代入法解简单的二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义。 教学难点：消元法的导入、“化归”思想的渗透。 四、教学过程 （一）温故知新

解二元一次方程组的两种特殊方法

解二元一次方程组的两种特殊方法 一、合并法。 一组方程组中两道方程不能直接用代入法或加减法消元，但是相加（或相减）后两未知数的系数相同，这时适合用合并法来解。 例 ?? ?=+=+② ①12 54223y x y x 解：（①+②）÷7 ③2=+y x ③×3－① ④2-=x ④代③ ④4 =y （1）???? ?-=+=+②①10 651056y x y x （2） ?????? ?=-=+② ①3 4 1526 411517 y x y x

（3）???? ?=+=+②①61 71379 137n m n m （4）????? -=+-=+② ①106 1911741119t s t s （5）???? ?-=++--=++-② （）（ ①）（）（ 42)20172018792517201720183922y x y x

二、换元法。 一组方程中两道方程都含有较复杂的相同代数式，用一半方法消元比较麻烦，这时可以用换元法。 例 ?????? ?-=+---=++-②① 23 25323 253x y y x x y y x 解： 考虑到两式中代数式3 25 3x y y x +-和相同，所以可以设 3 2,53x y n y x m +=-= 。原方程变为 ???? ? -=--=+④ ③2 2n m n m 解得 ???? ?=-=⑥⑤0 2 n m 即 ?? ?=+-=-?????? ?=+-=-⑩⑨⑧⑦0 210 303 2253y x y x x y y x 解⑨⑩组成的方程组得.4,2=-=y x ?? ?=-=∴4 2y x 方程组得解为 练习B ： ?????=++--=+--②①）（62 32)(4)(51x y y x y x y x ???????=++--=--+② ①）（3 142 3 3143)(42)(32x y y x y x y x

解二元一次方程组计算题

解二元一次方程组计算题 1. 3x+y=34 2x+9y=81 2．．3．． 4. 9x+4y=35 8x+3y=30 5．．6． 7. 7x+2y=52 7x+4y=62 ．8．9． 10. 4x+6y=54 9x+2y=87 11．．12． 13. 2x+y=7 2x+5y=19 14．．15． 16. x+2y=21 3x+5y=56 17．．18．． 19. 5x+7y=52 5x+2y=22 20．．21． 22. 5x+5y=65 7x+7y=203 23．．24．． 25. 8x+4y=56 x+4y=21 26． 27. 28. 5x+7y=41 5x+8y=44 29．．30． 31. 7x+5y=54 3x+4y=38 32．33．．

x+8y=15 34. 4x+y=29 35． ．． 36 37. 3x+6y=24 9x+5y=46 38．39． 40. 9x+2y=62 4x+3y=36 41．．42． 15. 9x+4y=46 7x+4y=42 44．45． 46. 9x+7y=135 3x+8y=51 4x+7y=95 48. x+6y=27 47. 4x+y=41 9x+3y=99 49. 9x+2y=38 2x+3y=7 3x-2y=7 50. 51. 3x+6y=18 3x+y=7 2x-3y=3 ．． 52. 5x+5y=45 53. 8x+2y=28 x+6y=14 3x+3y=27 54. 7x+9y=69 7x+8y=62 55. 7x+4y=67 5x+3y=8 57. 6x-7y=5 x+2y=4 56. 3x+5y=8 2x+8y=26 58. 5x+4y=52 4x-3y=18 60. x-2y=5 59. x+3y=-5 7x+6y=74 2x-y=8 61. 7x+y=9 62. 3x-2y=5 63. 3x-5y=2 4x+6y=16 7x-4y=11 2x-y=3 64. 6x+6y=48 y-3x=2 66. 10x-8y=14 6x+3y=42 65. x-2y=6 x+y=5 55.8x+2y=16 9x-3y=12 3x-5y=2 7x+y=11 68. 2x+y=6 69. 2x-y=3

