圆柱齿轮传动的可靠性优化设计_学士学位论文全稿

题目：圆柱齿轮传动的

可靠性设计优化

学位申请人：

指导教师：

学科专业：机械设计制造及其自动化

学位类别：学士

2012年06月

本科毕业设计(论文) 题目：圆柱齿轮传动的可靠性设计优化

院（系）机电工程学院

专业机械设计制造及其自动化

2012年6月

圆柱齿轮传动的可靠性设计优化

摘要

可靠性是指产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。可靠性设计是可靠性工程的一个重要分支，产品的可靠性在很大程度上取决于设计的正确性。因此产品的可靠性设计是保证产品可靠性的最重要的工作。优化设计实质上就是运用计算机高质量、高速度地完成设计方案的“设计-评价-再设计”过程，是计算机辅助设计的核心技术之一。可靠性设计优化是将可靠性设计理论与优化技术结合起来，由此设计结果会大大改善，使优化设计更具实际意义。

齿轮传动是机械传动系统中的重要组成部份，它对机械的动力性与经济性、操纵的可靠性与轻便性、传动的平稳性与效率都有直接的影响，随着现代设计方法的开发和应用，人们对齿轮的设计的要求越来越高。

本文以齿轮传动系统为例，采用可靠性设计优化方法，以中心距最小为设计目标，以分度圆直径、齿数、模数、齿宽系数、螺旋升角等为约束条件建立数学模型，，在Matlab中编写运算程序并运行，取得最优设计结果。

最后将可靠性设计优化结果与传统的设计结果比较，结果显示可靠性设计优化在取得可靠最优成果的同时，还提高了相应的工作效率和经济效益。

关键词：齿轮传动、可靠性优化设计、最小中心距

Reliability Optimization Design of Cylindrical Gear

Abstract

Reliability is indicated as the ability for finishing a set function at the appointed time and with prescribed condition ．Reliability design is an important embranchment of reliability engineering and reliability of products depends on design correctness greatly．Therefore reliability design of products is the most important factor of ensuring the reliability of products．Optimization design which is essentially the use of computers in high-quality, high-speed to complete the design of the program design - evaluation - redesign process is one of the core technologies of computer-aided design. Reliability optimization design is the unite of reliability design theory and optimum technology, according to this，the result of design will be improve greatly, optimum design have practical meaning .

The gear transmission is an important part of the mechanical drive system, and its mechanical power and economy, manipulation have a direct impact on reliability and portability, transmission smooth and efficiency, with the development of modern design methods and applications, the gear design is improving gradually.

In this paper, a gear transmission is taken as the example to investigate the reliability optimization design.The objective function is minimum center distance. The constraints are from. pitch circle diameter, number of teeth, modulus, coefficient of tooth width, helix angle. The program is realized in MATLAB software. The optimal design results are obtained. Finally, the optimization results are compared with the results with the traditional design method, results show that the reliability optimization design improves the efficiency and economic benefits beside getting the reliable results.

Keywords: Gear transmission; Reliability optimization design ; Minimum center distance

目录

摘要--------------------------------------------------------------- I ABSTRACT--------------------------------------------------------- I I 第一章绪论---------------------------------------------------- 1

1.1 研究背景和意义-------------------------------------------------- 1 1.2 国内外相关研究情况---------------------------------------------- 1 1.3 研究内容-------------------------------------------------------- 2第二章可靠性设计理论和优化设计理论 ------------------------- 3

2.1可靠性设计理论------------------------------------------------- 3 2.1.1可靠性设计概述---------------------------------------------- 3 2.1.2应力-强度干涉理论------------------------------------------- 3 2.1.3可靠度设计基本算法------------------------------------------ 5 2.2优化设计理论--------------------------------------------------- 6 2.2.1优化设计概述------------------------------------------------ 6 2.2.2.优化设计数学模型的建立-------------------------------------- 7 2.3可靠性设计优化------------------------------------------------- 8 2.4本章小结------------------------------------------------------- 9第三章可靠性优化设计数学模型的建立 ----------------------- 10

3.1确定设计变量----------------------------------------------------------- 10 3.2目标函数的确定--------------------------------------------------------- 10

