复变函数第四讲解读
作业 P99 1, 2, 5, 7(2(4
复变函数第2章
第二章 解析函数 1. 复变函数： ()w f z = w =f (z )又常写成w =u (x ,y )+iv (x ,y )，从而对复变函数f (z )的讨论可相应地 转化为对两个实函数u (x ,y )和v (x ,y )的讨论. 2.复变函数的极限与连续： 定义2.2 设函数w =f (z )定义在z 0的去心邻域0<|z -z 0|
第一章复数与复变函数解读
第一章复数与复变函数 一、学习要求 1．熟练掌握复数的运算。 2．掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确求出复数的实部、虚部、模与辐角。 3．了解各种区域。 4．了解共轭复数的性质。 5．理解复数几何意义。 6．理解复函的极限与连续，知道复函极限存在与连续的充要条件。二、考核知识点 1．复数的定义。 2．复数的代数运算。 3. 共轭复数的定义与性质。 4．复平面和复数的点表示法、复数的向量表示法。 5．复数的代数式、三角式及指数式。 6．常用曲线的复数方程。 7．复数的积与商。 8．复数的幂与方根。 9．点的邻域。 10．区域。 11．复函定义。 12．复函极限与连续。
第一节复数 本节主要对复数与复数的运算作一次复习． 一、复数 一个复数可表示为，其中x，y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记 为x=ReZ，y=ImZ；(即)——虚单位。复数的上述表示称为复数的代数式。 讨论：1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x称为实数。全体实数只是全体复数的一部分。 2)若实部x=0，虚部y=0，则z=0——复数零，即: 二、复数的四则运算 1)相等: 2)和差: 3)积: 4)商: 从复数的运算法则的定义中很明显的得出复数运算的交换律、结合律和分配律，即交换律： 结合律： 分配律： 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域。在复数域中，复数没有大小。 三、复平面 如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟 平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平 面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。 在复平面上，从原点到点所引的矢量 op
与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。 四、复数的三角形式和指数形式 用极坐标r，θ代替直角坐标x和y来表示复数z，有 则复数ｚ可表示为：——三角式 利用欧拉公式：，复数ｚ可表示为： ——指数式 叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrgz．讨论： i)．复数的幅角不能唯一地确定。如果是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz。 ii)．复数“零”的幅角无定义，其模为零。 iii)．当r=1时,称为单位复数． 利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
(完整版)复变函数试题库
《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
复变函数疑难问题分析
复变函数疑难问题分析 1. 设z z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。 2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？ sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz e e z y i --=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？ z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数 4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？ ()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ?=?，1v y ?=-?，0u y ?=?，0v x ?=? 但是 11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1 ）复球面上与点1)对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。 解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过 点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程 为21z -==-。当0z =时 ，x y == ，所以,,1)22 对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112 x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333 ，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。 6．说明复变函数可微性与解析性的关系。 复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。 所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的， （2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导， （3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。 7．()1sin f z z =在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？ 1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π =，但lim 0k k z →∞=，但0D ?，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是
复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =
复变函数论第四版答案钟玉泉
复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和
零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。
复变函数考试试题一解读
《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.
复变函数第二章答案
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
复变函数的学习与中学数学教学解读
复变函数的学习与中学数学教学 现在不少大学生不能充分利用大学四年的宝贵时间和有利的学习条件，并且说学这些有用吗？下面我们就数学教育开设的复变函数与中学数学教学谈一些粗浅的看法，希望能对在校学生的学习有所启发。 复数一直是高中数学的教学内容，尤其对理科学生。学生在学习复数之前，一直是在实数域中考虑问题。虽说实数是从自然数、整数、有理数演变、扩展而来，但还是容易理解和直观化的。学生在学习复数时，首先得接受虚数“i ”，然后才是复数“bi a +”。再接下来才是对应于实数系中的运算。当然应包括相应的直观化，即几何表示。我们都知道，学生接受专门知识的过程如同他们接受批评教育的过程，也如同我们吸收营养的过程，对于不同的方法和途径所产生的效果是不一样的。我们的学生一学期学完复变函数，有些学生认为这些东西没什么用，事实上仅从实数系发展到复数系，就已能反映出数学发展的规律及数学发展的动力。如果一个教师自己都对这些不清楚，又怎么要求中学生们清楚呢？又怎么能让他们接受复数并产生兴趣呢？在复数引入后，利用其几何表示，会使不少几何问题的解决变得简单，利用复数的三角表示又会使许多代数问题的求解变得简单，利用复数运算的几何意义又会使许多问题的解决变得容易，由此让学生们明白：新工具的引入会使原来不能解决的问题得到解决，会使原来复杂的解决过程变得简单，这些思想是学生产生发散性思维的动力，是学生创新的内在动力。 众所周知，学生要有一滴水，教师应有一桶水，这是说明教师只有具备较大的知识储备，才能备课自如，释疑解惑自如，从而轻松驾驭教室，虽说“居高未必能够临下”，但没有居高就不会能临下，我们知道，高中数学中有相当一部分内容是研究几个基本初等函数的特殊情形。如果我们熟练掌握了复变函数中的这些内容，就能对初等数学中的相关内容游刃有余，才能给学生解惑。例如，有人证明 ,04=π其证明如下： 因),11(21112i x i x i x +--=+有,2110002???+--=+t t i t i x dx i x dx x dx 于是，,ln 2 1i t i t arctgt i +-=令,1=t 则.01ln 81)11ln(8111ln 21144==+-=+-==i i i i i i i arctg π毛病出在哪里呢？出在01ln =，事实上，在复数域中，对数函数是多值的，πk i 21ln =（k 为整数）仅当0=k 时，01ln =，假如在上式中取1=k ，就不会有04=π 了。 学过复变函数，还会让你对基本初等函数有一些本质性的了解。在中学范围内，看不