消元解二元一次方程组教案

§8.1.2用代入消元法解二元一次方程组 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）会用代入法解二元一次方程组。 （2）能体会“代入法”解二元一次方程组的基本思路。 2、过程与方法： （1）通过代入消元，使学生初步了解把“未知”转化为“已知”，和把复杂问题转化为简单问题的思想方法。 （2）培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较为简单的方程进行变形。 3、情感与态度： （1）训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。 （2）通过本节课的学习，渗透化归的数学思想。 二、教学重点与难点 1、重点： 用代入消元法解二元一次方程组 2、难点： （1）消元的思想。 （2）探究如何用代入法将“二元”化为“一元” 三：教学过程设计 1、创设情境

问题：在1500年前，《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题，那就是雉 兔同笼问题，它是这样描述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问雉兔几何？把它翻译成现代汉语也就是说有若干只鸡和兔子同在一个笼子里， 从上面数，有35个头，从下面数，有九十四只脚，问鸡和兔子分别有多少只？ 2、新课引入 我们昨天已经初步学习二元一次方程组，所以对于上面的问题，我们知道可以用 二元一次方程组来解决。下面请大家自己在本子上列式，正好检验昨天大家是否 认真听课了，也请一个同学来帮帮老师列式： 解：设鸡有x 只，兔有y 只。 依题意得： ???=+=+9442 35y x y x 由①可得x -=35y 把③带入②中得 94x -354x 2=+）（ 解得23x = 把23x =带入③中得12y = 所以原方程的解为? ??==12y 23 x 3、新课讲解 （1）带入消元法：上面的解法，是把二元一次方程组中的一个方程的一个未知 数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求 得这个二元一次方程组的解，这种方法就叫做代入消元法，简称代入法。 （2）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数， 那么就把二元一次方程组转换为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个 未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决问题

8-2解二元一次方程组加减法练习题(及答案)

8．2 解二元一次方程组（加减法）（二）一、基础过关 1．用加、减法解方程组 436, 43 2. x y x y += ? ? -= ? ，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若 先求y的值，应先将两个方程组相________． 2．解方程组 231, 367. x y x y += ? ? -= ? 用加减法消去y，需要（） A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2 3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（） A．266 B．288 C．-288 D．-124 4．已知x、y满足方程组 259, 2717 x y x y -+= ? ? -+= ? ，则x：y的值是（） A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：8 5．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（） A． 2, 2 x y = ? ? =- ? B． 2, 2 x y =- ? ? = ? C． 1 , 2 1 2 x y ? = ?? ? ?=- ?? D． 1 , 2 1 2 x y ? =- ?? ? ?= ?? 6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-1 7．若2 3 x5m+2n+2y3与- 3 4 x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________． 8．用加减法解下列方程组： （1） 3216, 31; m n m n += ? ? -= ? （2） 234, 443; x y x y += ? ? -= ? （3） 523, 611; x y x y -= ? ? += ? （4） 35 7, 23 423 2. 35 x y x y ++ ? += ?? ? -- ?+= ??

《二元一次方程组》案例分析

《二元一次方程组》案例分析 情景实录： 片段一：创设情境 教师：观察右图，你知道笼子里的鸡和兔 各有多少只（学生摇摇头）那么，老师 给你们一些提示.（多媒体展示问题） 今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何 ； 教师：请语文课代表把这一题的意思翻译一下. 学生：有一群鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数鸡头和兔头共35个，从下面看鸡脚和兔脚共94只，问鸡和兔各是多少 教师：根据实际问题列方程的关键是找相等关系，你能找到相等关系吗 学生（异口同声）：能. 学生：鸡的只数+兔的只数=35. 教师：还有吗 学生（异口同声）：鸡的只数×2+兔的只数×4=94. 教师：有几个未知数，如何设未知数 学生1：有两个未知数，分别是鸡的只数和兔的只数.可以设鸡x 只、兔y 只. 教师：根据题意，可以得到什么方程可以将相等关系中的未知量，换成x 、y. 《 学生2：x+y=35； 2x+4y=94. 评析：回顾两个二元一次方程的列出过程，学生按照教师设计好的程序，先找相等关系，再设未知数，最后列方程.整个过程没有停顿，十分流畅，列方程的目的顺利达成，为下一环节引出课题做好准备.反思这个过程，学生被教师“牵”着，完成了列方程的任务，不知学生的收获有多少是否获取了解决问题的经验 片段二：引出课题，生成概念 教师（板书这两个方程）：x 、y 表示什么意义 学生（异口同声）：x 表示鸡的只数，y 表示兔的只数. 教师：鸡的只数x 和兔的只数y 必须同时满足这两个方程，把这两个方程合起来，可以得到方程组.（用大括号把两个方程括起来）像这样，含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.（板书课题：二元一次方程组并用多媒体展示二元一次方程组的定义.） 议一议： 1、填空：含有 的 组成的方程组叫做二元一次方程组. 2、根据定义，判断下列方程组是不是二元一次方程组. ^ （1） (2) (3) (4) {1n -2m 32m n ==+{62y -x 3z y ==+{1x 52y x ==+{3n m 5 n m 2=+=+