3.3 确定约束条件 ---------------------------------------------------------- 10 3.3.1齿面接触疲劳强度的可靠度约束------------------------------- 10 3.3.2 齿根弯曲疲劳强度的可靠性约束------------------------------- 13 3.3.3 模数约束--------------------------------------------------- 15 3.3.4 齿数约束--------------------------------------------------- 15 3.3.5 齿宽系数约束----------------------------------------------- 15 3.3.6 螺旋角约束------------------------------------------------- 16

3.4本章小结---------------------------------------------------------------- 16第四章实例分析------------------------------------------------ 17

4.1设计要求 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 17 4.2确定目标函数--------------------------------------------------- 17 4.3确定设计变量 ------------------------------------------------------------------------------------------- 17

4.4确定约束条件 ------------------------------------------------------------------------------------------- 17 4.4.1齿面接触疲劳强度的可靠性约束------------------------------- 17 4.4.2齿根弯曲疲劳强度的可靠性约束------------------------------- 20 4.4.3模数约束--------------------------------------------------- 23 4.4.4齿数约束--------------------------------------------------- 23 4.4.5齿宽系数约束----------------------------------------------- 23 4.4.6螺旋角约束------------------------------------------------- 24 4.5可靠性优化设计结果 -------------------------------------------------------------------------------- 24 4.6常规设计 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 24 4.6.1按齿面接触疲劳强度设计------------------------------------- 24 4.6.2按齿根弯曲强度设计----------------------------------------- 26 4.6.3几何尺寸计算----------------------------------------------- 27 4.7设计结果分析--------------------------------------------------- 27 4.8本章小结------------------------------------------------------- 28 第五章总结 ---------------------------------------------------- 29致谢-------------------------------------------------------------- 30参考文献--------------------------------------------------------- 33毕业设计（论文）知识产权声明---------------------------------- 34毕业设计（论文）独创性声明------------------------------------ 31附录程序语言-------------------------------------------------- 35

第一章绪论

1.1 研究背景和意义

齿轮传动广泛应用于各种机械设备中，它是利用两齿轮的轮齿相互啮合传递动力和运动的机械传动，具有结构紧凑、效率高、寿命长等特点。齿轮传动的随机性是指其设计参数的随机性，先量变后质变，人们常常只注重“唯一性”、“正确性”，追求质变的同时却忽略了量变。采用可靠性优化设计可以使齿轮的随机参量取值更加合理，并使其结构更加规范。

圆柱齿轮是机械传动系统中常用的零件，同时也是机械系统的重要传动部件，它的质量，体积和成本在整个设备中占有很大比重。如果在传动过程中齿轮发生故障，会严重影响设备的正常运转，因此，齿轮的设计和制造都相当重要。齿轮传动质量的好坏直接影响整个机器性能，设计一个质量轻，结构可靠的齿轮传动必大受人们的欢迎。

通常齿轮传动的设计是将齿轮所受载荷，应力和强度都视为定值，按一定的强度条件进行设计或校核，这种常规设计安全系数一般比较保守，不仅造成材料的浪费，增加成本，往往由于一个参数的改变，而影响其他参数的确定，并且考虑齿轮传动的应力，强度及各几何参数的不确定性，引起的误差与实际不符，也不能保证绝对的安全。设计的齿轮传动质量差，可靠性低，承载能力小。因此，为了使齿轮传动设计既贴近实际工况，又有最优方案，提出了将优化设计和可靠性设计理论有机结合起来的全新设计方法，该方法无论是缩小尺寸，减轻质量，提高承载能力，还是保证设计可靠性均有现实意义。可靠性设计优化方法认为作用在齿轮上的载荷和材料性能等都不是定值，而是随机变量，具有明显的离散性质，在数学上必须用分布函数来描述，由于齿轮的载荷和材料性能等都是随机变量，所以必须用概率统计的方法求解。

齿轮可靠性设计优化认为齿轮存在一定的失效可能性，并且可以定量地回答齿轮在工作中的可靠程度，从而弥补常规设计的不足，它已成为质量保证，安全性保证，产品责任预防等不可缺少的依据和手段。

1.2 国内外相关研究现状

可靠性问题引起人们的广泛重视还是在第二次世界大战期间。主要是针对当时飞机、舰艇等武器装备中的电子设备在运输途中经常发生故障而失效。为此，美国的一些相关学术部门联合成立了电子设备可靠性咨询委员会。该委员会对电子产品的设计、制造、实验、储存、运输及使用等各个方面作了全面的可靠性调