《复变函数》考试试题(七)解读
《复变函数》考试试题（七） 一、判断题（24分） 1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（ ） 2. 若函数()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件.（ ） 3. 如果0z 是()f z 的可去奇点，则0 lim ()z z f z →一定存在且等于零.（ ） 4. 若函数()f z 是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠?∈.（ ） 5. 若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ） 6. 若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（ ） 7. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是 1() f z 的m 阶极点.（ ） 二、填空题（20分） 1. 若11sin (1)1n n z i n n =++-，则lim n z =___________. 2. 设2()1z f z z =+，则()f z 的定义域为____________________________. 3. 函数z e 的周期为______________. 4. 22sin cos z z +=_______________. 5. 幂级数2 20n n n z +∞=∑的收敛半径为________________. 6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点. 7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________. 9. 方程83 3380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. Re (,0)z n e s z =_________________. 三、计算题（30分）
复变函数(第四版)课后习题答案
习题一解答 1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （3）(3+ 4i )(2 5i ) ； （4）i 8 4i 21 + i 1 3+ 2i 1 3i 1 i （1） ； （2） ； i 2i 3+ 2i = (3+ 2i )(3 2i ) = 1 (3 2i ) 1 3 2i 13 解 （1） 所以 ? 1 ?3+ 2i ↑ 13 ? = ← 3， Im ?? ←= 2 1 ? Re ? , 13 ?3+ 2i ↑ 2 2 1 3+ 2i = 1 1 3+ 2i = ?? 3 ? +?? 3 ? 13 (3+ 2i )， ， 13 13 ? 13 ? = 13 Arg ? 1 3+ 2i ? ? = arg ? 1 3+ 2i ? ? + 2k π 2 = arctan + 2k ,k = 0,±1,±2," 3 1 3i i 3i (1+ i ) = i 1 ( 3+ 3i )= 3 5 （2） 1 i = i ( i ) (1 i )(1+ i) i, i 2 2 2 所以 ?1 3i ? 3 , Re ? ?i 1 i ↑←= 2 ?1 3i ? ←= 5 Im ? ?i 1 i ↑ 2 2 2 1 3i = + i 5， 3 1 3i 1 i = ? ? +? ? = 34， 3 5 i 1 i ? 1 3i 2 2 i 2 2 2 1 3i ? + 2k π Arg = arg i 1 i ? i 1 i ? = arctan 5 + 2k π, k = 0,±1,±2,". 3 （3） (3+ 4i )(2 5i ) = (3+ 4i )(2 5i )( 2i ) = (26 7i )( 2i ) 2i (2i )( 2i ) 4 = 7 26i = 7 13i 2 2 所以 ?(3+ 4i )(2 5i )? Re ? ←= 7 ， ? 2i ↑ 2 ?(3+ 4i )(2 5i )? Im ? ←↑= 13， ? 2i
复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1-=n n nz z '（n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=??????++-+= n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2000111111z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=
复变函数疑难问题分析
复变函数疑难问题分析 1. 设z z z f 1 sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。 2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？ sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin || |()2iz iz e e z y i --=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？ z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数 4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？ ()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以 1u x ?=?，1v y ?=-?， 0u y ?=?，0v x ?=? 但是 11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1 ）复球面上与点,1)22 对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。 解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过 点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程 为2 1z -==-。当0z =时 ，x y == ，所以 对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程 2 112 x y z -== -与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222 (,,)333，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。 6．说明复变函数可微性与解析性的关系。 复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。 所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的， （2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导， （3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。 7．()1 sin f z z =在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上 ()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？ 1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1 k z k π=，但lim 0k k z →∞=， 但0D ?，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是