二元一次方程组教教学案例

二元一次方程组教学设计 在学习二元一次方程组时，有这样一道题： “5.12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区。若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶。 （1）每条成衣生产线和每条童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？ （2）工厂满负荷全面生产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？ 同学们经过充分思考后，给出了不同的解答： （学生1） 解：设每条成衣生产线每天生产帐篷x顶，每条童装生产线每天生产帐篷y 顶，根据题意，得 x+2y=105 2x+3y=178 x=41 解得 y=32 答: 每条成衣生产线每天生产帐篷42顶, 每条童装生产线每天生产帐篷32顶. (学生2) 解:因为178—105=73(顶)105—73=32(顶)73-32=41(顶) 所以每条成衣生产线每天生产帐篷41顶, 每条童装生产线每天生产帐篷32顶. 当两位同学说完自己的解法后,同学们立即展开了激烈的讨论,有的同学说,学生1的解法符合题目的要求,用列方程组的方法解答,不容易出错; 有的同学说,学生2的解法简单,一目了然,可以口算出答案,而且还可以锻炼人的思维等等.经过一番激烈的点评之后,我都给予他们充分的肯定.

第一个问题刚讨论完,我就发现有一位平时学习不太好的同学把手举得高高的,急于要说话,我点头示意,他站起来后说,工厂满负荷全面转产,也不能够如期完成任务.如果我是厂长,我会动员工人加班生产,给他们多加工资,好早完工,支援灾区人民.听到这儿,我的心一颤,一位多有爱心的学生,多有社会责任感.想到这儿,我赞许地点了点头,表扬了这位同学,接下来,其他的同学都各抒己见,有的说,改进技术,提高效率;有的说,可以联系其它厂家支援等等. 课堂气氛十分活跃,学生以主人的地位参与评价,对自己的学习状况有比较全面客观的了解,能够进行反思与调控,并相应地改变自己的学习方式,其主体意识大大增强.一堂充满生机活力的课,一位位可爱的学生令人高兴,在这节课上,我给学生的评价是:你们都是好样的! 我认为,在教学中应引导学生积极地参与评价,这样既能培养学生勇敢自信的品质,又能锻炼学生分析判断问题的能力,从而使学生的主体意识进一步确立.

《用适当的方法解二元一次方程组》教案

用适当的方法解二元一次方程组 教学目标: 1.知识与技能：会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 2.过程与方法：通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力. 3.情感态度与价值观：通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法. 教学重点: 会根据方程组的具体情况选择合适的消元法. 教学难点: 会对一些特殊的方程组灵活的选择特殊的解法。 教学过程 一、复习引入 1.解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2.消元的方法有哪些？ 3.什么是代入消元法？什么是加减消元法？ 二、新课讲解 1.分别用代入法和加减法解下列方程组： （1） （2） ?-=?+=?25342x y x y 34165- 6 33x y x y +=??=?