查研究，并发表了一些关于可靠性报告。这些报告首次比较完整地解决了可靠性的理论及研究方向，被公认为是电子产品可靠性理论和方法的奠基性文件。而国际性的可靠性组织于六十年代成立，1965年国际电工委员会可靠性专业委员会的成立是其标志，这使可靠性工程成为一门国际化的技术。我国在六十年代首先在电子工业部门进行可靠性技术的开拓性工作，经过七十年代的逐步发展，到八十年代在现代军工装备的研制中开始全面推行可靠性、维修性和保障性工作，并取得了显著的成绩。随着科学技术的发展，可靠性设计在其它学科的推动下，呈现出全新的面貌，尤其是在可靠性设计与优化设计的结合方面取得了很大的进步。赵彦茹[]1根据现有可靠性设计理论建立了圆柱齿轮减速器的可靠性优化设计的数学模型；张佩文[]2对非稳定循环变应力等复杂工况下齿轮接触强度进行可靠性优化设计；李成刚[]3等将可靠性优化设计用于滚动轴承的计算中。将优化法与可靠性设计法相结合用于机械设计中的论文，近几年还是颇多的。

1.3 研究内容

为了实现本课题所应得到的研究结论，需要一个行之有效的研究方案。首先确定设计变量的分布规律，然后建立目标函数，最后确定可靠性约束函数以及其他约束条件并建立数学模型。通过常用的优化算法在MATLAB环境里优化运算得到可靠性设计参数，然后和传统的设计变量进行比较，拟说明运用可靠性设计的齿轮传动系统更为合理和可靠。具体方案如图1.1所示。

图1.1 方案技术路线

第二章 可靠性设计理论和优化设计理论

2.1可靠性设计理论

2.1.1可靠性设计概述

机械产品的可靠性是指产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。可靠性设计理论的基本任务是在可靠性无力研究的基础上，结合可靠性试验以及可靠性数据的统计与分析，提出可供实际计算用的物理数学模型和方法，以便在产品设计阶段就能规定其可靠性指标，或估计、预测机器及其主要零件在规定工作条件下的工作能力、状态或寿命，从而保证所设计的产品具有所需要的可靠度。机械可靠性设计与传统机械设计方法的主要不同点在于：传统机械设计是以经验总结为基础，运用长期设计时间和理论计算而形成的经验、公式和图表等作为设计依据，通过经验公式、近似系数或类比等方法进行设计。传统设计需要凭借设计者的经验以及相应经验公式来确定设计方案。由于分析计算受人工计算条件的限制，因而会造成设计结果的近似性较大，有时不符合客观实际。总之，传统设计方法是一种以静态计算、近似计算、经验设计为特征的设计方法，而可靠性设计方法考虑了载荷和零部件的尺寸以及材料性能数据的分散性。可靠性设计中所用的参数和公式，都是运用多次试验和测定所得的各种数据通过概率统计 推导而得到的，它是以概率统计为数学基础。

2.1.2应力-强度干涉理论

应力-强度干涉模型可以清楚的揭示可靠性设计的本质，是可靠性设计的基本模型。

一般而言，施加于产品或零件上的物理量，如应力、压力、温度、湿度、冲击等，统称为产品或零件所受的应力，用Y 表示；产品或零件能够承受这种应力的程度，统称为产品的强度，用X 表示。如果产品或零件的强度X 小于应力Y ，则他们就不能完成规定的功能，称为失效。欲使产品或零件在规定的时间内可靠地工作，必须满足

Z=X －Y ≥0 （2.1）

`机械设计中，应力Y 与强度X 本身是某些变量的函数，即

X=(,,,)X n f X X X ???

Y=12(,,,)

Y n g Y Y Y ???

式中，X i为影响强度的随机变量，如零件材料性能、表面质量、尺寸效应，材料对缺口的敏感性等；Y j为影响应力的随机变量，如载荷情况、应力集中、工作温度、润滑状况等。

一般情况下，强度X与应力Y的概率关系满足(|)