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引言 复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。在17世纪和18世纪随着微积分的发明与发展，人们研究复变函数，特别是把实变函数初等函数推广到复变数情形，得到一些重要结果。 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论的发展简况 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为
这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数论的内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函
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第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于 0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个
邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1 ||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么
复变函数与积分变换解读
复变函数与积分变换 课程名称：复变函数与积分变换 英文译名：Complex Function and Integral Transformation 课程编码：070102B06 适用专业：信息与计算科学 课程类别：专业必修 学时数：48 学分：3 编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华 编写日期：2005年4月 一、本课程的内容、目的和任务： 复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数与积分变换在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，通过学习，学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 二、课程教学内容及教学基本要求 由于该课程的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。凡涉及自动化或自动控制专业、信号处理的各类专业，都要用复变函数与积分变换的理论，因此学生必须熟练掌握（1）复变解析函数理论 （2）复变函数的积分理论及留数理论 （3）拉氏变换与富氏变换理论。
学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。 学生还应理解调和函数理论。 学生还应初步了解保形映射的理论。 第一章复数与复变函数(4学时) 1、教学内容 复数的概念；复球面、无穷远点及扩充复平面。区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域；复变函数的概念；复变函数的极限与连续的概念、性质。 2、教学目的和要求： 理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。 第二章解析函数(6学时) 1、教学内容 解析函数。柯西-黎曼方程；调和函数，复变初等函数及其主要性质。 2、教学目的和要求： 理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。 熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。熟练求多值函数的支点、及满足条件的分支在指定点处的函数值。联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。 第三章复积分理论(8学时) 1、教学内容： 复积分；柯西-古萨定理，牛顿莱不尼茨公式。复合闭路原理，柯西积分公式及高阶导数公式，平面调和函数理论。 2、教学目的和要求： 理解复积分的概念；掌握柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式及其应用；理解刘维尔定理、莫勒拉定理；熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。 第四章复变函数的级数理论(6学时) 1、教学内容
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数 专业：工程力学姓名：李小龙学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。 1、基本概念 1、复数 指数表示： 宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。 若是z的辐角，则也是其辐角，其中是整数集合，若限制，所得的单值分支称为主值分支，记作argz。 做球面与复平面相切于原点O，过O点作直线OZ垂直于复平面，与球面交于N，即球的北极。 设z是任意复数，连接Nz，与复球面交于P，z与P一一对应，故复数也可用球面上的点P表示，该球面称为复球面。 当，作为N的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作，包括的复平面称为扩充复平面。 2、复变函数 领域：由等式所确定的点集，称为的领域，记作，即以为中心，为半径的开圆（不包括圆周）。 区域：非空点集D若满足：一、D是开集，二、D是连通的，即D中任意两点均可以用全属于D的折线连接。则我们称D为区域。 单通与复通区域：在区域D内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D称为单通区域，否则称为复通区域。 复变函数：以复数为自变量的函数。记 则： 所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。它给出了z平面到w平面的映射或变换。 复变函数的连续性： 如果 则称在处连续。 3、解析函数
复变函数的导数： 复变函数定义在区域D上，，如果极限 存在且有限，则称在处可导或可微（differentiable），且该极限称为在处的导数或微商（derivative），记作： 解析函数： 若函数f(z)在区域D内可导，则称为区域D内的解析函数，也称全纯函数。 奇点：若函数f（z）在某点不解析，但在的任意领域内都有它的解析点，则称为f(z)的奇点（singular point）。 Cauchy-Riemann条件（CR条件） 此为f(z)在z点可微的必要条件。 充要条件： （1）二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微。 （2）u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足CR条件。 另外我们有推论： 若f(z)在D内解析，则f(z)在D内具有任意阶导数。 4、初等单值函数 初等函数（elementary function）是由基本初等函数（通常认为包括常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数）经过有限次的加减乘除和复合所构成的函数。 令 称为有理分式，也称有理函数。除去满足的点外，f(z)在复平面上处处解析，是f(z)的奇点。 复变量的三角函数（trigonometric function）是通过指数函数来定义的：显然都是周期函数，周期为，且他们的绝对值都能大于1. 如：，显然可以大于任意数。 双曲函数： 复变量的双曲函数也是通过指数函数来定义的。 称为双曲余弦函数和双曲正弦函数。他们在整个复平面上解析。 5、解析函数的物理意义 调和函数：如果二元实变函数在区域D内具有连续的二阶偏导数，且满足二维Laplace方程 则称为区域D内的调和函数。 若是区域D内的解析函数，则、均为D内的调和函数。