2320 235297x y x y y +-=???++-=??①② 学生利用两种方法独立完成上述方程组，分别请4名学生黑板来板演。 2.观察上面的解题过程，回答问题： （1）代入法和加减法有什么共同点？ （2）什么样的方程组适合用代入法？什么样的方程组适合用加减法？ 学生小组讨论，交流，教师总结 代入法和加减法的实质都是消元，通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”。 当方程组中有一个未知数的系数为1或-1时，用代入法简单，其他的用加减法简单。 3.用合适的方法解下列方程组： （1） （2） （3） y=x-3 （4） 4x-y=5 2x+3y=11 2x+3y=13 4.拓展创新 （1）解方程组： 分析：方程①和方程②中均含有2x+3y,可以用整体代入???=-=+11522153-y x y x

用适当的方法解二元一次方程组

选择适当的方法解二元一次方程组 教学目标: 1.会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 2.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力. 3.通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法. 教学重点: 会根据方程组的具体情况选择合适的消元法. 教学难点: 在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 教学过程: 一、目标导学 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、消元的方法有哪些？ 二、质疑自学 解下列方程组，并思考：什么情况下用代入法简单？什么情况下用加减法简单？

?-=? +=?25342x y x y ?+=? =?254x y x ?+=? +=?3286921x y x y ?-=? +=?332 34x y x y 总结规律： 代入法：当有一个未知数的系数为１或-１时 加减法：①当相同字母的未知数的系数相同时; ②当相同字母的未知数的系数相反时; ③当相同字母的未知数的系数不相同或相反时，如果同一个未知数的系数互为倍数 [设计意图] 既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，增强了学生的学习兴趣. 三、拓展拔高 问题1：下列方程组将如何求解？

分析:方程①及②中均含有2x + 3y。可用整体思想解。由①得2x+3y= 2代入②而求出y。 学生书写解题过程。 问题2: 分析: 本题含有相同的式子，可用换元法求解。 学生书写解题过程。 问题3: 学生分组讨论后解方程组，组代表演板。 问题4:

提示: 上述方程中两个未知数系数呈交叉形式，可作整体相加，整体相减而解出。 学生分组讨论后解方程组，组代表展示解题过程。 四、当堂检测 1、用适当的方法解二元一次方程组: ()()2x+y -2y=03 222x+y -5=7y ?? ??? ()2018x-2017y=404012017x-2018y=4030??? ()x y =3363x+y=-15????? 2、已知方程组

解二元一次方程组练习题(经典)

| 解二元一次方程组练习题1．（2013?梅州）解方程组． 2．（2013?淄博）解方程组． 【 3．（2013?邵阳）解方程组：． 4．（2013?遵义）解方程组． : 5．（2013?湘西州）解方程组：． 6．（2013?荆州）用代入消元法解方程组 ． 】 7．（2013?汕头）解方程组．

8．（2012?湖州）解方程组． ！ 9．（2012?广州）解方程组． 10．（2012?常德）解方程组： — 11．（2012?南京）解方程组． 12．（2012?厦门）解方程组：． 、 13．（2011?永州）解方程组：． 14．（2011?怀化）解方程组：． —

16．（2010?南京）解方程组：． · 17．（2010?丽水）解方程组： 18．（2010?广州）解方程组：． … 19．（2009?巴中）解方程组：． 20．（2008?天津）解方程组： ! 21．（2008?宿迁）解方程组：． 22．（2011?桂林）解二元一次方程组：．<

23．（2007?郴州）解方程组： 24．（2007?常德）解方程组：． ~ 25．（2005?宁德）解方程组： ` 26．（2011?岳阳）解方程组：． 27．（2005?苏州）解方程组：． ？ 28．（2005?江西）解方程组： ,

29．（2013?自贡模拟）解二元一次方程组：． — 30．（2013?黄冈）解方程组：．

解二元一次方程组练习题 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．（2013?梅州）解方程组． - 考点：解二元一次方程组；解一元一次方程． 专题：计算题；压轴题． 分析：①+②得到方程3x=6，求出x的值，把x的值代入②得出一个关于y的方程，求出方程的解即可． 解答：> 解：， ①+②得：3x=6， 解得x=2， 将x=2代入②得：2﹣y=1， 解得：y=1． ∴原方程组的解为． 点评：本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组的应用，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中． ? 2．（2013?淄博）解方程组． 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：^ 先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可． 解答： 解：， ①﹣2×②得，﹣7y=7，解得y=﹣1； 把y=﹣1代入②得，x+2×（﹣1）=﹣2，解得x=0， 故此方程组的解为：． 点评：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．