P x y=P(x),因为无论是否知道y的准确数值，强度X的取值x都是按自己的规律出现的。所以，可以认为应力Y、强度X是相互独立的随机变量。于是Z亦为随机变量。

设产品或零件的可靠度为R，则

R=P(Z≥0) （2.2）即可靠度为随机变量Z取值大于和等于0时的概率。相应的累积失效概率为

P=1－R=P(Z＜0) （2.3）

f

若知道随机变量X及Y的分布规律，利用下述的应力—强度干涉模型，便可以求出可靠度R或失效率P f

P。

f

机械设计中，随机变量X与Y具有相同的量纲，因此，X、Y的概率密度曲线可以表示在同一坐标系上。

从统计分布函数的性质可知，机械设计中常用的分布函数的概率密度曲线，都是以横坐标轴为渐近线的，因此应力概率密度曲线与强度概率密度曲线必定有相交的区域（图2.1中的阴影部分）。这个区域就是产品或零件可能出现失效的区域，称之为干涉区。干涉区的面积越小，零件的可靠度就越高；反之，可靠度就越低。

图2.1 X、Y概率密度曲线干涉图

应力—强度干涉模型揭示了概率设计的本质。从干涉模型可以看到，就统计数学的观点而言，任一设计都存在着失效概率，即可靠度R＜1。所以，可靠性设计的目的是将失效限制在一个可以接受的限度之内，客观地反映产品设计和运

行的真实情况，定量地给出产品在使用中的失效概率或可靠度。

2.1.3可靠度设计基本算法

在机械设计传动中，零部件的结构尺寸、载荷、强度、应力和寿命等都是随机变量，有一定的离散型。为了使设计得到满意的效果，设计时必须考虑这些参数的离散型与分布规律，这时就需要掌握可靠性概率的分布。对于齿轮传动系统，齿轮应力、强度一般都服从正态分布。同时，较之于其他分布，应力、强度均服从正态分布的齿轮更加安全，因此，在缺乏试验数据时，可以将齿轮应力和强度假定为正态分布。

设应力Y、强度X均为正态随机变量，概率密度函数分别为

2

2

()

()

2

y

y

y

g y

μ

σ

??

-

=-??

??

??

－∞＜y＜∞

2

2

()

()

2

x

x

x

f x

μ

σ

??

-

=-??

??

－∞＜x＜∞

式中，

x

μ、

y

μ及

x

σ、

y

σ分别为X及Y的均值和标准差。

令z x y

=-，由概率论可知，Z的概率密度函数为

2

122

222

()

1

()exp

2()

)

x y

x y

x y

z

h z

μμ

σσ

σσ

??

??

--

??

??

=-

+

??

+??

－∞＜z＜∞（2.4）由上式可知，()

h z亦为正态分布，其均值

z x y

μμμ

=-

，标准差

z

σ=。此时，Z＜0的概率就是失效的概率，所以

2

00

2

()

(0)()

2

z

f

z

z

P P Z h z dz dz

μ

σ

-∞

??

-

=<==-??

??

??（2.5）为了便于使用正态分布表，将上式化为标准正态分布。

令z

z

z

u

μ

σ

-

=则

z

dz du

σ

=。当z o

=时，z

p

z

u u

μ

σ

==-；当z=-∞时，u=-∞，代入式（2.5）可得

22

22()

x

p

z

u u

u

f p

P e du e du u

μ

σ

-

--

-∞-∞

===Φ（2.6）式（2.6）中的积分上限

z p z u μμμσ-=-= （2.7） 反映了强度随机变量X 、应力随机变量Y 和概率之间的关系，称为联结方程，它是可靠性设计的基本公式。p u 称为失效概率指数。

式（2.6）为标准正态分布，因此，根据式（2.7）计算的u p 值查询正态分布表，就可以求得失效概率P f 。

相应的可靠度

R=1－f P

=2

2u du ∞

-? (2.8) 根据正态分布的对称性，上式可以变换成

2

2()z

z

u R R du u μσ--∞==Φ? (2.9)

x u

R u = （2.10）

R u 称为可靠度指数。

2.2优化设计理论

2.2.1优化设计概述

“最优化”是每一个工程或产品设计者所追求的目标。任何一项工程或一个产品的设计都需要根据设计要求，合理选择方案，确定各种参数，以期达到最佳的设计目标，如重量轻、材料省、成本低、性能好、承载力高等。优化设计正是在这样的客观要求下产生并发展起来的，优化设计建立在最优化数学理论和现代计算技术的基础之上，借助计算机运算寻求设计的最优化方案。

一般设计问题都存在着许多种可能实行的设计方案，人们在设计时，总是力求从各种可能方案中选择较好的方案。传统的工程设计过程一般是：首先进行综合设计，然后对方案进行分析评价，如果不够满意，则进行再设计，提出改进的设计方案。在这一过程中往往产生若干种设计方案，直到从中选取一种比较“满意”的设计方案为止。

优化设计实质上就是运用计算机高质量、高速度地完成设计方案的“设计-评价-再设计”过程，是计算机辅助设计的核心技术之一。优化设计具有常规设计所不具备的一些优点：

(1)优化设计能使各种设计参数自动向更优的方向进行调整，直到找到一个

尽可能完善的或更合适的设计方案。常规设计虽然也希望找到最佳的设计方案，但都是凭借设计者的经验来进行，既不能保证设计参数一定能够向更优的方向调整，也不能保证一定能找到最合适的设计方案。

(2)优化设计的手段是采用计算机，在很短的时间内就可以分析一个设计方案，判断方案的优劣是否可行，因此可以迅速地从大量的方案中选出更优的设计方案。

2.2.2.优化设计数学模型的建立

由于机械优化设计是采用数学的方法寻求机械设计的最优方案，所以首先要根据实际的机械设计问题建立相应的数学模型。优化设计的数学模型就是描述优化问题的设计内容、变量关系、优化设计和优化意图的数学表达式。建立数学模型是优化设计的基础，数学模型能否严密而准确地反映优化问题的实质，是优化设计成败的关键。优化设计数学模型的建立包括三个方面：目标函数，设计变量和约束条件。通常情况下，优化设计问题可以这样描述：恰当选择设计变量，在满足约束的条件下，使目标函数取得最优值。

机械优化设计问题的数学形式通常表示如下：

求设计变量向量X=12,,,T

n x x x ???????，在满足约束条件 ()0i h X = （1,2,,i l =???）

()0i g X ≤ (1,2,,j m =???)

下，使目标函数()f X →最优值。

目标函数的最优只有极大值和极小值两种情况，由于他们可以通过倒数或相反数相互转化，故通常情况下优化数学模型都采用目标函数最小化形式。故数学模型可以简化为： []12min (),,,()0(1,2,,)

()0(1,2,,)T n i j

F X X x x x h X i l g X j m ??=?????≤=?????≤=???? (2.11） 在优化设计数学模型中，若目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数，那么优化问题就属于数学规划中的线性规划问题；若它们不全是设计变量的线性函数，那么就属于非线性规划问题。若所有设计变量只能取整数，那么就属于整数规划问题。如果不存在约束就称无约束优化问题，否则就称约束优化问题。约束优化问题又分为等式约束、不等式约束和混合约束三种情况。

2.3可靠性设计优化

可靠性设计优化是在常规优化设计方法的基础上发展起来的一种全新的优化设计方法，它将可靠性分析理论与数学规划方法有机地结合在一起，也就是将可靠性作为追求目标或约束条件，运用最优化得到在概率意义下的最佳设计的一种数值计算方法。从工程实用性角度来看，可靠性设计优化方法是较传统的优化设计方法更为合理的设计模式，并且它可以明显地提高设计质量以及获得显著的经济效益，因此可靠性优化设计的研究已成为目前国内外学者积极探索和研究的重要课题之一。

可靠性设计优化的数学模型一般定义为：

寻找 ()T

12,,,n x x x x =

使得 ()()m i n m a x f x f x 或

并满足 ()1,2,,

j j u j m ββ≥= 其中，x 是设计空间（X 空间）的设计变量，是x 在独立标准正态空间（计算可靠性指数的U 空间）中对应的变量。因此，可靠性设计优化是在两个不同的空间——X 空间和U 空间——进行运算。另外，j β是第j 个可靠性约束，()j u β是U 空间的第j 个约束函数。

图2.2清楚地显示确定性优化和可靠性设计优化之间的差异。使用确定性优化时，由于实际变量存在不确定性，得出的结果（小圆点）可能溢出可行域。这些溢出的点在实际工程运用中会造成危险。而可靠性设计优化通过可靠性指数β定义可靠性，能确保所有点（因误差或公差产生）均在可行域内。

图2.2可靠性设计优化示意图

2.4本章小结

本章介绍了可靠性设计和优化设计的相关理论，在此基础上提出了较前两者更为合理的全新设计方法——可靠性设计优化方法。可靠性设计优化在满足设计要求的同时，能带来更多的经济效益。